APLICACIÓN DE LAS TIC A LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA CURVAS HELICOIDALES CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA GRÁFICA HERNANDEZ ABAD, Francisco; HERNANDEZ ABAD, Vicente ; VILLAR RIBERA, Ricardo Universidad Politécnica de Cataluña, España Departamento de Expresión Gráfica en la Ingeniería e-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]

RESUMEN Esta ponencia desarrolla el estudio de las curvas helicoidales atendiendo a su función en los mecanismos, su generación y propiedades más relevantes. Sus objetivos son: -Diseñar un método para la transmisión del conocimiento de la geometría que procure inducir a la reflexión y que sea fácilmente asimilable. -Relacionar las características de estas curvas con la solución a problemas reales. Metodología: Generar objetos de conocimiento especializados en cubrir los objetivos apuntados. Aspectos originales e innovadores: -Incorporación de recursos multimedia (animación, objetos sintéticos, interactividad…). -Reducción del tiempo de asimilación y aumento de la eficacia. -Asociación de los problemas geométricos a la realidad. -Inducción a reflexionar sobre las propiedades que subyacen tras la geometría. -Tratamiento tridimensional para observar y constatar propiedades características. Palabras clave: Interactividad, geometría espacial, curvas técnicas, hélice, objetos de conocimiento, geometría dinámica.

ABSTRACT This communication develops the study of the helical curves taking care of its function in the mechanisms, their generation and their properties more excellent. Their objectives are: - To design a method for transmission of the geometry knowledge that it tries to induce to the reflection and that is easily assimilable. - To relate the characteristics of these curves with the solution to real problems. Methodology: To generate knowledge objects specialized in to cover the pointed objectives. Original and innovating aspects: - Incorporation of multimedia resources (animation, synthetic objects, interactivity...). - Reduction of the assimilation time and increase the effectiveness. - Association of the geometrics problems to the reality. - Induction to reflect on properties that sublie after geometry. - Three-dimensional treatment to observe and to state characteristic properties. Key words: interactivity, space geometry, technical curves, helix, knowledge objects, Dynamic geometry.

1. Introducción La reducción del tiempo disponible para la enseñanza de nuestras asignaturas, obliga a buscar nuevos métodos más eficaces para la asimilación de conceptos. En efecto, la enseñanza de algunas cosas en otro tiempo fundamentales para la formación de los alumnos de ingeniería, ha sido abandonada en algunos casos, y en otros ha pasado a ser una simple referencia a su existencia, a pesar de que haya quedado patente su utilidad y eficacia como embriones en el asentamiento de los conceptos y en la inducción a la mejora de las capacidades de análisis en las personas que recibieron esa formación. Las curvas técnicas en general, y las helicoidales en particular, son uno de esos elementos olvidados, y que en estos momentos solo tiene acogida en unas pocas escuelas donde las circunstancias han querido que no desaparecieran. Esta comunicación va a tratar de rescatar del olvido la hélice, utilizándola como vehículo para obligar a reflexionar sobre sus características, para mejorar la capacidad de análisis matemático, físico, y como no, especialmente gráfico y espacial. Induciremos también a asociar las funciones con las formas compatibles, mostrando algunos de los ejemplos más relevantes y reflexiones sobre los mismos. Para hacerlo, recogiendo las ideas vertidas en congresos anteriores, generaremos un objeto de conocimiento gráfico o célula gráfica especializada, que podrá ser utilizada en diferentes ámbitos e incluso ser incrustada en diferentes aplicaciones en función de la utilidad que se le quiera dar.

2. Objetivos. Diseñar un método adecuado para la transmisión del conocimiento de la geometría, que contemple los aspectos siguientes: -Debe inducir a la reflexión -Debe ser fácilmente asimilable. -Debe describir las características más relevantes de la curva. -Debe contemplar otras formas lineales, de superficie o cuerpos derivados de la forma básica. -Debe relacionar las características de las curvas con la solución a problemas reales. -Debe ser modulable, para ser agrupado o disgregado sin perder eficacia.

3. Metodología. El trabajo consiste en sistematizar en primer lugar la descripción del objeto gráfico. Para ello se recurre a sus características esenciales, y se busca la definición más eficiente, pasando posteriormente a extraer en caso de que exista, su expresión matemática a partir de los parámetros habituales. En el caso de la hélice cilíndrica como curva, podemos definirla como el lugar geométrico que recorre un punto al desplazarse con movimiento uniforme en la dirección de un eje al mismo tiempo que describe un giro alrededor del mismo también con movimiento uniforme. El siguiente paso es analizar sus características geométricas a fin de extraer información adicional inherente a la geometría. En el caso de la hélice cilíndrica de paso constante, es fácil observar que la curva describe su trayectoria sobre la superficie lateral de un cilindro recto de revolución, y que en cada vuelta completa alrededor del eje, un punto se desplaza axialmente la misma distancia. La distancia recorrida en la dirección del eje es conocida como paso de la hélice. Manteniendo como elemento variable linealmente en el tiempo un valor asociado al ángulo de giro, los dos movimientos que definen la curva tendrían las expresiones matemáticas:

