Tema 1. Repaso de Teoría de Circuitos

Joaquín Vaquero López

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 1

Repaso de Teoría de Circuitos: índice

1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito 1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff 1.3) Principio de Superposición 1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton 1.5) Divisores de voltaje y corriente 1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga 1.7) Método gráfico de resolución de circuitos 1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 2

Conceptos preliminares CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puede circular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real. Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo. Señales de entrada, salida y función de transferencia. Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.

VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)

ELEMENTOS DE UN CIRCUITO: Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros concentrados. Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.

Pasivos: R,L,C. Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.

ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 3

Característica I-V. Recta de carga

Característica I-V de un elemento de un circuito: Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje a través de sus terminales.

Recta de carga: Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dicho dispositivo en el circuito en que se halla.

Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 4

Característica I-V. Recta de carga Ejemplos:

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 5

Característica I-V. Recta de carga Ejemplos: Característica I-V de entrada de un transistor

Punto de operación Q IBQ

Recta de carga VBEQ

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 6

Ejemplos:

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 7

Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff

Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltajecorriente en cualquier red, lineal o no: 1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero. 2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuito es igual a cero. Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.

Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dos nudos Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito. Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cada elemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NO hay una única forma de resolverlo. Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 8

Principio de superposición

ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma:

v  a·i1  b·i2 ó i  c·v1  d ·v2 con a, b, c, d constantes. En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral)  la característica v-i es de la forma:

va

di1  b  i2 dt dt

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente. Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se apliquen en la misma localización. Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 9

Teoremas de reducción de circuitos

Equivalente de Thévenin: Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes) puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por una sola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina “Equivalente de Thévenin” del circuito original. Vth representa todas las fuentes. Rth representa todas las resistencias. Equivalente de Norton: Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistencia equivalente está conectada en paralelo.

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 10

Divisores de tensión y corriente

Divisor de tensión: Las impedancias son atravesadas por la misma corriente V1

R1

V2

R2

I1  I 2 

Vi

V1 

Vi V1  I1 ·R1 ;V2  I 2 ·R2 R1  R2

R1 ·Vi ; R1  R2

V2 

R2 ·Vi R1  R2

Divisor de corriente: Las impedancias está sometidas a la misma tensión I1 ·R1  I 2 ·R2 ; I i  I1  I 2 Vi

I1

R1

I2

R2

I1  I i  I 2  I i  I1 I1 

Electrónica, 2007

R1 R2

R2 ·I i R ·I ; I2  1 i R1  R2 R1  R2 Joaquín Vaquero López 11

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden. Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta natural del sistema.

Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del sistema forzada por una excitación exterior. Homogénea:

Ejemplo 1: Circuito RC

t

R Vin

C i

1 R·i(t )  uC (0)   i(t )dt  0 C0 Completa:

t

1 vin (t )  R·i(t )  uC (0)   i(t )dt C0 Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 12

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado) t 1 R·i (t )  uC (0)   i (t )dt  0; Solución homogénea: C0 Condiciones iniciales: Solución tipo:

uC (0)  V0 ; vin (t )  0 i (0)  

V0 R

t

V  i (t )   0 ·e RC R

i(t )  K ·et

Tensión en el condensador: t t  1 RC  V0 uC (t )  uC (0)   i (t )dt uC (t )  V0  V0 ·e C0

uC (t )  V0 ·e

uC (0)  V0

Constante de tiempo: 1   RC ;    2 · f 



t RC

63% 95%



Electrónica, 2007

3·

Joaquín Vaquero López 13

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado) Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica): t 1 vin (t )  R·i(t )  uC (0)   i(t )dt C0 Condiciones iniciales: uC (0)  V0 ; vin (t )  Vin ; i(0)  Solución tipo:

Vin  V0 R

i(t )  K ·et

Tensión en el condensador: t t t   1 uC (t )  uC (0)   i (t )dt uC (t )  (V0  Vin )·e RC   uC (0) C0 0

