Bloque 3 Análisis de circuitos alimentados en corriente alterna Teoría de Circuitos Ingeniería Técnica Electrónica
3.1 Introducción. Representación de ondas sinusoidales mediante fasores
Corriente alterna Corriente continua
Corriente alterna u
u U0 t
u (t ) = U 0 π senα = cosα − 2
−ϕ
u (t ) = U 0 cos(ωt + ϕ )
ωt
o bien
π u (t ) = U 0 sen ωt + ϕ + 2
Características de una onda sinusoidal y
Ym
−ϕ T
ωt
y (t ) = Ym ⋅ cos(ωt + ϕ )
• Ym=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta • y(t)= Valor instantáneo •T=Periodo= tiempo que se tarda en completar un ciclo completo [s] •f= Frecuencia= número de ciclos que se describen por segundo=1/T [Hz]
Características de una onda sinusoidal y
Ym
−ϕ T
ωt
y (t ) = Ym ⋅ cos(ωt + ϕ )
• ω= Pulsación; ωT= 2π => ω= 2πf [rad s-1] • ϕ=Ángulo de fase [rad] (El ángulo de fase en ocasiones se expresará en grados por comodidad, pero no es correcto dimensionalmente)
Desfase relativo u(t) i(t)
u (t ) = U m cos(ωt + ϕ u )
i (t ) = I m cos(ωt + ϕ i ) 30º -45º
Desfase entre u e i
70º
ϕ = ϕU − ϕ I u está adelantada 70 º respecto a i
• • • • •
ϕ0 u en adelanto resp i ϕ=0 “en fase” ϕ=90º “en cuadratura” ϕ=180º “en oposición”
Valor medio y valor eficaz y (t ) = Ym ⋅ cos(ωt + ϕ )
• Valor medio T
Ymedio
T
1 1 = ∫ y (t )dt = ∫ Ym cos(ωt + ϕ )dt = 0 T 0 T 0
• Valor eficaz T
Ymax 1 2 = Y= y t dt ( ) T ∫0 2 El valor eficaz de una corriente periódica es el valor de una corriente continua que al circular por una resistencia R produce en un tiempo T la misma cantidad de energía disipada
Significado físico de valor eficaz •
Resistencia R atravesada por una corriente
i (t ) = I m ⋅ cos ωt
T
•
Energía disipada en T:
WAC = ∫ Ri 2 (t )dt 0
•
¿Cuánto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo T la misma energía? T
WDC = ∫ RI 2 dt = RI 2T 0
T
Igualando WAC con WDC T
RI 2T = ∫ Ri 2 (t )dt
1 2 I= Ri (t )dt = I eficaz ∫ T 0
0
Resumen de notación y (t ) = Ym ⋅ cos(ωt + ϕ ) = 2Y ⋅ cos(ωt + ϕ )
• • • •
Valor instantáneo: y Valor eficaz: Y Valor máximo: Ym Fasor: Y
Repaso números complejos Im
j = −1
j 2 = −1
b
z = a + bj = z ∠θ = z e jθ $#" $#" ! binómica
polar
|z|
θ
exp onencial
a
Fórmula de Euler:
e ± jθ = cosθ + jsenθ
z = a + bj = z e jθ = z cosθ + j z senθ
Re
Análisis de circuitos con excitación alterna uc i
uL Conocemos u(t) y queremos calcular i(t)
u (t ) = uC + u L + u R
+ u(t)
uR
t
1 uc = ∫ i (τ ) dτ C t0
uL = L
di (t ) dt
u R = Ri
t
1 di (t ) u (t ) = ∫ i (τ )dτ + L + Ri C t0 dt Para obtener el valor de i(t) se debe resolver la ecuación diferencial:
du (t ) 1 d 2i (t ) di (t ) = i+L +R dt C dt dt
i(t)=ih+ip (Reg. permanente+Reg.transitorio)
Analogía senoides fasores En corriente alterna las tensiones y corrientes serán funciones sinusoidales del tipo: y (t ) = 2Y cos (ω t + ϕ )
y Ym
amplitud ωt
ϕ
ω = 2πf
desfase respecto al origen
viene impuesta por la fuente de alimentación
Las magnitudes de interés son Y y ϕ
Representación fasorial y (t ) = 2Y cos(ωt + ϕ ) Vamos a demostrar que existe una correspondencia entre una función sinusoidal y(t) y un número complejo Y que se defina como:
Y = Y∠ϕ
Representación fasorial Definimos un número complejo Y que gira en el plano complejo a velocidad w y vamos analizando cuanto vale su parte real en los distintos instantes de tiempo y(t) Im
