Memoria de la XI Escuela de Invierno en Matemática Educativa     

   

ESTUDIO SOCIOEPISTEMOLÓGICO DE LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA. ELEMENTOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE SU NATURALEZA PROPORCIONAL  Gonzálo Jácome Cortés, Gisela Montiel Espinosa   TELEBACHILLERATO DE VERACRUZ, CICATA‐IPN  [email protected], [email protected]   

Resumen.  El  fenómeno  didáctico  que  nos  ocupa  es  aquel  relacionado  con  la  razón  trigonométrica, en tanto su enseñanza juega un papel importante en la currícula escolar de los  niveles  secundaria  y  medio  superior.  La  investigación  en  Matemática  Educativa  ha  dado  evidencia  de  las  dificultades  en  el  aprendizaje  que  muestran  los  estudiantes  al  manipular,  interpretar  y  significar  a  las  razones,  ecuaciones,  identidades  y  funciones  vinculadas  a  las  relaciones  trigonométricas.  Consideramos  que  el  origen  de  las  dificultades  reportadas  puede  situarse  en  las  razones  trigonométricas,  como  el  momento  donde  debe construirse  la cantidad  trigonométrica.  En  este  sentido,  se  busca  articular  los  elementos  didácticos,  cognitivos  y  socioepistemológicos para el diseño de una secuencia didáctica donde la razón trigonométrica  se construya a partir de un significado proporcional.  Palabras Clave: Razón trigonométrica, proporcionalidad, medición, Telebachillerato. 

 

Introducción El fenómeno didáctico que nos ocupa es aquel relacionado con la razón trigonométrica, en  tanto su enseñanza juega un papel importante en la currícula escolar en nivel secundaria,  pues se convierte en la base (al menos en la tradición escolar) de nociones importantes en  los niveles medio y superior (función, ecuación, identidad y series trigonométricas).   La  investigación  en  Matemática  Educativa  ha  dado  evidencia  de  las  dificultades  en  el  aprendizaje  que  muestran  los  estudiantes  de  distintos  niveles  escolares  al  manipular,  interpretar y  significar a  las  razones,  ecuaciones,  identidades  y  funciones  vinculadas  a  las  relaciones trigonométricas. Por ejemplo, De Moura (2000) reporta en su análisis didáctico,  Mérida, Yucatán. 2007 

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incorrecciones en el uso de la notación y en la aplicación de leyes que no son válidas para  las  razones  y  funciones  trigonométricas;  De  Kee,  Mura  y  Dionne  (1996)  reportan  que  el  estado  de  comprensión  de  las  nociones  seno  y  coseno  no  están  bien  asentadas  en  los  estudiantes,  reportando  que  generalizan  las  propiedades  de  los  triángulos  rectángulos  a  cualquier  tipo  de  triángulo,  o  aseguran  un  cambio  de  escala  en  el  seno  y  el  coseno  al  cambiar de escala un triángulo rectángulo. Por su parte, el análisis didáctico de Maldonado  (2005)  muestra  que  los  estudiantes  no  logran  profundizar  el  concepto  de  función  trigonométrica, al tratar por igual a los grados y a los reales. Pero el problema no sólo se  relaciona  con  factores  cognitivos.  Cavey  y  Berenson  (2005)  realizan  una  investigación  didáctico‐cognitiva,  donde  evidencian  la  poca  instrucción  colegiada  de  los  maestros  de  matemáticas en la enseñanza de esta noción.  El  estudio  de  estos  documentos  mostró  también  aspectos  para  evitar  las  operaciones  mecanizadas desprovistas de significado. Así, en el trabajo didáctico‐cognitivo de Kendal y  Stacey (1996) se sugiere que para el estudio de la trigonometría introductoria se privilegie  la  enseñanza  del  método  de  la  razón  (trigonométrica)  sobre  la  enseñanza  del  método  del  círculo  unitario;  De  Moura  (2000)  propone  que  los  estudiantes  construyan  los  conceptos  básicos  de  trigonometría  a  partir  de  secuencias  didácticas  de  enseñanza  simple  y  contextualizada  y  Zeman  (2005)  realiza  una  ingeniería  didáctica  para  construir  una  tabla  trigonométrica tomando como referencia base los escritos matemáticos de la Grecia clásica.  Bajo un enfoque socioepistemológico, Montiel (2005) considera a la naturaleza de la noción  en  juego  como  pieza  primordial  del  fenómeno  didáctico,  generando  un  modelo  para  la  construcción social de la función trigonométrica. Dicho modelo está basado en actividades,  prácticas  de  referencia  y  prácticas  sociales  ligadas  a  dicha  construcción.  Así,  observa  a  la  función  trigonométrica  desde  su  origen  en  razones,  su  evolución  en  funciones  y  su  conformación en series.  El  estudio  de  estas  investigaciones  nos  permite  percibir  su  intencionalidad  en  torno  a  las  razones  trigonométricas,  otorgándonos  una  visión  más  amplia  de  la  problemática  a  abordar. Hacemos la consideración de que el origen de dichas dificultades puede situarse en 

