Cap´ıtulo 1 Rectas notables 1.1.

Puntos y rectas notables en el tri´ angulo

Altura, mediana y bisectriz Sean A, B y C los v´ertices de un tri´angulo de lados opuestos a, b y c, respectivamente.

A

A Hb

c hb Ha B a Hc

b

b C hc

A Vb

Mb

Mc ma c mb a M B a

c va vb C

B

Va

b a

C

Figura 1 A las distancias de los v´ertices a sus lados opuestos las llamaremos las alturas del tri´ angulo. A las alturas las denotaremos con ha , hb , hc , y a sus puntos de intersecci´on con los lados con Ha , Hb , Hc , respectivamente. Designaremos con ma , mb y mc las tres medianas , llamando as´ı a las distancias de cada v´ertice A, B y C al punto medio Ma , Mb y Mc del lado opuesto. Finalmente, denotaremos con va , vb y vc , a los segmentos de bisectriz de 1

CAP´ITULO 1. RECTAS NOTABLES

2

los ´angulos ∠A ∠B ∠C comprendidos entre dichos v´ertices y su respectivas intersecci´ones Va , Vb y Vc con los respectivos lados opuestos.

1.1.1.

Circunferencia circunscrita A Mc

Mb

O

C

B

Figura 2 da cirncunscrita al tri´angulo.

1.1.2.

Hemos visto que tres puntos no colineales A, B y C, determinan una circunferencia que los contiene y cuyo centro O est´a en la intersecci´on de las mediatrices de los segmentos que estos puntos determinan. De modo que En todo tri´ angulo las mediatrices de sus lados se cortan en un punto al que llamaremos circuncentro, por ser este centro de la circunferencia llama-

Ortocentro. A

C'

B'

H B

C

Teorema 1.1.1 Las paralelas de los lados de un tri´ angulo ABC que pasan por los v´ertices opuestos, forman otro tri´ angulo A0 B 0 C 0 de lados dobles del primero. Los puntos medios de los lados del nuevo tri´ angulo son A, B y C.

Demostracion. Veamos que el segmento C 0 B 0 es el doble de BC. Para Figura 3 ello consideremos el cuadril´atero 0 C ACB. Por construcci´on, este cuadril´atero es un paralelogramo y en consecuencia los lados opuesto C 0 A y BC son iguales. Otro tanto ocurre con el cuadril´atero AB 0 CB, es paralelogramo y AB 0 es igual a BC. De igual manera se demuestra que los segmentos lados A0 B 0 y C 0 A0 son dobles de los lados AB y CA respectivamente. 

A'

Corolario 1.1.1 Las mediatrices del tri´ angulo A0 B 0 C 0 contienen a las alturas del tri´angulo ABC.

´ 1.1. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIANGULO

3

Por ejemplo, la mediatriz del lado C 0 B 0 , por construcci´on es perpendicular al lado BC y pasa por el v´ertice A, conteniendo de esta manera la altura Ha . Otro tanto sucede con las otras alturas. Corolario 1.1.2 Las alturas de todo tri´ angulo se cortan en un mismo punto. Este punto se llama el ortocentro del tri´angulo.

1.1.3.

Circunferencia inscrita

Teorema 1.1.2 Las tres bisectrices internas de un tri´ angulo se cortan en un punto.

A

I

B Figura 4 centro del tri´angulo.

En efecto las bisectrices de los a´ngulos ∠A y ∠B se cortan porque forman con la secante com´ un AB ´angulos cuya suma es menor que uno llano (Euclides). El punto I de inteseccion de estas rectas equidista de los lados adyacentes a los ´angulos ∠A y ∠B, esto es, de los tres lados. Se sigue que la tercera bisecriz ha de corC tar a las anteriores en el mismo punto. El punto de intersecci´on se llama in-

Corolario 1.1.3 Existe una u ´nica circunferencia interior, tangente a los tres lados de un tri´angulo. Se llama circunferencia inscria en el tri´angulo.

