Módulo

1 1.1

DERIVADAS Reglas de diferenciación

Reconocimiento de saberes Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 )

ln ( x 2e2 )

2ln x − 2

ln ( x2 e2 )

x

ln e x

ln e

2ln x + 2

x

x2

Ejercicio 2 Escriba en las celdas de la tabla los correspondientes valores de a y b , sabiendo que al simplificar P se obtiene Q. P 2

(x + h) − x h

Q

a

b

2

ax + bh

( x + h )3 − x 3 h

ax 2 + bxh + h 2 a

x+h − x h

bx + h + x

1 1 − x+h x h

a x − bxh 2

Ejercicio 3 Complete en los casilleros en blanco, valores correspondiente a cada uno de las siguientes relaciones:

5 = x5

x

2 = 3 x −2

x

6 x=

x

7 = x

x

Mapa conceptual

Este espacio está reservado para que diseñes tu mapa conceptual

Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Determine la derivada de las siguientes funciones: a)

y = x2 + x + 8

b)

y = 3x7 − 7x3 + 21x2

c) y =

x3 x2 x + + 3 2 4

d)

y = 4 − 2x − x−3

e)

y = −5 x +

3 x

f)

y = − 2 x −1 +

g)

y=

h)

y=

3

−1

4 x2

12 4 1 − + x x3 x 4 2 8 3 + − 3 x −4 2 x 3x

3

Ejercicio 2 Determine y ' aplicando la regla del producto y multiplicando los factores para obtener una suma de términos más simples para derivar. a)

y = ( 3 − x 2 )( x3 − x + 1)

b)

y = ( x − 1) ( x 2 + x + 1)

c)

y = ( x 2 + 5)( x 2 − 3)

d)

y = (1 + 2 x ) (1 − 2 x + 4 x 2 )

e)

y = (1 + x3 )(1 − x3 )

f)

1  1  y =  x +  x 2 − 1 + 2  x  x  

g)

1  y = ( x 2 + 1)  x + 5 +  x 

h)

1  1   y =  x +  x − + 1 x  x  

Ejercicio 3 Determine la derivada de las siguientes funciones. a)

y=

2x + 5 3x − 2

x2 − 4 b) y = x + 0.5 x −1 x +1

c)

y=

d)

y = ( 2x − 7)

e)

y=

1 ( x + 1)( x2 + x + 1)

f)

y=

( x + 1)( x + 2 ) ( x − 1)( x − 2 )

g)

y=

5x + 1 2 x

h)

 1  y = 2 + x  x 

−1

( x + 5)

2

Ejercicio 4 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes y m∈ ». a)

y = a2 + b2 x2

b)

y=

a x − − (a + b) x + a − b x2 b

c)

y=

x5 x2 − −x a +b a −b

d) y =

x+a x−a

e)

y = ax 2 − bx + a x +

f)

y=

g)

y=

h)

y = ( ax m + b )

a b − + ab x x2

a x3

−

b x x m

b x

Ejercicio 5 Determine y ' aplicando la regla de potencias. a)

y = (1 + 4 x ) (1 + 2 x 2 )

b)

y = ( x + 1) ( 32 − x )

c)

y=

3

2

4 x − 12

( x − 2)

2

 x+2 d) y =    x−2

2

5

e)

y = ( x2 − 4)

f)

y = 3 x +1

g)

y=3

2

3

x−2

x2 +1 x2 − 1 3

2 2  h) y =  2 − x  3  

Ejercicio 6 Determine y ' aplicando la regla de la raíz cuadrada. a)

y = x 8 − x2

b)

y=

c)

y=

d)

y = 9+ 9− x

e)

y=

f)

y = 2x + 2 x

g)

y=

x −1 x +1

h)

y=

x + 1 − x −1 x + 1 + x −1

2x x2 + 1

+ 2

4x + 6 x3 + 3 x + 4

x −1 x +1

Ejercicio 7 Determine y ' aplicando la regla de la inversa. a)

y=

3 x−2

b)

y=

1 1− x

c)

y=

2 1 − x −1 x

d)

y=

1 1 + x + x 2 + x3

e)

y=

1 2 3 + + 1 − x 2 − x 2 3 − x3

f)

y=

16000 + x2 x +1

g)

y=

h)

y=

2

2

( x + 1)

2

2

(x

2

+ 1)

