´ Algebra Lineal Formas cuadr´ aticas

Jos´e Antonio Abia Vian Dpto. de Matem´ atica Aplicada a la T´ ecnica.

E.U.P. — Universidad de Valladolid

Septiembre de 1997

Cap´ıtulo 1 Formas cuadr´ aticas. Aunque, pueda parecernos que vamos a estudiar un nuevo concepto, un caso particular de las formas cudr´aticas ya ha sido estudiado, pues la norma de un vector no es m´as que una forma cuadr´atica. Aqu´ı, las veremos de forma general. Definici´ on 1.- Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita n, y sea B una base V . Se denomina forma cuadr´ atica sobre V a toda “funci´on polin´omica” Q: V −→ IR de la forma n Q(x) = 

X

aij xi xj

i,j=1



x1  .   donde [x]B =  atica es un polinomio ho ..  y aij ∈ IR. Es decir, una forma cuadr´ xn mog´eneo de segundo grado y n variables. Expresi´ on matricial. Toda forma cuadr´atica Q sobre V , se puede expresar matricialmente como: 

a11 a12  n ³ ´ X  a21 a22 Q(x) = aij xi xj = x1 x2 · · · xn  ..  ..  . . i,j=1 an1 an2





· · · a1n x1  · · · a2n   x2     ..  ..   ..  . . .  .  · · · ann xn

De hecho, tenemos el siguiente resultado Teorema 2.- Toda forma cuadr´atica Q sobre V , se puede expresar matricialmente como Q(x) = [x]tB A[x]B donde A es una matriz sim´etrica. Demostraci´on: Si en la expresi´on de la forma cuadr´atica, Q(x) =

n X

aij xi xj , consideramos los pares

i,j=1

de sumandos de la forma aij xi xj y aji xj xi , se tiene que aij xi xj + aji xj xi = (aij + aji )xi xj = ´ Algebra Lineal.

aij + aji aij + aji xi xj + xj xi 2 2 1

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1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica.

Por lo que la expresi´on matricial de Q, es tambi´en 

Q(x) =

³

.. .

a22 .. .

··· ··· .. .

a1n +an1 2 a2n +an2 2

a1n +an1 2

a2n +an2 2

···

ann

a11

a +a ´  12 21

x1 x2 · · · xn   

2

a12 +a21 2

.. .



x1    x2  .  .  .

    = [x]t A[x]B , B  

xn

siendo A una matriz sim´etrica. La matriz sim´etrica A, se denomina matriz asociada a la forma cuadr´atica Q en la base B. Veamos como afecta, el cambio de base, a la matriz de una forma cuadr´atica. Cambio de base. Sea B 0 base de V distinta de B, si P es la matriz de paso de B 0 a B, PB 0 →B , se cumple que [x]B = P [x]B 0 para todo x de V , luego, sustituyendo en Q, tenemos que Q(x) = [x]tB A[x]B = (P [x]B 0 )t A(P [x]B 0 ) = [x]tB 0 (P t AP )[x]B 0 con lo cual, la nueva matriz asociada a la forma cuadr´atica Q en la base B 0 , y que denominaremos A0 , viene dada por A0 = P t AP –que es tambi´en sim´etrica–. Definici´ on 3.- Dos matrices sim´etricas se dice que son congruentes cuando son matrices asociadas a la misma forma cuadr´atica en distintas bases. Es decir, A y A0 sim´etricas son congruentes, si existe P inversible tal que A0 = P t AP .

1.1

Diagonalizaci´ on de una forma cuadr´ atica.

Puesto que la matriz asociada a una forma cuadr´atica es sim´etrica, y una matriz sim´etrica es diagonalizable ortogonalmente, veamos que siempre podemos obtener una matriz congruente con la inicial que sea diagonal.

1.1.1

Diagonalizaci´ on ortogonal.

Sea B una base de V y Q(x) = [x]tB A[x]B la expresi´on matricial de una forma cuadr´atica sobre V . Puesto que A es sim´etrica admite diagonalizaci´on ortogonal, es decir, A es semejante a una matriz diagonal D, luego existe una base B 0 tal que la matriz PB 0 →B es ortogonal y D = P −1 AP . Ahora bi´en, como P es ortogonal, P −1 = P t , y se tiene que D = P −1 AP = P t AP, es decir, que D y A son congruentes. ´ Algebra Lineal.

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1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica.

En la nueva base, B 0 , la forma cuadr´atica puede expresarse como una suma de cuadrados, pues Q(x) = [x]tB 0 (P t AP )[x]B 0 = [x]tB 0 D[x]B 0 = λ1 y12 + . . . + λn yn2 , 

donde [x]B 0



y1  .   =  ..   y λ1 , . . . , λn son los valores caracter´ısticos de la matriz A. yn

Ejemplo.- 4.- Reducir a suma de cuadrados la forma cuadr´atica Q(x) = xy + yz. Soluci´ on:   0 12 0 1 1  La matriz asociada a Q es A =   2 0 2 . 0 12 0 Los valores caracter´ısticos de A son las raices del polinomio caracter´ıstico ¯ ¯ ¯ λ −1 0 ¯ ¯ ¯ 2 1 1 1 1 ¯ ¯ |λI − A| = ¯¯ − 12 λ − 12 ¯¯ = λ3 − λ = (λ2 − )λ = (λ − √ )(λ + √ )λ, 2 2 2 2 ¯ 0 −1 λ ¯ 2



√1 2



0 0   −1 1 −1  es decir, √2 , √2 y 0. Luego A es congruente con la matriz diagonal D =  0 √2 0  , y 0 0 0 existir´a, por tanto, una base en la cual Q(x) se expresa de la forma 1 1 √ x2 − √ y 2 . 2 2

1.1.2

Completar cuadrados.

La diagonalizaci´on ortogonal, propuesta para hallar una matriz asociada a la forma cuadr´atica que sea diagonal, es en ocasiones dificil de llevar a cabo pues supone encontrar las raices de un polinomio, lo que no siempre es posible. Para solventar este problema daremos otros dos m´etodos de encontrar una matriz diagonal. El primero de ellos, que veremos a continuaci´on, se basa en realizar operaciones con la expresi´on de Q intentando conseguir que dicha expresi´on quede como una suma de cuadrados. Este m´etodo, debido a Gauss, para reducir a suma de cuadrados una forma cuadr´atica sin necesidad de la diagonalizaci´on ortogonal, consiste en completar cuadrados, es decir, en reunir todos los t´erminos en cuadrados. Para ello se sigue el siguiente proceso 1. En el caso de que la forma cuadr´atica tenga alg´ un t´ermino cuadrado, o sea, de la forma ai x2i , se reunen con ´este todos los dem´as t´erminos donde aparezca xi y se completa el cuadrado –a˜ nadiendo t´erminos en las otras variables si es necesario–. Se repite el proceso con las otras variables, hasta que todos los t´erminos sean cuadrados o no haya ning´ un otro t´ermino cuadrado.

´ Algebra Lineal.

3

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1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica.

2. Si no hay ning´ un t´ermino cuadrado, existir´a un t´ermino de la forma aij xi xj , y entonces puede efectuarse el siguiente tipo de cambio de variable:  x 1 = u1     .. ..    . .      x = ui + uj   i

..

..

. .     x j = ui − uj     .. ..    . .    x n = un

que convierte el producto xi xj en los t´erminos cuadrados u2i − u2j , recayendo as´ı en el caso anterior. La matriz del cambio de base se obtiene deshaciendo los cambios realizados. Esto u ´ltimo se aclara perfectamente en ejemplo siguiente, a la vez que se ilustra el m´etodo. Ejemplo.- 5.- Reducir a suma de cuadrados las siguentes formas cuadr´aticas 1. Q(x) = x2 + 2xy + 2y 2 + 4yz + 5z 2 . Soluci´on:



1 1  La matriz asociada a Q es, A =  1 2 0 2 no son sencillos de obtener por tanto de Gauss.



0 2 , los valores caracter´ısticos de esta matriz 5 usaremos el m´etodo de completar cuadrados

Q(x) = (x2 + 2xy + y 2 ) + y 2 + 4yz + 5z 2 = (x + y)2 + y 2 + 4yz + 5z 2 = x2∗ + (y 2 + 4yz + 4z 2 ) + z 2 = x2∗ + (y + 2z)2 + z 2 = x2∗ + y∗2 + z∗2 ,    x∗ = x + y

donde  y∗ = y + 2z  z∗ = z. La matriz de cambio de base, P , que hemos realizado debe llevar las coordenadas del vector en la nueva base en  en la base inicial, es decir,  del vector  las coordenadas   x x∗  x∗ = x + y     con la notaci´on usada aqu´ı,  y  = P  y∗ . Como y∗ = y + 2z , tenemos que   z∗ z∗ = z z 













x 1 1 0 x x∗       −1   y∗  =  0 1 2   y  = P  y  . z z∗ 0 0 1 z 

−1

1 1 0   Luego P =  0 1 2  0 0 1 ´ Algebra Lineal.





1 −1 2   =  0 1 −2 . 0 0 1 4

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1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica.

2. Q(x) = xy + yz. Soluci´on: Como Q no tiene ning´ un t´ermino cuadrado, efectuamos el cambio

   x=u+v  

y =u−v , z=w

con lo que Q(x) = (u + v)(u − v) + (u − v)w = u2 − v 2 + uw − vw w w2 w w2 w w = (u + )2 − − (u + )2 + + = (u + )2 − (v + )2 = x2∗ − y∗2 , 2 4 2 4 2 2 donde, x∗ = u + w2 , y∗ = v +

w 2

y z∗ = w.

 x+y z w   x∗ = u + 2 = 2 + 2

 1 1 2 2 1 1 + z2 , luego P =  Adem´as, es y∗ = v + w2 = x−y  2 −2 2  

z∗ = w = z

1 2 1 2

−1  

.

