190

CAPÍTULO 3

Aplicaciones de la derivada

Concavidad y el criterio de la segunda derivada

3.4

■

■ ■

Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Encontrar cualesquiera puntos de inflexión de la gráfica de una función. Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos de una función.

Concavidad Ya se ha visto que localizar los intervalos en los que una función ƒ es creciente o decreciente ayuda a describir su gráfica. En esta sección, se verá cómo el localizar los intervalos en los que ƒ es creciente o decreciente puede utilizarse para determinar dónde la gráfica de ƒ se curva hacia arriba o se curva hacia abajo. DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD Sea ƒ derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba sobre I si ƒ es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en I si ƒ es decreciente en el intervalo. La siguiente interpretación gráfica de concavidad es útil. (Ver el apéndice A para una prueba de estos resultados.) 1.

Sea ƒ derivable sobre un intervalo abierto I. Si la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba en I, entonces la gráfica de ƒ yace sobre todas sus rectas tangentes en I. (Ver la figura 3.24a.) Sea ƒ derivable en un intervalo abierto I. Si la gráfica de ƒ es cóncava hacia abajo en I, entonces la gráfica de ƒ yace debajo de todas sus rectas tangentes en I. (Ver la figura 3.24b.)

2. f(x) =

1 3 x 3

Cóncava m hacia abajo

y

x 1

0

m 2

y

Cóncava hacia arriba x

1

1

m

1

y

Cóncava hacia arriba, f es creciente.

0

Cóncava hacia abajo, f es decreciente. y

x 1

( 1, 0) 2

a) La gráfica de f se encuentra sobre sus rectas tangentes (1, 0)

1

x

1

f es decreciente

f es creciente

La concavidad de f se relaciona con la monotonía de la derivada Figura 3.25

b) La gráfica de f se encuentra debajo de sus rectas tangentes

Figura 3.24

1

(0, 1) f (x) = x 2

x

Para determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica de una función ƒ es cóncava hacia arriba o hacia abajo, se necesita determinar los intervalos sobre los cuales ƒ sea creciente o decreciente. Por ejemplo, la gráfica de ( x)

1 3

x3

x

es cóncava hacia abajo en el intervalo abierto ( , 0) debido a que ƒ (x) ฀x2 ฀1 es ahí decreciente. (Ver la figura 3.25.) De manera similar, la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, ) debido a que ƒ es creciente en (0, ).

SECCIÓN 3.4

191

Concavidad y el criterio de la segunda derivada

El siguiente teorema muestra cómo utilizar la segunda derivada de una función ƒ para determinar intervalos sobre los cuales la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Una prueba de este teorema sigue directamente del teorema 3.5 y de la definición de concavidad. TEOREMA 3.7 CRITERIO DE CONCAVIDAD Sea ƒ una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. 1. 2.

NOTA Un tercer caso del teorema 3.7 podría ser que si f (x) 0 para todo x en I, entonces f es lineal. Notar, sin embargo, que la concavidad no se define para una recta. En otras palabras una recta no es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo.

Si ƒ (x) en I. Si ƒ (x) en I.

0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia abajo

Para aplicar el teorema 3.7, se localizan los valores de x para los cuales ƒ (x) ฀0 o ƒ no existe. Segundo, se usan los valores de x para determinar los intervalos de prueba. Por último, se prueba el signo de ƒ (x) en cada uno de los intervalos de prueba.

Determinación de la concavidad

EJEMPLO 1

Determinar los intervalos abiertos en los cuales la gráfica de ( x)

6 x

2

3

es cóncava hacia arriba o hacia abajo. y

f(x)

Solución Se empieza observando que ƒ es continua en toda la recta real. A continuación, se encuentra la segunda derivada de ƒ.

6 x2

3

3

f (x) 0 Cóncava hacia arriba

f (x) 0 Cóncava hacia arriba 1

f (x) 0 Cóncava hacia abajo

f SxD f SxD

6Sx2 3D 1 S 6DSx2 3D 2S2xD 12x Sx2 3D2

Sx2

f SxD

3D2S 12D

1

1

2

Figura 3.26

Primera derivada.

S 12xDS2DSx2 Sx 3D4

3DS2xD

Derivar.

36Sx2 1D Sx2 3D 3

1

A partir del signo de f se puede determinar la concavidad de la gráfica de f

Derivar.

2

x

2

Reescribir la función original.

Segunda derivada.

Como ƒ (x) ฀0 cuando x ฀ 1 y ƒ se define en toda la recta real, se debe probar ƒ en , 1), ( 1, 1) y (1, ). Los resultados se muestran en la tabla y en la los intervalos ( figura 3.26.

Intervalo Valor de prueba Signo de f (x) Conclusión

< x <

x

2

f S 2D > 0

1

1 < x < 1 x

0

f S0D < 0

1 < x < x

2

f S2D > 0

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

La función dada en el ejemplo 1 es continua en toda la recta real. Si hay valores de x en los cuales la función no es continua, dichos valores deben usarse junto con los puntos en los cuales ƒ (x) ฀0 o ƒ (x) no existe para formar los intervalos de prueba.

192

CAPÍTULO 3

Aplicaciones de la derivada

Determinación de la concavidad

EJEMPLO 2

Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica de f ( x ) hacia arriba o hacia abajo.

x2 1 es cóncava x2 – 4

y

Cóncava hacia arriba

Solución Al derivar dos veces se obtiene lo siguiente

Cóncava hacia arriba

6 4

f SxD

2 x

6

4

2

2

2

4

f(x) =

4

f SxD

6

x2 x2

1 4

f SxD

6

Cóncava hacia abajo

Figura 3.27

x2 x2 Sx2

1 4 4DS2xD Sx2 1DS2xD Sx2 4D2 10x Sx2 4D2 Sx2 4D2S 10D S 10xDS2DSx2 Sx2 4D4 10S3x2 4D Sx2 4D3

Derivar. Primera derivada.

