Facultad Regional Mendoza. UTN Álgebra y Geometría Analítica 2014

Trabajo Práctico N°1: MATRICES Ejercicio 1: Determine: a) La matriz genérica A=

de orden 3x3 tal que, = 1, 2, 3 y = 1, 2, 3 =

b) La matriz genérica de orden 3x3, tal que: c) De un ejemplo para las matrices A y d) La matriz B=

, donde:

.e) La matriz C=

, donde:

Opcional: f) La matriz D= g) La matriz E=

, donde:

, donde:

.

.

= 0, para todo, = 1, 2, 3 y para todo j = 1, 2, 3.

≠ ⇒ = ⇒

= 0 =1

≠ ⇒ = 0 = ⇒ = +

≥ ⇒ =2 + < ⇒ =0

h) Para la matriz anterior calcula: ∑

, si =

i) Clasifique las matrices de los incisos b, d, e, f, g, e identifica la operación matricial utilizada en el inciso h. 2 Ejercicio 2: Sean: A= 1

!# 0 " B= 0 $ " " $

" %

"

$( "' %' "' #&

1 1 −2 C=)−1 2 3+ 2 −3 3

D=

1 3 2 1

2 3

2 1 F=)1 3+ 0 2 I) Encuentre las matrices que se obtienen efectuando las siguientes operaciones o dar las 3√3 2√3.

E=,0

razones por las que no están definidas. a) 2

b) −2

c) 2/ $

d) 30

$

e) 3 + 21

f) 32 + 20

g) 44 ∙ 6 1 "

h) 2 ∙ 2

i) (4 + /)

j) (4 ∙ /) k) / ∙ 4

II) Grafique en los ejes de coordenadas x-y a la matriz A considerada como vector geométrico y grafique los incisos a y b. Describe lo observado.

III) Observe los resultados de los incisos j y k. Concluya.

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Ejercicio 3: Sea la matriz A=

1 0

0 1 0 y sean los vectores geométricos 9" = 9$ = y −1 0 1

1 . 1 a) Pre multiplique a los vectores 9", 9$ y 96 por la matriz A. 96 =

b) Represente gráficamente los vectores 9", 9$ y 96 y los vectores obtenidos en el inciso

anterior.

c) Observe y describa el efecto geométrico que produce pre multiplicar a los vectores por la matriz A. Opcional:

d) Pre multiplique a los vectores 9" , 9$ y 96 por las matrices B=

1 0 −1 0 , C= , 0 1 0 1

−1 0 2 0 0 D= , E= , F=: $ ;. 0 −1 0 1 0 1 e) Represente gráficamente los vectores obtenidos en el inciso anterior, en ejes de "

coordenadas x-y distintos para cada matriz.

f) Observe y describa el efecto geométrico que produce pre multiplicar a los vectores 9",

9$ y 96 por las matrices B, C, D, E, F.

Ejercicio 4: Indique cuáles de las siguientes matrices son elementales. Justifique la respuesta en cada caso. 0 1 2 A= , B= 1 0 0

0 1 , C= 1 0

3 0 2 1 0 , D= , E= 1 1 0 0 2

1 0 0 , F=)0 0 0 0 1

0 8 1+, G=)0 0 0

0 0 2 0+ 0 1

Ejercicio 5: ¿Qué le sucede a una matriz A de 3 x 3 si?: 2 0 0 1 2 0 a) Se pre multiplica por 1" = )0 1 0+ c) Se pre multiplica por 1$ = )0 1 0+ 0 0 1 0 0 1 b) Se pos multiplica por 1" . Ejercicio 6: Determine cuáles de las siguientes matrices están en la forma escalonada por filas; escalonada por filas reducida; o ninguna de ellas. Justifique.