3

+

1 2

Ejercicio 8 Determine y ' aplicando la regla de la exponencial. x

a)

y=e

b)

y = x2e−x

c)

y = xe

d) y =

−

x 5

xe− x 2− x

e)

y = x2e x

f)

y = ee

g)

y=

h)

y=

2

+2 x

x

e

x

2

ex + 1 ex

(e

x

+ e− x )

2

Ejercicio 9 Determine y ' aplicando la regla de la exponencial. 2

−2 x

a)

y = 10 x

b)

y = 2 x − 2 − x + 32 x − 2 (1 − 5− x )

c)

y = ( 22/3 − 22 x /3 )

d)

y=

e)

y = 2x

f)

y = 2e

g)

y=

h)

y=

5

4

2/3

1 − 3x x 3 2

+2 x

+ ( x2 + 2 x )

2

x

3

x

3 x +1 5x

(5

x

+ 5− x )

2

Ejercicio 10 Determine y ' aplicando la regla de logaritmos.

ln x2 x2

a)

y=

b)

y = ln x2 + 1

c)

y=

d)

y = ln x2 + e x

e)

y = x − ln (1 − x )

f)

y=

g)

y = ln x + 1 + x 2

h)

 ex  y = ln  x   1+ e 

ln x x

(

2

)

1 ln x

(

)

Ejercicio 11 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes y m, n ∈ ». a)

y = ( 2b + 3ax )

b)

y = 3 a + bx3

2

3

 ax + b  c) y =    a+b 

3

 bx  d) y = a   b+ x

 a + bx n  e) y =  n   a − bx 

m

f)

b  a   y =  a +  b −  x  x 

g)

a   y =  a − x2  b  

h)

y=

3

ax − b ax + b

Ejercicio 12 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes y m ∈ ». a)

y = ln ax2 + b

b)

y=

c)

 ax + b  y = ln    bx + a 

a2 3 ln x + x2 + a2 3

(

2

d) e)

b m x2

y = ax e

y=

ae−bx

f)

a 2 + b2 y = ( ax + b ) eax +b

g)

y=

ax + b e ax + b

 a 2 + e2 x  h) y =  2 2x   a −e 

m

)

Ejercicio 13 En cada caso calcule el valor de la constantes a y b.

1 1  x − b  dy x + a y = ln ( x 2 − b2 ) + ln  → = 2 2b  x + b  dx x 2 − 4 x dy a → = b) y = b 2 x + 1 dx ( x2 + 1)

a)

1 3 x2

1

dy 2 = e x ( ax2 + b ) c) y = x e → dx

Autoevaluación Ejercicio 1 Calcule el valor de las constantes a y b :

(

)

y = ln x + x2 + 1 →

dy a = dx x2 + b

Ejercicio 2 Calcule la derivada de la siguiente función:

f ( x ) = x3 ln 4 + 9 x 2

Ejercicio 3 Derive y simplifique la función

2

y = 5 ( ax 2 + b ) , donde a y b son constantes.

Ejercicio 4 Resuelva la ecuación: f ' ( x ) = 0 , siendo f ( x ) =

Ejercicio

1

8x x2 + 1

2

3 4

Respuesta

a = b =1

f ' ( x ) = 3x2 ln 4 + 9x2 +

9x 4 + 9 x2

y' =

4

4ax 5 5 ( ax 2 + b )

3

x = ±1

Referencias bibliográficas y digitales Referencia 1 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm

Referencia 2 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/derivadas.pdf

Derivada de funciones trigonométricas

1.2

Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Determine la derivada de las siguientes funciones: a) y = sen 5 x b)

y = cos x2

c)

y = sen ( 4 x 2 − 4 x + 7 )

d)

y = cos ( 5 − x )

e)

 2  y = sen    x

f)

y = cos ( 2 − 6 x )

5

 3  y = cos  8   2x   2x  h) y = cos    3x − 1 

g)

Ejercicio 2 Determine la derivada de las siguientes funciones: a)

y = cos4 5x

b)

y = sen4 2x

c)

y = 4 sen ( x2 − x )

d)

y=

e)

y=

f)

y = sen ( ln x )

g)

y = cos ( cos x )

h)

y = sen 1 − cos 2 x

1 cos 6 x 4

sen2 ( 2 x ) x5

Ejercicio 3 Determine la derivada de las siguientes funciones: a)

y = tan ( x 2 − x )

b)

y = cot ( x 2 + 6 x )

c)

y = 7 x3 tan ( 5 x 2 − 7 )

d)

y = tan sen 4 x

e)

y = tan 6 4 x − 5

f)

y = tan cos 2 x

 g) y = cot    h)

