TEMA I.12 Ondas Estacionarias en una Cuerda Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronom´ıa Universidad de Guanajuato DA-UG (M´ exico) [email protected]

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

1 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda Consideramos una cuerda de longitud L sujeta en ambos extremo (Ejemplo: Una cuerda de instrumento musical; guitarra, piano, viol´ın etc.). Cuando se pulsa la cuerda, se produce una onda que se refleja una y otra vez. La interferencia de las ondas forma una onda estacionaria. La vibraci´on de la cuerda se transmite al aire, que vibra a la misma frecuencia que la cuerda. Como debe haber un nodo a ambos extremos, la longitud de la cuerda debe ser igual a: nλ λ 2λ 3λ , , , ..., 2 2 2 2 nλ L = , n = 1, 2, 3,... (I.12.1) 2 TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

2 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda La condici´on para haber una onda estacionaria es: λn =

2L , n

n = 1, 2, 3,...

(I.12.2)

A cada una de las posibles longitudes de ondas corresponder´ıa de una posible frecuencia: fn = ν/λn La frecuencia m´as peque˜ na tiene la longitud m´as grande: n = 1 ⇒ λ1 = 2L ν f1 = (I.12.3) 2L A esto se le denomina como frecuencia fundamental del sistema. Las otras frecuencias ser´ıan los arm´ onicos o sobretonos (ver Figura I.12.1).

TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

3 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Figura I.12.1: Los primeros cuatro modos normales de una cuerda fija en ambos extremos. TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

4 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda La serie am´onica esta dada por: fn = n

ν = n f1 2L

(I.12.4)

Para una cuerda con extremos fijos en x = 0 y x = L: y (x, t) = Aoe sen(κn x) cos(ωn t) , con ωn = 2 π fn y κn =

2π λn

(I.12.5)

Un modo normal de un sistema oscilante, es un movimiento en el que todas las part´ıculas del sistema se mueven sencillamente a la misma frecuencia. Para una cuerda de longitud L, las longitudes de ondas λn , corresponden a modos normales. TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

5 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda En un oscilador con una part´ıcula, hay solo un modo normal. Para un sistema como una cuerda, hay un n´ umero infinito de modos normales. En un instrumento de m´ usica, en la vibraci´ on est´an presentes la fundamental y muchos sobretonos. El tono es una combinaci´on o superposici´ on de muchos modos. El contenido arm´onico: es el grado en que est´an presentes las frecuencias m´as altas que la fundamental. La onda estacionaria en la cuerda y la onda sonora viajando en el aire, tienen el mismo contenido arm´ onico. El contenido arm´onico explica la riqueza y complejidad del sonido de los instrumentos de m´ usica. TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

6 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda El an´alisis arm´onico consiste en encontrar la representaci´on para una vibraci´on dada. La suma de ondas senosoidales que representen una onda compleja es una serie de Fourier (ver Figura I.12.2). Como la frecuencia fundamental es dada como: f1 = ν/2 L y donde ν = p FT /µ 1 p f1 = FT /µ (I.12.6) 2L Instrumentos con L cortos (Viola, Viol´ın) producen sonido de alta frecuencia. Aumentar la tensi´on FT tambi´en aumenta la frecuencia del sonido. Pero si µ aumenta (usando cuerdas mas gruesas como en el Cello o Bajo), la frecuencia baja (ver Figura I.12.3). TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

7 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Figura I.12.2: La onda estacionaria que resulta de pulsar una cuerda de guitarra d´andole una forma triangular se representa bien con la suma de funciones senosoidales. TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

8 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Figura I.12.3: Comparaci´ on de gammas de un piano, un viol´ın, una viola, un cello y un contrabajo. en todos los casos, las cuerdas m´as largas producen notas graves y las m´as cortas notas agudas. TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

9 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda Ejemplo: Viol´ın gigante Longitud de la cuerda: L = 5.0 m, densidad de masa lineal: µ = 40.0 grs/m. La frecuencia fundamental es f1 = 20.0 Hz (frecuencia m´as baja que puede detectar el o´ıdo humano). La tensi´on en la cuerda es: F = 4 µL2 f12 = 4 (40.0 × 10−3

kg )(5.0 m)2 (20.0 s −1 )2 = 1600 N m

En comparaci´on, un viol´ın real: F ≈ 100 N La frecuencia del segundo arm´ onico (n = 2): f2 = 2 f1 = 40.0 Hz Con longitud de onda: λ2 = 2 L/2 = 5.00 m TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

10 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

La frecuencia del tercero arm´ onico (n = 3): f3 = 3 f1 = 60.0 Hz Con longitud de onda: λ3 = 2 L/3 = 3.33 m Si la cuerda vibra a una cierta frecuencia, el aire vibra a la misma frecuencia f1 = 20.0 Hz. Pero la velocidad de la onda es diferente en el aire y, por tanto, la longitud de onda. A 20 o C , la velocidad del sonido en el aire: ν = 344 m/s.

TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

11 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Para la cuerda: λ1 = 2 L = 2(5.00 m) = 10.0 m ⇒ νcuerda = λ1 f1 = (10.0 m)(20.0 s −1 ) = 200

m s

En el aire λsonido = νsonido /f1 = (344 m/s)/(20.0 Hz) = 17.2 m. Para cualquier modo normal, λsonido > λcuerda , por un factor de: νsonido 344m/s = = 1.72 νcuerda 200m/s

TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

12 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Ejercicio: Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo arm´ onico a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cu´al es la velocidad de las ondas transversales en ella?

Ejercicio: Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremos est´a vibrando en su tercer arm´ onico. El desplazamiento m´aximo de los puntos de la cuerda es de 4 mm. La velocidad de las ondas transversales en ella es 50 m/s. (a) ¿Cu´ales son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda? (b) Escribir la funci´ on de onda correspondiente a este caso.

TEMA I.12:

Ondas Estacionarias en una Cuerda

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

13 / 13