Ym
ω
Re(Y)=0 ωt=π/2 Re(Y)=-Y 0 π/2
π
3π/2
ωt
ωt=π
Re(Y)=Y
t=0 ωt=3π/2 Re(Y)=0
y (t ) = 2Y cos ωt
Re
Analogía entre senoides y fasores giratorios • •
Existe una correspondencia entre una función sinusoidal y un vector complejo. Una función sinusoidal es la proyección de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema coordenado (eje real y eje imaginario)
Definición de fasor • Se denomina fasor a la cantidad compleja Y = Ye jϕ Im
• En corriente alterna representaremos las funciones sinusoidales u(t), i(t) mediante fasores equivalentes
ωt Y
ϕ
Y =Yϕ Re
Ycos(ωt+ϕ)
Ym Y = 2
Relación entre senoides y fasores y (t ) = 2Y cos(ωt + ϕ )
Y = Y ϕ = Ye jϕ
multiplicando por ejωt
Ye jϕ e jωt = Ye j (ϕ +ωt ) = Y (cos(ϕ + ωt ) + jsen(ϕ + ωt )) relación de Euler
(
)
2 Re Ye jωt = 2Y cos(ϕ + ωt ) Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor equivalente
Suma de sinusoides mediante sus fasores correspondientes y1 (t ) + y2 (t ) = 2Y1 cos(ωt + ϕ1 ) + 2Y2 cos(ωt + ϕ 2 )
Y 1 = Y1 ϕ 1
Fasores correspondientes
(
)
( )e ) =
)
Y 2 = Y2 ϕ 2
(
)
2 Re Y 1 e jωt + 2 Re Y 2 e jωt = 2 Re Y 1 e jωt + Y 2 e jωt =
(
= 2 Re (Y 1 + Y 2
jω t
Y = Y1 + Y2
2 Y cos(ωt + ϕ )
ϕ = Y1 + Y2
Diagrama fasorial Diagrama en el que se representan los fasores correspondientes de las tensiones y corrientes de un circuito en el plano complejo
Fuente: Wikipedia
3.2. Respuesta de los elementos pasivos a una excitación de tipo sinusoidal. Impedancia y admitancia
Relación entre senoides y fasores y (t ) = 2Y cos(ωt + ϕ )
Y = Y ϕ = Ye jϕ
multiplicando por ejωt
Ye jϕ e jωt = Ye j (ϕ +ωt ) = Y (cos(ϕ + ωt ) + jsen(ϕ + ωt )) relación de Euler
(
)
2 Re Ye jωt = 2Y cos(ϕ + ωt ) Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor correspondiente
Resumen elementos pasivos • Resistencia
u (t ) = Ri(t )
i (t ) = Gu(t )
• Bobina t
di (t ) u (t ) = L dt
1 i = i (t0 ) + ∫ u (t )dt L t0
• Condensador t
1 u (t ) = u (t0 ) + ∫ i (t )dt C t0
du (t ) i (t ) = C dt
Respuesta de los elementos pasivos • Vamos a analizar la respuesta de los tres elementos pasivos (resistencia, inductancia y capacidad) a una excitación sinusoidal en el domino del tiempo y en el dominio de la frecuencia. • Imaginemos que conocemos la corriente que circula por cada uno de ellos que es de la forma i(t ) = 2 I cos(ωt + ϕ i )
• Y queremos calcular la tensión entre sus terminales, que será del tipo u (t ) = 2U cos(ωt + ϕ u )
Respuesta de los elementos pasivos • A partir de las relaciones entre u(t) e i(t) en cada uno de los elementos pasivos determinaremos su respuesta. • Buscamos encontrar los valores de U y ϕu en función de I, ϕi y los valores de los parámetros R, L y C. • Los fasores corriente y corriente son:
(
)
I = I∠ϕ i
i(t ) = 2 I cos(ωt + ϕ i ) = 2 Re Ie jωt
U = U∠ϕ u
u (t ) = 2U cos(ωt + ϕ u ) = 2 Re Ue jωt
(
)
Resistencia u = Ri
u (t ) = 2 Re (Ue jωt )
Re (Ue jωt ) = R Re ( Ie jωt ) = Re ( RIe jωt )
i(t ) = 2 Re ( Ie jωt ) U = RI
=>
R ∈ Re
U ϕ u = RI ϕ i
U = RI
ϕu = ϕi
En una resistencia la tensión y la intensidad están en fase Im
u, i
U I
ωt
ϕu=ϕi Re
u(t)
i(t)
Bobina di u=L dt
u (t ) = 2 Re (Ue
jω t
)
di d d 2 Re ( Ie jωt ) = Re 2I e jωt = Re = dt dt dt
i(t ) = 2 Re ( Ie jωt ) di u=L dt U = jωLI
=>
=>
(
2Ijω e jωt
I no depende del tiempo
(
)
(