4

5

( 3x − 5)

7

   

y = cot (1 − x2 )

Ejercicio 4 Determine la derivada de las siguientes funciones: a)

y = tan5 x7

b)

y = 9 cot ( 8 − 3x )

c)

y = 7 x7 cot ( 7 − 7 x )

d)

7 y = tan 3 x ( x 2 − 1)   

e)

y=

5 4

f)

cot 6 ( 7 x )

y = 3 tan5 ( x2 − 3)

cot x2 g) y = x2 h)

y = 3 tan ( 2 x − 3)

7

Ejercicio 5 Determine la derivada de las siguientes funciones: a)

y = sec 3x5

b)

1 y = csc  7  x 

c)

2  y = sec  x +  x 

d)

y = csc ( x3 − x 2 + x − 6 )

e)

y = sec7 x

f)

1 y = ( 5 − x ) csc    x

g)

y = csc sen x5

h)

y=

x sec (1 − x )

Derivada de orden superior

1.3

Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Calcule la segunda derivada de las siguientes funciones: a)

y = 4x6 +11x5 − 7x3 − x + 9

b)

y = cos 8 x

c)

y = ln x2

d)

y = e3x

e)

y = ( 5x − 8)

f)

y = tan 2 x

g)

y=

h)

y = 5 x2 − 1

2

−5 7

3 x −8 2

Ejercicio 2 Evalúe las derivadas de orden superior en los puntos indicados: a)

f ( x ) = ea x + b,

b)

f ( x ) = ln x2 + 1,

c)

f ( x ) = x5 + ax4 + bx3 + c,

d)

f ( x) =

e)

f ( x ) = ax4 + bx2 + c,

f)

f ( x ) = ln ( a − x ) ,

g)

f ( x ) = x ex ,

h)

π f ( x ) = + e5 x , e

x −1 , x +1

d3 f (1) dx3 d2 f ( −1) dx 2 d4 f ( 0) dx4 d2 f ( 2) dx2 d 10 f ( x) dx10 dn f ( x) dxn dn f ( x) dxn d2 f ( 0) dx2

Considere a, b y c como constantes no nulas. Ejercicio 3 Demuestre que y ( x ) = 0,5 x 2 e x satisface la siguiente ecuación diferencial:

y ''− 2 y '+ y = ex .

Ejercicio 4 Demuestre que y ( x ) = c1e−4 x + c2e x satisface la siguiente ecuación diferencial:

d2y dy + 3 = 4y 2 dx dx Considere c1 y c2 como constantes.

Ejercicio 5 Determine el valor de k , si f ( x ) = e x sen x satisface la siguiente ecuación diferencial:

f '' ( x ) − 2 f ' ( x ) + k f ( x ) = 0. Ejercicio 6 Determine el valor de k , si f ( x ) = ke− x + (1 − k ) e −2 x satisface la siguiente ecuación diferencial:

f '' ( x ) + 2 f ' ( x ) + f ( x ) = −2e−2 x .

Derivación implícita

1.4

Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 En los siguientes casos, use derivación implícita para calcular

dy . dx

a) x 2 y + xy 2 = 6 b) x

2

( x − y)

2

= x2 − y 2

x −1 x +1 x− y 2 d) x = x+ y c)

y2 =

e) x + tan ( xy ) = 0 f)

1 y 2 cos   = 2 x + 2 y  y 2

g) e xy + x 2 = y 2 h)

y 3 + 3 y 2 = x 4 − 3x 2

Ejercicio 2 En los siguientes casos, use derivación implícita para calcular 2

a)

y = ex

b)

y = xx

c)

y x = x2

dy . dx

+ x

d) x y = y x e)

y=

( 3x + 1)

7

(x

5

8

− 18 )

2x − 5

Ejercicio 3

2y = −5 . Obtenga la ecuación de la recta xy − 1 tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x = 0.

Sea

2 3 y = f ( x ) definida implícitamente por 2 x − 3 y +

Ejercicio 4 La curva ocho

Determine las pendientes de la curva

y4 = y2 − x2

en los dos puntos que se

muestran:

Ejercicio 5 La cisoide de Diocles Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la cisoide de Diocles:

y 2 ( 2 − x ) = x3 en el punto ( 1; 1 ) .

