CAP´ITULO

2

Funci´on real de variable real

Definici´ on 2.1 (Producto cartesiano de conjuntos). Sean A y B dos conjuntos, no vac´ıos, cualesquiera, se llama producto cartesiano de A por B y se denota A × B, al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B

A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B} Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2} entonces: A × A = A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} B × A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × B = B 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Representaci´ on gr´ afica El producto cartesiano de dos conjuntos se representa en los ejes de coordenadas cartesianas: • En el eje de abscisas los elementos del primer conjunto (A). • En el eje de ordenadas los elementos del segundo conjunto (B). El conjunto de los puntos del plano recibe el nombre de grafo del producto cartesiano. Los grafos de los ejemplos anteriores son (figuras 2.1 y 2.2):

19

Funci´ on real de variable real

... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ........................................................................................................................................................................................ .... .

... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ........................................................................................................................................................................................ .... .

2

s

s

s

1

s

s

s

a

b

c

c

s

s

b

s

s

a

s

s

1

2

Figura 2.1: Grafo de los productos cartesiano A × B y B × A

... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. ........................................................................................................................................................................................ ... .

c

s

s

s

b

s

s

s

a

s

s

s

a

b

c

... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. ........................................................................................................................................................................................ ... .

2

s

s

1

s

s

1

2

Figura 2.2: Grafo de los productos cartesiano A × A y B × B

Definici´ on 2.2 (Cardinal de un conjunto). Sea A un conjunto. se llama cardinal de A y se denota card(A), al n´ umero de elementos del conjunto A

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2} entonces:

• card(A) = 3

• card(A × A) = card(A) · card(A) = 9

• card(B) = 2

• card(B × A) = card(B) · card(A) = 6

• card(A × B) = card(A) · card(B) = 6

• card(B × B) = card(B) · card(B) = 4

Definici´ on 2.3 (Correspondencia). Se llama correspondencia entre dos conjuntos A y B y se denota con la letra f , a cualquier subconjunto, no vac´ıo, del producto cartesiano de A × B. La correspondencia asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B f : A −−−−−−−−−→ B

BACHILLERATO

o

- 20 -

f

A −−−−−−−−−−→ B

´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

NOMENCLATURA • El conjunto A recibe el nombre de conjunto inicial de la correspondencia.

• El conjunto B recibe el nombre de conjunto final de la correspondencia. • Si el par (a, b) pertenece a la correspondencia entonces: — a es el elemento origen de b — b es la imagen de a por b y se denota f (a) = b

on Definici´ on 2.4 (Aplicaci´ on entre conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, se llama aplicaci´ entre A y B a toda correspondencia de A en B tal que: ´ TODOS los elementos de A tienen UNA Y SOLO una imagen en B.

Ejemplo:

Razonar si las siguientes correspondencias entre los conjuntos A y B son aplicaciones.

Ejemplo 1: G = {(a, 1), (a, 2), (b, 2)}

NO es una aplicaci´ on. El elemento a tiene dos im´agenes: 1 y 2

Ejemplo 2: G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} S´ I es una aplicaci´ on. Todos lo elementos de A tienen una y s´olo una imagen. En este ejemplo: f (a) = 1, f (b) = 1 y f (c) = 1. Ejemplo 3: G = {(a, 1), (b, 2)}

NO es una aplicaci´ on. El elemento c ∈ A, NO tiene imagen.

Ejercicio:

RAZONAR la siguiente afirmaci´on : Toda aplicaci´ on entre conjuntos es una correspondencia. El rec´ıproco, en general, no es cierto

Clases de aplicaciones Definici´ on 2.5 (Aplicaci´ on inyectiva). La aplicaci´ on f : A−−−−→ B es inyectiva si a −→ f (a) = b elementos distintos de A tienen distinta imagen. f es inyectiva ⇐⇒ a1 = a2 =⇒ f (a1 ) = f (a2 ) Es equivalente a: f es inyectiva ⇐⇒ f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2

(2.1)

(elementos que tengan la misma imagen, deben ser iguales) Una condici´on necesaria, no suficiente, para que una aplicaci´on sea inyectiva es: card(A) ≤ card(B) ¿Por qu´e? Definici´ on 2.6 (Aplicaci´ on exhaustiva o suprayectiva). La aplicaci´ on f : A−−−−→ B es a −→ f (a) = b suprayectiva si TODOS los elementos del conjunto final (B) tienen, al menos, una antiimagen. f es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B BACHILLERATO

existe, al menos, un

- 21 -

a∈A

tal que

f (a) = b ´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.1 Dominios de funciones

Una condici´on necesaria, no suficiente, para que una aplicaci´on sea exhaustiva es: card(A) ≥ card(B) ¿Por qu´e? Definici´ on 2.7 (Aplicaci´ on biyectiva). La aplicaci´ on f : A−−−−→ B es biyectiva si es a −→ f (a) = b simult´ aneamente, inyectiva y exhaustiva Una condici´ on necesaria, no suficiente, para que una aplicaci´on sea biyectiva es: card(A) = card(B) ¿Por qu´e? Definici´ on 2.8 (Funci´ on). Una funci´ on es una aplicaci´ on entre conjuntos num´ericos.

