La consonancia LA TEOR´IA DE LA DISONANCIA:

´ ´ UN ENCUENTRO ENTRE MUSICA Y MATEMATICAS disonancia 1. f. Sonido desagradable. (. . . ) 3. f. M´ us. Acorde no consonante. ` XAVIER GRACIA

consonancia (. . . ) 4. f. M´ us. Cualidad de aquellos sonidos que, o´ıdos simult´aneamente, producen efecto agradable.

Dep. Matem`atica Aplicada IV Universitat Polit`ecnica de Catalunya Barcelona

En m´ usica, “disonante” no significa necesariamente desagradable! Hay varios conceptos de disonancia. Nos interesaremos espec´ıficamente por la disonancia sensorial.

IUMA & Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza 30 octubre 2008

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

1 / 48

M´usica y matem´atica

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

3 / 48

La consonancia Pit´ agoras de Samos, siglo VI aC Dos cuerdas similares, sometidas a la misma tensi´on, al ser tocadas simult´aneamente, producen un sonido armonioso si sus longitudes est´an en razones de enteros peque˜ nos 2:1, 3:2, 4:3, . . .

Espectros de los instrumentos musicales Teor´ıa de las escalas Teor´ıa de la disonancia Simetr´ıas en m´ usica Combinatoria de acordes y motivos An´alisis y s´ıntesis de sonido Estad´ıstica aplicada a la musicolog´ıa ...

×

×

×

×

× ×

× ×

× × ×

¡Una ley de la naturaleza regida por los enteros!

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

2 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

4 / 48

La consonancia

El sonido

Un espectro arm´ onico es el formado a partir de una frecuencia fundamental ν con sus m´ ultiplos enteros: νk = k ν,

k = 1, 2, 3, . . .

Muchos instrumentos musicales tienen espectro aproximadamente arm´onico.

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

5 / 48

El sonido

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

7 / 48

El sonido Cuerda vibrante Longitud L, tensi´on T , densidad lineal de masa ρ.

El sonido es una percepci´ on del o´ıdo producida por peque˜ nos cambios de presi´on del aire.

Tiene espectro arm´onico con frecuencia fundamental s 1 T ν= . 2L ρ

Los atributos f´ısicos del sonido se corresponden con atributos perceptivos. El tono o altura es el atributo de la sensaci´on auditiva en t´erminos del cual los sonidos se pueden ordenar en una escala que se extiende desde los m´as graves a los m´as agudos.

Por lo tanto: razones de longitudes = razones de frecuencias.

Para un tono puro de frecuencia ν, A sin(2πνt + φ◦ ), la altura se corresponde (aproximadamente) con la frecuencia. En general, un sonido se puede expresar como una combinaci´on de tonos puros de frecuencias varias, llamadas parciales. Estas frecuencias forman el espectro del sonido. En algunos casos se le puede atribuir una altura definida.

Aire en un tubo con los extremos abiertos Longitud L. Tiene espectro arm´onico, con frecuencia fundamental ν=

c 2L

(c, velocidad del sonido en el aire). Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

6 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

8 / 48

El sonido

Las notas de la m´usica

Se llama intervalo a la diferencia de altura de dos tonos. La octava es el intervalo formado por dos tonos con raz´on de frecuencias 1:2. En la m´ usica normalmente no se utilizan sonidos de frecuencias cualesquiera, s´olo las de una cierta escala; son las notas de la escala.

Propiedades fundamentales de la relaci´ on entre frecuencia y altura: Correspondencia logar´ıtmica El intervalo formado por dos tonos s´ olo depende de la raz´on de sus frecuencias. Equivalencia de octavas Dos tonos que forman un intervalo de octava son percibidos como “el mismo” tono.

En la m´ usica occidental las notas de una composici´on se representan en un pentagrama. log(ν) 6 - t

Sumar intervalos ←→ multiplicar razones de frecuencias. La octava es la unidad natural de intervalo. Dos tonos de frecuencias ν1 ≤ ν2 forman un intervalo de log2 Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

ν2 ν1

octavas.

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

9 / 48

El sonido

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

11 / 48

Las notas de la m´usica

Ejemplo La escala de la m´ usica occidental actual contiene 12 notas en cada octava: do, do] = re[, re, re] = mi[, mi, fa, fa] = sol[, sol, sol] = la[, la, la] = si[, si.

Estas notas est´an separadas por intervalos iguales, llamados semitonos; un semitono corresponde a una raz´on de frecuencias r = 21/12 .

correspondencia logar´ıtmica Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

equivalencia de octavas Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

10 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

12 / 48

Las notas de la m´usica

Algunas teor´ıas sobre la disonancia

Convenio: el la4 (la de la cuarta octava) corresponde a una frecuencia de 440 Hz. En los siglos XVI–XVII Galileo y Mersenne relacionan la altura musical con la frecuencia. Galileo, siglo XVII Si las frecuencias est´an en razones simples de enteros hay una regularidad en la onda, de manera que el o´ıdo no est´a “sometido a un tormento perpetuo”. Ejemplo: representaci´ on aproximada de los 10 primeros arm´onicos del do2 :

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

Durante el siglo XVII se descubren los espectros arm´onicos de los instrumentos de viento y cuerda.