Ejercicio 6 Determine los dos puntos donde la curva x 2 + xy + y 2 = 7 corta al eje x , y muestre que las tangentes a la curva en dichos puntos son paralelas.

Ejercicio 7 Dada la curva definida por y 3 + 3 y 2 = x 4 − 3 x 2 : a) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en los puntos de ordenada y = 1. b) Determine los puntos de la curva de tangente horizontal.

Ejercicio 8 Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la elipse

( x0 ; y0 )

tiene por ecuación

x2 y 2 + = 1 en el punto de la elipse a 2 b2

x x0 y y0 + 2 = 1. a2 b

Ejercicio 9 En cada caso, calcule los puntos sobre la curva x 2 + xy + y 2 = 7 que cumpla la condición: a) La recta tangente a la curva sea paralela al eje x. b) La recta tangente a la curva sea paralela al eje y. Ejercicio 10 Derive las siguientes funciones: a)

y = arcsen x

b)

y = ( arcsen x )

c)

y = arctan ( x 2 + 1)

2

arccos x x x +1 e) y = arcsen 2

d)

y=

f)

y = arctan

g)

y = e arctan x

h)

y=

1 − cosx 1 + cosx

1 x 3 arctan 1 − x2 3

Ejercicio 11 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes.

x a

a)

y = arcsen

b)

y = arctan ( x2 + a 2 )

c)

y = a 2 − x 2 + a arcsen

x a

 a −b x arctan  tan  2 a 2 − b2  a+b  x+a  e) y = arctan    1 − ax 

d)

y=

1

 2x  y = arctan  2 2  a −x  a g) y = arctan    x

f)

 eax − e− ax  h) y = arctan   2   Ejercicio 12 Determine los valores de a y b sabiendo que al calcular dy / dx de y = arcsen ( 3 x ) − arccos ( 3x ) se obtiene

3a 1 − ( bx )

2

1.5

Aplicaciones de las derivadas - Valores extremos

Reconocimiento de saberes Ejercicio 4 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 )

ln ( x2e2 )

2 ln x − 2

ln ( x 2 e2 )

x

ln e x

ln e

2 ln x + 2

x

x2

Ejercicio 5 Escriba en las celdas de la tabla los correspondientes valores de a y b , sabiendo que al simplificar P se obtiene Q. P 2

(x + h) − x h

Q

a

b

2

ax + bh

( x + h )3 − x 3 h

ax2 + bxh + h2 a bx + h +

x+h − x h

1 1 − x+h x h

x

a x − bxh 2

Ejercicio 6 Complete en los casilleros en blanco, valores correspondiente a cada uno de las siguientes relaciones:

5 = x5

x

2 = 3 x −2

x

6 x=

x

7 = x

x

Mapa conceptual

Este espacio está reservado para que diseñes tu mapa conceptual

Ejercicios de aplicación Ejercicio 14 Determine a partir de la gráfica si la función tiene valores extremos absolutos en [ a, b] .

Ejercicio 15 En los siguientes ejercicios, encuentre los valores extremos y determine en donde se alcanzan.

Ejercicio 16 En los siguientes ejercicios, relaciones cada tabla con una de las gráficas.

no existe

no existe no existe

Ejercicio 17 En los siguientes ejercicios encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de cada función en el intervalo dado. Después grafique la función. Identifique en la gráfica los puntos en donde se alcanzan los extremos absolutos e incluya sus coordenadas. i)

2 f ( x) = x − 5, − 2 ≤ x ≤ 3 3

j)

f ( x) = x2 −1, −1 ≤ x ≤ 2

k)

f ( x) = 4 − x2 , − 3 ≤ x ≤ 1

l)

f ( x) = −

1 , 0.5 ≤ x ≤ 2 x2

m) f ( x ) = 4 − x , − 2 ≤ x ≤ 1 2

n)

f ( x) = − 5 − x2 , − 5 ≤ x ≤ 0

Ejercicio 18 Determine los valores máximos y mínimos absolutos de f ( x ) , si existe, sobre los intervalos indicados: i) j)