0 0 1

Nota: El m´etodo de completar cuadrados y el m´etodo que veremos a continuaci´on, al igual que lo hace el m´etodo de diagonalizaci´on ortogonal, buscan matrices congruentes diagonales, es decir, tales que existe P inversible tal que D = P t AP . Sin embargo, mientras que en el caso de la diagonalizaci´on ortogonal, la conguencia de las matrices se obtiene mediante la semejanza, es decir, D = P −1 AP , que a la postre resulta ser D = P t AP por ser P ortogonal, en los otros dos m´etodos no sucede as´ı y en general P t 6= P −1 , es decir, P no ser´ a ortogonal, (como puede verse en el doble ejemplo 5 anterior y en el ejemplo 7 que haremos posteriormente).

1.1.3

Diagonalizaci´ on mediante operaciones elementales.

El segundo m´etodo a que haciamos referencia en el apartado anterior, y que veremos ahora, trata de encontrar una matriz diagonal que sea congruente con la inicial, haciendo operaciones elementales sobre la matriz. Es decir, vamos a demostrar aqu´ı que si A es la matriz asociada a una forma cuadr´atica Q, mediante operaciones elementales en las filas y en las columnas de A podemos llegar a la obtenci´on de una matriz diagonal D, congruente con A. Adem´as encontraremos un m´etodo pr´actico para obtener, simult´aneamente, D y P , la matriz del cambio de base. No es dif´ıcil probar los siguientes resultados: 1. Sea A una matriz n × n y Af (resp. Ac ) la matriz que se obtiene al efectuar una sola operaci´on elemental en las filas (resp. columnas) de A. Sea Ef (resp. Ec ) la matriz que resulta de efectuar la misma operaci´on elemental en las filas (resp. columnas) de la identidad n × n. Entonces Af = Ef A

(resp. Ac = AEc ).

2. Si Ef y Ec son, respectivamente, las matrices elementales obtenidas al efectuar la misma operaci´on elemental en las filas y en las columnas de la matriz identidad, entonces Ef = Ect . ´ Algebra Lineal.

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1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica.

Por tanto si realizamos en una matriz sim´etrica A una operaci´on elemental en sus filas y la misma operaci´on elemental en sus columnas para obtener Af c , la matriz as´ı obtenida es congruente con A y sim´etrica. En efecto: Af c = Af Ec = Ef AEc = Ect AEc , luego Af c es sim´etrica por serlo A. Como Ef = Ect es una matriz elemental, es inversible, y por tanto A y Af c son congruentes. Teorema 6.- Para cualquier matriz sim´etrica A, existe una sucesi´on finita de operaciones elementales, tales que la matriz obtenida a partir de A, D, efectuando cada operaci´on elemental primero en las filas y a continuaci´on la misma en las columnas, es diagonal y congruente con A. Demostraci´on: Mediante un n´ umero finito de operaciones elementales sobre las filas de A podemos obtener una matriz triangular superior, luego si en cada paso vamos realizando las mismas operaciones elementales sobre las columnas de A, por ser A sim´etrica, llegaremos a una matriz diagonal D. Esto es: A → A(f c)1 ⇒ A(f c)1 A(f c)1 → A(f c)2 ⇒ A(f c)2 .. .

= Ect1 AEc1 = Ect2 A(f c)1 Ec2 .. .

A(f c)k−1 → A(f c)k ⇒ A(f c)k = Ectk A(f c)k−1 Eck = D Por lo tanto, tenemos que D = A(f c)k = Ectk · · · Ect1 AEc1 · · · Eck = (Ec1 · · · Eck )t A(Ec1 · · · Eck ) = P t AP y como las matrices elementales son inversibles, P es una matriz inversible, por lo que A y D son congruentes. Podemos utilizar el siguiente procedimiento para diagonalizar la matriz A y obtener la matriz del cambio de base simult´aneamente. M´ etodo pr´ actico. Se sit´ ua a la derecha de A la matriz I del mismo orden que A, (A|I) y efectuamos en A las mismas operaciones elementales en sus filas y en sus columnas y en la matriz identidad s´olo en sus columnas, al cabo de un n´ umero finito de pasos obtendremos (D|P ). Ejemplo.- 7.- Se considera Q(x) = 2x2 + 2xy + 2yz + 3z 2 una forma cuadr´atica sobre IR3 , reducir Q a suma de cuadrados y hallar la matriz del cambio de base. Soluci´ on:   2 1 0   La matriz asociada a Q en la base can´onica es A =  1 0 1  , si x = (x, y, z). 0 1 3

´ Algebra Lineal.

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1.2 Rango y signatura de una forma cuadr´atica.

Hagamos el proceso de (A|I) → (D|P ), detallando inicialmente los pasos dados en cada operaci´on, para despu´es globalizarlos. 







2 1 0 |1 0 0 2 1 0 |1 0 0 n o     1 A A (A|I) =  1 0 1 |0 1 0  → F2 − 2 F1 →  0 − 12 1 |0 1 0  0 1 3 |0 0 1 0 1 3 |0 0 1 (operaci´on elemental para las filas de A) 







2 1 0 |1 0 0 2 0 0 |1 0 0 n o     1 A 1 A C2 − 2 C1 →  0 − 12 1 |0 1 0   0 − 2 1 |0 1 0  → 0 1 3 |0 0 1 0 1 3 |0 0 1 (la misma operaci´on elemental para las columnas de A) 







2 0 0 |1 − 12 0 2 0 0 |1 0 0 n o    1 1 C2I − 12 C1I →   0 − 2 1 |0 1 0   0 − 2 1 |0 1 0  → 0 1 3 |0 0 1 0 1 3 |0 0 1 (la misma operaci´on elemental para las columnas de I.) 





A A  2 0 0 |1 − 12 0  F3 + 2F2   1 A C3 + 2C2A  0 − 2 1 |0 1 0  →   0 1 3 |0 0 1 C3I + 2C2I

  





2 0 0 |1 − 12 −1   →  0 − 12 0 |0 1 2  = (D|P )   0 0 5 |0 0 1 



2 0 0   Hemos obtenido as´ı la matriz diagonal, D =  0 − 12 0 , y la matriz de transici´on de la 0 0 5   1 − 12 −1   base B 0 = {(1, 0, 0), (− 12 , 1, 0), (−1, 2, 1)} a la can´onica, P =  0 1 2 , verific´andose 0 0 1 que P t AP = D.   x∗   Por tanto, si [x]B 0 =  y∗ , se tiene que Q(x) = 2x2∗ − 21 y∗2 + 5z∗2 . z∗

1.2

Rango y signatura de una forma cuadr´ atica.

Hemos visto distintos m´etodos de encontrar matrices diagonales asociadas a una forma cuadr´atica, por lo que existir´an tambi´en distintas matrices diagonales (en los ejemplos 4 y 5, hemos encontrado matrices diagonales distintas para la misma forma cuadr´atica). Sin embargo, todas ellas tienen algunas cosas en com´ un: tienen el mismo n´ umero de elementos distintos de cero en la diagonal (el mismo rango) y tienen el mismo n´ umero de elementos positivos y de elementos negativos en la diagonal (la misma signatura). En este cap´ıtulo veremos como estos valores permanecen invariantes para cualquier diagonalizaci´on que hagamos, lo que nos permitir´a, posteriormente, dar una clasificaci´on de las formas cuadr´aticas. ´ Algebra Lineal.

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1.2 Rango y signatura de una forma cuadr´atica.

Teorema 8.- Dos matrices congruentes tienen el mismo rango. Demostraci´on: Veamos, previamente, el siguiente resultado Lema 9.- Si Am×n y Bn×p son dos matrices, entonces rg(AB) ≤ min(rg(A), rg(B)). Demostraci´on: Las columnas de AB est´an en el espacio de las columnas de A, pues si cj es la columna j-´esima de AB, entonces 















b1j a11 b1j + . . . + a1n bnj a11 a1n  .     .   .  .    = b1j  .  + . . . + bnj  .  .. cj = A   ..  =    .   .  bnj am1 b1j + . . . + amn bnj am1 amn luego cj est´a en el espacio de las columnas de A, para todo j, por ser combinaci´on lineal de dichas columnas. Como el rango de una matriz es la dimensi´on del espacio de las filas o de las columnas de la matriz, se tiene que la dimensi´on del espacio de las columnas de AB es menor o igual que la dimensi´on del espacio de las columnas de A, es decir rg(AB) ≤ rg(A). An´alogamente se demuestra que las filas de AB est´an en el espacio de las filas de B, con lo cual rg(AB) ≤ rg(B) Por tanto, rg(AB) ≤ min{rg(A), rg(B)}

Completemos ahora la prueba del teorema: Sean, ahora, A y B dos matrices congruentes de orden n. Existir´a una matriz P inversible tal que P t AP = B, luego, aplicando el Lema anterior reiteradamente, se tiene que rg(B) ≤ min{rg(P t ), rg(AP )} = min{n, rg(AP )} = rg(AP ) ≤ min{rg(A), rg(P )} = min{rg(A), n} = rg(A) (al ser P inversible es rg(P t ) = rg(P ) = n, y al ser AP y A matrices de orden n se tiene que rg(AP ) ≤ n y rg(A) ≤ n). Reciprocamente, si tomamos Q = P −1 se tiene que A = Qt BQ y de forma an´aloga a lo realizado en el caso anterior se obtiene que rg(A) ≤ rg(B) Por tanto rg(A) = rg(B). ´ Algebra Lineal.

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1.2 Rango y signatura de una forma cuadr´atica.

Definici´ on 10.- Llamaremos rango de una forma cuadr´atica, al rango de cualquier matriz sim´etrica asociada en una base a la forma cuadr´atica. Observaci´on: Del teorema anterior, se deduce entonces que dos cualesquiera matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadr´atica tienen el mismo n´ umero de elementos en la diagonal distintos de cero, –pues este n´ umero es el rango de la matriz diagonal–. Teorema de Sylvester o Ley de inercia 11.- Si una forma cuadr´atica se reduce a la suma de cuadrados en dos bases diferentes, el n´ umero de t´erminos que aparecen con coeficientes positivos, as´ı como el n´ umero de t´erminos con coeficientes negativos es el mismo en ambos casos. Demostraci´on: Supongamos que respecto a una base B = {b1 , b2 , . . . , bn } la expresi´on de la forma cuadr´atica es Q(x) = a1 x21 + · · · + ap x2p − ap+1 x2p+1 − · · · − ap+p0 x2p+p0 , con ai > 0 para todo i, y x = x1 b1 + · · · + xp bp + · · · + xp+p0 bp+p0 + · · · + xn bn , esto es, la matriz diagonal asociada ser´a           D=         

a1

                   

... ap −ap+1

... −ap+p0 0

..

