8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

ANÁLISIS DE ELEMENTOS DE FRONTERA EN PROBLEMAS NO LINEALES Pineda E.1, Samayoa D.2, Villaseñor I.1 1

2

ESIA-ZAC Instituto Politécnico Nacional, [email protected] ESME-ZAC Instituto Politécnico Nacional , [email protected]

RESUMEN –– En este trabajo se presenta la aplicación del Método de Elementos de Frontera a problemas no lineales independientes del tiempo. La parte mas critica del dominio de una placa es dicretizada con celdas internas cuadriláteras cuadráticas continuas para obtener la deformación plástica. El análisis plástico es básicamente aplicado a metales en un caso de esfuerzos y deformaciones planas. En el análisis se consideran el criterio de cedencia de Von Mises y el endurecimiento por deformación. Los resultados numéricos obtenidos son comparados con soluciones obtenidas con el Método de Elementos Finitos y en referencias mostradas en la literatura abierta del tema.

Palabras Clave –plasticidad, elementos de frontera.

1

I. INTRODUCCIÓN Una de las primeras aplicaciones exitosas del Método de Elementos de Frontera (BEM) por sus siglas en Ingles, a problemas no lineales independientes del tiempo en mecánica de sólidos con la formulación para plasticidad fue debido a Swedlow and Cruse [1]. Esto fue seguido por una implementación numérica por Riccardella [2]. Otra formulación para plasticidad basada en esfuerzos iniciales se debe a Banerjee y Mustoe [3] Mukherjee [4] ha estado trabajando en la aplicación del BEM para problemas no lineales dependientes del tiempo en deformaciones inelásticas. Otras aplicaciones del BEM incluyen la elástica y muy recientemente la mecánica de fractura inelástica Aliabadi [7] II. METODOLOGÍA Relaciones Básicas Para Plasticidad El esfuerzo equivalente o efectivo puede ser definido como:

3J 2 =

3 Sij Sij 2

Incrementando la carga una pequeña cantidad hay una deformación plástica adicional producida ∆ε ij y la p

deformación total es dada por

ε ij T = ε ij e + ε ij p + ∆ε ij p donde

ε ij e es la parte elástica de la deformación total con el incremento de carga, ε ij p

el incremento de carga y ∆ε ij

p

es la deformación plástica sin

es el incremento de deformación plástica producido por el incremento de carga.

Substituyendo la ley de Hooke en la componente de la deformación elástica, la deformación total modificada puede escribirse como

ε '=

1 ⎛ ν ⎞ σ kkδ ij ⎟ + ∆ε ij p ⎜ σ ij − 2G ⎝ 1 +ν ⎠

Las ecuaciones de Prandtl Reuss en términos de incrementos

p ∆ε ij y ∆λ puede ser modificado como

⎛ 1 ⎞ + 1⎟ ⎝ 2G∆λ ⎠

ε ' = ∆ε ij p ⎜

Es conveniente usar cantidades equivalentes para escribir la deformación total modificada en estos términos la cual es

ε 'eq =

2 e'ij e'ij 3

Una muy importante relación elastoplastica entre la deformación total y el incremento de la deformación plástica es:

∆ε ij p =

3Gε 'eq −σ eq,i −1 3G + H 'i −1

(1)

donde G es el modulo del cortante y H 'i −1 es el endurecimiento por deformación o modulo plástico calculado antes del incremento de carga. La ecuación (1) calcula el incremento de la deformación plástica para cada paso en el proceso incremental de la carga. La Ecuación Integral de Frontera Las condiciones de equilibrio que deberán ser satisfechas en el dominio, pueden ser representadas en términos de razones de cambio como sigue

σ& ij ,i + b j = 0

2

y sobre la frontera

t& − σ& ij n j = 0

donde b& j son las fuerzas de cuerpo y η j son las componentes de la normal hacia fuera de la frontera. Con las ecuaciones de equilibrio y la definición de tracción es posible obtener