V V  i(t )  in 0 ·e RC R t

uC (t )  (V0  Vin )·e



t RC

 Vin

Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

f (t )   f (0)  f  (0)·e Electrónica, 2007



t



 f  (t ) Joaquín Vaquero López 14

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden Ejemplo 1: Circuito RC Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones senoidales: 1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar. 2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar. 3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral. 4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales. 5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener. 6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema. Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 15

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado) Solución analítica a la completa. Excitación senoidal: t 1 vin (t )  R·i(t )  uC (0)   i(t )dt siendo v (t )  V ·cos(t   ) in in v C0 Solución tipo: i(t )  I in ·cos(t  i ) I in , i

R·I in cos(t  i )  uC (0)  Particularizando para:

t  0; t 

1 I in sin(t  i )  Vin ·cos(t  v ) C

 2

1 I in sin(i )  Vin ·cos(v ) C 1 R·I in sin(i )  uC (0)  I in cos(i )  Vin ·sin(v ) C

R·I in cos(i )  uC (0) 

particularizando para uC (0)  0 por comodidad Electrónica, 2007

(Ec.trascendentes mediante métodos numéricos, vectorialmente ó mediante complejos) Joaquín Vaquero López 16

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 1: Circuito RC Resolución vectorialmente (trigonometría). Módulo: Vin  R 2 ·I in2 

I in 

I in2 (C ) 2

R

Vin 1 R  (C ) 2

i

2

Vin R2 

1 (C ) 2

 cos(t    v )



I in C

v

Argumento: 1 i    v ;   arctg RC Solución: i (t ) 

I in

Vin

uC (t ) 

Vin R2 

1 (C ) 2



1  sen(t    v ) C

Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 17

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

j

Ejemplo 1: Circuito RC

t j

Resolución mediante complejos

e

  sen(t )  Ime 

Euler: e jt  cos(t )  j sen(t )

cos(t )  Re e jt

e  jt  cos(t )  j sen(t )

jt

t

sen(t )

cos(t )

Solución tipo:







i(t )  I in ·cos(t  i )  I in  Re e j (t i )  I in  Re e ji  e jt



Solución para régimen senoidal permanente

R·I in e ji e jt  I in e

ji



Vin 1 R jC

Electrónica, 2007

·e

jV

; I in e

ji



1 1 I in e ji e jt  Vin ·e jV e jt C j Vin 1 R2  (C ) 2



·e

j (V   ) 2

 

I in Re e

ji

Vin R2 

1 (C ) 2

 j (V  2  )  ·Ree   

Joaquín Vaquero López 18

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:

u(t )  Vin ·e jV e jt ; i(t )  I in ·e ji e jt Resistencia

Bobina

u(t )  R  i(t )

u (t )  L 

Vin ·e jV e jt  R  I in ·e ji e jt

Vin ·e jV e jt  jL  I in ·e ji e jt

Condensador du i (t )  C  dt I in ·e ji e jt  jC Vin ·e jV e jt

Vin ·e jV  L  I in ·e ji  2

I in ·e ji  C Vin ·e jV  2

R

Vin I in

V  i Corriente y la tensión en fase Electrónica, 2007

di dt

Vin  L  I in Z L  jL V  i   2

i  V   2 La corriente retrasa 90º a la tensión

I in  C Vin 1 ZC  jC

i  V   2 La corriente adelanta 90º a la tensión Joaquín Vaquero López 19

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia. Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos. Función de transferencia. R 1 ·Vin Vin Vout 1 jC 1 V    H ( j  )   Vin out Vout 1 1  jRC Vin 1  jRC j C R jC Módulo H ( j ) 

Fase o argumento

Vout 1  Vin 1  (RC ) 2

H ( j )  

Vout    arctg (0)  arctg (RC ) Vin

 

Siendo vin (t )  Vin ·cos(t )  Vin  Re e jt

 

 

Vout  Vin  Re e jt · H ( j )  Re e j  Electrónica, 2007

Vin 1  (RC )

2

·cos(t   ) Joaquín Vaquero López 20

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 1: Circuito RC. Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos. Función de transferencia. Representación gráfica. Módulo Fase o argumento