Circunferencia exinscrita El incentro de un tri´angulo es el u ´nico punto interior que equidista de las rectas de los lados. Existen tambi´en puntos exteriores que tiene la misma propiedad y se llaman exincentros.

4

CAP´ITULO 1. RECTAS NOTABLES

As´ı como el incentro se obtiene de considerar las bisectrices internas de un tri´angulo, consideremos por ejemplo las bisecrices de los ´angulos ∠P AC P Ib Q y ACQ (ver la figura 5). Dichas biA b C sectrices se cortan por cortase sus I perpendiculares (como acabamos de Ic c ver). Igual que antes, el punto de ina terscci´on Ib equidista de las tres rectas BP , BQ y AC. Por ser equidisB Ia tante de BP y BQ el punto Ib se halla sobre la bisectriz del ´angulo ∠B. Figura 5 Hemos demostrado el siguiente Teorema 1.1.3 Cada dos bisectrices exteriores de un tri´ angulo concurren en un punto con la bisecriz interior del tercer v´ertice. Este punto es centro de una cricunferencia tangente a un lado y las prolongaciones de los otros dos. La circunferencia mencionada se llama exinscrita al tri´angulo. Existen pues tres circunferencias exinscritas y tres exincentros. Consideremos el tri´angulo formado por los exincentros. Los lados de este tri´angulo son bisctrices exteriores del tri´angulo dado y las bicectrices interiores de este son las alturas de aqu´el (por ser perpendiculares las bisectrices de ´angulos adyacentes). En particular, el tri´angulo Ia AIb es recto, por lo que el ´angulo ∠Ib es agudo. El tri´angulo Ia Ib Ic es acut´angulo.

´ ´ 1.2. TRIANGULO ORTICO

1.2.

5

Tri´ angulo ´ ortico A

Hc B

H

d

Hb

ab

Ha

Teorema 1.2.1 Las alturas de todo tri´ angulo acut´ angulo ABC son bisectrices interiores del tri´ angulo Ha Hb Hc , cuyos v´ertices son las intersecciones de dichas alturas con el tri´ angulo dado.

g

Demostracion. Veamos por ejemplo que los ´angulos AHa Hc y AHa Hb Figura 6 (marcados como α y β en la figura) son iguales. Observemos que los tri´angulos Hb BC y Hc BC son rect´angulos y comparten la hipotenusa BC. Los cuatro puntos Hb , Hc , B y C yacen sobre una misma circunferencia. Se sigue que los ´angulos inscritos γ y δ son iguales. Tambi´en ocurre que los tri´angulos rect´angulos HHb C y HHa C comparten su hipotenusa. Los puntos H, Ha , C y Hb se encuentran sobre una circunferencia y los ´angulos inscritos β y γ son iguales. De la misma manera se demuestra que α es igual a δ, quedando de esta manera demostrado el teorema.

C

El tri´angulo Ha Hb Hc se llama el tri´ angulo ´ ortico del tri´angulo ABC

Corolario 1.2.1 Los lados de un tri´ angulo acut´ angulo son las bisectrices exteriores de su tri´angulo ´ortico. Los v´ertices de aqu´el son los excicentros de este.

H Hb

Ha C

A

Ma

Mb Mc Figura 7

Hc

B

Si el tri´angulo es obtuso, se puede demostrar que dos de los lados son bisectrices inteririores y el tercero es bisectirz exterior del tri´ angulo ´ ortico. Las alturas son las bisectrices restantes. Si el tri´angulo es rect´angulo no exitiste tri´angulo ´ortico.

CAP´ITULO 1. RECTAS NOTABLES

6

Seis puntos notables de la circunferencia circunscrita

A

C

G'a

B

Ga Figura 8

Recordando los razonamientos que se dieron en la discusi´on de haces hom´ologos en una rotacion podemos enunciar sin m´as el siguiente Teorema 1.2.2 La circunferencia circunscrita a un tri´ angulo ABC contiene los puntos de intersecci´ on de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el v´ertice opuesto.

