Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matem´aticas Universidad Industrial de Santander Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.01,02)

Para uso exclusivo en el sal´on de clase. c Julio C. Carrillo E. 2007

Universidad Industrial de Santander Escuela de Matem´aticas Universidad Industrial de Santander 2008

Agradecimientos a todos aquellos estudiantes que con sus preguntas ayudan a mejor los contenidos de este material.

Definitivamente, hasta los que ense˜ namos tambi´en aprendemos, si prestamos un poco de atenci´ on en clase. El Autor

Tabla de contenidos

1. Preliminares

11

1.1. El espacio euclidiano n–dimensional . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Longitud o norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ´ 1.4. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ´ 1.5. Angulos directores y cosenos directores . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.1. Con desplazamiento a lo largo de una l´ınea recta . . . 15 1.7.2. Con desplazamiento a lo largo de una trayectoria no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8. El producto cruz de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9. Triple producto escalar de vectores . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10. L´ıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.11. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Funciones vectoriales

21

2.1. Definici´on, dominio, imagen, gr´afica . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Operaciones algebraicas con funciones vectoriales . . . . . . . 22 2.3. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6. Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7. Movimiento curvil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.1. Vector tangente, Vector tangente unitario, vector normal y plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.2. Velocidad, rapidez y aceleraci´on . . . . . . . . . . . . 29 2.7.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7.4. Curvatura de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7.5. Fuerzas definidas mediante funciones vectoriales . . . 34 2.7.6. Fuerzas definidas mediante campos vectoriales . . . . 38 3. Funciones de varias variables

41

3.1. Las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. L´ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Gradientes y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5. Extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . 69 3.5.1. Extremos locales y optimizaci´on global . . . . . . . . . 69 3.5.2. Optimizaci´on con restricciones . . . . . . . . . . . . . 74 4. Integraci´ on m´ ultiple

77

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.1. Integrales doble sobre dominios rectangulares . . . . . 77 4.2.2. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.3. Integrales dobles sobre regiones mas generales . . . . . 83 4.2.4. Cambio en el orden de integraci´on . . . . . . . . . . . 84 4.2.5. Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . 85 4.2.6. Aplicaciones de las integrales dobles . . . . . . . . . . 86 4.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.1. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . 91 4.4. Integrales triples en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas . . . . 92 4.4.1. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4.2. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5. Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5. C´ alculo vectorial

95

5.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1.1. Definici´on de campo vectorial, y su primera clasificaci´ on 95 5.1.2. Segunda clasificaci´on de los campos vectoriales . . . . 98 5.1.3. L´ıneas de flujo y flujos de campos vectoriales . . . . . 101 5.2. Calculo integral en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.2. Trabajo e integral de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.3. Curvas y parametrizaci´on de curvas . . . . . . . . . . 104 5.2.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.5. El Teorema de Green y campos vectoriales divergentes, rotacionales y conservativos . . . . . . . . . . . . . 104 5.3. Calculo integral en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.2. Integral de l´ınea en el espacio . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.3. Superficies y parametrizaci´on de una superficie . . . . 106 5.3.4. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.5. Trabajo e integral de superficie . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.6. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . 106 iv

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5.3.7. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.8. Consecuencias e implicaciones del Teorema de Green y Teorema de Stokes sobre campos vectoriales divergentes, rotacionales y conservativos . . . . . . . . . . . 106 5.4. Aplicaciones f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.1. Din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.2. Din´amica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.3. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.4. Conducci´on de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.5. Termodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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´ lculo en Varias Variables Ca

v

1

1.1.