∫Ω b&i u& j dΩ + ∫Γ t&i u& j dΓ − ∫Ω σ ij ε ij a b

b

a b

a

b

bg

b

dΩ b =

= ∫ b b&ia u& bj dΩ b + ∫ t&ibu& aj dΓ Ω

Γ

donde u&i , t&i , σ& ij yε&ij son las razones de cambio de los desplazamientos, tracciones, esfuerzos y deformaciones respectivamente, los cuales pertenecen al subdominio Ω encerrado en un dominio Ω . Esto lleva a la siguiente representación integral de desplazamientos en la frontera cuando la aproximación de deformación inicial para problemas elastoplasticos es usada Aliabadi [5]. b

a

cij u& i b + ∫ t ij a u j b dΓ = ∫ u ij a t j b dΓ + ∫ u ij a b j b dΩ b Γ

Γ

Ω

En una forma similar a la ecuación anterior, la ecuación integral de esfuerzos internos es expresada por

σ& ij = ∫ Dijk t&b j dΓ − ∫ S ijk u& j b dΓ + ∫ Σ ijk ε& jk bg dΩ + + f ij ε& jk bg Γ

Γ

Ω

Donde

Dij y Sij son los términos conteniendo la derivada de los desplazamientos y tracciones, f ij es el termino

libre y

Σ ij es la solución fundamental en el dominio.

Integración Numérica El dominio

Ω b es dividido en N c celdas como sigue Nc

Ω b = D Ω bn n =1

Los términos plásticos para los tensores de la razón de cambio de la deformación y el esfuerzo están dados, en cada celda

Ω b , por nc

ε&ijg = ∑ ΨL ε&ijgL L =1 Nc

σ& ijg = ∑ ΨLσ& ijgL L =1

donde nc es el número de nodos en la celda, N c es el número de celdas y ΨL son las funciones de forma. La expresión numérica para los desplazamientos en la frontera es N el ⎛ N el ⎛ N el ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ cu& + ∑ ⎜ ∫ TφdΓ ⎟u& n = ∑ ⎜ ∫ UφdΓ ⎟t&n + ∑ ⎜ ∫ σΨdΩε& g ,n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ n =1 ⎝ n =1 ⎝ Ω N ⎠ ⎠ ⎠

Los términos T, U y

σ

en esta ecuación, son submatrices conteniendo la solución fundamental y N el es el

numero de elementos de integración. Similarmente a la frontera la expresión discretizada para los esfuerzos en el dominio puede ser obtenida y se representa como 3

N el

N el

N el

( )

σ& ij = ∑ ∫ Dt&dΓ − ∑ ∫ Su&dΓ + ∑ ∫ ΣΨdΩε& g , n + f ij ε& g n =1

Γ

n =1

Γ

n =1

Ω

Las cantidades D, S y Σ son submatrices conteniendo la derivada de la solución fundamental. y son las funciones de forma correspondientes a los elementos de frontera y celdas respectivamente. III. RESULTADOS Ejemplos Numéricos Para resaltar la aplicabilidad en BEM de la formulación descrita anteriormente algunos problemas de comparación son analizados, los resultados han sido comparados con otras referencias y el método de elementos finitos. La Placa Perforada Una placa de aleación de aluminio perforada, como se muestra en la figura 1 es analizada. La frontera es discretizada con 26 elementos de frontera cuadráticos y el dominio con 18 celdas cuadráticas internas. Este problema ha sido analizado experimentalmente por Theocaris y Marketos [6], esta placa fue analizada con BEM y elementos finitos. El material es considerado con endurecimiento lineal y tiene las siguientes propiedades: modulo de Young E=7x109 (kg)/(m²), relación de Poisson ν = 0.2 , coeficiente de endurecimiento H′=224x106 ((kg)/(m²)), y el esfuerzo de cedencia σ y =243x106 (kg)/(m²), se utilizo el criterio de Von Mises para el análisis.

Figure 1. Geometría y condiciones de carga para una placa perforada. La figura 3 presenta los resultados para las deformaciones equivalentes (en cada paso de la carga), normalizadas con respecto al esfuerzo de cedencia, en la raíz de la placa (punto de esfuerzo máximo). Aquí E es el modulo de elasticidad y λ es el factor de carga. Se puede ver la convergencia de estas curvas para diferentes incrementos del factor de carga. La figura 4 muestra los resultados para la variación del esfuerzo promedio normalizado con el esfuerzo de cedencia, en la sección neta de la placa. En esta grafica r es el radio del hueco y x es la distancia a cada nodo en la sección neta. Los resultados son comparados a los obtenidos con elementos finitos y los experimentales obtenidos por Theocaris [6]. El Cilindro Grueso El segundo problema es un cilindro grueso el cual investiga la expansión de la deformación plana sujeta a presión interna. La geometría de un cuarto del cilindro es representada en la figura 2. Esta parte del cilindro es discretizada en 18 elementos de frontera cuadráticos y 24 celdas cuadriláteras cuadráticas. La placa tiene las siguientes características del material: radio interno a=0.05m, E=120Gpa., ν = 0.3 , H′=0,

σ y = 240Mpa. , k =

σy

3

Mpa. se aplico el criterio de cedencia de Von Mises.

