Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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II

J

I

En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio af´ın o de espacio vectorial de Rn , utilizando el sistema de representaci´on cartesiana mediante pares de n´umeros, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con un sistema de coordenadas ortogonal. Sin embargo esta no es la u´nica forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas de representaci´on que en ocasiones pueden resultar m´as u´tiles: el sistema de representaci´on cartesiana es u´til para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los barcos en el mas utilizan un sistema de radar bidimensional que sit´ua los puntos del plano en c´ırculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas de coordenadas polares, cil´ındricas y esf´ericas que vamos a ver en este cap´ıtulo.

1. Coordenadas polares en el plano

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio

Partimos de la representaci´on cartesiana del plano mediante pares ordenados de n´umeros, que representan la distancia del punto a dos ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. La costumbre es dibujar uno horizontal (abscisas) y otro vertical (ordenadas), y llamar x a la distancia del punto P al eje vertical, e y a la distancia al eje horizontal. De este modo cada punto del plano est´a un´ıvocamente determinado por sus dos coordenadas P = (x, y) P = (x, y)

y r

Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

t x

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Pues bien, tambi´en podemos identificar cada punto del plano por otros dos n´umeros: uno es la distancia que lo separa del origen de coordenadas, r, y otro el ´angulo t que forma el segmento que une P con el origen con el sentido positivo del eje horizontal. r se denomina m´odulo de P

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio

y t argumento de P , y el par (r, t) se denomina coordenadas polares de P . Esta relaci´on no es un´ıvoca, en el sentido de que a un punto P le corresponden infinitos pares, puesto que podemos escoger el ´angulo t o cualquier otro de la forma t + 2kπ. Para que a un punto le corresponda un u´nico par, debemos escoger los ´angulos en un intervalo de longitud 2π, que normalmente ser´a el intervalo [0, 2π). De esta manera, a cada punto P del plano distinto del origen (0, 0) le corresponde un u´nico par (r, t), con r > 0 y 0 ≤ t < 2π. El origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0, pero t puede ser cualquier ´angulo. Aplicando un poco de trigonometr´ıa, la relaci´on entre las coordenadas cartesianas de un punto y sus coordenadas polares es clara: x = r cos(t) y = r sen(t)

p r = x2 + y 2 t = arctan(y/x)

Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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II

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I

con una precauci´on: para que la funci´on arcotangente est´e bien definida (a un n´umero real le corresponda un u´nico ´angulo), debe escogerse un intervalo de longitud π en el que definir la imagen. Usualmente se define la funci´on arcotangente de R en el intervalo [−π/2, π/2], arctan : R −→ [−π/2, π/2]. En este caso para un punto P que est´e en el segundo o tercer cuadrante del plano la funci´on arctan(y/x) nos dar´a un ´angulo α entre −π/2 y π/2, y el verdadero argumento de P ser´a t = α + π. Y si P est´a en el cuarto cuadrante, el argumento de P ser´a α + 2π. Es decir, deber´ıamos escribir

t=α+π t=α+π

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio

t=α

α

α α

t = α + 2π

Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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I

  arctan(y/x) arctan(y/x) + π t=  arctan(y/x) + 2π

si si si

x ≥ 0, y ≥ 0 x 0, entonces cos t > 0, luego t ∈ [−π/2, π/2] + 2kπ (k ∈ Z); es decir, los puntos de la curva estar´an todos en el semiplano de la derecha, x ≥ 0 • Como la funci´on r(t) = cos t es peri´odica de per´ıodo 2π, en cada intervalo de longitud 2π la curva se repite, luego basta considerar s´olo uno de los intervalos, t ∈ [−π/2, π/2]

• Como la funci´on r(t) es par, es decir, r(t) = r(−t), entonces la curva es sim´etrica respecto al eje horizontal, as´ı que se podr´ıa estudiar s´olo el intervalo [0, π/2], y repetir el dibujo en la parte inferior por simetr´ıa. Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio

• Los puntos de corte de la curva con los ejes de coordenadas son los que tienen t = −π/2, t = 0, t = π/2 (y t = π, aunque en este ejemplo en particular este caso no puede darse, por lo que hemos visto arriba). Si t = −π/2, r(t) = r(−π/2) = cos(π/2) = 0, es decir, el punto correspondiente est´a en el origen de coordenadas. Si t = 0, r(t) = r(0) = cos 0 = 1, luego el punto correspondiente esta en el eje horizontal, a distancia 1 del origen; es decir, es el punto (1, 0) Y si t = π/2, otra vez r(π/2) = 0, luego es el origen de coordenadas.

Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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• Y en los intervalos intermedios de los ´angulos, si t ∈ [−π/2, 0], r(t) = cos t es mon´otona creciente. Esto quiere decir que seg´un aumenta el ´angulo desde el eje vertical hacia el eje horizontal, la distancia de los puntos de la curva al origen de coordenadas va aumentando, hasta llegar al punto (1, 0). En cambio en si t ∈ [0, π/2], la funci´on r(t) = cos t es mon´otona decreciente, luego a partir del eje horizontal, y hasta el eje vertical, los puntos vuelven a acercarse al origen de coordenadas.

Si pasamos toda esta informaci´on al plano xy, podemos hacer un dibujo suficientemente aproximado de la curva:

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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En este ejemplo concreto es f´acil pasar la ecuaci´on de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, para comprobar el resultado: Si r = cos(t), multiplicando por r, r2 = r cos(t), luego x2 + y 2 = x, equivalente a la ecuaci´on (x − 1/2)2 + y 2 = 1/4, que es la de la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2.

2. Coordenadas cil´ındricas en el espacio

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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En el espacio tridimensional partimos de la representaci´on cartesiana del espacio mediante ternas ordenadas de n´umeros, que representan la distancia del punto a tres ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. De este modo cada punto del espacio est´a un´ıvocamente determinado por sus tres coordenadas P = (x, y, z) Pero tambi´en podemos identificar cada punto del espacio por otros tres n´umeros: dos n´umeros r y t son las coordenadas polares en el plano horizontal de la proyecci´on de P sobre este plano, P 0 = (x, y, 0), y el tercero es la altura de P sobre el plano horizontal, la coordenada z. La terna (r, t, z) se denomina coordenadas cil´ındricas de P .

z

  x = r cos(t) y = r sen(t)  z=z

P = (x, y, z)

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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z y r x

t

 p r = x2 + y 2      t = arctan(y/x) con las mismas condiciones que    en las coordenadas polares   z=z

Ejemplo 2. Dibujar la curva definida en coordenadas cil´ındricas por las ecuaciones r = s, t = s, z = s, con s ∈ R+ = [0, ∞) Observamos f´acilmente que al ir creciendo el valor de s, el ´angulo aumenta, haciendo que el punto vaya dando vueltas alrededor del eje vertical. Al mismo tiempo aumenta el radio, lo que quiere decir que cada vez se aleja m´as del eje vertical, y la altura aumenta, luego va subiendo hacia arriba.

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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Con p m´as precisi´on, las ecuaciones r = s, z = s al pasarlas a coordenadas cartesianas implican z = x2 + y 2 , luego la curva est´a contenida en la hoja superior del cono x2 + y 2 = z 2 . Las ecuaciones t = s, z = s implican que los puntos de la curva van “subiendo” mientras dan vueltas alrededor del eje vertical. Se trata de una h´elice c´onica.

3. Coordenadas esf´ ericas en el espacio

Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio

Cada punto del espacio tridimensional se puede identificar tambi´en mediante otros tres n´umeros: dos ´angulos y una distancia ϕ es el ´angulo que forma el vector P con el plano horizontal (latitud). θ es el ´angulo que forma el vector P con el plano y = 0 (longitud). Y ρ es la distancia de P al origen de coordenadas. La terna (ρ, θ, ϕ) se denomina coordenadas esf´ericas de P . ϕ ∈ [−π/2, π/2],

θ ∈ [0, 2π),

z P = (x, y, z)

Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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ρ

ϕ

O

x

y

θ N

M

ρ≥0

Aplicando un poco de trigonometr´ıa a los tri´angulos OP M y OM N , tenemos z = ρ sen ϕ Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ındricas y esf´ ericas en el espacio Coordenadas . . .

OM = ρ cos ϕ x = OM cos θ = ρ cos ϕ cos θ y = OM sen θ = ρ cos ϕ sen θ que son las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas cartesianas a partir de las coordenadas esf´ericas. Rec´ıprocamente,

ρ=

p x2 + y 2 + z 2

Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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ϕ = arcsen(z/ρ)   arctan(y/x) arctan(y/x) + π θ=  arctan(y/x) + 2π

si si si

x ≥ 0, y ≥ 0 x