[0; 2] f ( x ) = x3 − x 2 − x + 2, [ 0; 2] f ( x ) = 5 + x − x2 ,

4x , [ −3;3] x +1 432 2 , ]0; ∞[ l) f ( x ) = x + x 1 3 2 m) f ( x ) = − x + 6x −11x − 50, 3 35 n) f ( x ) = 5x + , ]0; ∞[ x k)

o) p)

f ( x) =

2

]0;3[

3

]−∞; ∞[ f ( x ) = x3 − 3x 2 + 3x − 2, ]−∞; ∞[ f ( x ) = ( x − 2) + 1,

Ejercicio 19 Determine los puntos críticos de las siguientes funciones: 3 2 i) f ( x ) = 4 x − 9 x − 12 x + 3

x +1 x + x +1

j)

f ( x) =

k)

f ( x ) = 3 x2 − x

2

l)

f ( x ) = x e2 x

m) f ( x ) = ln ( x + 1) n)

f ( x) =

x 4 x3 + − x2 + 1 12 6

o)

f ( x) =

ex x

Ejercicio 20 Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: i)

f ( x ) = x 3 − 3x − 4

j)

f ( x ) = ( x −1)

k)

f ( x ) = ( x 2 − 1)

l)

f ( x) =

5

5

x 2 − 3x x +1

m) f ( x ) = x 8 − x 2 n)

f ( x ) = ln ( x + 1)

Ejercicio 21 Determine los intervalos de concavidad y el punto de inflexión de las siguientes funciones:

x 4 x3 − 12 3

i)

f ( x) =

j)

f ( x ) = x3 + 1

k)

f ( x) =

l)

f ( x ) = ( x + 1) ln x

x 4 x3 + − x2 + 1 12 6

m) f ( x ) = x 2 e 1 n)

x

f ( x ) = 3 x5 + 5 x3

Ejercicio 22 Determine los valores extremos de las siguientes funciones: a)

1 f ( x ) = 4 x − x3 3

b)

f ( x ) = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2

c)

f ( x ) = 3 xe x + 2

d)

f ( x ) = −2 x + ln ( x + 3)

e)

f ( x ) = x 2e 1

x

Autoevaluación Ejercicio 5 Determine los valores máximos y mínimos absolutos de f ( x ) , si existe, sobre el intervalo indicado:

f ( x ) = x2 +

16 , x

[1,3]

Ejercicio 6 Demuestre que toda función cuadrática

f ( x ) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 tiene exactamente un punto crítico en la recta real. Ejercicio 7 Determine los intervalos de monotonía de f ( x ) = −

2x

(1 + x )

2

Ejercicio 8

(

3 2

Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de f ( x ) = 1 − x

Ejercicio

1

2

).

3

4 Concava para

Respuesta

Máx abs:

f (1) = 17

Punto crítico:

Mín abs:

f ( 2) = 8

x = − b 2a

]−∞, −1[ , ]1, ∞[ Decrece: ]−1,1[

Crece:

arriba:

]−∞,0[ ,  3 2 5, ∞  abajo:  0, 3



Referencias bibliográficas y digitales Referencia 3 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm

Referencia 4 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/derivadas.pdf

2 5 

Aplicaciones de las derivadas – Gráfica de funciones

1.6

Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Para cada una de las siguientes funciones, determine: i. Los intervalos de monotonía y sus valores extremos. ii. Los intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión. iii. La gráfica de dicha función. i) y = −2 x3 + 6 x2 − 3 3

j)

y = ( x − 2) + 1

k)

y = 4 x3 − x 4

l)

y = x ( 6 − 2x)

2

m) y = 1 − 9 x − 6 x2 − x3 Ejercicio 2 Elabore la gráfica de una función que tenga las propiedades siguientes: • f ′ ( x ) > 0 cuando x > 2

f ′ ( x ) < 0 cuando x < 0 y cuando 0 < x < 2

•

• x = 0 no está en el dominio de f Ejercicio 3 Elabore la gráfica de una función que tenga las propiedades siguientes: • f ′ ( x ) < 0 cuando x < −1 •

f ′ ( x ) > 0 cuando −1 < x < 3 y cuando x > 3

•

f ' ( −1) = 0, f ' ( 3 ) = 0

Ejercicio 4 Trace la gráfica de una función f que tenga las siguientes propiedades: • Lim− f ( x ) = −∞ , Lim+ f ( x ) = +∞ , Lim f ( x ) = −∞ , Lim f ( x ) = 0 , Lim x →0

x →2

x →0

•

f ′( x) < 0

cuando x ∈ ] − 1; 0 [ ∪ ] 0 ;2 [

•

f ′( x) > 0

cuando

•

f '' ( x ) < 0 cuando

x ∈ ] − ∞ ; 0 [ ∪ ] 1; 2 [ ∪ ] 2; ∞ [

•

f '' ( x ) > 0 cuando

x∈] 0 ; 1 [

•

f ( −1) = −1

x →∞

x →−∞

f ( x) = 1 , Lim  f ( x ) − x  = 2 x →−∞ x

x ∈ ] − ∞ ; −1 [ ∪ ] 2; + ∞ [

y f (1) = 0

Ejercicio 5 Dada la función f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ; determine el valor de las constantes a , b, c y d si se cumplen las siguientes condiciones: su gráfica tiene un punto de inflexión en