. 0

y que respecto a la otra base B 0 = {b01 , . . . , b0n } se tiene 2 Q(x) = c1 y12 + · · · + cq yq2 − cq+1 − · · · − cq+q0 yq+q 0,

con cj > 0, para todo j, y x = y1 b01 + · · · + yq0 bq0 + · · · + yq+q0 + · · · + yn b0 n , siendo entonces su matriz asociada           D0 =          

c1



..

                  

. cq −cq+1

..

. −cq+q0 0

... 0

´ Algebra Lineal.

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1.3 Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas.

Por el teorema 8 anterior, sabemos que rg(D) = rg(D0 ), luego p + p0 = q + q 0 . Veamos que p = q, con lo que tendremos tambi´en que p0 = q 0 . Supongamos que p > q y consideremos los subespacios vectoriales S = lin {b1 , . . . , bp } y T = lin {b0 q+1 , . . . , b0 n }. Si p > q, el valor dim(S) + dim(T ) = p + (n − q) > n y por lo tanto dim(S ∩ T ) > 0. Sea entonces x ∈ S ∩ T distinto del vector 0. Por ser de S, se tiene que x puede escribirse de la forma x = x1 b 1 + · · · + xp b p y el valor de la forma cuadr´atica ser´a Q(x) = a1 x21 + . . . + ap x2p > 0

pues x 6= 0.

Por ser de T , puede escribirse en la forma x = yq+1 b0 q+1 + . . . + yn b0 n0 , y el valor de Q(x) es entonces 2 2 Q(x) = −cq+1 yq+1 − . . . − cq+q0 yq+q 0 ≤ 0

lo que es una contradicci´on, luego necesariamente p ≤ q. Reciprocamente, se obtendr´ıa que q ≤ p, luego p = q. Definici´ on 12.- Sea Q una forma cuadr´atica y D una matriz diagonal asociada a la forma cuadr´atica en una base. Se define como signatura de Q al par Sig(Q) = (p, q) donde p es el n´ umero de elementos positivos de la diagonal de D y q es el n´ umero de elementos negativos de la misma.

1.3

Clasificaci´ on de las formas cuadr´ aticas.

Definici´ on 13.- Se dice que una forma cuadr´atica Q es a) Nula si y s´olo si Q(x) = 0 para todo x. b) Definida positiva si y s´olo si Q(x) > 0, para todo x no nulo. c) Semidefinida positiva si y s´olo si Q(x) ≥ 0, para todo x y Q no es nula ni definida positiva. d) Definida negativa si y s´olo si Q(x) < 0, para todo x no nulo. e) Semidefinida negativa si y s´olo si Q(x) ≤ 0, para todo x y Q no es nula ni definida negativa. f) Indefinida si y s´olo si Q(x) alcanza tanto valores positivos como negativos, es decir, si ∃x1 6= 0 tal que Q(x1 ) > 0 y ∃x2 6= 0 tal que Q(x2 ) < 0 Para las formas cuadr´aticas sobre IR2 , podemos dar una representaci´on de ellas usando superficies en IR3 , es decir, asignando a z el valor de la forma cuadr´atica en el punto (x, y). Con estas premisas, hemos realizado la siguiente figura. ´ Algebra Lineal.

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1.3 Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas.

Fig. 1.1: Gr´aficas de las formas cudr´aticas de IR2 : definida positiva, definida negativa, indefinida, semidefinida positiva, semidefinida negativa y nula

Teorema de clasificaci´ on 14.- Sea Q una forma cuadr´atica en un espacio vectorial de dimensi´on n. Se verifica: a) Q es nula ⇔ Sig(Q) = (0, 0) b) Q es definida positiva ⇔ Sig(Q) = (n, 0). c) Q es semidefinida positiva ⇔ Sig(Q) = (p, 0) con 0 < p < n. d) Q es definida negativa ⇔ Sig(Q) = (0, n). e) Q es semidefinida negativa ⇔ Sig(Q) = (0, q) con 0 < q < n. f) Q es indefinida ⇔ Sig(Q) = (p, q) con 0 < p, q. Demostraci´on: Sea B = {v 1 , . . . , v n } una base en la cual, la expresi´on de Q es de la forma 



Q(x) = d1 x21 + d2 x22 + · · · + dn x2n

x1  .   donde [x]B =  as, en dicha base se tiene que  .. . Adem´ xn 



1   0  [v 1 ]B =   ..  ,  .  0 ´ Algebra Lineal.



···,



0   0  [v n ]B =   ..  .  .  1 11

1.3 Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas.

m at

y, por tanto, que Q(v i ) = di , para todo i = 1, . . . , n. Entonces: a) Si Q(x) = 0, para todo x, se tiene que di = Q(v i ) = 0, para todo i, luego Sig(Q) = (0, 0). Reciprocamente, si di = 0 para todo i, entonces Q(x) = 0 para todo x. b) Si Q(x) > 0 para todo x 6= 0, se tiene que di = (v i ) > 0, para todo i, luego Sig(Q) = (n, 0). Rec´ıprocamente, si di > 0 para todo i, entonces Q(x) > 0 para todo x 6= 0. c) Si Q(x) ≥ 0 para todo x 6= 0, es di = Q(v i ) ≥ 0 para todo i. Como no es nula existe alg´ un dj > 0 y como no es definida positiva existe alg´ un dk = 0, luego Sig(Q) = (p, 0) con 0 < p < n. Rec´ıprocamente, si di ≥ 0 para todo i, con alg´ un dj > 0 y alg´ un dk = 0, se tiene que Q(x) ≥ 0 para todo x, que Q(v j ) = dj > 0, por lo que no es nula, y que Q(v k ) = dk = 0, por lo que no es definida positiva. d) An´alogo al caso definida positiva. e) An´alogo al caso semidefinida positiva. f) Por ser indefinida, Q(x) 6≥ 0 para todo x, luego di 6≥ 0 para todo i, por lo que existir´a un dj < 0 y Q(x) 6≤ 0 para todo x, luego di 6≤ 0 para todo i por lo que existir´a un dk > 0. En consecuencia, Sig(Q) = (p, q) con p, q > 0. Rec´ıprocamente, si existe dj < 0 y dk > 0, ser´an Q(v j ) = dj < 0 y Q(v k ) = dk > 0, luego es indefinida. Para finalizar –y aunque puede obtenerse sin mucho coste la matriz diagonal– damos, sin demostraci´on, dos teoremas que pueden ser u ´tiles por su versi´on pr´actica. El primero de ellos engloba varios resultados para clasificar una forma cuadr´atica usando la matriz inicial y el segundo, el Teorema de Descartes, para conocer la signatura sin encontrar la raices del polinomio caracter´ıstico. Teorema 15.- Sea Q una forma cuadr´atica y A su matriz asociada. Sea ∆k el k-´esimo menor principal de A, con 1 ≤ k ≤ n. Entonces: a) Q es definida positiva si, y s´olo si, ∆k > 0, para 1 ≤ k ≤ n. b) Q es definida negativa si, y s´olo si, (−1)k ∆k > 0, para 1 ≤ k ≤ n. c) Si ∆n = det(A) 6= 0 y no se est´a en alguno de los casos anteriores, entonces Q es indefinida. d) Si existe i tal que aii ≤ 0 (resp. aii ≥ 0 ), entonces Q no es definida positiva (resp. no es definida negativa). e) Si existen i y j, con i 6= j, tales que aii = 0 y aij 6= 0, entonces Q es indefinida.

´ Algebra Lineal.

12

m at

1.3 Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas.

Teorema de Descartes 16.- Sea a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 + an X n un polinomio de grado n con coeficientes reales, con an 6= 0 y a0 = 6 0, del que se sabe que tiene todas sus raices reales. Si en la sucesi´on de t´erminos a0

− a1

a2

···

(−1)n−1 an−1

(−1)n an

consideramos en cada lugar de la sucesi´on en signo del t´ermino correspondiente –si alg´ un t´ermino es 0 se elige signo + o − indistintamente–, obtenemos una sucesi´on de signos. Entonces, llamando p al n´ umero se permanencias de signo en la sucesi´on, v al n´ umero de variaciones de signo en la sucesi´on, n+ al n´ umero de raices positivas y n− al n´ umero de raices negativas del polinomio, se tiene que p − v = n+ − n− . En consecuencia, como n+ + n− = n, los valores n+ y n− son las soluciones del sistema (

´ Algebra Lineal.

n+ − n− = p − v n+ + n− = n

(

=⇒

n+ = n− =

n+(p−v) 2 n−(p−v) 2

.

13

Cap´ıtulo 2 C´ onicas en IR2. Una de las aplicaciones de las formas cuadr´aticas, se da en el estudio de las c´onicas y cu´adricas, de las que nos ocuparemos en estos dos Cap´ıtulos.

2.1

Introducci´ on.

Algunas c´onicas como la elipse, la hip´erbola y la par´abola son ya conocidas, reconocemos su gr´afica

Fig. 2.1: Elipse, hip´erbola y par´abola.

y las expresiones anal´ıticas de las ecuaciones que las generan x2 y 2 + 2 =1 a2 b x2 y 2 − 2 = ±1 a2 b x2 = 2py

´o

b2 x2 + a2 y 2 − a2 b2 = 0

´o

b2 x2 − a2 y 2 ± a2 b2 = 0

´o

x2 − 2py = 0

Sin embargo, en el caso de la ecuaci´on el reconocimiento se limita a las elipses e hip´erbolas centradas en (0, 0) o las par´abolas que tienen en (0, 0) su v´ertice –como es el caso de las ecuaciones expuestas arriba–, o pocas variaciones respecto a estos casos. En este cap´ıtulo, haremos un estudio general de las c´onicas que nos permita reconocerlas aunque en principio la ecuaci´on no sea similar a una de las anteriores. De hecho, y aunque las propiedades geom´etricas de las c´onicas mencionadas anteriormente hacen que ´ Algebra Lineal.