Preliminares

El espacio euclidiano n–dimensional Sea Rn el conjunto de todas las n–tuplas ordenadas x = (x1 , . . . , xn ) de n´ umeros reales, llamadas las componentes de x. En Rn se definen las operaciones suma y multiplicaci´on por un escalar como sigue x + y = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) αx = α(x1 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ) para cualquier n´ umero α. Los elementos de Rn se llaman vectores. Se dice que dos vectores x = (x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ) de Rn son iguales si y s´olo si las respectivas componentes de los vectores son iguales: x1 = y1 , . . . , xn = yn . Las siguientes observaciones son pertinentes. Observaci´ on 1.1. Un vector x en Rn es una n–tupla de n´ umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ). Los n´ umeros x1 , x2 , . . . , xn se llaman las coordenadas o componentes del vector x. El vector nulo de Rn es el vector 0 = (0, 0, . . . , 0). Los elementos del conjunto Rn se pueden considerar como puntos o vectores en el siguiente sentido. Un punto X en Rn consiste de una n–tupla de n´ umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ). Tal punto X define el vector x en Rn , considerando el segmento de recta dirigido del origen O al punto X: −−→ x = OX = X − O = (x1 , . . . , xn ). Obs´ervese que en ambos casos el punto X de Rn y el vector x de Rn tienen la misma representaci´ on algebraica, mediante una n–tupla, pero diferente representaci´ on geom´etrica: el primero es un punto, el segundo es una flecha o segmento de recta dirigido. Matem´ aticamente hablando, se tiene un isomorfismo entre puntos en Rn y vectores posici´ on en Rn con punto de aplicaci´ on el origen O en Rn , t´ opico que se discute el curso de Algebra Lineal. Por convenci´ on, los puntos de Rn se denotan con letras may´ usculas del alfabeto, y los vectores por letras min´ usculas en negrilla. Si el vector esta determinado por dos puntos en Rn , digamos P y Q, entonces el vector de P −−→ a Q se denotar´ a de la forma x = P Q. Si P no es el origen en Rn , entonces −−→ x es un vector posici´ on y P Q es un vector libre. Si P coincide con el origen −−→ entonces x y P Q son vectores posici´ on, e iguales. Como una generalizaci´on de las propiedades de la suma y multiplicaci´ on por un escalar de Rn , se obtiene la siguiente definici´on. Definici´ on 1.2. Dados m vectores x1 , . . . , xm en Rn y m escalares λ1 , . . . , λm , el vector λ1 x1 + · · · + λm xm es llamada una combinaci´ on lineal de los vectores x1 , . . . , xm .

1.2.

Producto escalar Dados dos puntos x = (x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ) en Rn se define el producto interno x · y como el n´ umero real x · y = x1 y1 · · · + xn yn La siguiente proposici´on re´ une las propiedades mas importantes del producto interior. Proposici´ on 1.3. Sean x, y y z vectores de Rn y α y β n´ umeros reales. Entonces 1. (αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z) 2. x · y = y · x 3. x · x ≥ 0

4. x · x = 0 si y solo si x = 0 El producto escalar cumple una desigualdad que es fundamental en el Algebra vectorial. Proposici´ on 1.4 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz). Sean x y y vectores en Rn . Entonces (x · y)2 ≤ (x · x)(y · y).

1.3.

Longitud o norma La longitud o norma de un vector x = (x1 , . . . , xn ) se define mediante la formula kxk =

q √ x · x = x21 + · · · + x2n .

La desigualdad de Cauchy–Schwarz puede entenderse entonces como una relaci´on entre el producto escalar de dos vectores con sus normas. Proposici´ on 1.5 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz). Sean x y y vectores en Rn . Entonces |x · y| ≤ kxkkyk. Una consecuencia muy u ´ til de la desigualdad de Cauchy–Schwarz es la desigualdad triangular, que geom´etricamente establece que la suma de las longitudes de dos lados de un tri´angulo es mayor que la longitud del tercero. Adicionalmente, la norma tiene las siguientes propiedades. Proposici´ on 1.6. Sean x y y vectores en Rn y α cualquier escalar. Entonces 1. kxk ≥ 0 2. kxk = 0 si y s´ olo si x = 0 3. kαxk = |α|kxk

4. kx + yk ≤ kxk + kyk (Desigualdad triangular) 5. kx ± yk2 = kxk2 + kyk2 ± 2 x · y 12

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Demostraci´ on. 4. De la desigualdad de Cauchy–Schwarz, kx + yk2 = kxk2 + 2 x · y + kyk2

≤ kxk2 + 2|x · y| + kyk2

≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2

Al extraer ra´ız cuadrada se obtiene el resultado. Un vector se dice unitario si su longitud es 1. El vector unitario asociado con un vector no nulo x es el vector x/kxk. Los vectores unitarios e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) se llaman los vectores de la base can´onica o est´andar (o usual) de Rn , y generalizan los vectores unitarios ortogonales i, j y k de R3 . Todo vector x = (x1 , . . . , xn ) de Rn se puede escribir como la combinaci´on lineal x = x1 e1 + · · · + xn en

1.4.