( −1; −6 ) ,

presenta un mínimo

relativo en el punto de abscisa −3 y la recta tangente a la gráfica en el punto de inflexión tiene pendiente 12.

Ejercicio 6 A continuación se presentan las gráficas de la primera y la segunda derivada de f :

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f . Explique. b) Determine los intervalos de concavidad de la función f . Explique. c) Construya la gráfica de f , si Lim f ( x ) = +∞ y los puntos ( 0; 2 ) , ( 2; − 6 5 ) , ( 3; −17 5 ) , ( 8 5;0 ) x →±∞

y (19 5;0 ) pertenecen a la gráfica de la función. Ejercicio 7 Sea f una función continua cuya gráfica pasa por los puntos la gráfica de su derivada:

Esbozar una posible gráfica de f .

( 0; 0 ) y ( 2; 0 ) . A continuación se muestra

Autoevaluación Ejercicio 1

Dada la función f ( x ) = − a) b) c) d)

2x

(1 + x )

2

, determine:

Las ecuaciones de sus asíntotas. Los intervalos de monotonía, indicando sus valores extremos. Los intervalos de concavidad, indicando los puntos de inflexión. La gráfica de la función.

Ejercicio 2

Halle los valores de a, b y c de manera que (1; 2 ) sea punto de inflexión de la gráfica de la función

f ( x ) = ax3 + bx + cx y la pendiente de la recta tangente en el punto de inflexión sea −2 . Ejercicio 3

A continuación se presentan las gráficas de la primera y la segunda derivada de f a) Determine los intervalos de monotonía de f b) Determine los intervalos de concavidad de la función f c) Construya una posible gráfica de f si los puntos ( 0; 0 ) , ( 2; 4 ) y ( 3; 6 ) pertenecen a la gráfica de la función.

Ejercicio 4

Responda igual que en el Ejercicio 1 para la función y = x − cos x, 0 ≤ x ≤ 2π .

Ejercicio

1

2

3

4

Respuesta

Referencias bibliográficas y digitales Referencia 1 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/aplicacionesder.pdf

1.7

Aplicaciones de las derivadas - Optimización

Ejercicios de aplicación En cada uno de los siguientes ejercicios, deberá justificar su resultado; para esto, indique el criterio que empleado. Ejercicio 1 Disponiendo de un cartón rectangular de 4x5 decímetros hagamos una caja sin tapa; para esto, recortemos cuadrados de igual tamaño en las cuatro esquinas del cartón y doblemos las cejas con el fin de formar los lados. ¿Qué dimensiones deberá tener la caja para obtener su máxima capacidad? Ejercicio 2 Una pieza de cartulina mide 30 por 45 cm. Como se muestra en la figura, se han quitado dos cuadrados en las esquinas del lado que mide 30 cm. Además, se han quitado dos rectángulos de las otras dos esquinas, de manera que las cejas puedan doblarse para formar una caja rectangular con tapa. x x x

x

30 cm

Base

Tapa

x

x x

x 45cm

Determine las dimensiones de la caja de volumen máximo. Ejercicio 3 Se desea construir una caja rectangular con tres clases de materiales: un material A que se usará en la parte lateral de la caja, un material B que se usará en la base de la caja y un material C que se usará en la tapa de la caja. Se sabe que el costo de B es el doble de A por unidad de área y que el costo de C es el triple de B por unidad del área. Si se requiere que la caja sea de un volumen V = 288 cm3, y que su largo sea el doble de su ancho, determine las dimensiones de la caja las cuales hacen que el costo total sea mínimo. Ejercicio 4 Un tanque rectangular abierto, cuyo volumen es de 125 m3, tiene base cuadrada. El costo del material para la base es de $24 por m2 y el del material para los lados es de $12. Determine las dimensiones del tanque de modo que el costo del material sea mínimo. Ejercicio 5 Una lata de volumen 144π cm3 tiene la forma de cilindro. ¿Cuál debe ser la relación entre la altura h y el diámetro 2R para que se emplee en su fabricación la cantidad de material mínima? Ejercicio 6 Un minero desea cavar un túnel desde un punto A hasta un punto B 200 metros por debajo y 600 metros al Este de A. Bajo el nivel de A el lecho es rocoso y encima tierra blanda. Si el costo del túnel a través de la tierra es de 5 dólares por metro lineal y de 13 dólares a través de la roca. Determine el costo mínimo de un túnel.

