SUCESIONES Prof. Evelyn Dávila Cálculo 2 Revisado ABRIL 2014

Una sucesión o sucesión consiste en una enumeración o listado de elementos los cuales los describe una regla o patrón y por tanto el orden de sus elementos es fundamental. 1, 4, 16, 64, ……….

¿Cuál regla define esta sucesión? ¿Puedes indicar los próximos dos elementos?

En esta sucesión el primer elemento se nombra a(1) = 1 , y así sucesivamente a(2)= 4, a(3)= 16, a(4)=64 ,a(5)= _______ , …… La sucesión se extiende infinitamente por tanto si podemos identificar una regla o modelo matemático que la describa entonces podemos hablar del enésimo término a(n) y asociarlo con una ecuación o fórmula. Veamos cuál será la regla para el enésimo término de la sucesión anterior. a(1) = 1 a(2)= 1x4 = 4 a(3)= 1x 4 x 4 =16 a(4)=1 x 4 x 4 x 4 = 64

a(1) = 1 a(2)= a(1) x4 = 4 a(3)= a(2) x 4 =16 a(4)= a(3) x 4 = 64

Término general

a(n) = a(n-1) x 4 NOTACION Sea a ( 1 ) el primer término de la sucesión, sea a ( 2 ) el segundo término de la sucesión, así a ( n ) es el enésimo término de la sucesión en donde n representa a un número natural. Ejemplo

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ……

¿Cómo describirías esta sucesión? ¿Cuál es el próximo término?

Matemáticamente podemos definir una sucesión como una función Una sucesión es una función f cuyo dominio son los números naturales. Los valores a(1) , a(2), a(3), a(4),a(5)……, a(n) son los términos de la sucesión. Sea a(n) la representación del enésimo término de una sucesión, entonces este es el término general. Práctica Inmediata Dado el término general de una sucesión determina los primeros tres elementos de la sucesión.



1.

a n  3  (  1)

2.

n   bn    1  2n 

n



Sucesiones recursivas Sucesión en las que el valor de cada elemento depende del elemento anterior. Ejemplo Sea a ( 1 )

 2

a (1 )  2

,

a n 1 

y a2 

Práctica: Sea

a

1

 2

d ( 1 )  25

a 

n

1

y

 , determina los primeros tres elementos de la sucesión { a a   a  2  4  4  8 2 2  4,

 2

n

n

}

2

3

d n 1 

 dn

5

2

 , determina los primeros treselementos de la sucesión { d n }

Práctica Asignada - Dado el término general de una sucesión halla los primeros tres términos de la sucesión y el término número 100. 1.

2.

an 

2 n 2

3.

4.

5.

SUCESIÓN ARITMÉTICA 3, 8, 13, 18, 23, 28, …. ¿Cuál regla define esta sucesión? ¿Puedes indicar los próximos dos elementos? a(1) = 3 a(2)= 3+ 5 = 8 a(3)= 3+ 5 + 5 = 8 +5 = 13 a(4)= 3+ 5 + 5 + 5 = 13 +5 = 18 a(5)= 3+ 5 + 5 + 5 + 5 = 18 + 5 = 23

a(1) = 3 + a(2)= 3 + a(3)= 3 + a(4)= 3 + a(5)= 3 +

5x0 5x1 5 x 2 = 13 5 x 3 = 18 5 x 4 = 23

Término general

a(n) = 3 + 5 x (n-1) Observa que: 3 es el primer término 5 es la diferencia entre cada dos términos consecutivos

Identificamos el término general observando el patrón que define la sucesión.

Definición del término general de una sucesión aritmética Sea

, el primer término de una sucesión aritmética cuya diferencia es dada por d ;

entonces, el enésimo término es dado por: La (d), es la diferencia entre dos términos consecutivos. PRÁCTICA Sea a(n) una sucesión aritmética cuyo primer elemento es 7 y la diferencia es 4: a. Escribe los p[rimeros cuatro términos b. Escribe la representación del término general.

Una sucesión o sucesión se puede definir como una función f, cuyo dominio son los números naturales. Los valores a(1) , a(2), a(3), a(4),a(5)……, a(n) son los términos de la sucesión.

La función que describe la sucesión anterior es dada por:

f ( x )  7  4 ( x  1)

Gráfica de la función f(x)

Gráfica de la sucesión a(n)

Indica el DOMINIO de cada una.

A medida que los valores de la variable independiente aumentan, ¿qué ocurre con la variable dependiente? Para determinar el valor al que tiende la sucesión a(n ), buscamos el siguiente límite

lim n 

a ( n )  lim

7

 4 ( n  1) 

n 

¿Qué podemos concluir sobre la tendencia de esta sucesión?

Práctica

1 a

y

n

=

6 + 3 (n - 1)

14

12

Dibuja la gráfica de esta función, para sus primeros cuatro términos. ¿Cómo describes esta función?

10

8

6

Halla el límite del enésimo término 4

lim

( 6 + 3(n

- 1) ) 

n 

2

x

2

4

6

8

10

12

14

Práctica 2 y

14

an =

1 - 2(n - 1)

12

10

Dibuja la gráfica de esta función, para sus primeros cuatro términos. ¿Cómo describes esta función?