Ejemplo: Ejem. 1: Sea f : NN tal que f (n) = n2 . Tambi´en se escribe: Ejem. 2:

f : N−−−−→ N n −→ 2 · n

Ejem. 4:

f : Q−−−−→ Q x −→ x1

Ejem. 5:

f : R−−−−→ R √ x −→ + x

Ejem. 3:

f : N−−−−→ N n −→ n2 f : R−−−−→ R x −→ 3x + 2

´ NO ES FUNCION. ¿Por qu´e? ´ NO ES FUNCION. ¿Por qu´e?

Definici´ on 2.9 (Funci´ on real de variable real). Las aplicaciones tales que el conjunto inicial y final es el conjunto o un subconjunto de R reciben el nombre de funci´ on real de variable real.

Elementos de una funci´ on f : Df ⊆ R−−−−→ R entonces: x −→ y = f (x)

Si

• x es la variable INDEPENDIENTE.

• y = f (x) es la variable DEPENDIENTE. Definici´ on 2.10 (Dominio de una funci´ on). Se llama dominio de una funci´ on al subconjunto, no vac´ıo, del conjunto inicial formado por los elementos que tienen imagen. Se denota por Df . Definici´ on 2.11 (Imagen o recorrido de una funci´ on). Se llama imagen (recorrido) de una funci´ on al subconjunto, no vac´ıo, del conjunto final formado por los elementos que tienen, al menos, una antiimagen. Se denota por Imf

2.1

Dominios de funciones

Para calcular los dominios de las funciones hay que aplicar la definici´on de funci´on. Encontrar qu´e n´ umeros reales tienen imagen real. Es conveniente repasar los siguientes conceptos: • Definici´ on de los conjuntos num´ericos. Intervalos en la recta real. • Identidades notables. • Ra´ız o cero de un polinomio. Resolver ecuaciones. • Regla de Ruffini. Factorizar polinomios. • Resolver inecuaciones. BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.1.1

2.1 Dominios de funciones

Funciones polin´ omicas

Sea P (x) ∈ Rn [x], es decir un polinomio de grado menor o igual que n con coeficientes reales. El valor num´erico de un polinomio es siempre un n´ umero real. Por lo tanto todos los n´ umeros reales tienen imagen real. El dominio m´ aximo de una funci´on polin´omica es R f : R−−−−→ R x −→ f (x) = P (x)

2.1.2

Fracciones algebraicas

P (x) , recordar que el valor num´erico de Q(x) una fracci´ on algebraica es un n´ umero real excepto cuando se anule el denominador (NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO) Si la funci´ on viene expresada por una fracci´on algebraica f (x) =

f (x) =

Ejemplo:

P (x) entonces Df = {x ∈ R | Q(x) = 0} = R  {x ∈ R | Q(x) = 0} Q(x)

Hallar el dominio m´ aximo de la funci´ on: f (x) =

La funci´on es una fracci´ on algebraica, por lo tanto:

x+3 x2 − 4 (∗)

Df = {x ∈ R | x2 − 4 = 0} = R \ {x ∈ R | x2 − 4 = 0} = R \ {−2, +2} √ (∗) Las ra´ıces reales de la ecuaci´ on x2 − 4 = 0, son x = ± 4 = ±2 f : R \ {±2}−−−−→ R x −→ f (x) =

2.1.3

x+3 x2 −4

Funciones irracionales

La funci´ on dada es de la forma:

f : Df −−−−→ R x −→ f (x) = n P (x)

• Si el ´ındice (n) del radical es PAR, entonces la imagen es real si y s´olo s´ı: P (x) ≥ 0. Por definici´ on de aplicaci´on, la imagen (ra´ız de ´ındice par) deber´a llevar s´olo un signo: positivo (+) o negativo (−). Si no se pone signo se supone que las im´agenes son todas positivas o cero. Df = {x ∈ R | P (x) ≥ 0} (Concepto asociado: resolver inecuaciones ) • Si el ´ındice (n) del radical es IMPAR, entonces la imagen es siempre un n´ umero real. Df = R

Ejemplos:

Hallar los dominios m´ aximos de las funciones: √ (1) f (x) = + x + 3 ´Indice par (n = 2) =⇒ Df = {x ∈ R | x + 3 ≥ 0} (∗) = [−3, +∞) (∗)x + 3 ≥ 0 =⇒ x ≥ −3 =⇒ x ∈ [−3, +∞)

f : [−3, +∞)−−−−→ R √ x −→ f (x) = + x + 3 BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