14

m at

2.1 Introducci´on.

estos tres tipos de c´onicas sean los m´as interesantes, el estudio que haremos ser´a bastante completo. Definici´ on 17.Dado un punto P par (x, y) tal que

Sea O un punto de IR2 y B = {e1 , e2 } una base ortonormal del mismo. ∈ IR2 , llamaremos coordenadas de P en la referencia R = {O; e1 , e2 }, al −→ OP = xe1 + ye2 . El punto O decimos que es el origen de coordenadas.

Definici´ on 18.- Se define c´ onica en IR2 como el lugar geom´etrico de los puntos P , cuyas coordenadas (x, y) verifican una ecuaci´on de la forma: a00 + 2a01 x + 2a02 y + a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 = 0

h2.1i

donde a11 , a12 , y a22 no son simult´aneamente nulos. En la ecuaci´on anterior podemos distinguir tres partes. a) El t´ermino independiente, a00 . b) Una forma lineal, 2a01 x + 2a02 y. c) Una forma cuadr´atica, a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 . Ecuaci´ on matricial. A tenor de las tres partes comentadas, la ecuaci´on h2.1i anterior puede expresarse en forma matricial de la forma ³

0 = a00 + 2 a01 a02 Ã

= a00 + 2AL

x y

!

´

Ã

x y

³

!

³

+ x y ´

+ x y AC

Ã

´

x y

Ã

!

a11 a12 a12 a22

!Ã

x y

!

h2.2i

Si bien es cierto que un punto en IR2 tiene unicamente dos coordenadas, usando de un peque˜ no truquito puede escribirse matricialmente con la expresi´on m´as sencilla 

0=

³









a00 a01 a02 1 1 ³ ´     ft AX, f 1 x y   a01 a11 a12   x  = 1 x y A  x  = X a02 a12 a22 y y ´

h2.3i

Las dos expresiones matriciales son u ´tiles para el estudio de las conicas. Usando la expresi´on h2.3i se compone un cuadro de la clasificaci´on de las c´onicas mediante invariantes, que mostramos al final del cap´ıtulo, y operando sobre la ecuaci´on h2.2i obtendremos la ecuaci´on reducida de la c´onica que nos permita identificarla. En el estudio siguiente realizaremos este u ´ltimo proceso.

´ Algebra Lineal.

15

m at

2.2 Ecuaci´on reducida de una c´onica.

2.2 2.2.1

Ecuaci´ on reducida de una c´ onica. C´ alculo de la ecuaci´ on reducida.

Diagonalizaci´ on de AC . En la ecuaci´on general de la c´onica Ã

a00 + 2AL

x y

!

³

´

Ã

+ x y AC

x y

!

=0

vemos que AC es la matriz asociada a una forma cuadr´atica, luego puede obtenerse una matriz diagonal congruente con ella obtenida diagonalizando ortogonalmente. Es à ! à ! à decir, ! λ 0 x x 1 ∗ t existe PB 0 →B inversible tal que P AP = D = , donde P = y 0 λ2 y∗ y P −1 = P t . Por tanto, la ecuaci´on queda Ã

0 = a00 + 2AL P Ã

= a00 + 2AL P Llamando AL P = BL =

³

b01 b02

´

x∗ y∗ x∗ y∗

!

³

´

³

´

Ã

+ x∗ y∗ P t AP !

+ x∗ y ∗ D

Ã

x∗ y∗

x∗ y∗

!

!

y usando la expresi´on de D nos queda

0 = a00 + 2b01 x∗ + 2b02 y∗ + λ1 x2∗ + λ2 y∗2 .

h2.4i

Observaci´ on.- 19.- La matriz P ortogonal obtenida en la diagonalizaci´on representa un cambio de base ortogonal y, por tanto, si en la elecci´on de P exigimos adem´as que det(P ) = 1 (±1 son las u ´nicas posibilidades para una matriz ortogonal) el cambio de base nos representar´a un giro de los ejes en el plano. Es decir, los vectores de la nueva base aparecer´an girados un cierto ´angulo α respecto a los de la base inicial y Ã

P =

p11 p12 p21 p22

!

Ã

=

cos α − sen α sen α cos α

!

21 para α tal que tg α = pp11 . Obs´ervese tambi´en que la matriz P , v´alida para efectuar el giro, no es u ´nica, existen ex´actamente cuatro opciones para elegir las columnas de P , (los giros de ´angulos α, α + π2 , ) α + π y α + 3π 2 Si tomamos det(P ) = −1 se produce adem´as del giro una reflexi´on, es decir, en uno de los nuevos ejes se intercambia la parte positiva con la negativa.

Observaci´ on.- 20.- Puesto que la matriz AC es la matriz asociada a una forma cuadr´atica, puede conseguirse una matriz diagonal sin hacer la diagonalizaci´on ortogonal. Sin embargo, al no ser el cambio de base ortogonal los vectores de la nueva base no formar´an un ´angulo recto y tendr´an distintas longitudes, por lo que la expresi´on que obtenemos nos representar´a una c´onica del mismo tipo aunque deformada, es decir, una elipse puede pasar a ser una circunferencia, o una par´abola ser´a mas abierta o cerrada que la original. Por ejemplo: ´ Algebra Lineal.

16

m at

2.2 Ecuaci´on reducida de una c´onica.

La c´onica dada por x2 + 2xy + 2y 2 = 1. √

√

a) Diagonalizando ortogonalmente obtenemos λ1 = 3+2 5 y λ2 = 3−2 5 , de √ √ 3− 5 2 2 donde, la ecuaci´on queda 3+2 5 xq ∗ + 2 yq ∗ = 1, que representa una elipse 2√ centrada en (0, 0), de semiejes 3+ 5 y 3−2√5 . b) Completando cuadrados, obtendremos que x2 + 2xy + 2y 2 − 1 = (x + y)2 + y 2 − 1 = x2∗ + y∗2 − 1 = 0, que es la ecuaci´on de una circunferencia de radio 1. Este segundo resultado nos puede llevar a pensar que la c´onica inicial tambi´en es una circunferencia, cuando sabemos que no es as´ı. Para evitar este tipo de problemas, siempre usaremos para encontrar la matriz diagonal la diagonalizaci´on ortogonal. Completar cuadrados. La expresi´on simplificada, h2.4i, obtenida de la ecuaci´on de la c´onica al diagonalizar AC , puede simplificarse a´ un m´as mediante el m´etodo de completar cuadrados. Como los valores a11 , a12 y a22 no son simult´aneamente nulos, la matriz AC no es la nula y D tampoco. Luego λ1 y λ2 no pueden ser los dos nulos. Esto nos proporciona dos casos en el proceso a seguir Caso 1: λ1 6= 0 y λ2 6= 0. Podemos, en este caso, agrupar los dos t´erminos cuadrados, con lo que h2.4i nos queda Ã

b2 b2 b01 0 = a00 − 01 − 02 + λ1 x∗ + λ1 λ2 λ1 (

donde

x∗∗ = x∗ + bλ011 y K1 = a00 − y∗∗ = y∗ + bλ022

!2

b201 λ1

Ã

+ λ2 −

b02 y∗ + λ2

!2 2 = K1 + λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗

b202 . λ2

Caso 2: λ1 6= 0 y λ2 = 0. (De manera an´aloga si λ1 = 0 y λ2 6= 0.) En este caso la ecuaci´on de la c´onica queda 0 = a00 + 2b01 x∗ + 2b02 y∗ + λ1 x2∗ , en la cu´al podemos completar el cuadrado en x∗ y nos queda Ã

b2 0 = a00 − 01 λ1

Ã

!

+ λ1

b01 x∗ + λ1

!2

+ 2b02 y∗ = K2 + λ1 x2∗∗ + 2b02 y∗ ,

h2.5i

b2

donde hemos hecho x∗∗ = x∗ + bλ011 y K2 = a00 − λ011 . La ecuaci´on anterior, h2.5i, se simplifica seg´ un exista o n´o el t´ermino en y∗ , es decir, si b02 6= 0 ´o b02 = 0.

´ Algebra Lineal.

17

m at

2.2 Ecuaci´on reducida de una c´onica.

Caso 2.1: b02 6= 0. En este caso se puede agrupar el t´ermino en y∗ con el t´ermino independiente, es decir µ

0 = K2 + 2b02 y∗ + donde y∗∗ = y∗ +

λ1 x2∗∗

= 2b02

¶

K2 y∗ + + λ1 x2∗∗ = 2b02 y∗∗ + λ1 x2∗∗ . 2b02

K2 . 2b02

Caso 2.2: b02 = 0. En este caso la ecuaci´on queda 0 = K2 + λ1 x2∗∗ . Observaci´ on.- 21.- Geom´etricamente, completar cuadrados equivale a una translaci´on, es decir, se translada el origen de coordenadas a un nuevo punto. Hemos completado as´ı el estudio de la ecuaci´on reducida de la c´onica. El resultado lo reunimos en el siguiente cuadro.

2.2.2

Clasificaci´ on mediante la ecuaci´ on reducida.