´ Angulo entre dos vectores Sean x y y dos vectores no nulos. Entonces el ´angulo θ entre x y y est´ a definido como el ´angulo mas peque˜ no formado por las representaciones de x y y. Si x es m´ ultiplo escalar de y, entonces x = λy para alg´ un escalar λ. Entonces θ = 0 si λ > 0 y θ = π si λ < 0. Si x y y son dos vectores de Rn , de la ley de los cosenos, kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2kxkkyk cos θ, y la Proporci´on 1.6.5 se obtiene Observaci´ on 1.7. x · y = kxkkyk cos θ. Si los vectores x y y son no nulos, entonces el coseno ´angulo θ entre ellos est´a dado por la formula Observaci´ on 1.8. x·y cos θ = kxkkyk Sean x y y dos vectores no nulos en Rn . Entones x y y son vectores paralelos, denotado como x k y, si el ´angulo entre ellos es cero o π; o son perpendiculares, denotado como x ⊥ y, si el ´angulo entre ellos es π/2. Proposici´ on 1.9. Sean x y y dos vectores en Rn . Entonces 1. Si x es un vector no nulo entonces x k y si y s´ olo si existe un escalar no nulo λ tal que y = λx. 2. Si x y y son vectores no nulos entonces x ⊥ y si y s´ olo si x · y = 0. 3. Si x y y son perpendiculares,

kx − yk2 = kxk2 + kyk2

(Teorema de Pit´ agoras)

4. kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (ley del paralelogramo) ´ n de clase – UIS Para uso exclusivo en el salo

´ lculo en Varias Variables Ca

13

1.5.

´ Angulos directores y cosenos directores Dado un vector x de Rn , los ´angulos θ1 , . . . , θn que forman el vector x con los vectores usuales e1 , . . . , en de Rn son llamados los ´angulos directores de x y los escalares cos θ1 , . . . , cos θn son llamados los cosenos directores de x. Si x = (x1 , . . . , xn ) entonces de la definici´on de producto escalar se obtiene x1 = x · e1 = kxk cos θ1 , . . . , xn = x · en = kxk cos θn As´ı que x = kxk(cos θ1 e1 + · · · + cos θn en ) Tomando la norma en ambos lados, tenemos p kxk = kxk cos2 θ1 + · · · + cos2 θn y por tanto

cos2 θ1 + · · · + cos2 θn = 1. Para un vector unitario u, u = cos θ1 e1 + · · · + cos θn en .

1.6.

Proyecciones Si y es un vector no nulo de Rn , entonces todo vector x de Rn puede ser escrito como la suma de un vector y ′ paralelo a y y un vector y ⊥ perpendicular a y. Si x = 0, entonces y = 0. Si x 6= 0, entonces el ´angulo θ entre x y y puede ser: 0 ≤ θ < π/2, θ = π o π/2 < θ ≤ π. El vector y ′ es llamado la proyecci´ on de x sobre y y es denotado como Py (x). Como Py (x) es paralelo a y, ´este es m´ ultiplo escalar de un vector unitario en la direcci´on de y: Py (x) = λ

y . kyk

El escalar λ es llamado la componente de x en la direcci´on de y y es denotado como ∂y (x). Simb´olicamente, Py (x) = (∂y (x))

y . kyk

Como kPy (x)k = |∂y (x)| entonces la componente de x en la direcci´on de x es un n´ umero que mide el “avance” o desplazamiento de x en la direcci´on de y. Si 0 ≤ θ < π/2, la proyecci´on y y tienen la misma direcci´on y la componente es positiva. Si θ = π/2, la proyecci´on es 0 y la componente es 0. Si π/2 < θ ≤ π, la proyecci´on y y tienen direcciones opuestas y la componente es negativa. 14

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Las proyecciones y componentes est´an relacionadas mediante el producto escalar y la norma de la forma siguiente: Py (x) =

x·y y kyk2

y

∂y (x) =

x·y kyk

y y y ⊥ · y = 0 entonces Efectivamente, como x = y ′ + y ⊥ , y ′ = λ kyk

0 = (x − y ′ ) · y =

  y y·y x−λ ·y = x·y−λ = x · y − λkyk. kyk kyk

Por lo tanto, Py (x) =



x·y kyk



y x·y = y. kyk kyk2

Definici´ on 1.10. Sean x y y vectores en Rn , con y 6= 0. La proyecci´ on de x sobre y es Py (x) =

x·y y kyk2

y la componente de x a lo largo de y, ∂y (x) =

1.7.

x·y kyk

Trabajo En f´ısica, los conceptos de componente, proyecci´on y el producto escalar est´an ligados al concepto de trabajo.