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las razones trigonométricas, específicamente en el momento donde se construye la cantidad  trigonométrica.  Observamos  que  De  Kee,  Mura  y  Dionne  (1996)  y  Maldonado  (2005)  han  dado evidencia de las dificultades y concepciones más clásicas del estudiante en este tema,  mientras que Montiel (2005) ha considerado la naturaleza de la  noción matemática como  parte fundamental del fenómeno didáctico. En este sentido, nuestra propuesta articula los  elementos didácticos, cognitivos y socioepistemológicos de estas investigaciones para en un  diseño  posterior,  proveer  de  evidencia  empírica  sobre  la  construcción  de  significados  alrededor de la razón trigonométrica, haciendo que dicha noción tenga un acercamiento a  su  naturaleza  proporcional,  para  dotarle  de  sentido  al  momento  de  construcción  de  la  cantidad trascendente trigonométrica.    

La razón trigonométrica en el discurso escolar del nivel secundaria Dado  que  la  noción  de  razón  trigonométrica  está  inserta  en  la  educación  básica,  especialmente en la secundaria, y en el nivel medio superior, llámese bachillerato, hacemos  la  revisión  de  sus  planes  y  programas  de  estudio.  Dichos  niveles  (la  secundaria  y  el  bachillerato) han entrado recientemente en un proceso de Reforma Curricular, por lo cual  creímos conveniente analizar los planes y programas del “viejo” y el “nuevo” currículo.   Analizamos  los  planes  y  programas  de  Matemáticas  para  la  Educación  Secundaria,  plan  1993 y plan 2006; mientras que la currícula matemática analizada para el Bachillerato fue  de  la  Dirección  General  de  Telebachillerato  de  Veracruz,  considerando  los  planes  y  programas de estudio del 1987 y del 2006. De esta forma, inferimos sobre la presencia de la  noción de razón trigonométrica en el sistema escolar. En dichos programas, profundizamos  el estudio de sus bases junto con su consecuente lógico, es decir, analizamos (si es que son  tratados) los temas referentes a la proporcionalidad, a las razones trigonométricas y a las  funciones trigonométricas.   