√ (2) f (x) = − 4 3x − x2

´Indice par (n = 4) =⇒ Df = {x ∈ R | 3x − x2 ≥ 0} (∗) = [0, 3]

on de grado dos. En primer lugar calculamos, si hay, los ceros reales (∗) 3x − x2 ≥ 0 Es una inecuaci´ del polinomio: P (x) = 3x − x2 = 0, x = 0 y x = 3. Factorizamos el polinomio P (x) = −x · (x − 3)

P (x) = −x · (x − 3)

−

0

−

0

+

. . .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . .

x 0 =⇒ Eje de ordenadas k2 unidades hacia arriba    Variable dependiente: k < 0 =⇒ Eje de ordenadas k unidades hacia abajo 2 2

Las traslaciones nos recuerda el movimiento del joystick (figura 2.3):

BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

f (x) + k 6

f (x)

f (x + k) ¾

-

f (x − k)

?

f (x) − k Figura 2.3: Gr´aficas por traslaci´on.

Gr´ afica de la funci´ on opuesta Los puntos de ordenada




positiva negativa

en la gr´afica de la funci´on f (x) tendr´an ordenada




negativa positiva

en

la gr´afica de la funci´ on −f (x) .

Figura 2.4: Gr´ aficas de una funci´on y su opuesta Los ejemplos que siguen se corresponden con las funciones de cuadr´atica y proporcionalidad inversa. A lo largo del curso se aplicar´ a con cualquiera de las funciones explicadas.

BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

.. .

.. ... q q .. q q ... q q q ... q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q q . .. q q ... q q q ... q q q q .. q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q q q ... q q . q .. q q ... q q q ... q q ... q q q q ... q q q q ... q q .. q q q ... q q q ... q q q q . q .. q q ... q q q q ... q q q q q q ... q q q q q q . q q q . q q ...q q q q q q q q q q .q

.. ... ... ... ... ... .. ..................................................................................................................................................................................................... .. .. 2

f (x) + k = x + k

... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..................................................................................................................................................................................................... .... ... .

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

f (x + k) = (x + k)2

...

.. ... q q ... q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q ... q q q q ... q q q ... q q ... q q q ... q q q .. q q ... q q ... q q q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q q q ... q q q ... q q ... q q q q ... q q q .. q q ... q q q q ... q q q ... q q q q ... q q q ... q q q q ... q q q q q q ... q q q q q q q q . q q ...........................................................................................q ..q ..q ....q ..q ..q ..q .......................................................................................... ... ... ...

f (x) = x2

...

.. ... q q ... q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q ... q q q q ... q q q ... q q ... q q q ... q q q .. q q ... q q ... q q q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q q ... q q ... q q q ... q q q q ... q q ... q q q q ... q q q ... q q .. q q q q ...q q ..q q ... q q q q ... q q q q ... q q ... q q q q q ... q q q .. q q q q q q q .... q q q q q q q q . q q .......................................................................................................................................q ..q ..q ..q ..q ..q ..q ................................................ ... ... ...

f (x − k) = (x − k)2

.. .

... ... q q q q ... q q ... q q q ... q q q . ... q q q q ... q q .. q ... q q q q ... q q q ... q q ... q q q ... q q q q ... q q ... q q q q ... q q q ... q q q q ... q . q q .. q ... q q q ... q q q ... q q q q ... q q q q .. q q ........................................................q ..q .....................................................................................q .q ..................................................... q ... q q q q ... q q q q ... q q q ... q q q q q ... q q q q q q ... q q q q q q q ...q q q q q q q q q q .q .. ... ... ... ... ... ... ..

f (x) − k = x2 − k

BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

(a) fa (x) =

1 x

(b) fb (x) = f (x − k) =

1 x−k

2.2 Gr´ aficas de funciones

(c) fc (x) = f (x + k) =

1 x+k

(d) fd (x) = f (x) + k =

1 x

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

BACHILLERATO

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+k

(e) fe (x) = f (x) − k =

1 x

−k

(f) ff (x) = f (x−k1 )+k2 =

1 x−k1 +k2

´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

Funciones f (x) =

2.2 Gr´ aficas de funciones

ax + b : Son de proporcionalidad inversa. cx + d f (x) =

(∗) Se divide la fracci´ on:

ax + b (resto R)

ax + b ∗ A = ±k2 ± cx + d x + k1

cx + d Aplicando el algoritmo de Euclides: k2

R ax + b = k2 ± donde k1 = − dc y A = R/c cx + d cx + d Funciones f (x) = ax2 + bx + c, a = 0: Funciones cuadr´aticas, su gr´afica es una par´abola. Se completan cuadrados: f (x) = ax2 + bx + c = a · (x ± k1 )2 ± k2

Ejemplos: 1.