Mediante los giros y translaciones de los ejes de coordenadas, detallados en el apartado anterior, se ha podido reducir la ecuaci´on a uno de los casos siguientes: 2 Caso 1. λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗ + K1 = 0, con λ1 y λ2 no nulos.

a) Si K1 6= 0 y el signo de λ1 es igual al de λ2 y contrario al de K1 , la ecuaci´on representa una elipse. b) Si K1 6= 0 y λ1 , λ2 y K1 poseen el mismo signo, no se obtiene ning´ un punto real. (La expresi´on se dice que representa una elipse imaginaria.) c) Si K1 6= 0 y el signo de λ1 es contrario al de λ2 , la ecuaci´on representa una hip´ erbola. d) Si K1 = 0 y λ1 y λ2 tienen signos contrarios, estamos ante dos rectas que se cortan. e) Si K1 = 0 y λ1 y λ2 poseen el mismo signo, estamos representando un u ´nico punto. (La c´onica se dice que est´a formada por dos rectas imaginarias cuya intersecci´ on es un punto real.) 2 = 2py∗∗ , con p = − bλ021 6= 0, Caso 2.1 x∗∗ representan par´ abolas. 2 2 = c, con c = − K Caso 2.2 x∗∗ , λ1

´o

2 = 2px∗∗ , con p = − bλ012 6= 0, y∗∗

2 2 = c, con c = − K ´o y∗∗ . λ2

a) Si c = 0 tenemos una recta doble. b) Si c > 0, dos rectas paralelas. c) Si c < 0 ningun punto. (La c´onica se dice que la forman dos rectas imaginarias paralelas.) ´ Algebra Lineal.

18

m at

2.2 Ecuaci´on reducida de una c´onica.

Observaci´ on.- 22.- Para recuperar la ecuaci´on inicial, basta con deshacer los cambios realizados. Es decir, en el Caso 1, tener en cuenta que (

(

x∗∗ = x∗ + bλ011 y∗∗ = y∗ + bλ022

y que

x∗ = p11 x + p12 y y∗ = p21 x + p22 y

en el Caso 2.1 que (

Ã

x∗∗ = x∗ + bλ011 y∗∗ = y∗ + 2bK022

(

´o

!

x∗∗ = x∗ + 2bK012 y∗∗ = y∗ + bλ022

(

x∗ = p11 x + p12 y y∗ = p21 x + p22 y

y que

y en el Caso 2.2 que (

x∗∗ = x∗ + y∗∗ = y∗

b01 λ1

Ã

(

´o

x∗∗ = x∗ y∗∗ = y∗ +

!

(

y que

b02 λ2

x∗ = p11 x + p12 y y∗ = p21 x + p22 y.

Ejemplo.- 23.- Encontrar la ecuaci´on reducida de la c´onica de IR2 dada por la expresi´on x2 + 2xy + y 2 + 2x − 2 = 0 Soluci´ on: La ecuaci´on puede escribirse como ³

0 = −2 + 2 1 0 Ã

Diagonalizamos la matriz AC =

´

Ã

x y

!

³

+ x y

´

Ã

1 1 1 1

!Ã

x y

!

.

!

1 1 . 1 1

¯ ¯ λ − 1 −1 ¯ |λI − AC | = ¯¯ −1 λ − 1

¯ ¯ ¯ ¯ = λ2 − 2λ = λ(λ − 2) = 0 ¯

con autovalores λ1 = 0 y λ2 = 2. propios asociados al autovalor λ1 = 0, son las soluciones del sistema à Los vectores ! −1 −1 x = 0, luego (1, −1) forma una base del espacio caracter´ıstico. Como la −1 −1 diagonalizaci´on ha de ser ortogonal, ortonormalizamos la base, lo que en este caso equivale −1 a normalizar el vector (1, −1); es decir, el vector ( √12 , √ ). Tenemos por tanto que p11 = √12 2 −1 ). y p21 = √ 2 à ! 1 −1 Para λ2 = 2 tenemos como soluci´on del sistema x = 0 el vector (1, 1), −1 1 à ! ! à 1 √ √1 0 0 2 2 . Como que normalizado se convierte en ( √12 , √12 ). Luego D = yP = √ −1 √1 0 2 2 2 det(P ) = 1, esta matriz P es la buscada y la ecuaci´on queda 0 = −2 + 2

³

√1 2

√1 2

´

Ã

x∗ y∗

!

³

+ x∗ y ∗

´

Ã

0 0 0 2

!Ã

x∗ y∗

!

1 1 = −2 + 2 √ x∗ + 2 √ y∗ + 2y∗2 2 2

´ Algebra Lineal.

19

m at

2.3 Invariantes. (

x∗ = √x2 − √y2 donde Completando el cuadrado y, a continuaci´on, agrupando el t´ermino y∗ = √x2 + √y2 en x∗ con el t´ermino independiente, tenemos 2 1 9 2 1 2 + √ x∗ + 2(y∗ + √ )2 = − + √ x∗ + 2y∗∗ 4 4 2 2 2 2 √ 2 9 2 2 2 2 = √ (x∗ − ) + 2y∗∗ = √ x∗∗ + 2y∗∗ 8 2 2

0 = −2 −

(

donde

√

x∗∗ = x∗ − 9 8 2 . Es decir, la par´abola y∗∗ = y∗ + 2√1 2 √ 2 x∗∗ = − 2y∗∗

´o

−1 2 = √ x∗∗ . y∗∗ 2

El proceso geom´etrico realizado puede observarse en la siguiente figura.

y"

x"

y y’

x’

α

x

Nota: Al realizar el ejercicio hemos hecho una serie de elecciones que nos determinan la matriz P . En primer lugar hemos optado por que sea λ1 = 0 y λ2 = 2, en lugar de λ1 = 2 y λ2 = 0, que tambi´en es posible. A continuaci´on, al buscar las filas de P hemos optado por el vector (1, −1) como base del espacio caracter´ıstico de λ1 = 0 en lugar del vector (−1, 1) tambi´en posible, y el vector (1, 1) para λ2 = 2 en lugar de (−1, −1). Estas posibilidades de elecci´on son las que determinan las cuatro posibles matrices para P . Compruebe el lector, que realizando las otras elecciones se llega a las ecuaciones redu−1 2 y . = √12 x∗∗ , x2∗∗ = √12 y∗∗ y x2∗∗ = √ cidas y∗∗ 2 ∗∗

2.3

Invariantes.

Tomemos ahora la expresi´on matricial de la c´onica, h2.3i, 

0=

´ Algebra Lineal.

³





1 a00 a01 a02    ft AX f 1 x y  a01 a11 a12   x  = X a02 a12 a22 y ´

20

m at

2.3 Invariantes. 



à ! 1 0 0 p11 p12   e es la matriz que y consideremos la matriz P =  0 p11 p12 , donde P = p21 p22 0 p21 p22 e diagonaliza AC . Se tiene que P es una matriz ortogonal que verifica que 







1 1    f e f X =  x  = P  x∗   = Pe X ∗ y y∗ Sustituyendo en la ecuaci´on se obtiene 



a00 b01 b02 t t f t et f, f =X ft B X e f f f f 0 = X AX = X∗ P AP X∗ = X∗  b01 λ1 0  X ∗ ∗ ∗ b02 0 λ2

h2.6i

que da la ecuaci´on de la c´onica tras el giro. A la vista del resultado obtenido, no es dificil probar que Teorema 24.- Con el cambio de matriz permanecen invariantes los valores a) det A, b) A00 , c) a11 + a22 y d) A11 + A22 . Es decir, estos valores permanecen igual si sustituimos A por B. Nota: Por Aij denotamos el menor correspondiente al elemento aij , es decir, el determinante de la matriz que nos queda al eliminar la fila y la columna del elemento aij .

Demostraci´on: a) A y B son semejantes, luego |A| = |B|. b) Como A00 es el determinante de la matriz AC , B00 es el determinante de la matriz D y AC y D son semejantes, A00 = |AC | = |D| = B00 . c) Por ser AC y D semejantes, tienen el mismo polinomio caracter´ıstico, es decir, |λI − AC | = |λI − D|. Luego λ2 − (a11 + a22 )λ + |AC | = |λI − AC | = |λI − D| = λ2 − (λ1 + λ2 )λ + |D|, y por tanto a11 + a22 = λ1 + λ2 . d) A11 + A22 = (a00 a22 − a202 ) + (a00 a11 − a201 ) = a00 (a11 + a22 ) − (a201 + a202 ) B11 + B22 = (a00 λ2 − b202 ) + (a00 λ1 − b201 ) = a00 (λ1 + λ2 ) − (b201 + b202 ) Los dos primeros sumandos son iguales por el apartado c) y b201 + b202 = (a01 p11 + a02 p12 )2 + (a01 p21 + a02 p22 )2 = a201 (p211 + p221 ) + a202 (p212 + p222 ) + 2a01 a02 (p11 p12 + p21 p22 ) = a201 + a202 por ser P una matriz ortogonal. ´ Algebra Lineal.

21

m at

2.3 Invariantes.

Observaci´ on.- 25.- Puede observarse en la prueba del teorema que los valores que aparecen son invariantes, precisamente, porque la diagonalizaci´on es ortogonal. Si obtenemos la matriz diagonal por otro m´etodo, estos valores no son invarinates. Para introducir como operaciones matriciales la translaci´on que efectuabamos a continuaci´on del giro, basta tener en cuenta que el sistema (





x∗∗ = x∗ + h y∗∗ = y∗ + k







1 0 0 1 1       x∗∗  =  h 1 0   x∗  . y∗∗ k 0 1 y∗

puede escribirse como

Si resolvemos el sistema en funci´on de x∗ e y∗ , tenemos que 









1 1 0 0 1      f f X∗ =  x∗  =  −h 1 0   x∗∗  = T X ∗∗ y∗ −k 0 1 y∗∗ y sustituyendo en la ecuaci´on de la c´onica ft T t BT X f =X ft C X f 0=X ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗

La matriz C obtenida es la que nos da la ecuaci´on reducida, luego ser´a: 







K1 0 0  • C =  0 λ1 0   para el Caso 1. 0 0 λ2 

0 0 b02   • C =  0 λ1 0  b02 0 0 

´o



K2 0 0   • C =  0 λ1 0  0 0 0



0 b01 0   C =  b01 0 0  para el Caso 2.1. 0 0 λ2 



K2 0 0   C =  0 0 0  para el Caso 2.2. 0 0 λ2

´o

donde los elementos que aparecen en las matrices son los calculados antes. Nota: En el caso particular de K2 , tener presente que ser´a K2 = a00 − a00 − bλ022 , seg´ un sea λ2 = 0 ´o λ1 = 0.

b01 λ1

´o

K2 =

Y la matrices T que nos dan las translaciones ser´an: 



1 0 0  − b01 1 0  • T =  λ1  para el Caso 1. b02 − λ2 0 1 



1 0 0   • T =  − bλ011 1 0  K2 − 2b02 0 1 

´o



1 0 0  b01 • T =  − λ1 1 0   0 0 1 ´ Algebra Lineal.