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Análisis de los programas de estudio de Secundaria. Plan 1993  Los  temas  del  programa  están  distribuidos  en  cinco  áreas,  que  son  Aritmética;  Álgebra;  Geometría; Presentación y Tratamiento de la Información y; Nociones de Probabilidad. Dado  que  la  distribución  de  dichas  áreas  se  da  durante  todo  el  transcurso  de  la  educación  secundaria,  que  son  tres  años,  el  análisis  del  programa  de  estudios  fue  integral,  de  tal  manera  que  se  observe  el  proceso  mediante  el  cual  se  gesta  la  noción  de  razón  trigonométrica.  En el análisis a los programas de estudio de Secundaria, plan 1993, pudimos apreciar que la  noción  de  razón  trigonométrica  es  presentada  después  de  una  serie  de  conceptos  que  sirven  de  andamiaje,  como  lo  son  el  concepto  de  proporcionalidad,  el  de  medición  de  ángulos, el de congruencia y el de semejanza. Sin embargo, si bien es cierto que la medición  de ángulos y la noción de proporcionalidad se encuentran a lo largo de los tres años, y los  conceptos  de  congruencia  y  semejanza  en  el  tercer  año,  el  programa  no  marca  a  estos  elementos como  antecedentes  necesarios  para  su  estudio,  al  mencionar  que  “El  programa  no está concebido como una sucesión de temas que deben agotarse uno a continuación del  otro.  Sus  contenidos  podrán  organizarse  en  la  forma  que  el  maestro  considere  más  conveniente para su aprendizaje.”40  De igual manera, al presentar el tema de razones trigonométricas, no se hace referencia al  uso y manejo de la proporcionalidad como elemento fundamental. De esta forma, creemos  que existe una ruptura entre ambas nociones.     Análisis de los programas de estudio de Secundaria. Plan 2006  La organización de los contenidos curriculares ya no es por áreas, sino por ejes temáticos.  Con  el  propósito  de  hacer  énfasis  en  los  aspectos  que  interesa  estudiar  y  aprender,  se 

40 

Tomado 

de 

Plan 

y 

Programas 

de 

Estudio 

de 

Educación 

Secundaria 

1993  

http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas  Mérida, Yucatán. 2007 

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establecen  líneas  de  estudio  y  se  constituyen  vínculos  entre  contenidos  de  las  diversas  ramas de las matemáticas.  Los  tres  ejes  temáticos  incluidos  en  los  planes  y  programas  de  estudio  2006  son  Sentido  numérico  y  pensamiento  algebraico;  Forma,  espacio  y  medida  y;  Manejo  de  la  información.  Los  ejes  se  desglosan  en  temas,  a  su  vez  en  subtemas  y  estos  en  conocimientos  y  habilidades.  Cada  uno  de  estos  apartados  trae  orientaciones  didácticas  donde  se  fundamenta la necesidad de estudiar los aspectos citados y se dan ejemplos de situaciones  que se pueden plantear para organizar el estudio. Por último, los contenidos de cada grado  se  organizan  en  cinco  bloques,  de  manera  tal  que  se  establezcan  metas  parciales  y  se  garantice el estudio simultáneo de los tres ejes temáticos durante el curso.  Dado  que  la  distribución  de  dichos  ejes  temáticos  se  da  durante  todo  el  transcurso  de  la  educación secundaria, que son tres años, se procedió a analizar el programa de estudios de  manera  integral,  para  así  observar  el  trayecto  por  el  cual  se  genera  la  noción  de  razón  trigonométrica.  En  el  análisis  de  los  programas  de  estudios  de  Matemáticas,  plan  2006,  pudimos  percibir  que  la  noción  de  razón  trigonométrica  se  enseña  en  el  último  grado  de  educación  secundaria,  una  vez  presentados  elementos  que  la  cimientan.  Se  muestra  el  concepto  de  ángulo,  su  medida  y  su  uso.  Se  expresan  situaciones  donde  es  necesario  utilizar  las  relaciones proporcionales y transitar por sus diferentes representaciones. Se enfatizan las  propiedades  de  los  triángulos.  Se  construyen  las  nociones  de  homotecia,  congruencia  y  semejanza.  Se  determinan  mediante  construcciones  los  teoremas  de  Tales  y  Pitágoras.  Todos estos elementos tienen la intención de que el alumno conozca y maneje la noción de  proporcionalidad,  especialmente  enfocada  en  triángulos  rectángulos,  previo  al  estudio  de  las razones trigonométricas.  Para tratar el tema de razones trigonométricas, se pide abordarlo vía el reconocimiento y  determinación  de  dichas  nociones  en  familias  de  triángulos  rectángulos  semejantes  como  cocientes entre las medidas de los lados. Se sugiere empezar planteando situaciones donde  se  ocupe  la  proporcionalidad  de  los  triángulos,  hacer  notar  su  utilidad  en  el  cálculo  de  Mérida, Yucatán. 2007 