1 = =0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 1 3 1> 4 = =0 1 0 0 0 0 0 0

2 2 0 0

1 1 1> C= ) 0 1 0 1

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0 0 1 0 0 1 0+ D=:0 1 0 0 0 1 0 2

0 2 3; E=:0 0 1

0 0; 0

Ejercicio 7: Determine el rango de las siguientes matrices e indique cuáles de ellas son inversibles. 1 2 3 A=)2 5 3+ 1 0 8

1 2 2 B=)1 2 3+ 2 4 3

C=

1 2

3 2 0 1

D=

0 0

0 0 0 0

Ejercicio 8: Calcule, de ser posible, las inversas de las siguientes matrices. 1 2 3 B=)0 0 1+ 1 2 2

1 2 A= 3 4

1 2 2 C=)3 2 2+ 2 1 0

1 0 D= 0 3

3 2

1 E==0 0 0

0 2 2 0

0 0 0 1

2 0> 1 0

Ejercicio 9: a) Exprese el siguiente enunciado en símbolos: Si A y B son matrices invertibles de orden n, entonces la inversa del producto de A por B es el producto de la inversa de B por la inversa de A. b) Demuestre lo enunciado en el item a. Ejercicio 10: Dada la matriz reales.

=

de orden 2x2 donde a, b, c y d son números

a. Verifique que se cumple: i. ( ) = ii. ( ) = ( ) ∈ℝ b. Obtenga la matriz genérica que verifica: i. $ = B (siendo B la matriz identidad de orden 2x2) 0 0 ii. $ = (considere a distinta de la matriz nula de orden 2x2. 0 0 iii. Dé para cada caso del inciso b un ejemplo de matriz A de orden 2x2. Ejercicio 11: Dada la Matriz c. Determine: i. (3 )C" ii. ( $ )C"

=

3 5

1 2

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iii. (( ) )C" Ejercicio 12: Complete justificando la respuesta.

a) Sea la ecuación matricial AX-2C=3C. Donde A y C son matrices del mismo orden e inversibles, entonces X =

b) Sea la ecuación matricial / C" ( + 9)4C" = B, donde A, B y C son matrices inversibles del mismo orden, entonces X =

Ejercicio 13: Determine si las siguientes proposiciones son V o F. Justifique la respuesta. a) ( + 4)$ =

$

+ 2 4 + 4 $. A, B y C de orden 2x2.

b) Cualquiera sea la matriz A de orden 2x3, la matriz c) Toda matriz anti simétrica admite inversa.

∙

es simétrica.

d) Si A es una matriz diagonal, entonces A es simétrica. e) Si A es una matriz de 3x3 de rango 2, la forma escalonada reducida de A es la matriz I. f) (D 4 )C" = D C" (4 )C"

g) Si

C"

∙ 4 = 0 entonces A o B es una matriz nula.

Opcional: h) Si

∙ 4 = B entonces A es la inversa de B.

i) La traza de la matriz (2I+0)=6. I de orden 4x4. j) ( + 4) =

+4

k) La suma de matrices diagonales inversibles, es una matriz diagonal inversible. Ejercicio Resuelto: Ejercicio 14: Resuelva: Se analizará el gasto mensual que producen tres familias en base a los siguientes datos: Consumo promedio mensual de alimentos por familia: Familia A: pan 1 kg, carne 2 kg, leche 1 kg. Familia B: pan 2 kg, carne 3 kg, leche 1 kg. Familia C: pan 2 kg, carne 3 kg, leche 2 kg. Costo por kg de alimento del mes 1: Pan $5, Carne $30, Leche $20. a) Plantee la operación matricial que nos permitirá obtener el gasto mensual total que produce cada familia en el mes 1. Considere en la operación matricial a las familias como filas y a Pan, Carne y leche como Columnas.

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b) Si tenemos una cuarta familia D que consume: Pan 1 kg, carne 1 kg, leche 1 kg y el costo por kg del mes 2 es: Pan $7, Carne $40, Leche $30, amplíe el sistema matricial planteado para obtener el gasto total mensual que produce cada familia en el mes 1 y 2. /IJKI L MN 0 EF OPJ 1 G / H 85 1 1 2 1 5 ∙ a) = ) ) + 120+ 2 2 3 1 )30+ 140 3 2 3 2 20 El gasto mensual total que produce cada familia en el mes 1 es: $85 para la familia 1, $120 para la familia 2 y $140 para la familia 3. OPJ 1 OPJ 2 0 EF G / H /IJKI L MN 85 117 1 2 1 1 7 5 = =120 164> b) ∙ 2 =2 3 1> )30 40+ 140 90 3 2 3 2 20 30 77 55 4 1 1 1 El gasto mensual total que produce cada familia 4 en el mes 1 es: $55. El gasto mensual total que produce cada familia en el mes 2 es: $117 para la familia 1, $164 para la familia 2, $90 para la familia 3 y $77 para la familia 4.