Proiect la informatică la tema “Model și modelare matematică” Realizat de eleva clasei a XII-a ’’A’’ Lia Chilaru

Cuprins: 1.

Noțiunea de model. Clasificarea modelelor.

2.

Modelul matematic și modelarea matematică.

3.

Soluții analitice și soluții de simulare.

4.

Etapele de rezolvăre a problemelor la calculator.

Noțiune de model. Clasificarea modelelor Modelul este un sistem material sau ideal, logico-matematic cu ajutorul căruia pot fi studiate, prin analogie, proprietăţile şi operaţiile efectuate asupra sistemului iniţial, care, în general, este mai complex.

Globul-machetă al planetei noastre este şi el o imitaţie a unui corp real, este o reprezentare simplificată a Terrei, care permite studierea doar a anumitor particularităţi ale ei – este doar un model. Modelele sînt utilizate din cele mai vechi timpuri pentru examinarea fenomenelor şi proceselor complexe. •

Un model reuşit este mai comod pentru cercetări decît obiectul real. Mai mult chiar, anumite obiecte şi fenomene nici nu pot fi studiate în original. •

Un alt aspect important al modelării îl constituie posibilitatea de a pune în evidenţă doar acei factori, acele proprietăţi ale obiectului real, care sînt esenţiale pentru obiectul studiat. •

•

De asemenea, modelul permite instruirea în vederea utilizării corecte a obiectului real, verificînd diferite moduri de a reacţiona pe modelul acestui obiect.

Procesul de construire a modelului se numeşte modelare. Există cîteva tipuri de modelare, ce pot fi unite în două grupe mari: modelarea materială şi • modelarea ideală. •

În cazul modelării materiale, cercetarea originalului se efectuează prin redarea cu ajutorul unui alt obiect material, mai simplu decît cel real, denumit model, a caracteristicilor geometrice, fizice, dinamice, funcţionale de bază ale originalului. Exemple: machetele clădirilor, avioanelor, automobilelor şi ale vehiculelor militare etc. În cazul modelării ideale, cercetarea originalului se efectuează prin reprezentarea proprietăţilor lui cu ajutorul anumitor concepte, scheme, planuri, structuri, care există doar în imaginaţia omului.

Modelul matematic și modelarea matematică

Modelul matematic reprezintă descrierea unui proces sau a unui fenomen cu ajutorul noţiunilor matematice .

Exemplul 1: Se consideră două automobile. Unul dintre ele se mişcă rectiliniu, traiec- toria respectivă fiind definită prin ecuaţia x = 1/2 . Al doilea automobil se deplasează pe o traiectorie circulară, descrisă de o circumferinţă unitară cu centrul în originea sistemului de coordonate. Se cere determinarea coordonatelor punctelor posibile de impact ale automobilelor. Abstractizînd problema, obţinem următoarea formulare: un punct se mişcă pe o traiectorie dată de ecuaţia x = 1/2 . Al doilea punct se mişcă pe o traiectorie dată de ecuaţia x2 + y2 = 1. Se cere să se găsească soluţiile sistemului de ecuaţii:

Algoritmul de rezolvare e următorul: 1. Se consideră x = ½. 2. Din ecuaţia a doua a sistemului se calculează

3. Soluţia problemei este

Soluții analitice și soluții de simulare Simularea este o tehnică de rezolvare a problemelor, bazată pe utilizarea unor modele matematice şi logice ce descriu comportarea unui sistem real în spaţiu şi/sau în timp. Model de simulare este modelul de rezolvare a problemei în baza tehnicii de simulare. Soluţiile obţinute prin procesul de simulare se numesc soluţii de simulare. Metoda de rezolvare a problemelor bazată pe utilizarea unor formule ce permit calculul direct al rezultatului final, fără a cerceta stări şi rezultate intermediare, se numeşte metodă analitică. Soluţiile obţinute cu ajutorul acestei metode sînt numite soluţii analitice.

Vom examina următoarea problemă: Un bazin cu volumul 100 m3, care iniţial conţine 20 m3 de apă, se umple cu acelaşi lichid folosind pompa ce are capacitatea de pompare de 15 m3/oră. Totodată, din bazin în dispozitivul de filtrare se scurg 5 m3/oră. Se cere să se determine peste cîte ore va fi umplut bazinul. Metoda 1: Prin intermediul unui tabel și utilizarea calculelor consecutive pentru a reconstrui dinamic volumul de apă din bazin peste fiecare oră. Această metodă utilizează simularea.