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distancias y en la medida de ángulos, para finalizar con la institucionalización del saber por  medio de las definiciones formales de las razones trigonométricas.  De  esta  manera  deducimos  que  el  programa  de  Matemáticas  para  Secundaria,  plan  2006,  reconcilia la noción de razón trigonométrica con su naturaleza proporcional. Situación que  desde  nuestro  punto  de  vista,  hará  percibir  claramente  el  significado  de  las  razones  trigonométricas, ya que se atiende ampliamente el momento de construcción de la cantidad  trascendente trigonométrica.    Análisis global de los programas de estudio de Secundaria.   Existen  similitudes  y  diferencias  entre  los  programas  de  estudio  de  ambos  planes.  Las  semejanzas entre ellos se dan en la estructuración de los temas. Ambos llevan de manera  secuencial  y  lógica  el  tratamiento  de  varios  conceptos,  como  el  de  medición  de  ángulos,  proporcionalidad,  semejanza  y  congruencia.  En  el  tercer  grado  de  secundaria,  casi  al  finalizar  el  curso,  los  programas  de  estudio  de  ambos  planes  presentan  las  razones  trigonométricas.   Por otra parte, existen diferencias sustanciales entre un plan y otro. Los programas del plan  1993  están  diseñados  por  objetivos,  mientras  que  los  programas  del  plan  2006  están  planteados para desarrollar conocimientos y habilidades. También, la manera de abordar la  noción  de  razón  trigonométrica  es  distinta.  En  los  programas  del  plan  1993  se  pide  se  defina el concepto, se den ejemplos y se apliquen ejercicios para que el alumno, a través de  la repetición, aprenda la noción. En los programas del plan 2006 se introduce al tema por  medio de una situación problema, de manera que la noción de razón trigonométrica surja  naturalmente  de  la  manipulación  de  triángulos  semejantes  y  como  la  necesidad  de  medir  ángulos o distancias inaccesibles; de esta forma, la intención es que el alumno construya la  noción.   Basados  en  este  análisis,  concluimos  que  los  enfoques  dados  a  la  noción  de  razón  trigonométrica en los planes y programas de estudio de Matemáticas para Secundaria son  distintos. Por un lado, en los programas del plan 1993 prevalece un enfoque tradicional, al  Mérida, Yucatán. 2007 

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presentar el concepto, seguido de ejemplos y ejercicios, mientras que en los programas del  plan  2006  el  enfoque  dado  a  la  noción  en  cuestión  es  constructivista,  debido  a  que  el  alumno  se  apropiará  de  la  noción  de  razón  trigonométrica  a  partir  de  situaciones  de  medición de una realidad macro no manipulable.     Análisis de los programas de estudio de Telebachillerato. Plan 1987  El Telebachillerato es una modalidad de la Educación Media Superior que utiliza los medios  audiovisuales para brindar un servicio educativo de calidad, dirigida a jóvenes de diversas  zonas geográficas. Esta modalidad nace en 1980 en el estado de Veracruz con el objetivo de  llevar  la  educación  al  ámbito  rural  y  a  las  zonas  marginadas  del  estado.  A  lo  largo  de  los  años el sistema se ha extendido a otros estados de la República y Países.  Los programas en el Telebachillerato, plan 1987 están distribuidos por asignaturas, donde  se  abarcan  temáticas  específicas.  Para  el  estudio  de  las  Matemáticas,  las  asignaturas  se  distribuyen  a  lo  largo  de  seis  semestres,  observando  que  los  temas  relacionados  con  la  noción de razón trigonométrica se encuentran en las asignaturas de Matemáticas I y V.  El único referente previo en la asignatura de Matemáticas I primer semestre, para la noción  en estudio es el tema de ángulos, grados y radianes. Nuestra noción aparece bajo el título de  funciones trigonométricas de ángulos agudos, seguida del tema funciones trigonométricas en  el círculo unitario. A continuación se pide el estudio de valores de ángulos notables, manejo  de  tablas  trigonométricas,  Teorema  de  Tales,  Teorema  de  Pitágoras  y  problemas  de  aplicación,  en  ese  orden.  Para  finalizar,  se  abordan  los  temas  de  identidades  trigonométricas elementales, ley de los senos, ley de los cosenos y sus aplicaciones.  Se retoma la noción de razón trigonométrica en la asignatura de Matemáticas V para quinto  semestre,  donde  se  definen  las  funciones  trigonométricas  por  medio  del  cociente  de  los  lados  de  un  triángulo  rectángulo,  pero  no  se  pide  demostrarlas  ni  aplicarlas.  Posteriormente,  se  utiliza  el  método  del  círculo  unitario  para  redefinirlas  en  términos  de  ángulos  de  cualquier  magnitud.  Se  continúa  con  la  presentación  de  su  lugar  geométrico, 