Consideremos el tri´angulo ABC A y el tri´angulo Ia Ib Ic formado por los Ga Ib Ic ' G G' exincentros de aquel. Hemos visto que b c las alturas del tri´angulo de excincenO I C tros pasan por los puntos A, B y C. Gb As´ı por ejemplo los tri´angulos AIa Ib y Gc B BIa Ib son rect´angulos y comparten la G' a hipotenusa Ia Ib . A y B est´an por tanto en una circunferencia cuyo centro Ia es la intersecci´on de esta hipotenusa Figura 9 con la midiatriz del segmento AB, esto es, con el punto Gc . An´alogamente, el segmento IIc es hipotenusa compartida de los tri´angulos rect´angulos AIIc y BIIc . Los puntos A y B est´an sobre una circunferencia de di´ametro IIc cuyo punto medio es su intersecci´on con la mediatriz del segmento AB, o sea el punto G0c . Hemos demostrado el siguiente Teorema 1.2.3 La circunferencia circunscrita a un tri´ angulo cualquiera, contiene los puntos medios de los lados del tri´ angulo de los exincentros, as´ı como los puntos medios de los segemtnos que unen ´estos con el incentro

C´ırculo de Feuerbach Aplicando lo anterior al tri´angulo ´ortico de uno no rect´angulo tenemos

´ ´ 1.2. TRIANGULO ORTICO

7

Teorema 1.2.4 La circunferencia que pasa por los extremos de las alturas de un tri´angulo acut´angulo contiene los puntos medios de sus lados as´ı como los puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada v´ertice y el ortocentro.

Esta circunferencia se llama circunferencia de Feuerbach (tambi´en llamada de Euler).

Baricentro de un tri´ angulo C

Mb

G P

Ma

Teorema 1.2.5 Las tres medianas de un tri´ angulo ABC concurren en un punto G. El segmento de mediana comprendido entre el punto medio del lado y el el punto G es un tercio de la misma.

Q

Demostraci´on. Sea G la intersecci´on de dos de las medianas Ma y Mb . Sean A B Mc P y Q puntos medios de los segmenFigura 10 tos AG y BG respectivamente. Observamos que la recta Ma Mb es paralela media del tri´angulo ABC y es la mitad del segmento AB. La recta P Q es paralela media del tri´angulo ABG y es tambien mitad del segmento AB. El cuadril´atero P QMa Mb es rect´angulo pues dos de sus lados son paralelos e iguales y el punto G es punto medio de sus diagonales. As´ı

Ma G = GP = P A y Mb G = GQ = QB. Finalmente la otra mediana debe pasar por G puesto que debe dividir a las otras dos de la misma manera. Al punto G lo llamremos baricentro del tri´ angulo.

CAP´ITULO 1. RECTAS NOTABLES

8

Recta de Euler Consideremos el tri´angulo ABC. Sean Ma y Mb los puntos medios de los lados BC y AC respectivamente. A Sean G el baricentro del tri´angulo y H el ortocentro del tri´angulo. Por el P punto medio P del segmento AG traMb cemos la paralela de la altura ha . Por G M ser paralela media del tri´angulo AHG M' H dicha recta corta al lado HG en su Q punto medio M . Lo mismo ocurre con Ma B C si trazamos la paralela de la altura hb Figura 11 por el punto medio Q del segmento BG. En la simetr´ıa con respecto al punto G, los puntos Ma y Mb son sim´etricos de P y Q respectivamente y M 0 sim´etrico de M resulta ser el circuncntro del tri´angulo. Con esto, hemos demostrade el siguiente Teorema 1.2.6 El baricentro de un tri´ angulo es colineal con el ortocentro y el circuncentro y est´a a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama recta de Euler .