2x + 1 . Es un cociente de polinomios de grado uno. Su x+3 ±1 gr´ afica es de proporcionalidad inversa (asociada a la gr´afica y = ). x Dibujar la gr´ afica de la funci´ on: f (x) =

• Dominio Df = R \ {−3}

• Corte con el eje de abscisas (y = 0). Antiimagen, on:

si existe, de 0. Resolver la ecuaci´ 1 2x + 1 = 0 =⇒ x = − 12 . Punto de corte − , 0 x+3 2 2·0+1 • Corte con el eje de ordenadas (x = 0). Imagen, si existe, de 0. f (x = 0) = = 31 . Punto 0+3

1 de corte 0, 3 k =−3 1    ←−  −5 k2 = 2 ↑ . • Divisi´ on: 2x + 1 x + 3 =⇒ f (x) = 2 + x+3   −2x − 6 2   −5 opuesta -5

Su gr´afica:

2.

afica una Dibujar la gr´ afica de la funci´ on: f (x) = 2x2 − 7x + 5. Es una funci´on cuadr´atica, su gr´ par´abola. • Dominio Df = R

• Coeficiente cuadr´ atico a = 2 > 0 =⇒ BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

• Corte con el eje de abscisas (y = 0). Antiimagen(s), si existe, de 0. Resolver la ecuaci´on:


x1 = 1 5 2 ,0 . Puntos de corte (1, 0) y 2x − 7x + 5 = 0 =⇒ 2 x2 = 52 • Corte con el eje de ordenadas (x = 0). Imagen, si existe, de 0. f (x = 0) = 5. Punto de corte (0, 5) • Completando cuadrados:





7 2 49 5 − =2 x− + = 4 16 2  k1 = 47 

2

2  49 9 −→ 7 7 − − +5=2 x− =2 x− k2 =− 9 4 8 4 8  ↓ 8

7 5 f (x) = 2x − 7x + 5 = 2 x − x + 2 2 2

Las coordenadas del v´ertice: V ecuaci´ on x =

7 4



2



7 9 , − , el eje de simetr´ıa de la par´abola es la recta de 4 8

Su gr´ afica:

Funciones a trozos (piecewise-defined functions) Reciben el nombre de funciones a trozos debido a estar   f1 (x)     f2 (x)  f (x) = f3 (x)    ···     fn (x)

definidas por varias funciones. si x ∈ D1 si x ∈ D2 si x ∈ D3 ··· si x ∈ Dn

El dominio de la funci´ on es: Df = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ · · · ∪ Dn

BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones Gr´afica de la funci´on:

Ejemplo:

  1 Sea f (x) = x2   x−3

si x < −1 si − 1 < x ≤ 2 si x > 2

• El dominio de la funci´ on: Df = (−∞, −1) ∪ ((−1, 2] ∪ (2, +∞) = R \ {−1} • A la vista de la gr´ afica el recorrido de la funci´on: Im(f ) = (−1, +∞)

Dos funciones especiales La funci´ on valor absoluto de la variable independiente es una funci´on a trozos, teniendo en cuenta la definici´ on de valor absoluto de un n´ umero real. Definici´ on 2.14 (Funci´ on valor absoluto). Se llama funci´ on valor absoluto y se representa | la funci´ on real de dominio R y sus im´ agenes vienen dadas por:   −x si x < 0 f (x) = |x| = 0 si x = 0   x si x > 0

|,a

El conjunto imagen de la funci´ on valor absoluto: Imf = R+ . Su gr´ afica:

  −f (x) En general: F (x) = | f (x) | = 0   f (x)

BACHILLERATO

si f (x) < 0 si f (x) = 0 si f (x) > 0

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

Figura 2.5: Funciones f (x) y | f (x) | Definici´ on 2.15 (Funci´ on parte entera). Se llama funci´ on parte entera de un n´ umero real a la funci´ on de dominio R tal que la imagen de x es igual al mayor entero igual o menor que x.

x .. .

f (x) = E(x) .. .

[−3, −2) [−2, −1) [−1, 0) [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) .. .

−3 −2 −1 0 1 2 3 .. . Figura 2.6: Funci´on parte entera

El conjunto imagen de la funci´ on parte entera: Imf = Z.

Clases de funciones Por definici´on las funciones son aplicaciones, por lo tanto las funciones pueden ser: • Inyectiva (definici´ on 2.5) • Suprayectiva o exhaustiva (definici´ on 2.6). Basta definir la funci´on entre su dominio y el conjunto imagen. f : Df −−−−→ Imf La funci´on, as´ı definida, siempre es suprayectiva. x −→ f (x) • Biyectiva (definici´ on 2.7)

BACHILLERATO

- 32 -

´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

Ejemplos: 2x − 3 es una funci´ on inyectiva. x−1 En primer lugar calculamos su dominio m´aximo: Df = {x ∈ R | x − 1 = 0} = R \ {1}

(1) Razonar si f (x) =

?

