INDICE: PRELIMINARES  CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES  CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS  CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES  EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES  EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES LA RECTA REAL PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS NUMEROS REALES ORDEN EN R PROPIEDADES DE ORDEN DESIGUALDADES  EJEMPLO

PRELIMINARES Para el matemático español Miguel de Guzmán, el impacto de las matemáticas en nuestro entorno cultural es evidente. Nuestros artefactos mecánicos, eléctricos, químicos, son leyes matemáticas encarnadas a través de la poderosa tecnología que disfrutamos. Nuestra arquitectura revela estructuras matemáticas subyacentes. Nuestros sistemas de organización manifiestan esquemas matemáticos que le sirven de soporte, Nuestros medios de información y de comunicación son cada vez más potentes gracias a los avances recientes de la informática, que aúna de forma espectacular los procesos matemáticos y tecnológicos. EL SISTEMA DE NÚMERO REALES Antes de conocer acerca de los números reales que son el eje principal de este primer apartado, debemos dar una revisión de los diferentes conjuntos numéricos conocidos hasta ahora. INCIO CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Este conjunto que se denota por N o por Z+, comúnmente se representa así: A los números naturales se les considera como los números más simples. Son los números que utilizamos para contar, por ejemplo, a nuestros amigos, la cantidad de monedas que tenemos, el número de veces que acudimos al cine en un mes. De hecho, estos números entraron en nuestro vocabulario antes de ir a la escuela. INCIO CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Si al conjunto de los números naturales le agregamos el 0 y el inverso aditivo de sus elementos, obtenemos otro conjunto al que llamaremos conjunto de los números enteros y que designaremos con la letra Z. Normalmente se representa por: , 1, 2, 3, 4, 5, … , Como se desprende de lo anterior el conjunto N forma parte del conjunto Z y esto se escribe como . Los números enteros nos permiten interpretar valores negativos que obtenemos en ciertas situaciones cotidianas, por ejemplo: Si estamos hablando de temperatura, un valor de -4 significa una temperatura de 4 grados bajo cero. Si estamos hablando de dinero, el valor -500, representa una deuda de 500 bolívares. Las operaciones básicas con los números enteros están determinadas por ciertas reglas, las cuales debes REVISAR Podemos representar los números enteros en una recta como se observa en la siguiente figura.

INCIO CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES A pesar de su belleza y utilidad, los enteros padecen de un serio defecto: no siempre se les puede dividir es decir, no siempre que se dividan dos enteros el resultado es un número entero. Tomemos como ejemplo:

a en cada uno de los casos el cociente

correspondiente es un número entero. Sin embargo, en

no podemos conseguir un entero

respetable que los represente. Para resolver este problema, los matemáticos decidieron que el resultado de dividir un numero entero entre otro número entero distinto de cero se podría considerar como un número. Así las expresiones como

y cualesquiera otras razones similares son números

con todos los derechos y privilegios de los enteros e inclusive un poco más: siempre es posible dividirlos excepto entre cero. De manera natural esos números fueron llamados RACIONALES (la razón de dos números). Formalmente, podemos definir un número racional como un número que se puede expresar como el cociente de dos enteros. Así tendremos que si P y q son dos números enteros, entonces

representa el número racional.

El conjunto formado por todos los racionales del tipo

se conoce como conjunto de los

números racionales y se denota con la letra Q. En Q se incluyen también las fracciones del tipo

que, por lo general y debido al

significado de la división, se escriben como 17, 8 y -2 respectivamente. No se incluyen en Q fracciones del tipo

ya que resulta imposible dar un significado a

estos símbolos. Convengamos, por tanto, en NO ADMITIR LA DIVISIÓN ENTRE CERO. Al "rellenar" con más puntos la recta de los números enteros obtenemos la representación gráfica de los números racionales. Recuerda los hechos obvios: i. Para cualquier entero a, se tiene que

. Este hecho nos indica claramente que el

conjunto Q incluye a los números enteros y esto se escribe como

ii.

donde k es un número entero no nulo.