1.7.1.

Con desplazamiento a lo largo de una l´ınea recta Supongamos que una part´ıcula se desplaza a lo largo de una linear recta mientras act´ ua sobre ella una fuerza constante F . El trabajo W realizado por la fuerza F cuando desplaza la part´ıcula una distancia D en linea recta est´a definido como el producto de la componente de la fuerza F en la direcci´on del desplazamiento, denotada por Fd , y la distancia D; es decir, W = Fd D, en donde d denota la direcci´on de la recta que describe el desplazamiento la part´ıcula. Sea θ el ´angulo entre F y d. Por trigonometr´ıa elemental, la componente Fd de la fuerza F que act´ ua sobre la part´ıcula en la direcci´on d de la recta es Fd = kF k cos θ. Cuando las longitudes del desplazamiento D de la part´ıcula y la direcci´ on d son coincidentes (D = kdk), entonces se tiene que W = kF kkdk cos θ. Por tanto, cuando D = kdk, W = F ·d

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´ lculo en Varias Variables Ca

15

Supongamos que D y la longitud de d son distintas. Primero que todo, supongamos que el vector F d denota el vector que le corresponde a la fuerza F a lo largo de d. Este vector se obtiene multiplicando Fd por un vector unitario que es paralelo al vector d. Si d es no nulo, entonces el vector d/kdk es el vector unitario paralelo a d. De ´este modo, F d = Fd

d d d F ·d F ·d = kF k cos θ = = d kdk kdk kdk kdk kdk2

y Fd =

F ·d . kdk

Por lo tanto, W =

F ·d D kdk

cuando D 6= kdk.

Ejemplo 1.11. Supongamos que una part´ıcula se mueve solamente en la direcci´ on de la recta d = (1, −2, 3) por una fuerza F = (2, −3, 4) que act´ ua sobre ella. Determinar el trabajo realizado por la fuerza si desplaza la part´ıcula una distancia de 5 unidades o una distancia equivalente a la longitud de la direcci´ on. Soluci´ on. La componente de la fuerza F en la direcci´on del vector d esta dada por ∂d (F ) = Fd = Por tanto, el trabajo es W =

16×5 √ 14

=

F ·d 16 = √ kdk 14

√ 80 14 14

=

√ 40 14 7 .

En el segundo caso la distancia D es igual a kdk. Por tanto el trabajo es W = F · d = 20. 1.7.2.

Con desplazamiento a lo largo de una trayectoria no lineal Supongamos que una part´ıcula se mueve a lo largo de una trayectoria ϕ : [a, b] → Rn mientras act´ ua sobre ella una fuerza F : Rn → Rn . Supongamos que la trayectoria se puede descomponer en una sucesi´ on finita de desplazamientos rectos infinitesimales. En efecto, sean a = t0 , t1 , . . . , tn = b los puntos que determinan una partici´on del intervalo [a, b] de longitud ∆t = (b − a)/n. Entonces podemos suponer que los puntos ϕ(t1 ), ϕ(t2 ), . . . , ϕ(tn ) determinan una partici´on de la trayectoria desde ϕ(a) hasta ϕ(b). Por lo tanto, conforme t varia sobre un intervalo de tiempo tk a tk+1 , la part´ıcula se mueve del punto ϕ(tk ) a ϕ(tk+1 ) y el vector desplazamiento ser´a, de la definici´on de derivada, ∆s = ϕ(tk+1 ) − ϕ(tk ) = ϕ(tk + ∆t) − ϕ(tk ) ≈ ϕ′ (tk )∆t. Entonces el trabajo W realizado por F es aproximadamente W ≈

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n−1 X k=0

F (ϕ(tk )) · ∆s =

n−1 X k=0

F (ϕ(tk )) · ϕ′ (tk )∆t.