8

6

4

Halla el límite del enésimo término 2

x

2

4

6

8

10

12

lim

(1 - 2(n - 1) ) 

n 

14

Explica la tendencia de esta sucesión.

Sea Sn, la suma de los primeros

n términos de una sucesión,

Sumas parciales de una sucesión aritmética Para la sucesión

a ( n )  7  4 ( n  1)

,

tenemos

a(1) = 7, a(2)= 11, a(3)= 15, a(4)= 19, a(5)= 23 S(1)= 7 S(2)= 7 +11 =18 S(3) = 7 + 11 + 15 = 33 S(4) = 7 + 11 + 15 + 19 = 52 S(5) = 7 + 11 + 15 + 19 + 23 = 75

llamamos a ésta la enésima suma parcial.

Podemos determinar una regla que represente S(n). S (n)  



n 1



3

n 1

a (n)  n



1

4n 

 

n 1 n 1

( 7  4 ( n  1 )) 3



n 1

4n

n

 3n  4 n 1

 3n  4

( n ( n  1) 2

 3 n  2 n ( n  1)

Verifica la siguiente fórmula S ( n )  3 n  2 n ( n  1)

La enésima suma parcial de una sucesión aritmética es dada por: n

n

S ( n )   a ( n )   ( a  d ( n  1 )) 1 1 n

n

n

n

n

  a   d ( n  1 )   a   dn   d 1 1 1 1 1 n

n

 an  d  n   d 1 1  an  d

( n ( n  1)

 dn  an 

d ( n ( n  1)

2  an 



2 dn

2

 an 

d ( n ( n  1 )  2 dn

2

2

dn [ n  1  2 ] 2

 an 

dn [ n  1 ]



2 an  dn [ n  1 ]

2



2

n

[ 2 a  d ( n  1 )]

2

¿Cuál regla define esta sucesión? ¿Puedes indicar los próximos dos elementos?

SUCESIÓN GEOMÉTRICA: es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un mismo factor o razón de cambio al que le llamamos

Sucesión geométrica: sucesión de la forma:

r.

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, …….. ; en la que el

primer término es a y r es la razón de cambio. El término general de la sucesión geométrica es dado por: a

Ejemplos

= a r

n

n -1

, don de 𝒏 ,es un número natural.

a)

11, 22, 44, 88, . ....

𝑎 = 11

b)

10,30,90, 270, . . . . .

𝑎=

c)

100, 10, 1, 1/10, . . . . . .

𝑎=

𝑟 = 2 𝑟 = 𝑟 =

Práctica: 1) 2) 3)

Enumera los primeros tres términos de las siguientes sucesiones geométricas:

a = 5 a = 10 a = 4

y y y

r= 2 r=½ r= -3

EJEMPLO 1 an =

y

2

(n -1)

para  n  N

14

12

Dibuja la gráfica de esta función, para sus primeros cuatro términos. ¿Cómo describes esta función?

10

8

6

4

Halla el límite del enésimo término 2

lim

x

2

4

6

8

10

12

14

2

(n -1)



n 

El término general de una sucesión aritmética , an = ar n – 1 , es una función, ¿a cuál de las funciones estudiadas anteriormente se parece ésta?

EJEMPLO 2 y

a

14

n

=

 1     2 

(n - 1)

para  n  N

12

Dibuja la gráfica de esta función, para sus primeros cuatro términos. ¿Cómo describes esta función?

10

8

Halla el límite del enésimo término

6

4

lim

n 

 1     2 

(n -1)



2

x

2

4

6

8

10

12

14

El término general de una sucesión aritmética , an = ar n – 1 , es una función, ¿a cuál de las funciones estudiadas anteriormente se parece ésta?

EJEMPLO 3 y

an =

14

- 2 

(n - 1)

para  n  N

12

Dibuja la gráfica de esta función, para sus primeros cuatro términos. ¿Cómo describes esta función?

10

8

6

4

Halla el límite del enésimo término

2

x

2

PRÁCTICA :

4

6

8

10

12

14

lim  - 2 

(n - 1)



n 

Indica el tipo de sucesión: aritmética, geométrica ó ninguna, y la diferencia ó razón de cambio

según el caso. a)

12, 7, 2, .......

b)

15, 28, 41, 54, 67,.....

c)

-2, 6, -18, 54,......

d)

3, 8, 6, 11, 9, 14, 12, 17, 15, ....

e)

4, 2, 1, 1/2, 1/4, ........

f)

1, 2, 6, 24, 120,

SUMA PARCIAL DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTICA

La enésima suma parcial de la sucesión geométrica dada por:

,donde

, es

Halla las primeras cinco sumas parciales en cada ejercicio ∈ 𝑁, es el dominio de la función Sn. Indica si convergen o divergen. Escribe el término general de la sucesión. S1  S2  S3  S4  S5 

1.

Sn  an 

lim

(a n ) 

lim

(S n ) 

n 

n 

S1  S2  S3  S4 

2.

𝑎=3 𝑦 𝑟=1

S5  Sn  an 

lim

(a n ) 

lim

(S n ) 

n 

n 

S1  S2  S3  S4 

3.

S5  Sn  an 

lim

(a n ) 

lim

(S n ) 

n 

n 