Movimiento rectilíneo en dirección al eje z

Z = K1 *

α

(Fig 1) Donde K1 es un valor constante que permitiría fijar la longitud recorrida en el tramo angular que nos interese. Mientras tanto los valores de posición en relación a los ejes X e Y se mantendrían inalterados. Movimiento curvilíneo plano considerando el sistema de coordenadas situado en el eje

X = R * cos α Y = R * sen α Mientras que el valor de Z se mantendría constante, para que el punto se mantuviese dentro del plano perpendicular al eje.

(Fig 2) El movimiento combinado se obtendría como combinación o suma de los dos movimientos, lo que nos daría:

X = R * cos α Y = R * sen α Z = K1 *

α

La visualización de la composición del movimiento puede hacerse describiendo un tramo de movimiento separado, y un tramo de movimiento combinado, lo que ilustra una muestra de la siguiente animación:

(Fig 3) Tras reflexionar sobre sus propiedades, es muy interesante comprobar que su generación responde a la expresión general, para ello debemos reproducir el proceso de generación grabando en una animación la secuencia paso a paso, a fin de tener la posibilidad posteriormente de visualizar el proceso, pararlo o invertirlo si fuese necesario para asegurar que se cumplen todas las expectativas. Este proceso requiere que la curva sea tridimensional y tenga espesor, por lo que se utiliza una sección circular y un recorrido en forma de hélice (que sería invisible hasta que no es alcanzado por la sección). También puede ser interesante que el punto generador sea una esfera, lo que permite visualizar mejor el recorrido a medida que se va generando (fig 6)

(Fig 4) Siguiendo el proceso deberemos trabajar sobre la visualización, recopilando información sobre cada punto de la curva generada, mostrando el triedro fundamental o intrínseco, a través de los vectores y planos asociados al movimiento que describe dicho punto (tangentes principal, normal y binormal a la curva alabeada en cada punto, planos normal, oscilador y tangente que forman el triedro). Es en ese proceso donde el docente debe hacer reflexionar al alumno sobre la continuidad de la curva, su pendiente constante respecto al plano horizontal, la asociación de conceptos clave como primera derivada en el punto y valor de la tangente del ángulo respecto a la dirección del eje del cilindro.

En este caso es también muy útil visualizar (si es posible de forma continua), el desarrollo de la hélice sobre un plano vertical tangente al cilindro exterior (Fig 5)

(Fig 5) Sobre este desarrollo pueden analizarse mejor algunas de las características de la curva, y compararse con un movimiento formado por la composición de dos movimiento rectilíneos uniformes en las dos direcciones principales del plano. También es un proceso útil para establecer las bases de las características del desarrollo del cilindro, de la igualdad de recorrido e idéntico valor de la tangente en cada punto en ambos movimientos. Cuando en el movimiento circular se introduce una variación constante del radio:

R=u(α

)

El resultado es una hélice cónica. En la figura adjunta pueden observarse dos hélices del mismo paso circular (Fig 6).

(Fig 6)

Otras variaciones no constantes del radio producen formas que la industria utiliza sin apenas modificar, como es el caso de los resortes helicoidales bicónicos de compresión en sus formas de tonel y diávolo (Fig 7). Es fácil deducir, que la superficie que envuelve la hélice puede ser también una esfera, cuya apariencia sería muy similar.

(Fig 7) Esto invita a reflexionar sobre las posibilidades de variación y plantea otras formas helicoidales con características muy diferentes, que nos permitirán imaginar mecanismos de muy diversa índole. En la reflexión sobre la tangente en cada punto, se puede también establecer la relación entre el giro y el desplazamiento (hasta ahora hemos contemplado paso constante), y dar entrada a la capacidad de imaginar el porqué de la existencia de elementos que adoptan estas características. La siguiente fase sería reflexionar sobre las variaciones de formas y sus funciones, entre las que estarían todas las consideraciones relativas a las superficies asociadas o relacionadas. Para ello sería útil saber que los planos del triedro fundamental para cada punto de la curva, envuelven tres superficies, y los ejes generan otras más, que dan lugar a diferentes tipos de helicoides. Con estas premisas, se puede ya establecer el nexo de unión entre estos elementos geométricos y aquellos elementos de la industria en general que incorporan formas basadas en esa geometría. Entre estos elementos tenemos: Elementos roscados de todo tipo Engranajes helicoidales Resortes helicoidales Elementos constructivos (rampas de acceso helicoidales, escaleras de caracol, etc).