)
(
Re Ue jωt = L Re Ijωe jωt = Re LIjωe jωt
)
L ∈ Re
U∠ϕ u = ωjLI∠ϕ i = ωLIe j 90e jϕi = ωLI∠ϕ i + 90º
)
Bobina U∠ϕ u = ωLI∠ϕ i + 90º
U = ωLI ϕ u = ϕ i + 90º
En una bobina la tensión está adelantada 90º respecto a la corriente
(ϕ u > ϕ i )
u, i
U
Im ϕu
ωt
I ϕi Re
i(t)
u(t)
Condensador du i=C dt
( ) 2 Re(Ie )
u (t ) = 2 Re Ue
i(t ) =
jωt
(
jωt
du i=C dt −j U= I ωC
=>
)
(
du d d = 2 Re Ue jωt = 2 ReU e jωt = 2 Re Ujωe jωt dt dt dt U no depende del tiempo
(
)
(
Re Ie jωt = Re UjωCe jωt
)
=>
I = UjωC
C ∈ Re =>
1 − j 90 jϕi 1 −j I∠ϕ i = Ie e = I∠ϕ i − 90º U∠ϕ u = ωC ωC ωC
)
Condensador 1 U= I 1 ωL U∠ϕ u = I∠ϕ i − 90º ωC ϕ u = ϕ i − 90º
En un condensador la tensión está retrasada 90º respecto a la corriente
(ϕ u < ϕ i ) Im
u, i
I ωt
ϕi ϕu= ϕi -90º Re
i(t)
u(t)
U
Bobinas acopladas di1 (t ) di2 (t ) + M 12 u1 (t ) = L1 dt dt di (t ) di (t ) u2 (t ) = M 12 1 + L2 2 dt dt
Procediendo de modo análogo a los casos anteriores se llega a las siguientes relaciones fasoriales:
U1 = j ⋅ ω ⋅ L1 ⋅ I 1 + j ⋅ ω ⋅ M 12 ⋅ I 2 U 2 = j ⋅ ω ⋅ M 12 ⋅ I1 + jω ⋅ L2 ⋅ I 2
Impedancia compleja •
Las relaciones fasoriales U=f(I) en los elementos pasivos son: Resistencia U = RI
Bobina U = jωLI
Condensador −j U= I ωC
El fasor tensión puede expresarse como el producto de una cantidad compleja por el fasor corriente
• Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente + I U -
Se verifica la “Ley de Ohm en notación fasorial” Z
U = ZI
Z es un número complejo, pero no un fasor, ya que no se corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio del tiempo
Impedancia Resistencia ZR = R
Z = R + jX
Bobina Z L = jωL
Condensador −j ZC = ωC
Re(Z ) = R componente resistiva: “Resistencia” Im(Z ) = X componente reactiva : “Reactancia”
Z, R y X se expresan en [Ω]
X L = ωL > 0 XC = −
1 UC => ϕ>0 circuito inductivo • UL ϕ0 (i retrasada respecto a u): Carga inductiva •Si ϕ0 y u>0 => p>0
i>0 y u p0 y u p0) y luego la devuelven a la fuente (p0 –Cargas capacitivas ϕI =
U U = ∠ − 90º I retrasada 90º respecto a U j ωL ωL
ϕ = 90º
u (t ) = 2U cos ωt
i(t ) = 2 I cos(ωt − 90º )
PL = UI cosϕ = 0 QR = UIsenϕ = UI = LωI 2 = X L I 2 > 0 S L = UI = QL
Una bobina consume potencia reactiva
Potencia en una bobina V,A,W
Potencia instantánea
4 3 2
p(t ) L = QL ( sen2ωt )
1 0 -1 -2 -3 -4
p(t)
u(t)
i(t)
P
t
•La potencia reactiva va oscilando entre la fuente y la bobina •La potencia media es 0
Potencia en un condensador 1 ZC = jωC 1 U= I j ωL 1 U= I ωC
=>I
=
U = UωC∠90º I adelantada 90º respecto a U 1 j ωC u (t ) = 2U cos ωt
ϕ = −90º
i(t ) = 2 I cos(ωt − 90º )
PC = UI cosϕ = 0 1 2 QC = UIsenϕ = UI = − I = − X C I 2 < 0 Un condensador cede ωC potencia reactiva SC = UI = QC
Potencia en un condensador V,A,W
Potencia instantánea
4 3 2 1
p(t )C = QC ( sen2ωt )
0 -1 -2 -3 -4
p(t)
u(t)
i(t)
P
t
•La potencia reactiva va oscilando entre la fuente y el condensador •No existe disipación de energía sino intercambio (Pmed=0)
Conclusión P y Q • P representa el consumo de energía en las resistencias (P es el valor medio de la potencia disipada) • Q representa un intercambio de energía entre las bobinas y condensadores y la fuente (Q es la amplitud de la energía intercambiada) – QC un condensador cede potencia reactiva – QL>0=> una bobina consume potencia reactiva