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Cuando n → ∞, la aproximaci´on es cada vez mejor, de modo que es razonable definir el trabajo como W = l´ım

n→∞

n−1 X k=0

F (ϕ(tk )) · ϕ′ (tk )∆t :=

Z

b

a

F (ϕ(t)) · ϕ′ (t) dt.

A fin de que la integral definida en esta definici´on exista, es necesario asumir que la fuerza F es un campo vectorial continuo sobre la trayectoria ϕ, la cual a su vez debe ser una funci´on vectorial de clase C 1 en [a, b]: las funciones vectoriales ϕ(t) y ϕ′ (t) son continuas en el intervalo [a, b].

1.8.

El producto cruz de vectores Sean x = (x1 , x2 , x3 ) y y = (y1 , y2 , y3 ) dos vectores en R3 . Entonces el producto vectorial de x y y, denotado por x×y, es un nuevo vector definido por i x × y = x1 y1

j x2 y2

k x x3 = i 2 y2 y3

x1 x3 − j y1 y3

x1 x3 + k y1 y3

Proposici´ on 1.12. Sean x, y, z tres vectores en Rn . Entonces 1. x × y = −y × x

x2 y2

2. x · (x × y) = 0 y y · (x × y) = 0 3. x × (y + z) = x × y + x × z

4. λ(x × y) = (λx) × y = x × (λy) para todo escalar λ. 5. kx × yk = kxkkyk sin θ, donde θ es el a ´ngulo entre los vectores x y y.

Geom´etricamente, el vector x × y es un vector perpendicular a los vectores x y y (cf. Proposici´on 1.12.2). Una segunda interpretaci´on geom´etrica es la siguiente. El ´area del paralelogramo que tiene los lados adyacentes x y y es igual a kx × yk = kxkkyk sin θ, en donde θ es el ´angulo entre los vectores x y y (cf. Proposici´on 1.12.5). Considerando los vectores can´onicos del plano y del espacio, se tiene que todo vector x = (x, y) del plano se puede identificar como un vector del espacio: x = (x, y) = xi + yj ≡ xi + yj + 0k = (x, y, 0), en donde i = e1 , j = e2 y k = e3 . Utilizando este “artificio”1, todo vector del plano se puede identificar como un vector del espacio. Sean x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ) dos vectores en R2 . Entonces x × y = (x1 y2 − x2 y1 )k 1

En t´ erminos de la teor´ıa de Algebra Lineal se dice que el plano es un subespacio vectorial del espacio.

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´ lculo en Varias Variables Ca

17

1.9.

Triple producto escalar de vectores El producto mixto, o triple producto escalar, de tres vectores x, y y z en R3 est´a dado por el escalar x · (y × z).

Suponga que x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) y x1 x2 x · (y × z) = y1 y2 z1 z2

z = (z1 , z2 , z3 ). Entonces x3 y3 z3

Si los tres vectores x, y y z no est´an en el mismo plano, ellos determinan un paralelep´ıpedo en R3 cuyo volumen es igual a Volumen paralelep´ıpedo = |x · (y × z)|

(1.1)

Proposici´ on 1.13. Sean x, y y z tres vectores en R3 . Entonces x · (y × z) = (x × y) · z

1.10.

L´ıneas Sean r0 un punto fijo y d un vector no nulo en Rn . Deseamos encontrar la ecuaci´on ℓ de la recta que pasa por el punto r 0 y es paralela al vector d. Para hacerlo, empezamos con la idea de que dos puntos distintos determinan una recta. Un punto de ellos sera el punto r 0 y el segundo un punto r cualquiera de ℓ. No es dif´ıcil de encontrar que una condici´on necesaria y suficiente para que el punto r pertenezca a la recta ℓ es que los vectores r − r 0 y d sean paralelos. Esto pasa si y s´olo si existe un escalar t tal que r − r0 = td o equivalentemente, si y s´olo si r = r0 + td Por lo tanto, la ecuaci´on vectorial r(t) = r0 + td

t∈R

parametriza la recta ℓ. Ahora, sean r = (x1 , . . . , xn ), r0 = (x01 , . . . , x0n ) y d = (d1 , . . . , dn ). Entonces las ecuaciones escalares x1 = x01 + tdn , . . . , xn = x0n + tdn se llaman las ecuaciones param´etricas de la recta ℓ. Si todas las componentes del vector director d de la recta son no nulas, entonces se puede eliminar el par´ametro t y obtener las n ecuaciones xn − x0n x1 − x01 = ··· = d1 dn llamadas las ecuaciones sim´etricas de la recta. En cuanto a un sistema de dos ecuaciones se tienen las dos siguientes definiciones: 18