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identidades trigonométricas, ángulos doble, mitad y múltiplos, para concluir con funciones  trigonométricas inversas.  Con este análisis, percibimos que existe una total desvinculación entre la noción de razón  trigonométrica  con  su  naturaleza  proporcional,  al  percatarnos  que  se  induce  a  su  estudio  sin  referentes  previos.  En  este  sentido,  se  observa  que  las  razones  trigonométricas  se  introducen  como  concepto  conocido  y  se  utilizan  como  base  para  desarrollar  otras  nociones.    Análisis de los programas de estudio de Telebachillerato. Plan 2006  Para el plan 2006, se redistribuyen las asignaturas y los temas en los programas. En el caso  de la noción de razón trigonométrica, queda inserta en la asignatura de Matemáticas II para  segundo semestre.  Pudimos percatarnos que nuestra noción se presenta una vez analizados los conceptos de  clasificación  y  medición  de  ángulos,  definición  y  clasificación  de  triángulos,  congruencia,  semejanza,  Teorema  de  Pitágoras,  circunferencia  y  círculo.  Ésta  se  muestra  bajo  el  título  funciones  trigonométricas  para  ángulos  agudos.  Se  pide  se  presente  por  medio  de  aplicaciones  prácticas,  utilizando  métodos  de  resolución  de  triángulos  rectángulos.  Posterior  al  tratamiento  de  razón  trigonométrica  como  función  trigonométrica  para  ángulos  agudos,  se  construyen  nociones  de  función  trigonométrica  para  ángulos  de  cualquier  magnitud  en  el  plano  coordenado  y  en  el  círculo  unitario,  gráficas,  ángulos  notables, signos e identidades, finalizando con la presentación y aplicación de las leyes de  los senos y los cosenos.  Debido  al  tratamiento  propuesto  y  dado  que  el  programa  menciona  que  a  través  de  las  razones  trigonométricas,  la  resolución  de  triángulos  y  sus  aplicaciones,  el  estudiante  adquirirá  nuevas  herramientas  al  conjuntarse  con  conceptos  geométricos,  como  el  de  semejanza,  concluimos  que  el  programa  intenta  reconciliar  a  la  noción  de  razón  trigonométrica con su naturaleza proporcional.    Mérida, Yucatán. 2007 

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Análisis global de los programas de estudio de Telebachillerato  En el caso de los programas de estudio del Telebachillerato, plan 1987 y 2006, se aprecian  también diferencias y similitudes. Una semejanza se encuentra en la estructuración general  de los programas, ya que estos abarcan asignaturas con tópicos generales que tratar. Para el  caso de la noción de razón trigonométrica, observamos que en ambos programas es tratada  como  función  trigonométrica  para  ángulos  agudos,  y  sirve  de  base  para  tratar  conceptos  como funciones trigonométricas, identidades y leyes de los senos y los cosenos.  Sin embargo, existe una gran diferencia entre la forma de abordar a la razón trigonométrica.  En  el  plan  1987,  se  marca  como  único  antecedente  la  medición  de  ángulos  en  grados  y  reales  En  cambio,  para  el  plan  2006,  la  razón  trigonométrica  se  plantea  una  vez  vistos  temas  como  medición  de  ángulos,  clasificación  de  triángulos,  congruencia,  semejanza  y  Teorema  de  Pitágoras.  En  ese  sentido,  sentimos  que  el  enfoque  dado  a  los  programas  del  plan 1987 es conductista, mientras que en el plan 2006 se percibe como constructivista.   