13 / 48

Las notas de la m´usica

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

15 / 48

Algunas teor´ıas sobre la disonancia

Las razones simples de enteros han dado lugar a nuestra escala actual, de 12 divisiones iguales de la octava.

Sorge, siglo XVIII

A partir de una nota de referencia tenemos, en el intervalo de una octava, doce intervalos posibles.

La disonancia es la aspereza causada por las parciales cercanas.

En la teor´ıa de la m´ usica, algunos se llaman consonantes y otros disonantes.

Helmholtz, siglo XIX Si la diferencia de las parciales es muy peque˜ na hay batidos; si es algo mayor hay aspereza; si es mayor, hay consonancia. Plomp y Levelt, 1965 Kameoka y Kuriyagawa, 1969

Las razones de frecuencia de los intervalos m´as consonantes son cercanas a razones simples: quinta ' 3/2, cuarta ' 4/3, tercera mayor ' 5/4, tercera menor ' 6/5, . . .

Experimentos y teor´ıa. Hay otras teor´ıas. . .

¿Por qu´e?

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

14 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

16 / 48

La teor´ıa de Helmholtz

La teor´ıa de Helmholtz Hermann Helmholtz Die Lehre von Tonempfindungen, 4a ed., 1877 On the sensations of tone, traducido por A.J. Ellis, 1885

Superposici´ on de sonidos: los batidos Superposici´on de dos ondas sonoras de frecuencias ν1 , ν2 , por ejemplo A sin(2πν1 t) y A sin(2πν2 t).

The most penetrating roughness arises (. . . ) from beats of 30 to 40 in a second. (p. 171)

x−y resulta De la identidad trigonom´etrica sin x + sin y = 2 sin x+y 2 cos 2     ν1 + ν2 ν1 − ν2 A sin(2πν1 t) + A sin(2πν2 t) = 2 A sin 2π t cos 2π t . 2 2

When two musical tones are sounded at the same time, their united sound is generally disturbed by the beats of the upper partials, so that a greater or less part of the whole mass of sound is broken up into pulses of tone, and the joint effect is rough. This relation is called Dissonance. But there are certain determined ratios between pitch numbers, for which this rule suffers an exception, and either no beats at all are formed, or at least only such as have so little intensity that they produce no unpleasant disturbance of the united sound. These excepcional cases are called Consonances. (p. 194)

Si la diferencia ν1 − ν2 es lo bastante peque˜ na la percepci´on es de un 2 sonido de frecuencia ν = ν1 +ν con amplitud variando lentamente; 2 esta variaci´ on tiene una frecuencia ∆ν = |ν1 − ν2 |. Se oyen los batidos. Si la diferencia es algo mayor, se percibe una cierta aspereza.

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

17 / 48

La teor´ıa de Helmholtz

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

19 / 48

La teor´ıa de Helmholtz

Podemos oir los batidos con alg´ un programa que genere tonos puros. C´ alculo de la aspereza de un intervalo seg´ un los batidos (p. 193)

+

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

=

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

18 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

20 / 48

La teor´ıa de Helmholtz

El o´ıdo O´ıdo interno

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

21 / 48

El o´ıdo

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

23 / 48

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

24 / 48

El o´ıdo Caracol (o c´ oclea)

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

22 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

El o´ıdo

El o´ıdo

Secci´ on del caracol

El sonido dentro del caracol (desplegado) El desplazamiento m´aximo de la membrana basilar depende de la frecuencia del sonido.

(Georg von B´ek´esy, ∼ 1950)

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

25 / 48

El o´ıdo

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

27 / 48

El o´ıdo

El sonido dentro del caracol

Bandas cr´ıticas Podemos considerar que la membrana basilar est´a formada por unas 24 bandas cr´ıticas, cada una con unas 1300 neuronas que transforman el sonido en impulso nervioso. El ancho de la banda cr´ıtica var´ıa con la frecuencia. A frecuencias bajas (menos de 500 Hz) es casi constante, unos 100 Hz. A frecuencias altas es aproximadamente proporcional a la frecuencia, del orden de un 15% (algo m´as de un tono). Frecuencias cercanas son procesadas por la misma banda cr´ıtica.

(E. Zwicker, G. Flottorp and S.S. Stevens, 1957)

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

26 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

28 / 48

La teor´ıa de Plomp y Levelt

La teor´ıa de Plomp y Levelt

Reinier Plomp and Willem J.M. Levelt “Tonal consonance and critical bandwidth” J. Acoust. Soc. Am. 38 (1965) 548–560

Discusi´ on: consonancia de intervalos de tonos complejos

Experimento

Se consideran dos tonos arm´onicos compuestos por seis parciales.