Recta de Simson C

Sea ABC un tri´angulo y P un punto sobre la circunferencia circunscrita a dicho tri´angulo. Sean Q, R y S los pies de las perpendiculares a los S lados que pasan por el punto P . En R A B el cuadril´atero ARP Q los ´angulos no consecutivos son suplementarios. Se Q P sigue que los v´ertices de dicho cuadril´atero est´an sobre una misma cirFigura 12 cunferencia y que los ´angulos ∠QP A y ∠QRA sonn iguales. De manera semejante, el cuadril´atero BP RS tiene sus v´ertices sobre una misma circunferencia, puesto que los tri´angulos BP R

1.3. APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ

9

y BP S son rect´angulos en R y S, respectivamente. Se sigue que los ´angulos ∠SP B y ∠SRB son iguales. Ahora bien, los ´angulos ∠AP B y ∠QP S son ambpos suplementarios del ´angulo ∠C, el primero por estar el v´ertice P de distinto lado que C respecto de la cuerda AB y el segundo porque los ´angulos ∠A y ∠B en el cuadril´atero CQP S son rectos. El giro que mueva la semirrecta P Q sobre la semirrecta P A, llevar´a la semirrecta P S sobre P B, por lo que los ´angulos ∠QP A y ∠SP B son iguales. La discusi´on anterior demuestra el siguiente

Teorema 1.2.7 Los pies de las perpendiculares a los lados de un tri´ angulo, desde un punto sobre la circunferencia circunscrita son colineales.

La recta que los contiene se llama la recta de Simson.

1.3.

Aplicaciones del arco capaz

En construcciones, donde uno o varios ´angulos son conocidos, es u ´til considerar este concepto.

ha A

a

Figura 13

A

Ejemplo 1. Construir un tri´angulo, dados a, ha y ∠A. Comenzamos trazando el arco capaz del segmento a con ´angulo ∠A. Trazammos la recta paralela al segmento a a distancia ha de esta. Los puntos de intersecci´on de aquella recta con el arco capaz son v´ertices del tri´angulo buscado.

CAP´ITULO 1. RECTAS NOTABLES

10

A ma A

a

Figura 14

Ejemplo 2. Construir un tri´angulo, dados a, ma y ∠A. Trazado el arco capaz del segmento a y de ´angulo A, trazamos por el punto medio del segmento un arco de circunferencia de radio ma , que las intersecciones de este arco con el arco capaz proveen las intersecciones del tercer v´ertice del tri´angulo buscado.

Ejercicios. 1. Sean A el v´ertice de un ´angulo agudo ∠A y H un punto interior a dicho ´angulo. Determine el tri´angulo ABC que tiene al punto H como ortocentro. 2. Sea ABC un tri´angulo que no es rect´angulo. Las paralelas de los lados de este tri´angulo que pasan por los v´ertices opuestos, forman otro tri´angulo A0 B 0 C 0 . Muestre que el ortocentro del tri´angulo ABC es el circuncentro del tri´angulo A0 B 0 C 0 . 3. Considere la circunferencia circunscrita a un tri´angulo y los arcos de circunferencia determinada por ella y los v´ertices del tri´angulo. Muestre que los sim´etricos de dichos arcos, respecto a los lados respectivos del triangulo, se intersectan en el ortocentro del tri´angulo. 4. Sean a, b y c tres rectas secantes dos a dos. Determine las cirunferencias tangentes a estas tres rectas. 5. Dados tres puntos no colineales trazar tres circunferencias tangentes dos a dos en los puntos dados. 6. Demostrar que las paralelas a dos lados de un tri´angulo por el baricentro cortan al tercer lado en tres segmentos iguales. 7. Demostrar que la recta que une al v´ertice A de un tri´angulo ABC con el incentro, corta a la circunferencia circunscrita en un punto P equidistante de B, I y C. 8. Construir un cuadrado que pase por cuatro puntos dados.

1.3. APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ

11

9. Construir un rombo que pase por cuatro puntos dados, conocido uno de sus ´angulos. 10. Condici´on necesaria y suficiente para que un trapecio se inscriptible. 11. * Dadas dos rectas fijas secantes m y n y en ellas, dos puntos fijos M y N , consideremos dos circunferencias s1 y s2 respectivamente tangentes a m en M y a n en N y adem´as tangentes entre s´ı en P . Hallar el lugar geom´etrico de P .