La naturaleza del saber en juego A partir del trabajo de Montiel (2005) consideramos la naturaleza proporcional de la razón  trigonométrica  como  eje  fundamental  para  el  diseño  de  secuencias  didácticas  que  nos  permitan analizar la actividad del estudiante frente a una situación problema particular. La  siguiente reflexión histórica muestra la primera (más no la única) forma en que elementos  geométricos son utilizados como instrumentos trigonométricos.     Una  reflexión  histórica  sobre  la  naturaleza  proporcional  de  las  relaciones  trigonométricas  Con Aristarco (310 – 230 A. C.) se tiene la primera muestra existente de la geometría pura  utilizada con un objeto trigonométrico. Aristarco sostenía que la media luna tenía que ser el  vértice de un ángulo recto (90°) formado por las líneas Sol ‐ Luna y Luna ‐ Tierra. Aristarco,  como  todos  sus  contemporáneos,  suponía  que  la  órbita  de  la  Luna  era  un  círculo  en  cuyo 

Mérida, Yucatán. 2007 

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centro  está  la  Tierra  y  que  la  Luna  lo  recorría  siempre  a  la  misma  velocidad.  Si  el  sol  se  encuentra a una distancia infinita los cuartos de la Luna ocurrirían cuando el ángulo Sol –  Tierra ‐ Luna es recto, es decir, el lapso entre Cuarto creciente‐Luna llena, Luna llena‐Cuarto  menguante, Cuarto menguante‐Luna nueva y Luna nueva‐Cuarto creciente, serían iguales.   En  cambio  si  el  Sol  se  encuentra  a  una  distancia  finita,  sus  rayos  divergen  formando  un  ángulo  (Fig.  1).  El  lapso  entre  la  Luna  nueva  y  el  cuarto  creciente  es  menor  que  el  lapso  entre  éste  último  y  la  luna  llena.  Por  la  misma  razón  el  intervalo  entre  la  luna  llena  y  el  cuarto menguante es mayor que el intervalo entre éste y la siguiente luna nueva.    Cuarto creciente 

α

Sol a una distancia finita 

90°

Luna    llena 

Luna nueva

α

α α

90°

Cuarto menguante 

Fig. 1

    Aristarco encontró que el ángulo  α, que forman los rayos del Sol que abarcan la órbita de la  Luna,  tiene  que  ser  igual  a  la  diferencia  angular  entre  la  posición  de  la  media  luna.  Si  llamamos A la distancia de la Tierra a la Luna y B a la distancia de la Luna al sol, resulta que  hay una sencilla razón entre A, B y el ángulo α, que hoy conocemos como tangente: tan α =

Mérida, Yucatán. 2007 

A B

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, 

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Luna

B A

90° α α

Tierra

Sol Fig. 2

 

  En otras palabras, determinando  α  se puede calcular  qué  tanto  más  lejos  está el  Sol  de la  Luna que la Luna de la Tierra. Si para Aristarco la Luna se movía en una órbita circular y con  velocidad  constante  alrededor  de  la  tierra,  debía  medir  cuánto  tarda  la  luna  en  darle  una  vuelta  completa  a  la  Tierra,  para  lo  cual  bastaba  con  medir  el  tiempo  que  transcurre,  por  ejemplo, entre dos Lunas nuevas. Una vez determinado ese lapso, y si el sol estuviera a una  distancia  infinita,  hay  que  dividirlo  entre  cuatro  para  obtener  el  tiempo  que  debería  transcurrir entre cada fase de la luna. Entonces, la secuencia de las fases de la Luna estaría  dividida  en  cuatro  intervalos  iguales.  Empleando  números  concretos,  si  el  periodo  de  la  luna  es  29  días  y  medio,  o  708  horas  y  las  fases  sucedieran  a  intervalos  perfectamente  regulares, entre cualquier fase y la siguiente transcurrirían 177 horas (708 ÷ 4). Aristarco  observó que el cuarto creciente ocurría seis horas antes de lo esperado, si el sol estuviera a  una distancia infinita. El ángulo  α de nuestra figura correspondía, por lo tanto, a seis horas  de  movimiento  de  la  Luna.  De  aquí,  Aristarco  deduce  que,  puesto  que  la  Luna  recorría  su  órbita  con  velocidad  constante,  el  ángulo  α  que  se  busca  determinar  debería  estar  en  la  misma  proporción  a  una  vuelta  completa  (360°)  y  que  las  seis  horas  de  discrepancia  al  periodo completo de 708 horas: 