Aplicando la definici´ on 2.1: f (a) = f (b) =⇒ a = b 2b − 3 2a − 3 = =⇒ (2a − 3) · (b − 1) = (2b − 3) · (a − 1) a−1 b−1 =⇒ 2ab − 2a − 3b + 3 = 2ab − 2b − 3a + 3 =⇒ a = b

f (a) = f (b) =⇒

La funci´on definida S´I es inyectiva (2) Hallar el conjunto imagen o recorrido de la funci´ on anterior Aplicando la definici´ on de funci´ on suprayectiva 2.6, ¿qu´e n´ umeros reales tienen al menos una antiimagen?: 2x − 3 = b =⇒ 2x − 3 = (x − 1) · b =⇒ 2x − 3 = xb − b(despejando x en funci´on de b) x−1 b−3 bx − 2x = b − 3 =⇒ x = b−2 x ser´a un n´ umero real siempre que b = 2, por lo tanto Im f = R \ {2} (3) Razonar si la funci´ on:

f : R \ {1}−−−−→ R \ {2} 2x − 3 x −→ f (x) = x−1

es biyectiva.

(4) Razonar si f (x) = x2 + 2 es una funci´ on inyectiva. Su dominio m´aximo es Df = R (funci´on polin´omica). f (a) = f (b) =⇒ a2 + 2 = b2 + 2 =⇒ a2 = b2 =⇒ a = ±b La funci´on definida NO es inyectiva (5) DEFINIR la funci´ on f (x) = x2 + 2 si necesitamos que sea inyectiva. Para que la funci´on sea inyectiva . tendremos que restringir el dominio m´ aximo, por ejemplo f : [0, +∞)−−−−→ R x −→ f (x) = x2 + 2 As´ı definida es inyectiva.

Funciones sim´ etricas , es una funci´ on par si Definici´ on 2.16 (Funciones pares). La funci´ on, f : Df −−−−→ R x −→ f (x) f (−x) = f (x), ∀x ∈ Df

En la gr´ afica de una funci´ on par si el punto (x, f (x)) pertenece a su gr´afica, tambi´en est´a el punto (−x, f (x)), es decir presenta simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Rec´ıprocamente si la gr´afica de una funci´ on es sim´etrica respecto del eje de ordenadas, la funci´on es par. , es una funci´ on impar si Definici´ on 2.17 (Funciones impares). La funci´ on, f : Df −−−−→ R x −→ f (x) f (−x) = −f (x), ∀x ∈ Df

BACHILLERATO

- 33 -

´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

En la gr´ afica de una funci´ on impar si el punto (x, f (x)) pertenece a su gr´afica, tambi´en est´a el punto (−x, −f (x)), es decir presenta simetr´ıa respecto del origen de coordenadas. Rec´ıprocamente si la gr´afica de una funci´ on es sim´etrica respecto del origen de coordenadas, la funci´on es impar.

Ejemplos: 1.

Razonar si la funci´ on f (x) = x2 − 4 es par

El dominio de la funci´ on Df = R. Aplicando la definici´on: f (−x) = (−x)2 − 4 = x2 − 4 = f (x), ∀x ∈ R

´ PAR. Su gr´afica sim´etrica respecto del eje de Verifica la definici´ on por lo tanto FUNCION ordenadas.

Figura 2.7: Funci´on par e impar

2.

Razonar si la funci´ on f (x) = x3 − x es impar

El dominio de la funci´ on Df = R. Aplicando la definici´on: f (−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −(x3 − x) = −f (x), ∀x ∈ R

´ IMPAR. Su gr´afica sim´etrica respecto del origen de Verifica la definici´ on por lo tanto FUNCION coordenadas.

3.

¿Qu´e condici´ on necesaria, no suficiente, debe verificar el dominio, Df , de una funci´on para que sea par o impar?

Funciones peri´ odicas Definici´ on 2.18 (Funci´ on peri´ odica). La funci´ on, f : Df −−−−→ R , es una funci´ on peri´ odica de x −→ f (x) periodo t ∈ R+ ∗ si f (x + t) = f (x), ∀x ∈ Df Es trivial que si t es periodo de la funci´ on todos sus m´ ultiplos enteros 2t, 3t, 4t, · · · , salvo el 0, son tambi´en periodos de la funci´ on. Definici´ on 2.19 (Periodo principal). Sea funci´ on, f : Df −−−−→ R peri´ odica, se llama periodo x −→ f (x) principal de la funci´ on, se denota T al menor de los periodos de la funci´ on. BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.2 Gr´ aficas de funciones

La gr´afica adjunta corresponde con una funci´on f tal que: • Dominio Df = R • Recorrido Im(f ) = [0, 2] • Peri´ odica. Periodo principat T = 2

Figura 2.8: Funci´on peri´odica

Ejercicio: La gr´afica adjunta corresponde con una funci´on f en [0, 2):

1.

Hallar la Imf .

2.

Dibujar su gr´ afica si es PAR.

3.

Dibujar su gr´ afica si es IMPAR.

4.

´ Dibujar su gr´ afica si es PERIODICA de periodo T = 2.