 

T =  − 2bK012 − bλ022 

´o

1



0 0 1 0  para el Caso 2.1. 0 1 

1 0 0  T = 0 1 0  para el Caso 2.2. − bλ022 0 1 22

m at

2.3 Invariantes.

con los mismos comentarios que antes sobre K2 . Teorema 26.- Con los cambios de matriz permanecen invariantes los valores a) det A, b) A00 , c) a11 + a22 y d) A11 + A22 , cuando A00 = 0 y |A| = 0 (Caso 2.2). Demostraci´on: Hemos visto en el Teorema 24 que los valores permanecen invariantes cuando pasamos de A a B. Veamos que tambi´en se verifican cuando pasamos de B a C. a) Como C = T t BT y det(T ) = 1, |C| = |B|. b) Es clara, pues la matriz BC = D es la misma en C. c) Cierta por lo anterior. d) C11 + C22 = K2 λ1 = a00 λ1 − b201

´o

C11 + C22 = K2 λ2 = a00 λ2 − b202

B11 + B22 = a00 (λ1 + λ2 ) − (b201 + b202 ) Al ser B00 = 0, entonces λ1 = 0 o λ2 = 0. Si λ1 = 0, como 0 = |B| = −λ2 b201 , ha de ser b01 = 0, en cuyo caso B11 + B22 = a00 λ2 − b202 . Si λ2 = 0, como 0 = |B| = −λ1 b202 , ha de ser b02 = 0, en cuyo caso B11 + B22 = a00 λ1 − b201 . Lo que completa la demostraci´on.

2.3.1

Clasificaci´ on por invariantes.

Teniendo en cuenta los invariantes, obtenemos la siguiente clasificaci´on de las c´onicas             A00 6= 0                  A00 = 0      

(     |A|(a11 + a22 ) < 0 ELIPSE    |A| = 6 0   |A|(a11 + a22 ) > 0 Elipse imaginaria   A00 > 0   ( |A| = 0 PUNTO; Rectas secantes imaginarias    ´ |A| = 6 0 HIPERBOLA     A00 < 0 |A| = 0 RECTAS SECANTES  ´ |A| 6= 0  PARABOLA       A11 + A22 < 0 RECTAS PARALELAS  A11 + A22 > 0 Rectas paralelas imaginarias |A| = 0      A11 + A22 = 0 RECTAS COINCIDENTES

A las c´onicas que verifican que A00 6= 0 de las denomina c´ onicas con centro y a las que verifican que A00 = 0 c´ onicas sin centro. ´ Algebra Lineal.

23

m at

2.3 Invariantes.

Ejemplo.- 27.- Clasificar la c´onica dada por x2 + 2xy + y 2 + 2x − 2 = 0. Soluci´ on: La ecuaci´on puede escribirse como 

0=

³





−2 1 0 1   ft AX f 1 x y   1 1 1  x  = X 0 1 1 y ´

Veamos los¯ invariantes: ¯ ¯1 1¯ ¯ ¯ ¯ = 0, luego es una de las llamadas c´ onicas sin centro. A00 = ¯ ¯1 1¯ ¯ ¯ ¯ −2 1 0 ¯ ¯ ¯ |A| = ¯¯ 1 1 1 ¯¯ = −2 + 2 − 1 = −1 6= 0, luego la c´onica es una par´abola. ¯ ¯ ¯ 0 1 1¯

2.3.2

C´ alculo de la ecuaci´ on reducida. 



K1 0 0  • C=  0 λ1 0 . 0 0 λ2 Sabemos que λ1 y λ2 son las raices del polinomio caracter´ıstico, es decir las solucionas de la ecuaci´on ¯ ¯λ−a −a12 11 |λI − Ac | = ¯¯ ¯ −a12 λ − a22

¯ ¯ ¯ ¯ = λ2 − (a11 + a22 )λ + A00 = 0 ¯

Como |A| = |C| = K1 λ1 λ2 y A00 = C00 = λ1 λ2 , se tiene que K1 = 





0 0 b02   • C =  0 λ1 0  b02 0 0

´o

|A| . A00



0 b01 0   C =  b01 0 0 . 0 0 λ2

Lo hacemos para la primera y la otra es similar. Por ser A00 = 0 y a11 + a22 = λ1 + λ2 , tenemos que λ1 = a11 + a22 y λ2 = 0. s

Como |A| = |C| = −b202 λ1 tenemos que b02 = 



K2 0 0   • C =  0 λ1 0  0 0 0



´o

−|A| . a11 + a22



K2 0 0   C =  0 0 0 . 0 0 λ2

Al igual que en el caso anterior λ1 = a11 + a22 y λ2 = 0. Como A11 + A22 = C11 + C22 = K2 λ1 tenemos que K2 =

A11 + A22 . a11 + a22

Ejemplo.- 28.- Hallar la ecuaci´on reducida de la par´abola dada por la ecuaci´on x2 + 2xy + y 2 + 2x − 2 = 0. Soluci´ on:

´ Algebra Lineal.

24

m at

2.4 Lugares geom´etricos.

Por el ejemplo q 27, sabemos que A00 = 0 y |A| = −1 6= 0, luego λ2 = a11 + a22 = 2, λ1 = 0 y b01 = −(−1) = √12 y nos queda 2 1 2 2 √ x∗∗ + 2y∗∗ =0 2

2.4

´o

1 2 y∗∗ = − √ x∗∗ 2

Lugares geom´ etricos.

A la elipse, hip´erbola y par´abola, se las denomina en algunos libros c´onicas no degeneradas, es decir, son propiamente c´onicas por contraposici´on a las c´onicas formadas por rectas. Las tres se obtienen, de forma geom´etrica, como el lugar geom´etrico de los puntos que verifican una cierta condici´on. Veamoslas.

2.4.1

Elipse.

Dados dos puntos F1 y F2 , el lugar gom´etrico de los puntos P que verifican que la distancia de P a F1 m´as la distancia de P a F2 es constante, forma una elipse. Es decir, los puntos P tales que d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a, con 2a > d(F1 , F2 ), est´an sobre una elipse. La mitad del valor de la constante nos proporciona el semieje mayor, es decir a. La mitad de la distancia focal, d(F1 , F2 ) = 2c. El semieje menor, b, el semieje mayor, a, y c verifican que a2 = b2 + c2 .

A los puntos F1 y F2 se les denomina focos de la elipse, y el centro de la elipse se encuentra en el punto medio de los focos. A los puntos de la elipse que se encuentran sobre la recta que une los focos y los que se encuentran sobre la perpendicular que pasa por el centro, se los denomina v´ertices de la elipse. La mitad del valor de la constante, a, que nos proporciona el semieje mayor, la mitad de la distancia focal, d(F1 , F2 ) = 2c, y el semieje menor, b, verifican que a2 = b2 + c2 . Si F1 = F2 , la elipse es una circunferencia

2.4.2

Hip´ erbola.

Dados dos puntos F1 y F2 , el lugar gom´etrico de los puntos P que verifican que el valor absoluto de la distancia de P a F1 menos la distancia de P a F2 es constante, forma una hip´erbola. ´ Algebra Lineal.

25

2.4 Lugares geom´etricos.

m at

Es decir, los puntos P tales que |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2k, con 2k < d(F1 , F2 ), est´an sobre una hip´erbola.

A los puntos F1 y F2 se les denomina focos, y el centro de la hip´erbola se encuentra en el punto medio de los focos. A los puntos de la hip´erbola que se encuentran sobre la recta que une los focos se los denomina v´ertices de la hip´erbola. La mitad del valor de la constante, a, que es la distancia de cada v´ertice al centro y la √ mitad de la distancia focal, d(F1 , F2 ) = 2c, nos permiten obtener el valor b = c2 − a2 , necesario para encontrar las as´ıntotas de la hip´erbola. Estas dos as´ıntotas que pasan por el centro y forman con el eje focal un angulo α de valores tg α = ab y tg α = −b , para cada una de ellas. a

2.4.3

Par´ abola.

Dados un punto F y una recta r, el lugar gom´etrico de los puntos P que verifican que la distancia de P a F es igual a la distancia de P a r, forma una par´abola. Es decir, los puntos P tales que d(P, F ) = d(P, r), con P 6∈ r, est´an sobre una par´abola.

Al punto F se les denomina foco, y a la recta r directriz de la par´abola. Al punto de la par´abola que se encuentran entre el foco y la directriz se le denomina v´ertice. En las par´abolas, precisamente gracias a esta construcci´on geom´etrica, se verifica una propiedad muy interesante: “Si consideramos la par´abola como un espejo, cualquier rayo que incida sobre la par´abola perpendicularmente a la directriz sale reflejado hacia el foco, y viceversa, cualquier rayo emitido desde el foco sale reflejado perpendicular a la directriz”. Esta propiedad se usa en las antenas parab´olicas y en los focos de luz. ´ Algebra Lineal.

26

m at

2.4 Lugares geom´etricos.

2.4.4

Centro y v´ ertice de las c´ onicas.

C´ alculo del centro. En las c´onicas con centro, a la vista de la ecuaci´on reducida 2 λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗ + K1 = 0

podemos asegurar que el centro est´a en el punto de coordenadas x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0. Basta pues deshacer los cambios. (

y

Ã

!

x∗ y∗

(

x∗∗ = x∗ + bλ011 y∗∗ = y∗ + bλ022 Ã

=P

x y

x∗ = x∗∗ − bλ011 y∗ = y∗∗ − bλ022

luego

!

