El aprendizaje de la geometría en contexto con apoyo de prototipos didácticos, físicos y simulados en computadora

VI. RECURSOS MATEMÁTICOS Y NOCIONES TEÓRICAS

A continuación mostraremos algunos aspectos teóricos que son necesarios para la comprensión de los temas y desarrollo de las clases. Tangram. Es un juego chino muy antiguo, consistente en formar siluetas de figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Para formar las figuras deben usarse todas las piezas sin traslaparlas. Las 7 piezas llamadas Tans, que juntas forman un cuadrado, son las siguientes: •

5 triángulos de diferente tamaño

•

1 cuadrado

•

1 paralelogramo romboide

El Tangram se originó muy posiblemente a partir del juego de muebles Yanjitu durante la dinastía Song. Según los registros históricos chinos, estos muebles estaban formados originalmente por un juego de 6 mesas rectangulares. Más adelante se agregó una mesa triangular y las personas podían acomodar las mesas de manera que formaran una gran mesa cuadrada. Hay otra variación del Tangram más adelante durante la dinastía Ming y un poco más tarde es cuando se convierte en un juego. Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños, pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

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Figura 5. Tangram

Figura 6. Una típica figura realizada con el tangram

Teselación: Es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana, que cumple con dos requisitos los cuales son que no queden huecos y no se superpongan o traslapen las figuras. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

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Figura 7. Teselación vista en el pavimento de una calle

Figura 8. Teselación hexagonal de un piso

Teselaciones regulares. Son aquellas que cubren completamente una superficie plana con un solo tipo de polígono regular. Esta condición sólo la cumplen: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono, debido a que la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios.

Figura 9. Triángulos equiláteros

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Figura 10. Cuadrados

Figura 11. Hexágonos Teselaciones semiregulares. Son aquellas que contienen 2 o más tipos de polígonos regulares en su formación. Una teselación semi-regular tiene las siguientes propiedades: 1. Está formada sólo por polígonos regulares. 2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. 3. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares.

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Figura 12. Teselaciones con figuras semiregulares Teselaciones demiregulares. Estos teselados al igual que los anteriores cubren toda una superficie con dos o más tipos de polígonos regulares, sin que se sobrepongan y sin dejar espacios. La diferencia es que la distribución de polígonos no es la misma para todos los vértices, esta se repite periódicamente.

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Teselaciones irregulares. Son aquellas que están construidas a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. En estas teselaciones la distribución de polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo completo.

Triángulos: Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.

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Cuadriláteros: Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero. Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible.

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Figura 13. Teselación de El Cairo La figura 13 aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre. El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131.5° y dos ángulos de 114.25°. Así como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Figura 14. Polígonos cóncavos

Polígono: Es una figura geométrica plana (cerrada) limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de seis lados.

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Relación de polígonos respecto a su número de lados Nombre del polígono

Número de lados

Nombre del polígono

Número de lados

no existe

1

hexadecágono

16

no existe

2

heptadecágono

17

triángulo

3

octodecágono

18

cuadrilátero

4

eneadecágono

19

pentágono

5

icoságono

20

hexágono

6

triacontágono

30

heptágono

7

tetracontágono

40

octágono

8

pentacontágono

50

eneágono

9

hexacontágono

60

decágono

10

heptacontágono

70

undecágono

11

octacontágono

80

dodecágono

12

eneacontágono

90

tridecágono

13

hectágono

100

tetradecágono

14

megágono

106

pentadecágono

15

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Polígonos regulares: Son polígonos que se caracterizan porque las medidas de sus lados son iguales (equilátero) y la medida de sus ángulos también son iguales (equiángulo).

Figura 15. Polígonos regulares Polígonos irregulares: Son polígonos en los cuales no todos sus lados o ángulos son iguales. Estos polígonos de acuerdo al número de lados se muestra a continuación.

Figura 16. Polígonos irregulares