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.3

2.3 Operaciones con funciones

Operaciones con funciones

Sean las funciones: f : Df −−−−→ R y g : Dg −−−−→ R x −→ g(x) x −→ f (x) Definici´ on 2.20 (Suma de funciones). Se llama funci´ on suma de f y g, se denota con f + g a la funci´ on: • DOMINIO: Df +g = Df ∩ Dg = ∅ • Relaci´ on entre las variables: (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ Df +g

Ejemplos: 1.

Hallar la funci´ on suma de las funciones: f (x) =  Df = R \ {−2} 

   

Df +g = R \ {−2, 3} Por definici´on

2x + 1 3x2 + 2x + 2  x   + = 2 x+2 x−3 x −x+6 √ √ Definir, si es posible, la funci´ on suma de las funciones: f (x) = + −x y g(x) = − x − 2  Df = {x ∈ R | − x ≥ 0} = (−∞, 0]  =⇒ Df +g = Df ∩ Dg = (−∞, 0] ∩ [2, +∞) = ∅  Dg = {x ∈ R | x − 2 ≥ 0} = [2, +∞) Dg = R \ {3}

2.

x 2x + 1 y g(x) = x+2 x−3



(f + g)(x) =

´ SUMA DE f y g NO ES POSIBLE DEFINIR LA FUNCION

Propiedades de la suma de la funciones Asociativa: (f + g) + h = f + (g + h), ∀f, g, h y Df ∩ Dg ∩ Dh = ∅ es el elemento neutro de la suma de Elemento neutro: La funci´ on nula : 0 : R−−−−→ R x −→ 0(x) = 0 funciones: 0 + f = f + 0 = f, ∀f . Elemento opuesto: ∀f, ∃(−f )tal que f + (−f ) = (−f ) + f = 0 funci´on nula. Conmutativa: f + g = g + f, ∀f, g Todas las propiedades hay que demostrarlas a partir de la igualdad de funciones y recordando las propiedades de la suma de n´ umeros reales. La diferencia de funciones se define como la suma de una funci´on con la funci´on opuesta de la otra. f − g = f + (−g). Definici´ on 2.21 (Producto de funciones). Se llama funci´ on producto de f y g, se denota con f · g a la funci´ on de: • DOMINIO: Df ·g = Df ∩ Dg = ∅ • Relaci´ on entre las variables: (f · g)(x) = f (x) · g(x); ∀x ∈ Df ·g

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Funci´ on real de variable real

2.3 Operaciones con funciones

Propiedades del producto de funciones Asociativa: (f · g) · h = f · (g · h), ∀f, g, h y Df ∩ Dg ∩ Dh = ∅ Elemento neutro: La funci´ on unidad : funciones: 1 · f = f · 1 = f, ∀f .

es el elemento neutro del producto de 1 : R−−−−→ R x −→ 1(x) = 1

Elemento inverso: En general, no existe. 1 1 1 Si f (x) = 0 ∀ x ∈ Df entonces ∃ tal que f · = · f = 1 funci´on unidad f f f Conmutativa: f · g = g · f, ∀f, g Definici´ on 2.22 (Cociente de funciones). Se llama funci´ on cociente de f y g, se denota con producto de la funci´ on f por la inversa de la funci´ on g, tal que:

f al g

• DOMINIO: D f = {Df ∩ Dg } \ {x ∈ R | g(x) = 0} = ∅ g



1 f (x) f • Relaci´ (x) = f (x) · = ; ∀x ∈ D f on entre las variables: g g g(x) g(x)

Ejemplo: 1.

Hallar, razonadamente, el dominio m´ aximo de la funci´ on: f (x) = La funci´ on dada es el cociente de dos funciones: f (x) = f1 (x) =

√

3−x

f2 (x) = x2 − 5x

ra´ız ´ındice par

=⇒

polinomio

=⇒

√

3−x x2 − 5x

f1 (x) , siendo: f2 (x)

Df1 = {x ∈ R | 3 − x ≥ 0} =⇒ Df1 = (−∞, 3]

Df2 = R

Aplicando la definici´ on: Df = {(−∞, 3] ∩ R} \ {x ∈ R | x2 − 5x = 0} = (−∞, 3] \ {0, 5} = (−∞, 3] \ {0}

2.

x2 − 5x Hallar, razonadamente, el dominio m´ aximo de la funci´ on: f (x) = √ 3−x f1 (x) , siendo: La funci´on dada es el cociente de dos funciones: f (x) = f2 (x) polinomio

f1 (x) = x2 − 5x =⇒ Df1 = R √ ra´ız ´ındice par f2 (x) = 3 − x =⇒ Df2 = {x ∈ R | 3 − x ≥ 0} =⇒ Df2 = (−∞, 3] Aplicando la definici´ on: Df = {(−∞, 3] ∩ R} \ {x ∈ R |

√

3 − x = 0} = (−∞, 3] \ {3} = (−∞, 3)