Los sujetos del experimento eran personas sin formaci´on musical.

Uno tiene frecuencia fija (p.ej. 250 Hz) y el otro variable.

Se emit´ıan pares de tonos puros en varios rangos de frecuencia.

Se representa gr´aficamente la disonancia total en funci´on de la frecuencia variable.

Hip´otesis: dados dos tonos complejos, la disonancia total es la suma de las disonancias de las parciales.

Los sujetos los evaluaban en una escala de 7 niveles: 1 disonante — 7 consonante (bonito, euf´onico).

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

29 / 48

La teor´ıa de Plomp y Levelt

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

31 / 48

La teor´ıa de Plomp y Levelt

Resultados La m´axima disonancia se produc´ıa a frecuencias cercanas; pero no a una diferencia fija de frecuencias, sino a una diferencia correspondiente a 1/4 del ancho de banda cr´ıtica. A partir de all´ı la consonancia aumentaba, y a una distancia del ancho de banda cr´ıtica el intervalo se juzgaba consonante. No aparecen las razones simples de enteros. . .

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

La gr´afica muestra m´aximos locales de consonancia en las razones de frecuencia simples 1:1, 1:2, 2:3, 3:5, 3:4, 5:6, 4:5. Si se usan m´as parciales, aparecen m´as m´aximos.

30 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

32 / 48

Escalas y espectros

Escalas y espectros Frank H. Slaymaker “Chords from tones having stretched partials” J. Acoust. Soc. Am. 47 (1970) 1569–1571 Espectro: parciales de razones k S , k = 1, 2, 3, . . .. (S = 1 corresponde al espectro arm´onico.)

Las escalas y la teor´ıa de la m´ usica occidentales dependen esencialmente de la armonicidad de los espectros de los instrumentos utilizados. Dado un espectro, ¿hay una escala que contenga muchos intervalos consonantes?

Alternativamente, se pueden escribir las razones como Alog2 k , con S = log2 A. (A = 2 para el espectro arm´onico.)

Dada una escala, ¿se puede encontrar un espectro con muchos intervalos consonantes?

Escala: divisiones iguales de raz´on (21/12 )S = A1/12 . Es decir, 12 divisiones iguales de la “pseudooctava” de raz´on A. Se realizan pruebas con 1.7320505 ≤ A ≤ 2.3980455. It seemed like a peek into a new and unfamiliar musical world, in which none of the old rules applied and the new ones, if any, were yet undiscovered.

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

33 / 48

Escalas y espectros

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

35 / 48

Escalas y espectros ¿Se puede imitar la armon´ıa convencional con escalas y espectros estirados?

John R. Pierce “Attaining consonance in arbitrary scales” J. Acoust. Soc. Am. 40 (1966) 249

Max V. Mathews and John R. Pierce “Harmony and nonharmonic partials” J. Acoust. Soc. Am. 68 (1980) 1252–1257

Espectro: parciales de razones 1, 210/8 , 216/8 , 220/8 , 222/8 , 224/8 .

We may observe that traditional harmony as we know it is like language, a complex but learnable art that is very difficult to explain.

Escala: 8 divisiones iguales de la octava. Los tonos separados por un n´ umero par de divisiones son m´as consonantes que los separados por un n´ umero impar. It appears that, by providing music with tones that have accurately specified but nonharmonic partial structures, the digital computer can release music from the tyranny of 12 tones without throwing consonance overboard.

[Cook] escala y espectro normales, escala estirada, escala y espectro estirados, y otra vez normal

[Sethares] escala y espectro normales, escala estirada, escala y espectro estirados, espectro estirado Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

34 / 48

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

36 / 48

Escalas y espectros

Estudio de las curvas de disonancia

Modelo simplificado

Escala de Bohlen–Pierce: 13 divisiones iguales de la “tritava”, de raz´on 3:1.

Expresi´ on de la funci´ on de disonancia d(x) = e −b1 x − e −b2 x

Max V. Mathews, John R. Pierce, Alyson Reeves and Linda A. Roberts “Theoretical and experimental explorations of the Bohlen–Pierce scale” J. Acoust. Soc. Am. 84 (1988) 1214–1222

b1 = 3.5, b2 = 5.75. Disonancia de dos notas d(ν1 , ν2 ) = d(x), donde x es la diferencia de frecuencias expresada en anchos de banda cr´ıtica.

[Cook]

Xavier Gr` acia (UPC, Barcelona)

Disonancia, m´ usica y matem´ aticas

37 / 48

Estudio de las curvas de disonancia

39 / 48

Disonancia de un espectro F = {ν1 , . . . , νn }: X DF = d(νi , νj ).

William A. Sethares “Local consonance and the relationship between timbre and scale” J. Acoust. Soc. Am. 94 (1993) 1218–1228

i