Ã

luego

x y

!

Ã

=P

t

x∗ y∗

!

Ã

=P

t

x∗∗ − bλ011 y∗∗ − bλ022

!

haciendo x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0, nos queda Ã

x y

!

Ã

=

p11 p21 p12 p22

!Ã

− bλ011 − bλ022

!

(

luego

x = −p11 bλ011 − p21 bλ022 y = −p12 bλ011 − p22 bλ022

C´ alculo del v´ ertice. Para una par´abola, de ecuaci´on reducida λ1 x2∗∗ = −2b02 y∗∗ , el vertice est´a en el punto de coordenadas x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0. Basta, como antes, con deshacer los cambios. (

y

Ã

x y

(

x∗∗ = x∗ + bλ011 y∗∗ = y∗ + 2bK022

!

Ã

=P

t

x∗ y∗

!

luego Ã

=P

t

− bλ011 − 2bK022

x∗ = x∗∗ − bλ011 = − bλ011 y∗ = y∗∗ − 2bK022 = − 2bK022

!

(

luego

x = −p11 bλ011 − p21 2bK022 y = −p12 bλ011 − p22 2bK022 .

Ejemplo.- 29.- Hallar el v´ertice de la par´abola dada por x2 + 2xy + y 2 + 2x − 2 = 0 Soluci´ on: 2 Sabemos por el ejemplo 23!que la ecuaci´on reducida de la c´o( nica nos queda√ y∗∗ = Ã 1 1 9 2 √ √ x∗∗ = x∗ − 4 −1 2 2 √ x , siendo P = las la matriz que diagonaliza AC y −1 √1 2 2 ∗∗ √ y∗∗ = y∗ + 2√1 2 2 2 sustituciones que agupan los t´erminos. Entonces, como el v´ertice se encuentra en el punto de coordenadas x∗∗ = 0 e y∗∗ = 0, el v´ertice se encontrar´a en el punto de coordenadas (

√

x∗ = + 9 8 2 y∗ = − 2√1 2

y llev´andolo a las coordenadas iniciales   x=  y=

´ Algebra Lineal.

√ 9 2 √1 8 2 √ 9 2 √1 8 2

− −

1 √ −1 √ 2 2 2 1 √1 √ 2 2 2

= =

11 8 7 . 8

27

Cap´ıtulo 3 Cu´ adricas en IR3. 3.1

Introduccin.

Definici´ on 30.- Sea O un punto de IR3 y B = {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal del mismo. Dado un punto P ∈ IR3 , llamaremos coordenadas de P en la referencia R = −→ {O; e1 , e2 , e3 }, a la terna (x, y, z) tal que OP = xe1 + ye2 + ze3 . El punto O decimos que es el origen de coordenadas. Definici´ on 31.- Se define cuadrica en IR3 como el lugar geom´etrico de los puntos P , cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuaci´on de la forma: a00 + 2a01 x + 2a02 y + 2a03 z + a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 xz + 2a23 yz + a33 z 2 = 0 h3.1i donde a11 , a12 , a13 , a22 , a23 y a33 no son simult´aneamente nulos. Como para las cnicas, en la ecuaci´on anterior podemos distinguir tres partes. a) El t´ermino independiente, a00 . b) Una forma lineal, 2a01 x + 2a02 y + 2a03 z. c) Una forma cuadr´atica, a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 xz + 2a23 yz + a33 z 2 . Ecuaci´ on matricial. A tenor de las tres partes comentadas, la ecuaci´on h3.1i anterior puede expresarse en forma matricial de la forma  ³

0 = a00 + 2 a01 a02 a03

´









x x ³ ´ a11 a12 a13       y  + x y z  a12 a22 a23   y  a13 a23 a33 x z

= a00 + 2AL X + X t AC X

h3.2i

Y tambin en la forma 

a00 ³ ´ a  0 = 1 x y z  01  a02 a03 ´ Algebra Lineal.

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23





1 a03   a13   x   ft AX, f   = X a23   y  a33 z

h3.3i

28

m at

3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica.

3.2

Ecuaci´ on reducida de una cudrica.

Para el clculo de la ecuacin reducida de las cudricas, se sigue el mismo proceso que para las cnicas, por lo que no lo detallaremos.

3.2.1

Clculo de la ecuacin reducida.

Diagonalizaci´ on de AC . La matriz AC es diagonalizable ortogonalmente, luego existe P ortogonal tal que D =   λ1 0 0   P t AC P , donde D =  0 λ2 0 . 0 0 λ3 Como AC = (P t )t DP t , la ecuacin queda 0 = a00 + 2AL X + X t (P t )t DP t X = a00 + 2AL P X∗ + X∗t DX∗ 



x∗  donde X∗ =  y∗   = P t X. z∗ ³ ´ Llamando AL P = BL = b01 b02 b03 y usando la expresin de D nos queda 0 = a00 + 2b01 x∗ + 2b02 y∗ + 2b03 z∗ + λ1 x2∗ + λ2 y∗2 + λ3 z∗2 .

h3.4i

Diagonalizacin que representa, como en el caso de las cnicas un giro en IR3 . Completar cuadrados. La expresin simplificada, h3.4i, obtenida puede simplificarse completando cuadrados. Caso 1: λ1 6= 0, λ2 6= 0 y λ3 6= 0. Completando los tres cuadrados, se tiene Ã

b2 b2 b2 b01 0 = a00 − 01 − 02 − 03 + λ1 x∗ + λ1 λ2 λ3 λ1 2 2 2 = K1 + λ1 x∗∗ + λ2 y∗∗ + λ3 z∗∗ donde

!2

Ã

+ λ2

b02 y∗ + λ2

!2

Ã

+ λ3

b02 z∗ + λ3

!2

 b01   x∗∗ = x∗ + λ1  

y∗∗ = y∗ + bλ022 . z∗∗ = z∗ + bλ033

Caso 2: λ1 6= 0, λ2 6= 0 y λ3 = 0. (De manera anloga si son λ1 = 0 o λ2 = 0.) En este caso podemos completar los cuadrados para x∗ e y∗ , obteniendo Ã

b2 b2 0 = a00 − 01 − 02 λ1 λ2

! 2 2 + 2b03 z∗ + λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗ = K2 + 2b03 z∗ + λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗

h3.5i

donde hemos hecho x∗∗ = x∗ + bλ011 y y∗∗ = y∗ + bλ022 . La ecuacin anterior, h3.5i, se simplifica segn exista o n el trmino en z∗ . ´ Algebra Lineal.

29

m at

3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica.

Caso 2.1: b03 6= 0. En este caso µ

0 = 2b03 donde z∗∗ = z∗ +

¶

K2 2 2 z∗ + + λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗ = 2b02 z∗∗ + λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗ 2b03

K2 . 2b03

Caso 2.2: b03 = 0. En este caso la ecuacin queda 2 . 0 = K2 + λ1 x2∗∗ + λ2 y∗∗

Caso 3: λ1 6= 0, λ2 = 0 y λ3 = 0. (De manera anloga si son λ2 6= 0 o λ3 6= 0.) De la ecuacin, h3.4i, completando el cuadrado en x∗ , de obtiene 0 = K3 + 2b02 y∗ + 2b03 z∗ + λ1 x2∗∗ ,

h3.6i

b2

donde x∗∗ = x∗ + bλ011 y K3 = a00 − λ011 . Nos aparecen nuevos casos, segn que existan o no los trminos en y∗ y z∗ . En concreto, q 2 segn que el mdulo del vector (b02 , b03 ), M = k(b02 , b03 k = b02 + b203 = 0 M 6= 0. Caso 3.1: k(b02 , b03 )k 6= 0. Los trminos en y∗ y z∗ se pueden agrupar en uno solo, mediante el cambio ( y∗∗ = bM02 y∗ + bM03 z∗ . z∗∗ = − bM03 y∗ + bM02 z∗ Con esto la ecuacin h3.6i queda 0 = K3 + 2b02 y∗ + 2b03 z∗ + λ1 x2∗∗ = K3 + 2M y∗∗ + λ1 x2∗∗ . Agrupando y∗∗ con el trmino independiente, µ

0 = 2M y∗∗ +

K3 2M

¶

+ λ1 x2∗∗ = 2M y∗∗∗ + λ1 x2∗∗ .

(Si b02 o b03 son cero, se pueden agrupar los trminos de forma ms sencilla, pero el resultado que hemos visto engloba este caso.) Observese, que este cambio pruduce un giro en los ejes y∗ y z∗ (de ah la divisin por k(b02 , b03 k), para que los vectores sean ortonormales), permaneciendo el eje x∗∗ sin girar. Caso 3.2: b02 = 0 y b03 = 0. La ecuacin h3.6i queda 0 = K3 + λ1 x2∗∗ .

3.2.2

Clasificacin mediante la ecuacin reducida.

Para simplificar la casustica, en las ecuaciones reducidas sutituiremos las constantes por el valor 1 o −1 cuando importa el signo, ±1 cuando no importe el signo o 0 cuando lo sea. Con estas salvedades las ecuaciones reducidas presentan los siguientes casos: Caso 1. ax2 + by 2 + cz 2 + d = 0, con a, b y c no nulos. ´ Algebra Lineal.

30

3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica.

m at

a) x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, la ecuacin representa un elipsoide.

b) x2 + y 2 + z 2 + 1 = 0, representa un elipsoide imaginario. c) x2 + y 2 − z 2 − 1 = 0, un hiperboloide de una hoja.

d) x2 + y 2 − z 2 + 1 = 0, un hiperboloide de dos hojas.

e) x2 + y 2 + z 2 = 0, un cono imaginario.

´ Algebra Lineal.

31

3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica.

m at

f) x2 + y 2 − z 2 = 0, un cono real.

Caso 2.1. ax2 + by 2 + cz = 0, con a, b y c no nulos. a) x2 + y 2 ± z = 0, un paraboloide elptico.

b) x2 − y 2 ± z = 0, un paraboloide hiperblico.

´ Algebra Lineal.