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 21

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 1: Circuito RC. Resolución a la completa. La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos. La homogénea es la respuesta transitoria: Solución tipo uC (t )  K ·e

t

uC (t )  K ·e

La solución completa resulta Con la condición inicial

uC (0)  V0

uC (t ) 



t RC

Vin 1  (RC )

2

·cos(t   )  K ·e

K  V0 

Vin 1  (RC )

2



t RC

·cos( )

  t Vin  uC (t )  ·cos(t   )  V0  ·cos( ) ·e RC   1  (RC ) 2 1  (RC ) 2   Vin

Electrónica, 2007

Joaquín Vaquero López 22

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF

Vout 

Electrónica, 2007

Vin 1  (RC ) 2

·cos(t   ) 

Vin 1  (RC ) 2

·cos( )·e



t RC



t    ·cos(t   )  cos( )·e RC  1  (RC ) 2  

Vin

Joaquín Vaquero López 23

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 2: Circuito RL

Homogénea:

R·i(t )  L

R Vin

L

di 0 dt

Completa:

vin (t )  R·i(t )  L

di dt

Solución a la homogénea (transitorio): Condiciones iniciales: i(0)   I 0 ; vin (t )  0; uL (0)  I 0 ·R

Solución tipo:

i(t )  K ·e

R  ·t di Tensión en la resistencia: u L (t )  L·   I 0 R·e L dt

Constante de tiempo: Electrónica, 2007



i (t )  I 0 ·e

t

L 1 ;    2 · f R 



R ·t L

63% 95%



3· Joaquín Vaquero López 24

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 2: Circuito RL Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica): di vin (t )  R·i(t )  L dt Condiciones iniciales y finales:

i(0)  I 0 ; vin (t )  Vin ; i() 

Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

Tensión en la bobina: di u L (t )  L dt

Electrónica, 2007

Vin R

f (t )   f (0)  f  (0)·e



t



 f  (t )

Vin   RL ·t Vin  i (t )   I 0  ·e  R R 

u L (t )  (Vin  R·I in )·e

R  ·t L

Joaquín Vaquero López 25

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 2: Circuito RL Solución analítica a la completa. Excitación senoidal: di vin (t )  R·i(t )  L siendo vin (t )  Vin ·cos(t  v ) dt Solución tipo:

i(t )  I in ·cos(t  i )

R·I in cos(t  i )  L·I in sin(t  i )  Vin ·cos(t  v ) Particularizando para:

t  0; t 

 2

R·I in cos(i )  L·I in sin(i )  Vin ·cos(v ) R·I in sin(i )  L·I in cos(i )  Vin ·sin(v )

Electrónica, 2007

I in , i

Joaquín Vaquero López 26

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 2: Circuito RL Resolución vectorialmente. LIin

Módulo:

Vin

I in 

Vin  R ·I in  (L) ·I in 2

2

2

2



Vin R 2  (L) 2

RI in

v i

Argumento:

i  v   ;   arctg

L R

Solución: i(t ) 

Electrónica, 2007

Vin R  (L) 2

2

 cos(t  v   )

u L (t )  

Vin R  (L) 2

2

 L  sen(t  v   )

Joaquín Vaquero López 27

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia. Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos. Función de transferencia. R Vin

jL

Vout 

Vout

jL·Vin V jL  H ( j )  out  R  jL Vin R  jL

Módulo H ( j ) 

Vout  Vin

1  R  1    L 

2

Fase o argumento

H ( j )  

Vout  L    arctg ()  arctg     Vin  R  2

 L  Siendo vin (t )  Vin ·cos(t )  Vin  Re e jt y   arctg   R    

 

 j     Vout  Vin  Re e jt · H ( j )  Re e  2     

 

Electrónica, 2007

Vin

 R  1    L 

2

·cos(t 



2

) 

Vin  R  1    L 

2

·sen(t   )

Joaquín Vaquero López 28

Circuitos RC: Circuitos de 1er orden Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L.

Electrónica, 2007

F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH

Joaquín Vaquero López 29