iii. Si el numerador a y el denominador b de un número racional

no tienen divisores enteros

comunes (factores) mayores que 1 y si b es positivo, decimos que

está reducida a su

mínima expresión. INCIO

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES La joya de la geometría es el teorema conocido como TEOREMA DE PITÁGORAS descubierto por los griegos alrededor del año 600 AC. El teorema, en su forma básica, nos permite conocer la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud conocida. Sin embargo, cuando se considera un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una unidad de longitud y cuya hipotenusa es c, obtenemos:

Este número no es un número racional, así como tampoco lo son las raíces cuadradas de números primos.

y de hecho todas

Surge entonces la necesidad de ampliar el campo numérico y se crea el conjunto de números irracionales, representado por la letra I. Se incluyen en este todas las expresiones anteriores así como los números y otros como los decimales infinitos no periódicos como por ejemplo: 0,12112111111121111111122321... Un número iracional notable: El número iracional es el cociente entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro. La designación proviene de la palabra griega "peripheria" (la circunferencia es la periferia del círculo) y es la letra griega equivalente a la p de nuestro alfabeto. Las civilizaciones antiguas ya conocían esta relación. Los egipcios le daban el valor 3,16 y los griegos mucho después el valor 3,14. Hoy con la ayuda de la computadora se llegaron a determinar más de un millón de cifras decimales y se observó que no existe ninguna periodicidad entre ellas. INCIO EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES Los números racionales junto con los irracionales constituyen los números reales y el conjunto se representa por R. Así tendremos que: Por lo tanto, de ahora en adelante cualquier número natural, entero, racional o irracional lo consideraremos como un número real INCIO LA RECTA REAL La recta sobre la cual representamos los números reales (racionales e irracionales), la llamaremos Recta Real. Dado un punto P cualquiera en la recta, al número real a lo llamamos coordenada o abscisa de P y lo denotamos por P(a), que se lee: punto P de coordenada a. Si a cada punto de esta recta se le hace corresponder un único número real y solo uno y, recíprocamente, a todo número real se le hace corresponder un punto de la recta y solo uno se obtiene una relación biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas en la recta. En general, si se usa una letra mayúscula para denotar un punto de una recta se usará su correspondiente letra minúscula para denotar su coordenada. Así A(a) se lee el punto A de coordenada a y denota que el número real a es la coordenada del punto A, además el número a especifica donde se encuentra el punto exactamente.

Al número real cero le corresponde el punto O y se llama punto de origen. INCIO PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS NUMEROS REALES Los números reales son adecuados para manejar todas (o casi todas) las aplicaciones que podamos encontrar, por lo que pueden considerarse como suficientes para la mayoría de los fines que nos propongamos alcanzar. Es por esto que se debe prestar especial atención a las propiedades fundamentales de estos números. Antes que ser memorizadas, las propiedades deben ser entendidas. Entender la propiedad significa ver para qué sirve, reconocer sus implicaciones y ser capaces de derivar otras cosas de ellas. En la siguiente tabla se resumen las propiedades tanto para la suma como para el producto de números reales. Se considera que a,b y c son números reales cualesquiera.

Propiedad

Suma

Producto

Conmutativa

a+b=b+a

ab = ba

Asociativa

(a + b) + c = a +(b + c)

(ab)c = a(bc)

Observaciones

.

Al 0 y al 1 también se les llama elemento El 1 ya que: a.1 = 1.a = a identidad para la suma y el producto, respectivamente

Existencia del El 0 ya que: elemento neutro a + 0 = 0 + a = a

Todo número real a tiene un único inverso Existencia del aditivo –a tal que: a + (elemento inverso a) = -a + a = 0

Distributiva

Todo número real a no nulo tiene un único -1 inverso multiplicativo a -1 = -1. que satisface a. a a a =1

a(b + c) = ab + ac o (b + c)a = ba + ca

Como muchas veces se dice el recíproco de a en lugar del inverso multiplicativo de a

.

Ya se vio que el cero es inactivo en la suma: cualquier número sumado con cero es igual al mismo número. Sin embargo, su efecto en la multiplicación es devastador: cualquier número multiplicado por cero queda fuera de combate, es decir, si a es cualquier número real, entonces a.0 = 0.a = 0. INCIO ORDEN EN R El conjunto de los número reales sin el cero, puede separarse en forma adecuada en dos conjuntos disjuntos: 

Conjunto de los números reales positivos:



Conjunto de los números reales negativos:

A su vez, esta separación nos permite definir las siguientes relaciones de orden.

1.- Relación < ("menor que") Dados dos números reales a y b, decimos que:

a < b si b-a es positivo

Ejemplos: 5 < 8 ya que 8 – 5 = 3 es positivo 3<

– 3 = 0,1459… es positivo

ya que

Así como:  



-3 < -1 ya que -1 – (-3)= 2 es positivo

Al relacionar el símbolo < con la recta real, tenemos una forma intuitiva y rápida de interpretarlo: decir que a < b significa que a esta a la izquierda de b en la recta real. El hermano gemelo del símbolo . No se necesita, por tanto, decir nada sobre el símbolo > ya que si sabemos cómo se comporta . Es suficiente observar que b > a significa exactamente lo mismo que a < b y que, en particular b > 0 y 0 < b quieren decir lo mismo: ambas expresiones indican que b es un número positivo.

Relación

(menor o igual)

Esta relación se considera la “prima hermana” de < Se define como: a Ejemplos: Es cierto que: 1

b si b-a es positivo o cero

3

Como lo es también: 1

1

Como puedes observar esta nueva relación se comporta de manera muy parecida a la relación < Es obvio que b significa lo mismo que a INCIO PROPIEDADES DE ORDEN 1. Tricotomía Si a y b son números reales cualesquiera, se cumple una y solo una de las siguientes propiedades: a < b, a=b o a>b 2. Transitividad 3. Aditiva 4. Multiplicativa Si a < b

y

Si a < b y b < c entonces a < c Si a < b entonces a + c < b + c Si a < b y c > 0 entonces ac < bc

c < 0, entonces ac > bc

Las propiedades de orden 2, 3 y 4 se cumplen cuando los símbolos < y > son reemplazados por Los siguientes aspectos son de alta relevancia. 1. Todo número positivo es mayor que cero. En símbolos:

2. Todo número negativo es menor que cero. En símbolos: 3. Todo número positivo p es mayor que cualquier número negativo n. En símbolos: Todas estas afirmaciones admiten una interpretación geométrica bastante simple. Para ello hay que recordar que al conjunto de los números reales se le puede poner en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta y que la relación de orden en el conjunto, se traduce en la recta en tener una orientación, es decir en que a la recta numérica se le da una dirección positiva mediante una flecha, precisamente la que se indica hacia la derecha a partir del origen. Entonces, cualesquiera que sean los signos de los números el mayor de ellos se representa por el punto que se encuentra más a la derecha en su representación geométrica. INCIO DESIGUALDADES Por definición, a las relaciones: a < b, a > b, a b y a se les conoce con el nombre de desigualdades. A los números a y b se les llama primero y segundo miembros (o partes) de la desigualdad Si aplicamos las propiedades de orden a las desigualdades estas pueden interpretarse como: Podemos sumar el mismo número a ambos lados de una desigualdad y esta no cambia. También podemos restar el mismo número a ambos lados (Propiedad Aditiva) INCIO EJEMPLO: Se tiene que 5

8, sea c = 3.

Sumemos este valor a ambos lados de la desigualdad:

Como puedes observar LA DESIGUALDAD SE MANTIENE Ahora, sumemos a ambos lados de la desigualdad, el número c = -3:

y como en el caso anterior, la desigualdad NO CAMBIA Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un número real positivo, el signo de la desigualdad se conserva, pero si multiplicamos por un número negativo cambia la desigualdad. Ejemplo: Consideremos la desigualdad:

2 0

Por tanto: como c es positivo, la desigualdad no cambia Veamos ahora que pasa, si c = -5 < 0

El resultado indica, que la desigualdad cambia cuando se multiplican ambos miembros de ella por un número negativo o menor que cero. Ejercicios:

1. Reemplaza el símbolo # por el símbolo de desigualdad apropiado. a) 1.5 # -1.6 b) c) -2 # -8 d) 2. Ordena los siguientes números de mayor a menor. 3. Utiliza la recta real para mostrar el conjunto de números que satisface cada una de las siguientes desigualdades.

a) b) c) d) 4. Escribe una desigualdad para cada uno de los siguientes intervalos:

a)

b)

c) INCIO