Física en la Kinesiología 1.5 Torque y Palanca Practico Dr. Willy H. Gerber Instituto de Física, Universidad Austral, Valdivia, Chile 26.09.2009

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El movimiento de los brazos Cuando caminamos y corremos tendemos a mover en forma asincrónica nuestros brazos. Para entender porque es esto veremos:

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Acción y Reacción en Rotación

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Movimiento de nuestro tronco

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El Brazo oscilante

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La Bolsa de Compras

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El Concepto

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Acción y Reacción en Rotación I Si nos sentamos sobre una silla e intentamos girar los brazos en un sentido, nuestros pies rotaran en el sentido opuesto. Esto corresponde a la ley de tercera ley de Newton aplicada a lo que es la rotación. Si TA es el Torque de acción y TR es el Torque de reacción, entonces TR = −TA

(1)

Cuanto giremos dependerá de los respectivos momentos de inercia.

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Acción y Reacción en Rotación II Si el momento de inercia del la parte superior de nuestro cuerpo es Is y del inferior Is , las aceleraciones angulares superiores e inferiores deberán cumplir Is 𝛼s = −Ii 𝛼i

(2)

Si pensamos que el caso de aceleración constante es fácil ver que el angulo de giro de la parte superior 𝜃s se relacionara con el de la parte inferior 𝜃i mediante Is 𝜃s = −Ii 𝜃i W. Gerber

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Movimiento de nuestro tronco I Si aplicamos lo mismo a nuestro cuerpo veremos que cada vez que movemos nuestra pierna hacia adelante tendremos a hacer lo mismo con nuestro cuerpo. Si un jugador de fútbol patea mueve su pierna en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Sin embargo su cuerpo gira en el sentido contrario.

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Movimiento de nuestro tronco II Para estimar el angulo debemos conocer los momentos de inercia I. Estos se calculan con las ecuaciones indicadas en la gráfica ICM (que corresponden al momento de inercia en el Centro de Masa) sumando la masa m multiplicada por la distancia d entre el punto de giro y el centro del cuerpo I = ICM + md2

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Movimiento de nuestro tronco III Si suponemos que el torso tiene un radio rt = 0,15 m, altura ht = 0,6 m y masa de mt = 43 kg su momento de inercia respecto del CM sera ItCM =

mt 2 (h + 3rt2 ) = 1,51 kgm2 12 t

Como gira en torno a uno de sus extremos debemos sumar la masa por la distancia al cuadrado It = ItCM

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( )2 ht = 5,32 kgm2 + mt 2

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Movimiento de nuestro tronco IV Si hacemos el mismo calculo para una de nuestras piernas obtenemos con un radio de rp = 0,06 cm, altura hp = 0,8 m y masa mp = 9 kg se obtiene un Momento de Inercia total de ( )2 mp 2 hp 2 Ip = (hp +3rp )+mp = 1,94 kgm2 12 2

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Movimiento de nuestro tronco IV Como el Momento de Inercia del torso es mayor que el de la pierna tenderemos a girar el cuerpo en un menor angulo Ii 𝜃s = − 𝜃i = −0,36𝜃i < 𝜃i Is

(5)

En palabras el cuerpo girara solo un tercio de lo que gira la pierna; si esta lo hace en por ejemplo 60∘ , el cuerpo lo hará solo en algo mas de 20∘ .

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El Brazo oscilante I

La pregunta es como reacciona el brazo. De hecho el torso casi no oscila y es el brazo que asume este rol. O sea pareciera como que el torso transfiere su movimiento al brazo. De hecho el movimiento del brazo corresponde a lo que esperaríamos en este caso: se desplaza en el sentido contrario de lo que lo hace el torso y con ello asincronico con el movimiento de las piernas.

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El Brazo oscilante II

Sin embargo en la literatura se desconoce esta simple hecho de que se esta simplemente cumpliendo la tercera ley de Newton y se argumenta desde que es un tema ’muscular’ (los músculos mueven los brazos a voluntad del usuario) o que es un tema genético (un remanente de le época en que nos desplazábamos en cuatro patas).

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La Bolsa de Compras Una forma de mostrar que la causa original del movimiento no es muscular es mirar como se comporta una bolsa de compras que sostenemos con un solo dedo. Si tratamos de suprimir la oscilación de nuestro brazo tendera a comenzar a oscilar. Si dejamos que el brazo oscile la bolsa lo ’acompañara’ aumentando el Momento de Inercia y reduciendo con ello la amplitud del movimiento.