La figura 5 muestra el comportamiento del desplazamiento para diferentes cargas en un nodo localizado en la superficie externa del cilindro. U(b) es el desplazamiento x para cada carga aplicada, a es el radio interno y p es la carga aplicada. Los desplazamientos de la superficie externa para el frente plástico a una distancia r'=1.6a fueron

4

calculados y ploteados contra la carga en esta figura. Después de aplicar presión interna la interfase elasto plástica es obtenida con BEM la cual comparada con el resultado de elementos finitos coinciden ampliamente, ver figura 6.

Figure 2. Geometría, malla y condiciones de frontera para un cuarto de cilindro bajo presión. 1.2

Factor de carga

1

0.8

0.6

0.4

BEM Experimental

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

εE / σ y Figure 3 Desarrollo de la deformación con el factor de carga.

1.4

BEM

1.2

FEM(ANSYS) Experimental

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Distancia al hueco (x/r)

Figure 4. Variación del esfuerzo en y para la sección neta de la placa. 5

1.4

p/k

1.2 1 0.8 0.6

BEM FEM(ANSYS)

0.4 0.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

2*G*U(b)/k*a

Figure 5 Desplazamiento en un punto b de la superficie exterior del cilindro

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

BEM FEM(Ansys)

0.3 0.2 0.1 0 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Distancia a lo largo de la base (x/radio)

Figure 6. Esfuerzo circunferencial en el cilindro presurizado para el frente plástico.

IV. CONCLUSIONES En este artículo un análisis elasto plástico en dos dimensiones ha sido obtenido aplicando el método de elementos de frontera BEM. Exitosas aplicaciones del BEM se reportan en este artículo. El BEM comparado con elementos finitos y las soluciones experimentales presenta resultados muy precisos lo cual hace de este método una herramienta muy prometedora para el análisis de problemas no lineales.

V. REFERENCIAS [1] Swedlow, J. L. and Cruse, T. A. Formulation of the boundary integral equation for three-dimensional elastoplastic flow, International Journal of Solids and Structures, 7, 1673-1681 (1971). [2] Riccardella, P. An Implementation of the Boundary Integral Technique for plane problems of Elasticity and Elastoplasticity, PhD Thesis, Carnegie Mellon University, Pitsburg, PA (1973). [3] Banerjee, P. K. and MUSTOE, G. C. W. The boundary element method for two-dimensional problems of elastoplasticity. Recent Advances in Boundary Element Methods, C. A.Brebbia(ed.), Pentech Press, Plymouth, Devon, UK, 283-300 (1978). 6

[4] Mukherjee, S. A. Boundary Element Methods in Creep and Fracture. Applied Science Publishers LTD, Barking Essex, England (1982). [5] Kumar, V. and Mukherjee, S. A boundary-integral equation formulation for time-dependent inelastic deformation in metals, International Journal of Mechanical Sciences, 19, 713-724 (1977). [6] Theocaris, P.S. and Marketos, E., Elastic-Plastic Analysis of Perforated Plates Thin Strips of a Strain-Hardening Material. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 12, 377-390, 1964. About This Shell. [7] Aliabadi, M.H. The Boundary Element Method. Applications in Solids and Structures. Vol. 2. John Wiley & Sons, Ltd, West Sussex, England (2002).

Lista de símbolos

dλ ∆ε e ∆ε p E H′ J2 nj S ij

Multiplicador Plástico Incremento de deformación elástica Incremento de deformación plástica Modulo de Young Parámetro de endurecimiento lineal Segunda invariante del Jacobiano normal Esfuerzos deviatoricos

x, z Puntos de campo para la frontera y dominio x′, X′ Puntos de campo para la frontera y dominio x₁ ,x₂ ,z Coordenadas cartesianas Delta de Kronecker δ ij

εp p ε eq

Deformación plástica

ε ε ε' φ

Deformación elástica Deformación total

e

Deformación plástica equivalente

Deformación total modificada Funciones de forma

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