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1. Dos l´ıneas distintas son paralelas si y s´olo si sus vectores directores son paralelos. 2. Dos l´ıneas distintas son ortogonales si y s´olo si sus vectores directores son ortogonales. Se define el ´angulo θ entre dos l´ıneas como el menor de los a´ngulos que forman los vectores directores de las l´ıneas. Proposici´ on 1.14. Sea θ el a ´ngulo entre dos l´ıneas distintas. 1. Las l´ıneas son paralelas si y s´ olo si θ = 0 o θ = π. 2. Las l´ıneas son ortogonales si y s´ olo si θ = π/2 o π = 3π/2.

1.11.

Planos

Definici´on de plano Para encontrar la ecuaci´on de un plano π, se selecciona un punto P = (p1 , . . . , pn ) en el plano y un vector normal al plano η = (η1 , . . . , ηk ). Ahora se toma un punto X = (x1 , . . . , xn ) en el espacio y se construye el vector −−→ P X = X − P = (x1 − p1 , . . . , xn − pn ). Entonces el punto X pertenece al plano π si y s´olo si η · (X − P ) = 0, que es lo mismo que decir, si y s´olo si η1 (x1 − p1 ) + · · · + ηn (xn − pn ) = 0, llamada la ecuaci´on cartesiana del plano en Rn . Dos planos en Rn son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Los planos coordenados en el espacio R3 son tres: el plano coordenado xy, πxy , el plano coordenado yz, πyz , y el plano coordenado zx, πzx . Puesto que el vector k es perpendicular al plano coordenado πxy , todo vector paralelo al vector k es paralelo al plano coordenado πxy . Ideas similares se pueden obtener para los otros dos planos coordenados en R3 . Por lo tanto, si el plano es paralelo a uno de los planos coordenados, entonces la ecuaci´ on del plano es una de las siguientes: x=a y=b

paralelo al plano yz paralelo al plano xz

z=c

paralelo al plano xy

Intersecci´on de planos en R3 Sin dos planos π1 y π2 no son paralelos, entonces la intersecci´on de ellos es una linea recta ℓ. Sea P un punto en la intersecci´on de los dos planos. Si η1 y η 2 son los vectores normales a los planos π1 y π2 , respectivamente, el vector η 1 × η2 ser´a el vector director de ℓ. Por lo tanto, la ecuaci´ on vectorial de ℓ esta dado como el conjunto de todos los puntos X en R3 tales que X = P + t(η 1 × η 2 ) para todo escalar t. El punto P se encuentra resolviendo un sistema de dos ecuaciones con tres inc´ognitas, el cual siempre tiene m´as de una soluci´ on. ´ n de clase – UIS Para uso exclusivo en el salo

´ lculo en Varias Variables Ca

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Vectores coplanares Tres vectores en Rn son coplanares si ellos pertenecen al mismo plano o planos paralelos. En caso contrario se dicen que los vectores son no coplanares. Proposici´ on 1.15. Tres vectores x, y y z en R3 son coplanares si y s´ olo si x · (y × z) = 0. Demostraci´ on. Los vectores son coplanares si y s´olo si el volumen del paralelep´ıpedo que ellos determinan es cero. De (1.1) tenemos que esto sucede si y s´olo si x · (y × z) = 0 Ecuaci´on de un plano que determinan tres puntos no colineales Se puede utilizar la Proposici´on 1.15 para encontrar la ecuaci´on de un plano π en R3 que pasa a trav´es de tres puntos no colineales P1 , P2 y P3 del espacio. En efecto, un punto P pertenece a ´este plano si y s´olo si los vectores −−→ −−−→ −−−→ P1 P , P1 P2 , P1 P3 son coplanares. Por la Proposici´on 1.15, esto sucede si y s´ olo si −−→ −−−→ −−−→ P1 P · P1 P2 × P1 P3 = 0.

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