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El Concepto I Si analizamos lo expuesto llegamos a la conclusión que la causa principal es la tercera ley de Newton en acción. Sin embargo para menores velocidades las fuerzas involucradas son menores y podemos con nuestra musculatura restringir la oscilación de los brazos con una inversión menor de energía. Para mayores velocidades las fuerzas involucradas son mayores por lo que la restricción no es tan simple.

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El Concepto II

Por otro lado el desplazamiento de los brazos estabiliza el movimiento rotatorio del torso por lo que nos es útil. Sin embargo la amplitud puede llegar a ser tan grande que puede representar en si un problema. Por ello tendemos a retraer los brazos reduciendo su largo.

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El Concepto III Por ultimo se puede interpretar el sistema como un sistema en que se transfiere Momento Angular. Al igual que en el caso del juguete de las volitas que chocan en que se conserva Momento Lineal, aquí la pierna aplica Momento Angular el que va siendo transferido vía los elementos de la cadena hasta el ultimo que oscila libremente.

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Estudio del Movimiento propio Para estudiar como se mueven nuestros propios brazos veremos:

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Medición de los Ángulos

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Aceleraciones de los Brazos

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Momentos de Inercia

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Distancia al Eje

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Torques de los Brazos

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Aceleraciones de las Piernas

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Torques de las Piernas

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Medición de la Amplitud I

Para calcular los ángulos basta medir la distancia que alcanzan nuestras manos al moverse en ambas direcciones. Para ello camine/corra en cada uno de los modos captando hasta donde llegan las manos. Detenga el movimiento de la mano en el punto mas extremo y mida la distancia que alcanzo.

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Medición de la Amplitud II

La distancia que se mide es la que hay entre el punto mas extremo del cuerpo que se mueve (dedos, codo) y el eje central del cuerpo. W. Gerber

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Medición de la Amplitud II La distancia d se mide entre la punta de los dedos (caso caminar) o punta del codo (caso correr) y eje del cuerpo. El largo del brazo (caso caminar: brazo+antebrazo+mano+dedos, caso correr: solo brazo) h se puede obtener del los datos obtenidos en el primer practico. Con el se observa que el angulo cumple la relación ( ) d d (6) sin 𝜃 = → 𝜃 = arcsin h h

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Aceleraciones de los Brazos I El Brazo avanza durante las faces de aceleración y frenado del pie (opuesto) y vuelve durante la fase de reposo de este. Los tiempos de cada fase fueron estimados en el segundo practico y se les denomino 𝜏1 , 𝜏2 y 𝜏3 respectivamente. Como el angulo recorrido es de 𝜃1 + 𝜃2 y se supone que el ciclo se inicia con el brazo en reposo, se tendrá que, en caso de ser la aceleración contante, el proceso de avanzar sera 1 𝜃1 + 𝜃2 = 𝛼a (𝜏1 + 𝜏2 )2 2 Por ello podemos calcular la aceleración mediante 𝛼a =

2(𝜃1 + 𝜃2 ) (𝜏1 + 𝜏2 )2

(7)

Con ello podemos describir el desplazamiento hacia adelante del brazo. W. Gerber

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Aceleraciones de los Brazos II Para calcular el movimiento mediante el cual el brazo vuelve atrás escribimos una ecuacion similar solo que ahora el tiempo es 3 y el angulo debe ser negativo: 1 −(𝜃1 + 𝜃2 ) = 𝛼f 𝜏32 2 Despejando se obtiene así la aceleración para el proceso de retroceso 2(𝜃1 + 𝜃2 ) (8) 𝛼f = − 𝜏32 Para poder estimar el Torque involucrado debemos calcular los Momentos de Inercia.

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Momentos de Inercia I El calculo del Momento de Inercia lo debemos realizar en dos pasos. Primero se calcula el Momento de Inercia para una rotación en torno del Centro de Masa. Esto se hace aplicando la ecuación del Momento de Inercia para la forma que corresponda. Para simplificar el trabajo representaremos los conos de nuestro cuerpo mediante cilindros tomando el radio como el valor promedio entre los radios a y b.