4. Resultados. Los resultados son los objetos de conocimiento que permiten el acceso a la información íntegra acerca de la hélice y sus variantes, incluida la reflexión matemática, física, mecánica y funcional que acompaña a los elementos gráficos.

Aquí se apuntan algunos ejemplos con las preguntas que previsiblemente ayudarán a mejorar la percepción de las cosas y aumentar la creatividad.

(Fig 8) Esta figura muestra un elemento roscado en el que el paso aparente no coincide con el paso de la hélice, cosa que se utiliza en la práctica para conseguir un desplazamiento axial más veloz (en cada vuelta el avance sería el triple de un tornillo normal o de simple paso). De la misma forma podemos razonar sobre el sentido del desplazamiento ¿Qué pasaría si la hélice se arrollara en sentido contrario? ¿Tiene sentido hablar de hélice a izquierdas y hélice a derechas? ¿Por qué razón los tornillos normales son de paso simple en lugar de triple como el de la (Fig 8)? ¿Cuáles son las funciones que pueden tener los elementos roscados en función de la forma de la hélice?

(Fig 9) Esta figura muestra un par de engranajes helicoidales de ejes cruzados. ¿Qué hace posible que no se interfieran las dos ruedas dentadas en su movimiento?

(Fig 10) ¿Qué misión tiene el ángulo de la hélice en un engranaje helicoidal? En estos engranajes helicoidales ¿Qué relación tienen las dos hélices entre sí?

(Fig 11) ¿Qué características de la hélice aprovechan los resortes helicoidales? ¿Qué hace que la hélice sea base de una gran variedad de formas en los resortes?

(Fig 12) En el mecanismo de la figura, la función básica de desplazar en línea recta un objeto, se consigue a partir del movimiento de giro de otro. ¿Puedes imaginar mecanismos en los que el proceso sea inverso? ¿Qué necesita la hélice base para facilitar en ese caso el movimiento?

(Fig 13) ¿Qué es lo que hace que esta forma sea muy utilizada para salvar alturas en poco espacio?

5. Aspectos originales y/o innovadores. A pesar de que, ya desde hace algún tiempo, viene siendo habitual en nuestros congresos la presentación de comunicaciones en las que el protagonismo principal es un elemento geométrico (véanse las referencias bibliográficas de los dos últimos congresos del área), y que han aparecido en el mercado aplicaciones (fundamentalmente matemáticas) que resuelven problemas singulares en el plano, y lo hacen de forma dinámica (como por ejemplo Cabri o Cindarella), lo cierto es que, ni esa bolsa inmensa de información que es Internet, ni los programas generados para trabajar sobre geometría 3D (fundamentalmente poliedros, sobre los que sí hay abundante información tanto sobre su generación dinámica como sobre su desarrollo y variaciones), tratan las curvas espaciales bajo un prisma tan singular al tiempo que cercano a la realidad. El hecho de que, dentro de una aplicación, sea posible tener el contenido íntegro de todo aquello que se refiere a la hélice, y que sea accesible el elemento gráfico que permite razonar en la descripción de sus propiedades, deteniendo en ocasiones, y otras veces repitiendo el proceso para extraer o verificar las conclusiones relativas a su utilización en diferentes ámbitos, hacen que esta comunicación contenga, por un lado aspectos originales, y por otro, innovadores. Tampoco es habitual ver reunidos elementos tan diferentes como resortes, engranajes, diferentes tipos de tornillos y elementos constructivos asociados bajo el elemento común que resulta ser la esencia de su función.

6. Conclusiones. Se ha realizado una breve exposición de los procedimientos que conducen a la generación de material docente de alta calidad gráfica, y que sin duda será habitual en los próximos años. El carácter tridimensional de los objetos gráficos, así como la incorporación de escenas realistas para constatar y reafirmar comportamientos dinámicos de los objetos virtuales, hacen que surja toda una serie de aplicaciones que no pueden cubrir de momento los programas de geometría dinámica (fundamentalmente basados en líneas en el plano), y que, por lo tanto, se necesiten técnicos cualificados para proveer la demanda que la sociedad, en su afán de adaptarse a la evolución nos solicita. Por último, se muestran agrupados diferentes elementos que tienen en común la hélice como forma básica, lo que debe contribuir a potenciar tanto la imaginación como la creatividad, aspectos de la formación que parecen algo abandonados en los últimos tiempos.

7. Agradecimientos. Los autores queremos mostrar nuestro agradecimiento a todos aquellos que directa o indirectamente han contribuido a hacer esta recopilación de imágenes y los vídeos de donde han sido extraídas. Sin su colaboración tácita o explícita no hubiera sido posible alcanzar los objetivos propuestos.

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