CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD

2º DE BACHILLERATO CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ



1.-Hallar una primitiva de la función f(x) = cosx cuya gráfica pase por el punto ( , 1) . 2 Solución : F(x) = senx – 2. 2.-Hallar la derivada de F(x) =



x

1

t 3 dt . Solución : Por el teorema fundamental del

cálculo, es F´(x) = x3.



3.-Calcular

5

1

272 15 2 x  0

x· x  1 dx . Solución :

 x 2 si  4.-Dada la función f(x) =  2 x si 0  x  2 . Representarla gráficamente y calcular 10  3x si 2  x  4 



4

2

f ( x )dx . Solución :

26 . 3

5.-(select Andalucía 99). De la función f:  , definida por f(x) = ax3+bx2+cx+d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de inflexión en (0,0), y que 1 5 3 0 f ( x)dx  4 . Calcular a, b, c y d. Solución : f(x) = -x + 3x. 6.-Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x· ln( 1+x2), el eje OX, y la recta x = 1. Solución : ln2- ½ u2. 7.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada entre la curva 32 2 f(x) = x2 -3x+2 , y la recta y = x +2. Solución : u. 3 8.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las 125 2 funciones f(x) = x2+3x+2 , e y = -x2 -3x+10 . Solución : u. 3 9.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las 1 1 sen2 x . Solución : 2 u2. funciones f(x) = sen2 x , e y = senx + 2 2 10.-Hallar



6

1

x  3 dx . Solución

13 2 u. 2

11.- Calcular mediante integrales el área encerrada por las gráficas de las parábolas 16 2 y2 = 4x , y x2 = 4y . Solución : u. 3 12.- Calcular mediante integrales el área encerrada por las gráficas de la parábola 9 2 y = -x2+2x , y la recta y = - x . Solución : u. 2

13.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las 2 funciones y = ex , e y = e-x y las rectas x= -1 y x= 1 . Solución : 2e+ -4 u2. e 14.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las 1 15 funciones y = x3, x·y =1 y las rectas x= y x= 2. Solución: +ln2 u2. 2 64 15.- Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 -6x2+8x y el eje OX. Solución: 8 u2. 16.- Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 2 -6x+8 y las rectas x = 3, y x = 5. Solución: 2 u2. 17.-Enunciar la regla de Barrow. Sea la función f(x) =



x

1

1 dt , y sean a, b  t



.

Demostrar que f(a·b) = f(a) + f(b). Nota: Equivale a demostrar que L( a·b) = L(a)+L(b) , se sabe que L(a) = x  ex =a y que L(b) = y  ey = b. 18.-Calcular



2

0

senx dx .El hecho de que tengamos



b

a

f ( x) dx  0 para una función f

nos permite asegurar que necesariamente sea a= b ? Solución: no, vale para ilustrarlo la integral propuesta.

5 . 2 20.- ( Select 96) Calcular el valor de a para que el recinto limitado por la parábola 8 2 y = -x2+1 y la recta horizontal y = a, con 0< a < 1 valga . Soluc: a=-1, aunque 3 -1   0,1 , luego no sería válida. 19.- Comprobar que se verifica :



2

0

2 x  1 dx 

21.- Determinar el área encerrada por la gráfica de la función y2 = x3 y la recta que 512 2 pasa por el origen y el punto (1, 4). Solución: u. 5

1 +tgx cuya gráfica pase por el x punto ( , 0) .Solución : F(x) = tgx – L x - L cos x + L  . 22.- Calcular la primitiva de la función f(x) = tg2 x +1-

4 , los ejes OX y OY, y la recta x = 4 limitan una superficie S. x4 Calcular el área de S. Solución: 4Ln2 u2. 23.- La curva y =

24.- Calcular mediante integrales el área encerrada por la gráfica de la función y = lnx , y las rectas y = 0 y x= e. Solución : 1 u 2.

25.- Hallar todas las funciones cuya derivada es f(x) = encontrar aquella que pasa por el punto P(1, F(x)=

x3  x  2 . De todas ellas, x2  1

 ). Solución : La función pedida será : 2

x2 1  2arctg x  . 2 2

26.- De una función integrable en  1,1 , se sabe que f ( x)  1  x2 . De los números -3, -2,-1,2´5,y 2´75.¿ Cuáles pueden ser los valores de la integral



1

1

f ( x ) dx ?

Solución : podrían ser -2,-1´25,2´5 porque son < 2´6. 27.- El polinomio de grado dos P(x)= x2+Ax+B se anula para x=1, y además se sabe que 1 19 22 0 P( x) dx  3 . Calcular A y B. Solución : A = 3 , y B = 3 . 28.- Obtener la familia de curvas en que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquier punto viene dada por la función f(x)= x·e2 x . Obtener la curva de 1 1 9 dicha familia que pasa por el punto A(0,2). Solución: F(x)= xe2 x  e2 x  . 2 4 4 29.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 y las rectas y = x, e 7 y = 2x. Soluc: u2. 6 30.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x2 -1, y las rectas x = -1 y x =1.Soluc:

7 2 u. 3

31.- Calcular el área que tiene el recinto cerrado y limitado por las gráficas de las 6 funciones y = - x2+7 e y = , representadas en el primer cuadrante. Solución: x 14  6 ln 2 u2. 3 32.- La gráfica de la curva y = x· cosx, cuando 0  x 



2

y el eje OX limitan una

superficie. Determinar el área de dicha superficie. Solución : 33.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y =

 2

1 u2 .

x2 1 ey= 2 . Soluc: 2 x 1

1´24 u2. 34.- Calcular el área que tiene el recinto cerrado y limitado por la gráfica de la función y = x·e x , el eje OX, y la recta paralela al eje OY que pasa por el punto donde la curva 2 tiene un mínimo relativo. Solución:  1 u2. e

35.- Hallar la expresión de una función polinómica de grado dos, sabiendo que sus puntos de intersección con el eje OX son el (1,0) y el (3,0). Además, el área limitada por 4 la curva y los dos ejes de coordenadas ( en el cuarto cuadrante ) vale . 3 2 Solución : a= -1, b=4, y c= -3, y la función pedida es f(x)= -x +4x-3. 36.-Sean las funciones f(x)= x2, y g(x)= x3. Determinar el área encerrada por las gráficas 3 2 u . de ambas funciones y la recta x =2. Solución: A(R) = 2 37.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y = x2 e y = x , y la recta 11 2 que pasa por los puntos (2,4) y (4,2). Soluc: u. 3 38.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas 7 2 de las funciones y = x  1 , e y = -x2+2x+1 . Solución : u. 3 39.- Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación y2 = x y el 9 segmento cuyos extremos son los puntos (1,-1) y (4,2). Soluc: u2. 2 40.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 -3x-10 y la recta 343 2 y = 2x-4. Soluc: u. 6 41.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas 1 x  1 2 de las funciones y = 2 ,e y= y el eje OY . Solución : u. x 4 16 8 42.- Dada la función f:  , definida de la forma : f(x) = x 1  1 . a.- Halla una primitiva de f. b.- Calcula

2



0

x · f ( x) dx .

 x2 2 x  si x  1  1 x 2 (2  t ) dt  t dt Solución : F(x)=  .Nota: para x>1 se hace: F(x)=   2 0 1 x 1 si x  1  2 x

y para x