a 6 = 360° 708

 de donde  α =

6 360° .  708

  Aristarco  expresó  la  relación  entre  las  distancias 

Tierra − Luna Luna − Sol

,  que  hoy  día  es  tan 3° = 0.05 , 

cómo “la distancia del Sol a la Luna es veinte veces la distancia de la Luna a la Tierra”. Este  Mérida, Yucatán. 2007 

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cálculo  es  erróneo,  pero  no  por  el  método,  sino  por  los  datos  numéricos.  El  método  geométrico  es  perfectamente  válido,  el  problema  estriba  en  que  la  discrepancia  entre  el  lapso Luna nueva – Cuarto creciente con el sol a una distancia infinita y el mismo lapso con  el sol a la distancia infinita que se encuentra no es de seis horas sino de cerca de 18 minutos  (Ruiz  y  de  Regules,  2002).  Con  esta  cifra  y  el  razonamiento  anterior  se  obtiene  la  cifra  correcta: el sol esta 400 veces más lejos de la Luna que la Luna de la Tierra.   

Elementos para el diseño de la secuencia A  partir  de  un  análisis  sistémico  de  los  elementos  didácticos,  cognitivos  y  socioepistemológicos  referentes  a  la  noción  de  razón  trigonométrica,  la  intención  es  proveer evidencia empírica sobre la construcción de significados alrededor de la noción a  tratar.  En  este  sentido,  con  base  en  las  implicaciones  didácticas  reportadas  en  su  trabajo,  Montiel  (2007)  construye  una  secuencia  para  el  nivel  secundaria,  donde  busca  que  el  estudiante  enfrente  situaciones  de  medición,  de  una  realidad  macro  no  manipulable.  La  intencionalidad de la secuencia es darle a la razón trigonométrica un sentido proporcional,  con  base  en  nociones  geométricas  conocidas  por  el  estudiante  (triángulo  semejante,  triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras), a través la manipulación de materiales como  cinta métrica, tubo de cartón, regla y transportador para medir distancias inaccesibles por  medio  de  la  triangulación.  También  mostrar  regularidades  al  sobreponer  los  triángulos  construidos en el transcurso de la actividad, de tal forma que  de la medición se construya  un  modelo  geométrico  donde  las  nociones  de  semejanza  y  proporcionalidad  sirvan  de  andamiaje para la aparición y apropiación de la noción de razón trigonométrica.  Nuestro diseño, en una siguiente etapa, retomará esta secuencia y la adaptará al escenario  particular del Telebachillerato, como consecuencia del análisis a sus planes y programas de  estudio.   La  intención  es  proveer  evidencia  sobre  el  tratamiento  de  la  noción  de  razón  trigonométrica.  Se  pretende  mostrar  una  alternativa  para  que  el  alumno  no  solamente  aprenda  la  noción  de  razón  trigonométrica,  sino  que  la  construya  y  la  aplique  en  casos  Mérida, Yucatán. 2007 

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reales, invitándolo a comprender que su estudio se debe a una necesidad social de conocer  distancias y medir ángulos, y no a un ente que debe ser aprendido porque esta anclado en  un  programa.  De  esta  forma,  se  pretende  incidir  en  el  discurso  matemático  escolar  del  Telebachillerato.   

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Mérida, Yucatán. 2007 

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Mérida, Yucatán. 2007 

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