Respuesta libre en circuitos de primer orden Objetivos a) Establecer los conceptos más generales sobre los procesos que ocurren en los circuitos dinámicos, utilizando los criterios dados en el texto y en este material. b) Representar cambios en los circuitos mediante interruptores ideales y mediante la función paso unitario, utilizando los criterios dados en el texto y en este material. c) Analizar respuestas libres en los circuitos dinámicos de primer orden, utilizando los criterios dados en el texto y en este material. Sumario: a) Características del análisis de circuitos dinámicos. b) Representación de cambios en los circuitos. Interruptores ideales y función paso unitario. c) Respuesta libre en circuitos simples RL y RC y en circuitos ramificados de primer orden. Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería” William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Capítulo 8. Epígrafes 8.1 al 8.6 Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes. Introducción: Ya se han estudiado los conceptos y ecuaciones básicas sobre inductores y capacitores, pero estos elementos no aparecen de manera aislada sino que forman parte de un circuito. Como en estos elementos, las relaciones tensión – corriente implican derivadas e integrales, las respuestas dependen de la rapidez de cambio del estímulo y por ello reciben el nombre de circuitos dinámicos. ¿Cuál es la relación tensión-corriente en un inductor? ¿Cuál en un capacitor? ¿Pueden estas magnitudes, corriente en el inductor y tensión en el capacitor cambiar a saltos? ¿Cuáles pueden? ¿Puede ser la potencia negativa en estos elementos? ¿Qué significado físico tiene? ¿Puede ser la energía negativa en estos elementos? ¿Por qué? Se explicarán las características más generales del análisis de circuitos dinámicos y se particularizará en la respuesta libre de circuitos de primer (1er) orden, dándose respuesta a las siguientes interrogantes: ¿Por qué se denominan circuitos de 1er orden? ¿Cuáles son sus características? ¿A qué se denomina respuesta libre? ¿A qué respuesta estimulada o forzada? a) Características del análisis de circuitos dinámicos La figura muestra una red (cuya estructura interna no interesa ahora) y en el instante t =0 se cierra un interruptor en una rama conectada a la red cambiando bruscamente la corriente en esta rama, supuesta resistiva pura.

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En general, pueden ocurrir cambios bruscos en los valores de las variables (tensiones y corrientes) de los elementos conectados a esta red. Las preguntas son: Cuando hay un cambio brusco, ¿Cómo varía la corriente en el inductor? ¿Cómo varía la tensión en el capacitor? ¿Pueden estas magnitudes cambiar a saltos? ¿Pueden, en consecuencia, cambiar a saltos las energías en un inductor y en un capacitor? En t = 0- iL = iL (0- ) En t = 0+ iL = iL (0+ )

VC = VC (0- ) VC = VC (0+ )

Se cumplen las condiciones de continuidad: iL (0- ) = iL (0+ ) VC (0- ) = VC (0+ ) Cuando ocurre algún cambio en un circuito, los elementos almacenadores de energía imponen la necesidad de un periodo o proceso transitorio para la redistribución de la energía almacenada en ellos, ya que la energía no puede variar a saltos en estos dispositivos. Este proceso transcurre en un intervalo de tiempo y el circuito pasa de un estado inicial a un estado final. Estado inicial → PERÍODO TRANSITORIO → Estado final  

En los circuitos dinámicos lineales con valores de parámetros constantes, el modelo matemático que describe al proceso transitorio es la ecuación diferencial ordinaria a coeficientes constantes:

an

d nχ d n−1 χ d n−2 χ dχ + a + a + ...... + a1 + χ = f (t ) n n n n −1 n−2 dt dt dt dt

Donde χ→ puede ser una tensión o una corriente Matemáticamente, la solución completa es la suma de la solución general de la correspondiente ecuación diferencial homogénea (solución complementaria) y de la solución particular de la ecuación no homogénea. Desde el punto de vista del circuito, la respuesta completa es la suma de la respuesta transitoria y de la respuesta forzada. respuesta completa = respuesta transitoria + respuesta forzada La forma de la respuesta transitoria, depende de los valores de los parámetros y de sus l interconexiones   La forma de la respuesta forzada, depende de los valores de los parámetros del circuito y de la forma del estímulo. Además, la respuesta completa depende de las condiciones iniciales. Otro concepto: Circuito de primer orden → un elemento almacenador→ ecuación diferencial de orden 1 Circuito de segundo orden→ dos elementos almacenadores→ ecuación diferencial de orden 2

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b) Representación de cambios en los circuitos. Interruptores ideales y función paso unitario. b.1) Interruptores ideales Su accionamiento es instantáneo o sea el intervalo de tiempo de la conmutación es nulo La figura representa algunos símbolos de los más empleados. En el primer caso entre los bornes del interruptor: en t = 0 R = ∞ circuito abierto en t = 0+ R = 0 circuito cerrado b.2) Función paso unitario (Unit step function) u(t) = 0 para t < 0 u(t) = 1 para t > 0 Se representan varias funciones paso unitario