Definici´ on 2.23 (Producto de un n´ umero real por una funci´ on). Se llama funci´ on producto de on: α ∈ R y f , se denota con α · f a la funci´ • DOMINIO: Dα·f = Df • Relaci´ on entre las variables: (α · f )(x) = α · f (x), ∀x ∈ Df BACHILLERATO

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Funci´ on real de variable real

2.3 Operaciones con funciones

Composici´ on de funciones Sean las funciones: f : Df −−−−→ R y g : Dg −−−−→ R , tal que Imf ⊆ Dg x −→ f (x) x −→ g(x) Definici´ on 2.24 (Funci´ on compuesta f con g). Se llama funci´ on compuesta f con g, se denota con g ◦ f a la funci´ on: • DOMINIO: Dg◦f ⊆ Df • Relaci´ on entre las variables: (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Se lee:

imagen por la funci´ on g de la imagen por la funci´ on f de la variable x

x

f

-

g

f (x)

...s .. .. ....................................................................................................

3. 4.

g◦f

................................................................................................

√ x, calcular:

√ (f ◦ g)(4). Por definici´ on: f (g(4)) = f ( 4) = f (2) = 2 · 2 + 1 = 5 ¿Qu´e propiedad se puede deducir de los ejemplos anteriores? √ (g ◦ f )(−5). Por definici´ on: g(f (−5)) = g(−9) = −9 ∈ R

√ Definir la funci´ on f compuesta con g . Por definici´on: g(f (x)) = g(2x + 1) = + 2x + 1 y su dominio m´aximo:



 1 1 Dg◦f ⊆ Df = Df ∩ {x ∈ R | 2x + 1 ≥ 0} = R ∩ − , +∞ = − , +∞ 2 2 

1 g ◦ f : − , +∞ 2

5.

g(f (x)) 6

Ejemplos: Sean las funciones tales que f (x) = 2x + 1 y g(x) = + √ 1. (g ◦ f )(4). Por definici´on: g(f (4)) = g(9) = 9 = 3 2.

-

x

−−−−→ R

√ −→ y = + 2x + 1

√ √ Definir la funci´ on g compuesta con f . Por definici´on: f (g(x)) = f ( x) = 2 x + 1 y su dominio m´ aximo: Df ◦g ⊆ Dg = Dg ∩ {x ∈ R | x ≥ 0} = [0, +∞) ∩ [0, +∞) = [0, +∞) f ◦ g : [0, +∞)−−−−→ R √ x −→ y = 2 x + 1

6.

Descomponer la funci´ on F (x) =

√ 3

x2 + 2

Para descomponer la funci´ on es muy importante leer correctamente: Las im´ agenes por F son la ra´ız c´ ubica DE x2 m´ as dos
√ ra´ız c´ ubica =⇒ g(x) = 3 x on de las funciones: El DE nos indica la composici´ x2 m´as dos =⇒ f (x) = x2 + 2 √ Efectivamente: F (x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = 3 x2 + 2

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Funci´ on real de variable real

2.3 Operaciones con funciones

Propiedades de la composici´ on de funciones Asociativa: (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) = h ◦ g ◦ f . Siempre que sea posible la doble composici´on. es el elemento neutro de la Id : R−−−−→ R x −→ Id(x) = x composici´on de funciones: Id ◦ f = f ◦ Id = f, ∀f .

Elemento neutro: Funci´ on identidad :

Funci´ on rec´ıproca: En general, no existe. NO CONMUTATIVA: f ◦ g = g ◦ f . Ver ejemplos anteriores. ¥

¨

´ REC´IPROCA FUNCION § ¦

Definici´ on 2.25. La condici´ on necesaria para que una funci´ on real posea on rec´ıproca es que sea
funci´ −1 = Id f ◦ f verificando: inyectiva. En este caso, existe f −1 : Im f −−−−→ Df f −1 ◦ f = Id x −→ f −1 (x)

f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y Gr´ aficas de una funci´ on y su rec´ıproca Las gr´ aficas de una funci´ on y su rec´ıproca, son sim´etricas respecto la bisectriz del primer y tercer cuadrante (gr´ afica de la funci´ on identidad y = x). En efecto si el punto (x1 , y1 = f (x1 )) pertenece a la gr´afica de la funci´on f , por definici´on de la funci´ on rec´ıproca, el punto (y1 , f −1 (y1 ) = x1 ) pertenece a la gr´afica de la funci´on rec´ıproca f −1

Ejemplos: 1.

Hallar, si existe, la funci´ on rec´ıproca de f (x) = 3x + 5 Dominio de la funci´ on f Por ser una funci´on polin´omica: Df = R ?

