APLICACIONES INFORMATICAS EN EL AULA PARA LAS ASIGNATURAS DE ANALISIS MATEMATICO Alonso Durán María Castro Uceda José Antonio Herrero Gonzalez Josué

1. INTRODUCCION Para transmitir el mensaje matemático en economía se puede utilizar un programa como DERIVE u otros, de forma que el alumno disponga de un método para visualizar las gráficas de las funciones en dos y tres dimensiones. En el estudio de los extremos relativos por ejemplo, pueden comparar sus resultados con los que les ofrece el ordenador. En la programación de las asignaturas de Matemáticas de las licenciaturas de Economía y Administración de Empresas se pueden realizar unas sesiones prácticas en las aulas de informática donde el alumno aprende a trabajar con dichos programas en función de sus necesidades.

2. POSIBILIDADES DE APLICACION DEL PROGRAMA DERIVE DERIVE es un “Computer Algebra System” para ordenadores personales ampliamente extendido que permite la manipulación de expresiones simbólicas, cálculos matemáticos y representaciones gráficas, que facilita a los alumnos el trabajo con un programa informático de forma sencilla y agradable. DERIVE es muy adecuado para su utilización como laboratorio matemático en el aula ya que permite utilizar con facilidad un buen número de ejemplos y ejercicios que ilustren los conceptos teóricos y proponer a los alumnos la realización de simulaciones sencillas. Según la programación de estas asignaturas en nuestra Universidad, la aplicación de este programa podría efectuarse en los siguientes temas: Matemáticas I . Cálculo de límites, derivadas y obtención de extremos de funciones de una variable. . Representación gráfica de estas funciones. . Obtención del desarrollo de Taylor.

. Cálculo de integrales. Matematicas II . Resolución de sistemas de ecuaciones. . Cálculo matricial: Operaciones elementales, determinantes y matriz inversa. . Cálculo de autovalores. . Cálculo de límites iterados y derivadas parciales de funciones de varias variables. . Representación gráfica de funciones en tres dimensiones. Matemáticas III . Utilizando las posibilidades de programación de derive se pueden resolver ecuaciones diferenciales y problemas avanzados de optimización. 3. DIDACTICA EN EL AULA En Matemáticas I dentro del Análisis Matemático y en el apartado de funciones reales de una variable real, el profesor apoya su explicación teórica en la pizarra con unas transparencias con retroproyector donde aparecen las gráficas que previamente el alumno ha tenido que sacar con los cálculos típicos. A continuación el profesor pregunta ¿ Cuántos saben representar una función con algún programa informático?. Llevamos dos cursos haciendo esta misma pregunta en clases de 80 alumnos aproximadamente y la respuesta fué la siguiente: El primer año un 6 % sabía programar una función. Un 2 % conocía DERIVE. El segundo año un 7% sabía programar una función. Un 3 % conocía DERIVE y un 1 % MATHEMATICA. Algo parecido ocurre en el Análisis de varias variables: aquí los efectos son mas vistosos en cuanto que las superficies en tres dimensiones causan un agradable efecto cuando se ven en el retroproyector. Pero nos quedaríamos cortos si solo los alumnos contemplaran los resultados desde sus asientos en el aula habitual.

Nos proponemos dentro de la programación de un cuatrimestre reservar cinco horas en las aulas de informática donde el alumno protagonice todo el problema y sepa sacar el mismo los resultados “a mano” y “a maquina”. De esta forma se aprovechan las posibilidades de la representación gráfica para englobar el cálculo de límites, existencia de extremos y la interpretación económica de las funciones, cumpliéndose así el principal objetivo que nos proponemos: que el alumno sepa extraer toda la información que necesita al estudiar una función de este tipo. 4. DESARROLLO Y EJEMPLOS Como orientación de posibles actividades a realizar en el aula proponemos los siguientes ejemplos enmarcados en la programación de las asignaturas de Matemáticas antes mencionadas. Ejemplo 1: Desarrollo de Taylor de la función y=senx en el punto x=1.

El programa permite observar cómo se aproximan las gráficas de los polinomios de Taylor a la gráfica de la función de una manera instantánea.

Ejemplo 2: Inexistencia de límite en una función de dos variables. Si calculamos el límite de la función f(x,y) = ( (x2 - y2)/ (x2 + y2))2 cuando (x,y) tiende a (0,0) de la forma habitual, vemos que no existe. La gráfica de esta función, de difícil intuición, aparece con el programa Derive sin dificultad, viéndose claramente que el límite cuando (x,y) →(0,0) no existe, pues en la dirección de la recta y=x el límite es cero, y en la dirección del eje x es distinto de cero.

Ejemplo 3: Cálculo del máximo de una función de beneficio: Sea P(x,y)= -x2 - y2 + 22x + 18y –102 una función de beneficios anuales (en millones de dólares) donde x es la cantidad invertida en investigación e y es el gasto publicitario.

Y las curvas de nivel correspondientes serían:

Después del cálculo “a mano” del punto crítico de la función, el programa nos permite constatar por medio de la representación gráfica que dicho punto corresponde a un máximo de la función, así como el comportamiento de la misma nos ayuda a obtener una interpretación económica.

Ejemplo 4: Cálculo de extremos cuando no decide el criterio de la derivada segunda. Dada la función f(x,y)= x2y2

Después del cálculo de los puntos críticos, se observa que el criterio de la deriva segunda no asegura que se trate de extremos. La gráfica de la función confirma que en dichos puntos de los ejes x e y se alcanzan mínimos absolutos de la función.

Ejemplo 5: Resolución de una ecuación diferencial obtenida a partir de un problema económico. Designemos por X=X(t) el producto nacional, por K=K(t) al stock de capital, y por L = L(t) el número de obreros de un pais en el instante t. Supongamos que, para t ≥ 0 tenemos X = AK(-1-α) Lα d K/dt = s X L = L0 e λ t

(a) (b) (c)

con A, α, s, L0 y λ constantes positivas y 0 < α < 1. Deducir de estas ecuaciones una única ecuación diferencial que determine K = K(t), y hallar la solución de esa ecuación cuando K(0) = K 0 > 0. Antes de dar la solución precisemos que a) es una función de producción de Cobb-Douglas b) dice que la inversión agregada es proporcional a la producción c) implica que la plantilla laboral crece exponencialmente. Solución: La ecuación diferencial sería: dK/dt = sAK(-1-α) Lα = s A L0α eα λ t K1-α que es de variables separables. Kα-1 dK = s A L0α eα λ t dt k

luego ∫k β y de aquí 0

k

α-1

t

dβ = ∫0 s A L0α eα λ ι dι t

∫ k (1/α) β = (1/ αλ) s A L0α | eα λ ι 0

ó

α

0

1/α (Kα - K0α ) =(1/αλ) s A L0α (eα λ t -1)

luego K =[ K0α + ( s/λ) A L0α ( e αλt -1) ] -(1/α)

En DERIVE pondriamos Transfer - Load- Utility ODE1.MTH SEPARABLE (s A L0α eα λ t , K1-α , t , K , 0 , K0 ) y despues de teclerar solve obtendriamos la solución. Derive permite resolver la ecuación rápidamente y comparar el resultado con el obtenido “a mano”.

5. METODOLOGIA Como ya habíamos indicado , dentro del horario lectivo se pueden reservar cinco horas para cada cuatrimestre por asignatura, donde el alumno (pudiendo trabajar en grupo) utiliza el programa DERIVE para resolver sus problemas, comprobando los resultados obtenidos en clase.

6. EVALUACION El profesor puede valorar el resultado de estas actividades proponiendo la resolución de algunas prácticas que el alumno entregará al finalizar el curso.

7. CONCLUSIONES Nuestra opinión, dadas las experiencias ya realizadas y aquellas que proponemos, es que alumno puede beneficiarse del uso de DERIVE principalmente teniendo en cuenta dos aspectos: - Rapidez de cálculo (resolución de verdaderos problemas económicos). - Visualización rápida de gráficas (observación de las patologías de la función).

8. BIBLIOGRAFIA

1. Kunt Sydsaeter, Peater J. Hammond (1996): Matemáticas para el análisis económico. Edit. Prentice Hall. 2. García, A.(1993): Prácticas de matemáticas con DERIVE. Edit. Clagsa. Trabajo desarrollado en el Dp. Economía de la Universidad Carlos III de Madrid, C/ Madrid 126 28903 Getafe (Madrid).