Desde el punto de vista circuital, ¿para qué sirve la función paso unitario? Representa analíticamente la conexión de fuentes sin usar interruptores, o sea, permite representar la conmutación en circuitos sin emplear interruptores. Por ejemplo E u(t - to), equivale a una fuente de valor cero para t < to y de valor E para t > to, de la misma forma en que se realizaría en el circuito de la derecha: cerrado hacia la derecha y se pasa en t0 hacia la izquierda y conecta la fuente. I u(t - to), equivale a una fuente de valor cero para t < to y de valor I para t > to, de la misma forma en que se realizaría en el circuito de la derecha: 3    

cerrado hacia abajo y en t0 se abre. ¿Cómo se representa f(t) = 50 u(2-t)?

c) Respuesta libre en circuitos simples RL y RC y en circuitos ramificados de primer orden. c1) Respuesta libre del circuito RL simple En el circuito circula corriente por el inductor en t = 0- . Supongamos como condición inicial i(0 -) = i(0 +) =I0 En el circuito para t>0 ocurre un proceso transitorio que denominamos respuesta libre o respuesta natural ya que no hay estímulos actuando para t>0 Planteando LKT: VL + VR = 0 Ldi/dt + iR =0 di/dt + iR/L =0 Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 1er orden, homogénea de coeficientes constantes Su solución: i(t)= A exp(-st) = A e-st Al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene: s = - R/L donde s: raíz característica o frecuencia natural τ = L/R constante de tiempo La constante A se puede evaluar a partir de las condiciones iniciales obteniéndose A = I0 i(t)=iL(t)= iL (0 +) e-t = I0 e-t /τ

/τ

Aplicando Ohm y LKT es posible obtener las expresiones de las tensiones en ambos elementos:

vR (t ) = i(t ) ⋅ R = R ⋅ i(0)e −t /τ = VR (0)e −t /τ

Ohm

LKV vR (t ) + vL (t ) = 0 VR (0)e −t /τ + vL (t ) = 0 vL (t ) = −VR (0)e −t /τ = VL (0)e −t /τ

en el inductor

Observe que en t = 0+ las soluciones conducen a las condiciones iniciales y para t → ∞ las respuestas tienden a cero. ¿ Por qué?

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c2) Constante de tiempo La forma general de la respuesta libre o natural en un circuito de primer orden es: χ(t)= χ0 e-t/τ siendo χ la tensión o corriente en el circuito. Se expresa como una exponencial decreciente donde τ es la constante de tiempo del proceso. τ = L/R constante de tiempo en el circuito R-L. χ0 es el valor de la variable χ en t = 0 Cuando t→∞ entonces χ→ 0 Significado físico de la constante de tiempo: evaluando en τ χ(τ)= χ0 e-1 χ(τ) / χ0= 0,368 en la cual τ representa el intervalo de tiempo necesario para que la respuesta libre alcance ≅ 37% de su valor inicial. La recta tangente a la curva χ (t) en el punto (0; χ (0+) cruza el eje t en el instante t = τ. A mayor τ el proceso transitorio transcurre más lentamente. Como se ve, al cabo de un intervalo de tiempo de ≅ 5τ la respuesta libre desaparece prácticamente. Por lo tanto, τ es entonces un indicador de la lentitud o rapidez con que ocurre el proceso transitorio.

χ(t)/χo

τ 2τ 3τ 4τ 5τ 0,368 0,135 0,050 0,018 0,007

c3) Respuesta libre en el circuito RL ramificado Suponiendo igual condición inicial, la respuesta de corriente tiene la misma expresión calculada con anterioridad, i(t)=I0 e-t pero τ = L / Req donde Req es la resistencia calculada en los terminales del inductor. En general, para cualquier variable (i, vR, vL), la respuesta tiene /τ

la forma χ(t)= χ(0 +) e-t

/τ

c4) Respuesta libre en un circuito RC Suponemos condiciones iniciales no nulas, por ejemplo VC (0 - ) ≠ 0 El circuito es dual del circuito RL simple analizado, y la forma general de la respuesta libre es: VC(t)= VC (0 +) e-t Constante de tiempo capacitiva τ = RC /τ

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Conclusiones Analizando el circuito del ejemplo 8.2 del texto. Este problema tiene varios resistores e inductores. ¿Cuál es el circuito equivalente en (0 - )? ¿Qué variables se calculan? ¿Cuál es el circuito equivalente para t mayor que cero? ¿Cómo se calcula la constante de tiempo τ? ¿Cuál es el circuito equivalente en (0 +)? ¿Qué variables se calculan? Orientaciones para el trabajo independiente Capítulo 8. Epígrafes 8.1 al 8.6 Ejemplos 8.1, 8.2, 8.3 Prácticas 8.3, 8.4, 8.5 En la práctica 8.3, tiene que calcular la expresión de la tensión en el capacitor en función del tiempo para luego evaluar en 2ms. En la práctica 8.4 calcule las expresiones de las corrientes para posteriormente evaluar. Observe que para calcular la corriente por el cortocircuito que se produce después de accionar el interruptor, tiene que plantear una LKC pues no puede obviar la corriente de la fuente de 2A. Se continuará con la respuesta forzada o estimulada en circuitos de primer orden. ¿Por qué forzada? Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba

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