Ejercicio 7 Una central hidroeléctrica está situada en la orilla de un río y una fábrica a la cual debe entregarle energía se encuentra en la orilla opuesta y 1000 un río abajo. Considerando que el río tiene un ancho de 1000 m y que sus orillas son paralelas, ¿cuál es la ruta más económica sobre la cual se debe tender el cable? El tendido de la línea por tierra cuesta $12 por metro y $20 por metro bajo el agua. Ejercicio 8 Determina el punto Q de la parábola y = x 2 que está más próximo al punto ( 3;0 ) . Ejercicio 9 Una página rectangular debe tener 96 cm2 de área de texto. Los márgenes superior e inferior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm, ¿qué dimensiones debe tener la página para que sea mínima la cantidad de papel requerida? Ejercicio 10 En una página de un libro el texto impreso debe ocupar s cm2. Los márgenes superior e inferior deben ser iguales a “a” cm, los de izquierda y de derecha, iguales a “b” cm. Si tomamos en consideración sólo la economía del papel, ¿qué dimensiones de la página serían las más ventajosas? Ejercicio 11 Un automóvil que viaja a una rapidez de 30 pies/seg, se aproxima a un cruce. Cuando el automóvil está a 120 pies del cruce, un camión, que viaja a 40 pies/seg en una carretera perpendicular a la carretera del automóvil, pasa por el cruce. ¿En qué tiempo, los vehículos están más cercanos? Ejercicio 12 Una ventana tipo Norman consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de una ventana Norman es de 32 pies, determine cuánto debe medir el radio del semicírculo y la altura del rectángulo de modo que la ventana admita la mayor cantidad de luz. Ejercicio 13 Resuelva el ejercicio anterior considerando ahora que en la ventana el semícirculo transmite sólo la mitad de luz que el rectángulo por pie cuadrado de área. Ejercicio 14 De todos los rectángulos que posean dos vértices en el eje x y los otros dos vértices en la gráfica de

y=

1 36 − x 2 , determine las dimensiones del rectángulo de área máxima. 3

Ejercicio 15 Si un proyectil se lanza desde el nivel del suelo con una velocidad inicial v0 y ángulo de inclinación α ignorando la resistencia del aire, entonces su recorrido (la distancia horizontal que viaja) es

R=

1 2 v0 senα cosα 16

¿Qué valor de α maximiza R ?

v0

α

Suelo

R

Ejercicio 16 Determine las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1 cm y altura 3 cm, como se muestra en la figura siguiente:

h r

Ejercicio 17 Dos fábricas están situadas en las coordenadas (0; a) y (0;-a) y su central de suministro de energía en el punto (h; 0). Calcular el valor de x que hace mínima la longitud de la conducción de energía a las dos fábricas.

Ejercicio 18 En un fundo agrícola se construyeron 2 canales, perpendiculares entre sí, para transportar agua, con anchos de 3 y 4 metros respectivamente. Calcule la longitud de la balsa más grande que podría cruzar por la intersección de estos dos canales.

4m

3m

Autoevaluación Ejercicio 1 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m3. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado. El material para los lados laterales, $6 por metro cuadrado. Encuentre las dimensiones del recipiente más económico. Ejercicio 2 Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un río que mide 3km de ancho. El punto C está en la misma ribera que B, pero a 6 km río debajo de B. Se desea tender un cable de A a C. Si el costo por km de cable es $500 en el agua y $400 en tierra. ¿Cómo deberá tenderse el cable para que el costo del mismo sea mínimo? Ejercicio 3 Se tiene un jardín semicircular de 4 metros de radio y se desea construir un patio con forma de trapecio isósceles. Determine las dimensiones del patio de mayor área posible.

Ejercicio 4 Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo inscrito en un cono circular recto de 5 cm de radio y 12 cm de altura.

Referencias bibliográficas y digitales Referencia 1 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/aplicacionesder.pdf