¿Es inyectiva la funci´ on f ? Aplicando la definici´on f (a) = f (b) =⇒ a = b  f (a) = 3a + 5 f (b) = 3b + 5



igualando las im´agenes 3a + 5 = 3b + 5 =⇒ a = b

Por ser inyectiva posee rec´ıproca. Recorrido de la funci´ on f

b−5 3 Cualquiera que sea el valor de b existe su antiimagen x. Por lo tanto Im(f ) = R es inyectiva y exhaustiva, por lo tanto BIYECTIVA. La funci´ on f : R−−−−→ R x −→ f (x) = 3x + 5 3x + 5 = b =⇒ x =

Definici´ on de la funci´ on rec´ıproca

f −1 : R−−−→R x−5 x −→f −1(x) = 3

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.3 Operaciones con funciones

Sus gr´aficas:

2.

Hallar, si existe, la funci´ on rec´ıproca de f (x) =

3x + 5 x−2

Dominio de la funci´ on f Por ser una funci´on racional: Df = R \ {2} ?

¿Es inyectiva la funci´ on f ? Aplicando la definici´on f (a) = f (b) =⇒ a = b  3a + 5   f (a) =  a−2 

igualando las im´agenes

 3b + 5    f (b) = b−2 Por ser inyectiva posee rec´ıproca.

3a + 5 3b + 5 = a−2 b−2

operando

=⇒

a=b

Recorrido de la funci´ on f 3x + 5 = b =⇒ 3x + 5 = b(x − 2) despejando x−2

2b + 5 b−3

x=

∀b ∈ R \ {3} existe su antiimagen x. Por lo tanto Im(f ) = R \ {3} es inyectiva y exhaustiva, por lo tanto La funci´ on f : R \ {2}−−−−→ R \ {3} 3x + 5 x −→ f (x) = x−2 BIYECTIVA. Definici´ on de la funci´ on rec´ıproca

f −1 : R \ {3}−−−→R \ {2} 2x + 5 x −→f −1 (x) = x−3 3.

Comprobar con las funciones anteriores que f ◦ f −1 = Id y f −1 ◦ f = Id

4.

Hallar, si existe, la funci´ on rec´ıproca de f (x) = x2 Dominio de la funci´ on f Por ser una funci´on polin´omica: Df = R ?

¿Es inyectiva la funci´ on f ? Aplicando la definici´on f (a) = f (b) =⇒ a = b  f (a) = a2   f (b) = b2

igualando las im´agenes a2 = b2

operando

=⇒

a = ±b

NO ES INYECTIVA (No existe rec´ıproca)

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

5.

2.3 Operaciones con funciones

Definir la funci´ on f (x) = x2 para que sea inyectiva y hallar la funci´ on rec´ıproca asociada entonces la funci´on S´I es Dominio Si definimos la funci´ on: f : [0, +∞) = R+ −−−−→ R x −→ f (x) = x2 inyectiva y posee rec´ıproca. Recorrido de la funci´ on f

√ x2 = b =⇒ x = ± b

√ El dominio de la funci´ on son los reales positivos, x ∈ R+ , por lo tanto x = + b : Im(f ) = R+ La funci´ on f : R+ −−−−→ R+ es inyectiva y exhaustiva (biyectiva). x −→ f (x) = x2

Definici´ on de la funci´ on rec´ıproca

f −1 : R+ −−−→R+ √ x −→f −1 (x) = + x

Sus gr´aficas:

Tambi´en podemos definir otra rec´ıproca: Dominio Si definimos la funci´ on: f : (−∞, 0] = R− −−−−→ R entonces la funci´on S´I es x −→ f (x) = x2 inyectiva y posee rec´ıproca. Recorrido de la funci´ on f

√ x2 = b =⇒ x = ± b

√ El dominio de la funci´ on son los reales negativos, x ∈ R− , por lo tanto x = − b : Im(f ) = R+ La funci´ on f : R− −−−−→ R+ es inyectiva y exhaustiva (biyectiva). x −→ f (x) = x2

Definici´ on de la funci´ on rec´ıproca

f −1 : R+ −−−→R− √ x −→f −1 (x) = − x

BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I

Funci´ on real de variable real

2.3 Operaciones con funciones

Sus gr´aficas:

6.

Hallar, si existe, la funci´ on rec´ıproca de f (x) = x3 Dominio de la funci´ on f Por ser una funci´on polin´omica: Df = R ?

¿Es inyectiva la funci´ on f ? Aplicando la definici´on f (a) = f (b) =⇒ a = b  f (a) = a3   f (b) = b3

igualando las im´agenes a3 = b3

operando

=⇒

a=b

Por ser inyectiva posee rec´ıproca. Recorrido de la funci´ on f x3 = b despejando x =

√ 3

b

∀b ∈ R existe su antiimagen x. Por lo tanto Im(f ) = R es inyectiva y exhaustiva, por lo tanto BIYECTIVA. La funci´ on f : R−−−−→ R x −→ f (x) = x3

Definici´ on de la funci´ on rec´ıproca

f −1 : R−−−→R √ x −→f −1 (x) = 3 x

Sus gr´aficas:

BACHILLERATO

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´ MATEMATICAS I