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Momentos de Inercia II

I=

m 2 12 (h

+ 3r2 ) r=

a+b 2

En el caso de los Cuerpos modelados por Conos/Cilindros el Momento de Inercia en torno del Centro de Masa es ICM,Cilindro =

h=c

(9)

En nuestro caso la altura esta dada por el c de cada Elemento y el radio por el promedio entre a y b r=

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m 2 (h + 3r2 ) 2

a+b 2

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Momentos de Inercia III

I=

m 2 12 (a

+ c2 )

c b a

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En el caso de los paralelepípedos rectos el Momento de Inercia del Centro de basa esta dado por la suma de los cuadrados de los lados perpendiculares al eje. Tanto en Manos como Pies esto son los lados a y c por lo que el Momento de Inercia sera ICM,Paralelepipedo =

m 2 (a + c2 ) (11) 2

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Momentos de Inercia IV Para calcular el Momento de Inercia I total debemos sumarle a cada Momento de Inercia en torno al Centro de Masa ICM lo que es su masa m multiplicado por el cuadrado de la distancia del Centro al Eje d I = ICM + md2

(12)

Las distancias d deben calcularse para cada una de las geometrías que se estudian, o sea para el brazo extendido, para el recogido (modo correr) como para la pierna. W. Gerber

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Distancias al Eje I

En el caso del brazo hay que considerar un total de cuatro elementos con sus distancias: cb ▶ Brazo (d = ) b 2 ca ▶ Antebrazo (d = c + ) a b 2 cm ▶ Mano (d ) m = cb + ca + 2 cd ▶ Dedos (d = c + c + c + ) d b a m 2

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Distancias al Eje II En el caso del brazo retraído, hay que considerar que tres de los miembros están invertidos por lo que su distancia al eje se reduce: ▶

▶

▶

▶

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cb ) 2 ca Antebrazo (da = cb − ) 2 cm Mano (dm = cb − ca − ) 2 cd Dedos (dd = cb − ca − cm − ) 2 Brazo (db =

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Distancias al Eje III En el caso de la pierna la principal complejidad radica en el espacio entre pie y pierna por lo que es recomendable trabajar con las distancias medidas en el eje z. Como la distancia de la parte superior del muslo es zm + cm /2 se tiene que: ▶

▶

▶

▶

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cm ) 2 cm − zm ) Pierna (dn = zm + 2 cm Pie (dp = zm + − zp ) 2 cm − zd ) Dedos (dd = zm + 2 Muslo (dm =

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Torques de los Brazos Una vez se calcularon los Momentos de Inercia es fácil calcular los torques. Simplemente debemos multiplicar los Momentos por las Aceleraciones angulares. Si el Momento de inercia del brazo es Ib , el Torque durante la fase de adelantar sera Ta = Ib 𝛼a

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y en la fase de retroceso Tf = Ib 𝛼f

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Aceleraciones de las Piernas Durante el segundo practico calculamos las aceleraciones aa y frenado de las piernas af que se pueden asociar a aceleraciones angulares respectivas aa = h𝛼p,a y af = h𝛼p,f que despejando nos permite calcular las Aceleraciones Angulares

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𝛼p,a =

aa h

(15)

𝛼p,f =

af h

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Torques de las Piernas Con el Momento de Inercia de la pierna Ip finalmente se pueden calcular los Torques que aceleran Tp,a = Ip 𝛼p,a

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y frenan la pierna Tp,f = Ip 𝛼p,f

(18)

Para terminar, se pueden comparar los Torques que actúan sobre piernas y brazos para determinar la medida en que los brazos reaccionan al movimiento de las Piernas. W. Gerber

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Programa Walker A continuación se describe la tarea y el uso del Programa Walker

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Introducción

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Ingresar y Grabar Datos

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Curso, Modo y Modelo

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Definición de Tarea

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Introducción Para ejercitar los conceptos de Rotación, podemos parametrizar el Simulador del Caminador (Walker 4.0). Este emplea los datos definidos anteriormente en la moderación del Cuerpo definidos en el BodyModel. En la Versión 4.0 se puede seleccionar el Modo ’Torque’ que permite ingresar adicionalmente los datos de las Aceleraciones de los Brazos y Torques asociados (ver Menú).

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Ingresar y Grabar Datos Para ingresar y grabar los datos:

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Abra con Open la primera vez su archivo del ejercicio anterior FSCA022-04-Nombre.gpd

▶

Ingresar los Parámetros al Programa Walker seleccionando el Modelo ’Torque’ bajo el Menú ’Torque’ para cada Modo de Movimiento.

▶

Estudie la animación para asegurar que los valores dan sentido.

▶

Se almacenan los datos con la función Save en un archivo con un nombre de la forma FSCA022-05-Nombre.gpd donde Nombre es el nombre del alumno.

▶

Cuando desee volver a modificar el modelo abre con Open el nuevo archivo FSCA022-05-Nombre.gpd. Este contiene los datos de los ejercicios anteriores. Física en la Kinesiología - 1.5 Torque y Palanca - Practico

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Operación Primero defina Curso, Modo y Modelo: ▶

El curso (Cuidado, cada curso tiene una distinta lista de modos).

▶

Como Modelo escoja Torque (caminante que mueve los brazos) para este ejercicio.

▶

Cada vez un modo para el cual ingresa los valores medidos y los calculados.

En el slider superior puede variar la velocidad de la animación. En los Radiobutton puede elegir el modo en que acompaña a la figura o lo ve avanzar. Si detiene la animación puede con el Slider de abajo recorrer las distintas posiciones manualmente.

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Definición de Tarea I Se debe determinar/calcular:

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La amplitud de la oscilación del brazo tanto hacia adelante como atrás

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Los ángulos asociados

▶

Las aceleraciones tanto cuando avanzan como cuando retroceden los brazos.

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Los Momentos de Inercia de Brazos (extendidos y contraídos) y Piernas.

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Los Torques asociados al movimiento de los Brazos.

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Las Aceleraciones de las Piernas y los Torques asociados.

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Ingresar los Parámetros al Programa Walker Version 4.0.

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Definición de Tarea II

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Estudie la animación para asegurar que los valores dan sentido. Cuidado, en correr pueden haber problemas; el simulador no considera en este modo la aceleración centrifuga.

▶

Se almacenan los datos con la función Save en un archivo con un nombre de la forma FSCA022-05-Nombre.gpd donde Nombre es el nombre del alumno.

▶

Se envía el archivo a [email protected] como attachment.

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Definición de Tarea III Sobre el uso del programa:

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Los datos se ingresan seleccionando la parte el modo de caminar, rellenando los valores y oprimiendo cada vez Set.

▶

Se puede dejar revisar el trabajo oprimiendo la tecla Eva. El Sistema indica en el recuadro Análisis los errores que haya encontrado y el puntaje alcanzado.

▶

La nota se calcula mediante el puntaje.

▶

Para bajar el programa haga click aquí. El programa presentara el icono

▶

Si el icono es distinto no tiene java instalado. Bajelo desde www.java.com/es/download/ e instalelo (gratuito). Física en la Kinesiología - 1.5 Torque y Palanca - Practico

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Anexos

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Unidades

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Conversiones

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Bibliografia

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Contacto

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Unidades

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Simbolo L T M %

Tipo Largo Tiempo Masa Porcentaje

Ejemplos m, cm, mm, 𝜇m s, min, hrs kg −

Simbolo L2 L3 M/L3

Tipo Área, Superficie Volumen Densidad

Ejemplos m2 , cm2 m3 , cm3 kg/m3 , g/cm3

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Conversiones I 1 𝜇m 1 mm 1 cm 1m 1m 1m 1m

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= 10−6 m = 10−3 m = 10−2 m = 10+2 cm = 10+3 mm = 10+6 𝜇m = 10+9 nm

1 nm 1 nm2 1 𝜇m 1 mm2 1 cm2 1 m2 1 m2 1 m2 1 m2 1ha 1m2

= 10−9 m = 10−18 m2 = 10−12 m = 10−6 m2 = 10−4 m2 = 10+4 cm2 = 10+6 mm2 = 10+12 𝜇m2 = 10+18 nm2 = 10+4 m2 = 10−4 ha

1 nm3 1 𝜇m3 1 mm3 1 cm3 1 m3 1 m3 1 m3 1 m3 1lt 1m3

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= 10−9 m3 = 10−18 m = 10−9 m3 = 10−6 m3 = 10+6 cm3 = 10+9 mm3 = 10+18 𝜇m3 = 10+27 nm3 = 10−3 m3 = 10+3 lt

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Conversiones II

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1 g/cm3 1 kg/m3

= 10+3 kg/m3 = 10−3 g/cm3

1 m/s 1 km/hr

= 3,6 km/hr = 0,278 m/s

1s 1s 1s 1s 1 ao 1 dia 1 hr 1 min

= 1,67 × 10−2 min = 2,78 × 10−4 hr = 1,16 × 10−5 dias = 3,17 × 10−8 aos = 3,15 × 10+7 s = 8,64 × 10+4 s = 3600 s = 60 s

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Bibliografia I Textos recomendados. En caso de links a Google Books se trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro. Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J. Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008, ISBN-13: 9780736076135 ,→ Leer en Google Books

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Contacto

Daniela Díaz [email protected] Francisco Alarcon [email protected]

Set del Curso: http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach W. Gerber

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