4DS2xD

Derivar. Segunda derivada.

No hay puntos en los cuales ƒ (x) ฀0, pero en x ฀ 2 la función ƒ no es continua, por lo que se prueba la concavidad en los intervalos ( , 2), ( 2, 2) y (2, ), como se ilustra en la tabla. La gráfica de ƒ se muestra en la figura 3.27.

Intervalo

y

< x <

Valor de prueba Cóncava hacia arriba

Escribir la función original.

Cóncava hacia abajo

x

x

2

3

f S 3D > 0

Signo de f (x) Conclusión

Cóncava hacia arriba

2 < x < 2 x

0

f S0D < 0

2 < x < x

3

f S3D > 0

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

Puntos de inflexión La gráfica en la figura 3.26 tiene dos puntos en los cuales cambia la concavidad. Si la recta tangente a la gráfica existe en un punto de este tipo, ese punto es un punto de inflexión. Se muestran tres tipos de puntos de inflexión en la figura 3.28.

y

Cóncava hacia arriba

DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN Cóncava hacia abajo x y

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba x

La concavidad de f cambia en un punto de inflexión. Notar que la gráfica cruza su recta tangente en un punto de inflexión Figura 3.28

Sea ƒ una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de ƒ tiene una recta tangente en este punto (c, ƒ(c)), entonces este punto es un punto de inflexión de la gráfica de ƒ si la concavidad de ƒ cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba) en ese punto.

NOTA La definición de punto de inflexión dada en este libro requiere que la recta tangente exista en el punto de inflexión. Algunos libros no requieren esto. Por ejemplo, en este libro no se considera que la función

f SxD

x3,

x

2

2x,

x < 0 x 0

tenga un punto de inflexión en el origen, aun cuando la concavidad de la gráfica cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

SECCIÓN 3.4

Concavidad y el criterio de la segunda derivada

193

Para localizar los posibles puntos de inflexión, se pueden determinar los valores de x para los cuales ƒ (x) ฀0 o ƒ (x) no existe. Esto es similar al procedimiento para localizar los extremos relativos de ƒ.

TEOREMA 3.8 PUNTO DE INFLEXIÓN y

Si (c, ƒ(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de ƒ, entonces ƒ (c) existe en x ฀c.

f(x) x 4 4x 3

฀0 o ƒ no

18 9

Puntos de inflexión x

1

2

3

9

Determinar los puntos de inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de ƒ(x) x4 ฀4x3. Solución

18

f SxD f SxD

27

Cóncava hacia arriba

Determinación de los puntos de inflexión

EJEMPLO 3

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

f SxD

Pueden ocurrir puntos de inflexión donde f (x) 0 o f no existe

฀

La derivación doble produce lo siguiente.

x4 4x3

4x 3 12x2 2

12x

24x

Escribir la función original. Encontrar la primera derivada.

12xSx

2D

Encontrar la segunda derivada.

Haciendo ƒ (x) ฀0 es posible determinar que los puntos de inflexión posibles ocurren en x ฀0 y x ฀2. Al probar los intervalos determinados por estos valores de x, se puede concluir que ambos producen puntos de inflexión. Un resumen de esta prueba se presenta en la tabla, y la gráfica de ƒ se ilustra en la figura 3.29.

Figura 3.29

Intervalo

y

f(x) = x 4

Valor de prueba

2

Signo de f (x) Conclusión

< x < 0

x

1

f S 1D > 0

0 < x < 2 x

1

f S1D < 0

2 < x < x

3

f S3D > 0

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

1

x

1

1

El recíproco del teorema 3.8 por lo general no es cierto. Esto es, es posible que la segunda derivada sea 0 en un punto que no es un punto de inflexión. Por ejemplo, la gráfica de ƒ(x) ฀x4 se muestra en la figura 3.30. La segunda derivada es 0 cuando x ฀0, pero el punto (0, 0) no es un punto de inflexión porque la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba en ambos intervalos c, entonces x c 0 y ƒ (x) 0. De tal modo, ƒ (x) cambia de negativa a positiva en c, y el criterio de la primera derivada implica que ƒ(c) es un mínimo relativo. Una demostración del segundo caso se deja al lector.

Figura 3.31

EJEMPLO 4

Empleo del critero de la segunda derivada

Encontrar los extremos relativos correspondientes a ƒ(x) Solución f(x)

3x 5

y

Máximo relativo (1, 2)

2

1

x

2

1

x2D

0

Igualar f (x) a cero. Puntos críticos.

60x 3

30x

30S 2x3

xD

Signo de f (x)

S 1,

2D

S1, 2D

f S 1D > 0

f S1D < 0

Mínimo relativo

Máximo relativo

S0, 0D f S0D

0

Falla de la prueba

2

(0, 0) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo Figura 3.32

15x2S1

1, 0, 1

Punto Conclusión

1, ฀฀฀฀ Mínimo relativo

15x2

se puede aplicar el criterio de la segunda derivada como se indica a continuación. (0, 0) 1

1

15x 4

Empleando

f SxD

2

฀5x3.

Empezando con la determinación de los puntos críticos de ƒ.

f SxD x

5x 3

฀ 3x5

Como el criterio de la segunda derivada no decide en (0, 0), es posible utilizar el criterio de la primera derivada y observar que ƒ aumenta hacia la izquierda y hacia la derecha de x ฀0. De tal modo, (0, 0) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo (aun cuando la gráfica tiene una recta tangente horizontal en este punto). La gráfica de ƒ se muestra en la figura 3.32.