32

3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica.

m at

Caso 2.2. ax2 + by 2 + d = 0, con a y b no nulos. a) x2 + y 2 − 1 = 0, un cilindro elptico.

b) x2 + y 2 + 1 = 0, un cilindro imaginario. c) x2 − y 2 ± 1 = 0, un cilindro hiperblico.

d) x2 − y 2 = 0, un planos secantes. e) x2 + y 2 = 0, un planos secantes imaginarios.

´ Algebra Lineal.

33

m at

3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica.

Caso 3.1. ax2 + by = 0, con a y b no nulos. Un cilindro parablico.

Caso 3.2. ax2 + d = 0, con a no nulo. a) x2 − 1 = 0, planos paralelos. b) x2 + 1 = 0, planos paralelos imaginarios. c) x2 = 0, planos coincidentes. Ejemplo.- 32.- Encontrar la ecuacin reducida de la cudrica de IR3 dada por xy = z. Soluci´ on: La ecuacin puede escribirse como xy − z = 0, luego matricialmente ser  ³

0 = 2 0 0 − 21

´











1 x x ³ ´ 0 2 0    1   y x y z 0 0 +    2  y . z 0 0 0 z

0

1 2



0  1 Diagonalizamos la matriz AC =  2 0 0  . 0 0 0 ¯ ¯ ¯ λ −1 0 ¯ ¯ ¯ 2 1 1 1 ¯ ¯ |λI − AC | = ¯¯ − 21 λ 0 ¯¯ = λ3 − λ = (λ − )(λ + )λ = 0 4 2 2 ¯ 0 0 λ¯

con autovalores λ1 = 12 , λ2 = − 21 y λ3 = 0. Los vectores propios asociados a los autovalores son las soluciones de los sistemas   1 − 12 0 2   1 1  −2 2 0  x = 0

0

´ Algebra Lineal.

0

1 2

=⇒

 x y   2 −2 =0 y

− x2 + 2 = 0   z =0 2



=⇒



1   x=1 0

34

m at

3.3 Invariantes. 

 y x   −2 − 2 = 0



− 12 − 12 0  1  1  −2 −2 0  x = 0 0 0 − 12 

=⇒

− x2 − y2 = 0 − z2 = 0

 

 y   −2 = 0



0 − 21 0  1   −2 0 0  x = 0 0 0 0

=⇒



 

− x2 = 0 0=0 



−1   x= 1  0

=⇒





0   x=0 1

=⇒



− √12 0   √1 0 La matriz de paso ortogonal que tomamos es P =   , y la ecuacin queda 2 0 0 1  ³

0 = 2 0 0 − 12

donde

´









1 x∗ x∗ ³ ´ 2 0 0 1 2 1 2      1  y∗  + x∗ y∗ z∗  0 − 2 0   y∗  = −z∗ + x∗ − y∗ 2 2 z∗ 0 0 0 z∗

  √x √y   x∗ = 2 + 2

y∗ = − √x2 + √y2    z = z. ∗

A la vista de la ecuacin reducida, hiperblico.

3.3

√1 2 √1 2

1 2 x 2

− 12 y 2 = z, la cuadrca es un paraboloide

Invariantes.

Tomemos ahora la expresin matricial de la cuadrica, h3.3i, 

a00 ³ ´ a  0 = 1 x y z  01  a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23





1 a03 x a13    ft AX f   = X a23   y  a33 z

En el caso de las cudricas, el estudio de los invariantes es ms complejo, por lo que nos limitaremos a enunciarlos. En este caso, son: • det(A). • A00 .

´ Algebra Lineal.

35

m at

3.3 Invariantes. ¯ ¯a a ¯ • J = ¯¯ 22 23 a32 a33

¯ ¯ ¯ ¯a a ¯ ¯ 11 13 ¯+¯ ¯ ¯ a31 a33

¯ ¯ ¯ ¯a a ¯ ¯ 11 12 ¯+¯ ¯ ¯ a21 a22

¯ ¯ ¯ ¯. ¯

• K = a11 + a22 + a33 . • L = A11 + A22 + A33 . ¯ ¯a a ¯ • M = ¯¯ 00 01 a10 a11

¯ ¯ ¯ ¯a ¯ ¯ 00 a02 ¯+¯ ¯ ¯ a20 a22

¯ ¯ ¯ ¯a ¯ ¯ 00 a03 ¯+¯ ¯ ¯ a30 a33

¯ ¯ ¯ ¯. ¯

• Consideramos la siguente ordenacin de los valores A00

J

K

1

y llamamos s = |(permanencias de signo) − (variaciones de signo)|. Este ltimo invariante se llama en ocasiones signatura de la sucesin. Nota: Si en el estudio de la signatura, J K son cero, no importa el signo que le pongamos + −, que la signatura de la sucesin obtenida no cambia. Esto es debido a que los valores que intervienen en la sucesin estn relacionados de tal forma, que J y K no pueden ser cero a la vez y que si uno de ellos es cero el otro tiene, necesariamente, signo contrario al de A00 –en el cuadro siguiente vemos que la signatura slo se utiliza para el caso A00 6= 0–. (Para comprobar estos asertos tener en cuenta que, por ser invariantes, A00 = λ1 λ2 λ3 , J = λ2 λ3 + λ1 λ3 + λ1 λ2 y K = λ1 + λ2 + λ3 , con los λi 6= 0 –pues A00 6= 0–, y hacer un estudio de la casustica que aparece segn los signos de los autovalores λi .)

3.3.1

Clasificacin por invariantes.

Teniendo en cuenta los invariantes, obtenemos la siguiente clasificaci´on de las cudricas:              A00 6= 0                                      A00 = 0                       

      s=3    

   |A| < 0 ELIPSOIDE

|A| > 0

Elipsoide imaginario

  |A| = 0 Cono imaginario    |A| < 0 HIPERBOLOIDE de dos hojas

      |A| > 0 s=1       (|A| = 0  J >0   |A| 6= 0    J 0 K · L > 0 Cilindro imaginario   ´ J < 0 CILINDRO HIPERBOLICO (

J 0

PLANOS SECANTES Planos secantes imaginarios

´ CILINDRO PARABOLICO

   M 0 M =0

PLANOS PARALELOS Planos paralelos imaginarios PLANOS COINCIDENTES

A las cudricas que verifican que A00 6= 0 de las denomina cudricas con centro y a las que verifican que A00 = 0 cudricas sin centro. ´ Algebra Lineal.

36

m at

3.3 Invariantes.

Ejemplo.- 33.- Clasificar la cudrica dada por x2 + 2xy + y 2 + 2yz + 2x + 1 = 0. Soluci´ on: La ecuacin puede escribirse como 

1 ³ ´ 1 0= 1 x y z   0 0 Veamos los invariantes:

1 1 1 0

0 1 1 1

¯ ¯1 1 0 ¯ ¯ A00 = ¯¯ 1 1 1 ¯0 1 0





0 1   0  x   ft AX f   = X    1 y 0 z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −1. ¯ ¯

Luego es una de las llamadas cudrica con centro. Para seguir la clasificacin necesitamos encontrar el valor de s y, por tanto, debemos encontrar los valores de los invariantes J y K, puesto que el valor de A00 ya lo conocemos. ¯ ¯ ¯ ¯1 1¯ ¯1 0 ¯ ¯ ¯ J =¯ ¯+¯ ¯1 0¯ ¯0 0

¯ ¯ ¯ ¯1 1 ¯ ¯ ¯+¯ ¯ ¯1 1

¯ ¯ ¯ ¯ = −1 + 0 + 0 = −1 ¯

K =1 + 1 + 0 = 2 Ahora slo necesitamos encontrar las permanencias y variaciones de signo de la sucesin de invariantes, como recogemos en el siguiente cuadro: Invariante A00 J K 1 Valor −1 −1 2 1 Signo − − + + Perm. p p Var. v Luego el valor buscado es s = |p − v| = |2 − 1| = 1. Es suficiente para terminar, con encontrar el signo del |A|. ¯ ¯1 ¯ ¯1 |A| = ¯¯ ¯0 ¯ ¯0

1 1 1 0

0 1 1 1

¯

¯ ¯ 0 ¯¯ ¯1 1 0¯ ¯ ¯ ¯ 0¯ ¯ ¯ ¯ = 1 ¯ 1 1 1 ¯ = 1 − 1 = 0, ¯ ¯ 1 ¯¯ ¯0 0 1¯ ¯ 0

y la cudrica es por tanto un cono real. 10 8 6 4 2 10

5

0 0

-5

-10

-15

-2 -4 -6 -8

´ Algebra Lineal.

37

Contenido 1 Formas cuadr´ aticas. 1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica. . . 1.1.1 Diagonalizaci´on ortogonal. . . . . . . 1.1.2 Completar cuadrados. . . . . . . . . 1.1.3 Diagonalizaci´on mediante operaciones 1.2 Rango y signatura de una forma cuadr´atica. 1.3 Clasificaci´on de las formas cuadr´aticas. . . . 2 C´ onicas en IR2 . 2.1 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuaci´on reducida de una c´onica. . . . . 2.2.1 C´alculo de la ecuaci´on reducida. . 2.2.2 Clasificaci´on mediante la ecuaci´on 2.3 Invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Clasificaci´on por invariantes. . . . 2.3.2 C´alculo de la ecuaci´on reducida. . 2.4 Lugares geom´etricos. . . . . . . . . . . . 2.4.1 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Hip´erbola. . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Par´abola. . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Centro y v´ertice de las c´onicas. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Cu´ adricas en IR3 . 3.1 Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ecuaci´on reducida de una cudrica. . . . . . . . . . 3.2.1 Clculo de la ecuacin reducida. . . . . . . . 3.2.2 Clasificacin mediante la ecuacin reducida. 3.3 Invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Clasificacin por invariantes. . . . . . . . .

´ Algebra Lineal.

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1 2 2 3 5 7 10

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14 14 16 16 18 20 23 24 25 25 25 26 27

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28 28 29 29 30 35 36

38