Metoda 2 : Această metodă utilizează o singură formulă (diferența dintre volumul total al bazinului și cantitatea inițială de apă în raport cu debitul apei pe oră). Această metodă ne oferă soluții analitice drept răspuns la problemă.

Etapele rezolvării problemei la calculator 1) Analiza problemei. Este etapa de studiu al conţinutului problemei. Se stabileşte setul de date iniţiale, se determină care este rezultatul ce urmează să fie obţinut, care sînt relaţiile dintre datele iniţiale şi rezultat. 2) Elaborarea modelului matematic al problemei. La această etapă datele iniţiale sînt descrise prin structuri matematice. Folosind limbajul matematic, se descriu relaţiile care permit obţinerea rezultatului din datele iniţiale. În funcţie de problemă, aceste relaţii pot fi recurente (este creat un model de simulare) sau să permită calculul direct al rezultatului (model analitic). 3) Elaborarea algoritmului. În cazul rezolvării informatice a unei probleme, algoritmul conţine setul de instrucţiuni necesare pentru soluţionarea problemei, descrise într-o formă prestabilită (pseudocod, schemă logică etc.), precum şi ordinea executării acestora (paşii algoritmului). 4) Scrierea programului. Pentru rezolvarea automatizată a problemei, cu ajutorul calcu- latorului algoritmul trebuie transpus într-o formă înţeleasă de calculator – program, folosind un limbaj de programare. Paşii algoritmului sînt prezentaţi cu ajutorul instruc- ţiunilor limbajului de programare, iar ordinea executării lor – de consecutivitatea şi structura instrucţiunilor limbajului. Datele iniţiale şi intermediare sînt descrise folosind structurile de date, acceptate de limbajul de programare. 5) Testarea programului. O compilare reuşită nu garantează rezolvarea corectă a problemei. Pentru verificarea corectitudinii programului se execută o serie de teste care stabilesc corectitudinea rezultatelor generate de program în funcţie de seturi de date iniţiale simple, medii şi extreme. Dacă în procesul de testare se obţin rezultate care diferă de cele corecte, urmează ca rezolvarea problemei să fie reluată, începînd cu etapa de analiză a problemei. Procesul de rezolvare a unei probleme la calculator poate fi ilustrat cu ajutorul următoarei scheme:

Exemplul rezolvării problemei după algoritm Problemă: În condiţii de laborator, o populaţie de viruşi, formată iniţial din N unităţi şi plasată într-un mediu steril, se micşorează în fiecare oră cu 50 de procente, dacă numărul viruşilor la începutul orei este par, sau creşte cu o unitate, dacă numărul viruşilor la începutul orei este impar. În momentul cînd numărul viruşilor devine mai mic decît cantitatea critică de supravieţuire C, populaţia dispare integral. Cerinţă: Scrieţi un program care va stabili timpul necesar, în ore, pentru distruge- rea în laborator a unei populaţii din N (N < 32 000) viruşi, avînd cantitatea critică de supravieţuire C (1 < C < N). Analiza problemei : Populaţia formată dintr-un număr par de viruşi în fiecare oră se micşorează de două ori. Populaţia formată dintr-un număr impar creşte cu o unitate şi se transformă într-o populaţie pară. Creşterea repetată este imposibilă, înjumătăţirea se repetă însă cel puţin o dată la două ore. Prin urmare, valoarea C (C > 1) va fi atinsă într-un număr finit de ore. Modelul matematic : Numărul populaţiei în momentul de timp t = 0 este dat de numărul N0 = N. Numărul populaţiei după t ore de sterilizare (t > 0) este dat de formula recurentă: Program: 1. Iniţializare: Se introduc valorile N, C. t ⇐0 2. a) Trecerea unei ore: t ⇐ t+1. b) Remodelarea populaţiei: dacă N mod 2 = 0, N ⇐ N div 2, altfel N ⇐ N+1. 3. Verificarea condiţiei de supravieţuire: dacă N < C, se afişează valoarea t. SFÎRŞIT. În caz contrar, se revine la pasul 1. Testare. Pentru verificarea corectitudinii rezolvării problemei au fost folosite următoarele seturi de date: