Polinomios

Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que cumple con las siguientes condiciones: Ningún término de la expresión tiene un denominador que contiene variables Ningún término de la expresión tiene un radical que contiene variables Todos los exponentes de las variables son enteros no-negativos. Los polinomios se pueden nombrar con una letra mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)

Polinomios Un polinomio tiene la siguiente forma general:

𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐 Donde: 𝒂𝒏 , 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 , …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales y las potencias de las variables descienden en valor

Ejemplos de Polinomios

Ejemplos de No - Polinomios 3 2

P(x) = 3x2 – 5x + 1

4 x  5x 2  3

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

3x 2  4 x  1

9 − 4x − 2x 3 G x = 5

3 4x  5 x

R(x,y) = 2xy – 7y + 6x

4x2  7x 1 3x 3

W(p,q) = p + q – 5pq

3x 2  7 x  x  7 4 2

Clasificar Polinomios Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad de términos: •

monomio: un solo término • binomio: dos términos • trinomio: tres términos • De ahí en adelante no reciben nombres particulares y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli significa plural, o muchos)

Evaluación de Polinomios: Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.) Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2). Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”

Evaluación de Polinomios Ejemplo: Determinar P(0) y P(-3) si P(x) se define como en el ejemplo anterior: P(x) = 3x2 – 5x + 1

P(0) =

P(-3) =

Evaluación de Polinomios Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3) Notas: • Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables. En este caso p=2 y q= -3 • Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el valor de p ó el valor de q

R(2, -3) =

Grado y coeficiente principal El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término con la potencia mayor de la variable. El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma: (i) Si el polinomio es en una variable el grado será la potencia mayor de la variable con coeficiente distinto de cero. (ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se determina de la siguiente forma: para cada término se suman las potencias de la variable y el grado será el total mayor.

Grado de Polinomios – Práctica Polinomio P(x) = -7 P(x) = 5x – 7

Q(z) = 2+ 7z – 4z2 Q(y) = 2y – 51y2 – 2y6 – 7 F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45 F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2 R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4

R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y

Grado

Coeficiente Principal

Operaciones entre polinomios Suma y resta:

I.

a)

Sumar o se restar coeficientes de los términos semejantes de ambos polinomios . Luego, ordena los términos según el grado. (ascendente o descendente)

b)

La operación de resta requiere aplicar la propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el signo de TODOS los términos en éste polinomio.

c)

Si no existen términos semejantes en los polinomios, el polinomio nuevo se compone de los términos de cada polinomio, en orden de grado

Suma y resta de polinomios - ejemplos Veamos los siguientes ejemplos:

a) ( 3x 2  5x  11)  (4x 2  3x  13)

b) (13x 2 – 5x  7)  (2x 2  11x – 10)

Suma y resta de polinomios - ejemplos c) (2x – 4x 2  8) – 2(11  3x 2  4x)

Suma y resta de polinomios - ejemplos d) 2(3xy  4x 2 y – 5xy 2  7x) – (4x 2 y – 6xy 2 – 11xy  3y)

Multiplicación de polinomios

Propiedad de exponentes •

•

• • •

Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes. Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:

1era ley: bn * bm = bn+m 25 ∙ 24 = 29

Multiplicación de dos monomios La multiplicación de monomios se realiza de la siguiente manera:  



Se multiplican los coeficientes numéricos Si la parte variable de los términos tiene la misma variable, su producto va a tener la misma variable con un exponente nuevo formado con la suma de los exponentes de los términos Si la parte variable de los términos tiene variables diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro, sin cambiar.

Ejemplos- Multiplicación de monomios 4x2(2x4y)

-2y3(3y4z5)

5x6y6 (-4x4y)

Multiplicación de un monomio por un polinomio. Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos la ley distributiva de la multiplicación y la ley de exponentes: a(b+c) = ab + ac a(b - c) = ab - ac

Ejemplos: (a) x(2x3 + 45)

(b) 2a2 (-3b3 – 12)

bn * bm = bn+m

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Ejemplos (cont): 5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)

Multiplicación de binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos veces: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Esto equivale a multiplicar cada término de un binomio por cada término del otro binomio. Al final, si existen términos semejantes, éstos se reducen.

Ejemplos •

(2x + 3)(4x2 – 5)

•

(x – 5)(2 – x)

•

(2x2 – 5)(x2 – 9)

Diferencia de cuadrados Cuando se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos, el resultado es un binomio (a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 A este resultado se le conoce como diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados Multiplique (2x + 1) (2x – 1) . Podemos multiplicar como hasta ahora: = 2x (2x – 1) +1 (2x – 1) Estos términos tiene = 4x2 – 2x + 2x – 1 signos opuestos. Su suma es cero. = 4x2 – 1

Podemos hallar el producto usando la fórmula: (2x + 1) (2x – 1) = (2x)2 – (1)2 = 4x2 – 1

Ejemplos Si reconocemos que los binomios siguen el modelo establecido (a + b)(a – b) = a2 – b2 podemos aplicar la fórmula directamente  (7 + 3y)(7 – 3y)=



1 x 2

1 − 4

1 x 2

+

1 4

=

Otras propiedades de exponentes Simplificando cuando un exponente se eleva a otro exponente

32 ∙ 32 ∙ 3 2 ∙ 32

En general, (𝑏 𝑛 )𝑚 = 𝑏 𝑛∗𝑚 Esta propiedad es útil cuando tenemos que simplificar potencias de binomios.

Otros ejemplos – forma larga a) (4x2 – 5)(4x2 + 5)

b)

(10 – 2x3)2 Nota: NO es una diferencia de cuadrados, es un binomio cuadrado

Binomio cuadrado usando fórmula (a + b)2 = a2 + 2a b + b2 (a – b)2 = a2 – 2a b + b2 •

(2x – 3y)2

•

(5x3 + 4x5)2

Otros ejemplos – cont. •

5x(4x – 1)(3x + 1)

•

3x2(1 – 2x)(2 – x)