1. Análisis de la Varianza Curso 2011-2012 Estadística

1.1 Dos tratamientos

Comparación de dos tratamientos A 51,3 39,4 26,3 39,0 48,1 34,2 69,8 31,3 45,2 46,4

B 29,6 47,0 25,9 13,0 33,1 22,1 34,1 19,5 43,8 24,9

Sea desea comparar dos tratamientos para reducir el nivel de colesterol en la sangre. Se seleccionan 20 individuos y se asignan al azar a dos tipos de dietas A y B. La tabla muestra la reducción conseguida después de dos meses.

Análisis de la Varianza

3

Método: 4 pasos Definición del modelo de distribución de probabilidad: Hipótesis Parámetros

Estimación de los parámetros Diagnosis de las hipótesis Aplicación

Análisis de la Varianza

4

Modelo

1

2

y11

y 21

y12

y 22

y1n1

y 2 n2

M O D E L O D A T O S 5

Análisis de la Varianza

Modelo: Hipótesis y Parámetros Hipótesis básicas: Parámetros

Normalidad yij

N( i, 2)

Homocedasticidad Var [yij] =

2

1 2 2

Independencia Cov [yij, ykl] = 0 Análisis de la Varianza

6

Modelo yij

i

uij ,

uij

N (0,

2

)

Las observaciones se descomponen en: Parte predecible

i

uij

Parte aleatoria

0 7

Análisis de la Varianza

Estimación medias: n1

y1 j 1:

y1

j 1

n1 n2

y2 j 2:

Análisis de la Varianza

y2

j 1

n2

A 51,3 39,4 26,3 39,0 48,1 34,2 69,8 31,3 45,2 46,4 43,1

B 29,6 47,0 25,9 13,0 33,1 22,1 34,1 19,5 43,8 24,9 29,3

8

Estimación varianza (residuos) yij

uij , uij

i

uij

yij

eij

yij

N (0,

2

Residuos

)

A 8,2 -3,7 -16,8 -4,1 5,0 -8,9 26,7 -11,8 2,1 3,3 0,0

i

yi

eij : RES IDUO 2 ni 2

:

eij2

i 1 j 1

s R2

n

n 2

i

j 1

B 0,3 17,7 -3,4 -16,3 3,8 -7,2 4,8 -9,8 14,5 -4,4 0,0

2 0;s R

eij

130.95 9

Análisis de la Varianza

2 s Varianza residual: R

1

2

y21

y11 y12

( y1 j

s12

y1 ) 2

y22

n1 1

s22

( y2 j n2

y2 ) 2 1

y2 n2

y1n1 2 ni

sR2 Análisis de la Varianza

eij2

i 1j 1

n 2

n1 1 2 s1 n 1

n2 1 2 s2 n 1 10

Diferencia de medias: y1

1

2

y21 y22

y11 2

y12

N(

y1

1,

)

n1

y2

( y1

2

y2

N(

2,

n2

)

y2 n2

y1n1 y1

y2

N(

2,

1

y2 ) ( 1 1 1 n1 n2

2

2

n1

n2

2)

) ( y1

N (0,1)

y2 ) ( 1 1 1 sR n1 n2

2)

tn

2

11

Análisis de la Varianza

Contraste de igualdad de medias

t0

H0 :

1

2

H1 :

1

2

y1 sR

y2 1 n1

tn-2

1tn

1 n2

R.R

R.R.

/2

R. Acept.

2

-t

/2

t0

t

/2

No se rechaza H 0

t0

t

/2

Se rechaza H 0

Análisis de la Varianza

/2

t

/2

12

Ejemplo:

t0

H0 :

1

2

H1 :

1

2

= 0.05 R.R.

R.R

t18

0.025

0.025

43.1 29.3 1 1 11.44 10 10

2.69 2.10

-2.10

2.69 2.10

Se rechaza H 0 13

Análisis de la Varianza

Ejemplo:

t0

= 0.01

H0 :

1

2

H1 :

1

2

43.1 29.3 1 1 11.44 10 10

t18

0.99 0.005

0.005

2.69

2.69 2.88 Análisis de la Varianza

R.R

R.R.

/2

-2.88

2.88

No se rechaza H 0 14

Nivel crítico (bilateral)

t0

H0 :

1

2

H1 :

1

2

43.1 29.3 1 1 11.44 10 10

p valor

t18 0.074

0.074

2.69

-2.69

Pr( t18

= 0.05 > p-valor = 0.01 < p-valor

2.69)

2.69

0.0147

Se rechaza H0 No se rechaza H0 15

Análisis de la Varianza

Conclusiones (fijado ) Si |to| > t /2 se dice que la diferencia de medias es significativa. O simplemente que los tratamientos son distintos (tienen medias distintas)

Análisis de la Varianza

Si |to| t /2 se dice que la diferencia de medias no es significativa. No hay evidencia suficiente para afirmar que las medias de los tratamientos sean diferentes. 16

No rechazar Ho, no implica que Ho sea cierta El resultado |to| t /2, (no se rechaza Ho) no debe interpretarse como se ha demostrado que las dos medias son iguales No-rechazar la hipótesis nula implica que la diferencia entre las medias 1 - 2 no es lo suficientemente grande como para ser detectada con el tamaño muestral dado. 17

Análisis de la Varianza

Intervalo de confianza para la diferencia de medias: 1 ( y1

y2 ) ( 1 1 1 sR n1 n2

2)

tn

tn-2

2

/2

1

Análisis de la Varianza

( y1

/2

2

( y1

y2 ) ( 1 1 1 sR n1 n2 y2 )

/2

1-t

Pr { t

2

t

t

/2

2)

/ 2 sR

t

/2}

1 n1

1 n2

/2

1

18

Ejemplo: intervalo de confianza

1

2

t18 0.025

0.025

-2.10

2.10 t / 2 sR

1 n2

2

1

2

(43.1 29.3) 2.10 11.44

1

2

13.8

1

y2 )

1 n1

( y1

1 1 10 10

10.74 19

Análisis de la Varianza

Hipótesis de homocedasticidad 1

2

1

2

y21 y22

y11 y12

s12

( y1 j

y1 ) 2

n1 1

( y2 j n2

y2 ) 2 1

y2 n2

y1n1

H0 : H1 : Análisis de la Varianza

s22

2 1 2 1

2 2 2 2 20

Distribución F y21

y11 y12

( y1 j

s12

y1 ) 2

y22

n1 1

( y2 j

s22

y2 ) 2

n2 1

y2 n2

y1n1 (n1 1) s12 2 1

2 n1 1

F

(n2 1) s22

2 n1 1

2 n2 1

2 2

2 n2 1

s12 (n1 1) (n2 1)

2 1 s22 2 2

Fn1

1,n2 1

21

Análisis de la varianza

Distribución F

F40,40 F20,40 F10,40

F5,40

Análisis de la varianza

22

Algunas distribuciones F F10,80 F10,40 F10,20 F10,10

23

Análisis de la varianza

Contraste de igualdad de varianzas H0 : H1 :

2 1 2 1

2 2 2 2 2 1

Si H 0 es cierto F0

s12 s12

Fn1

2 2,

1,n2 1

RR

RR /2

/2

1R.A. Ho

F1-

/2

F

/2

Si F0

F1

/ 2, F / 2

No se rechaza H 0

Si F0

F1

/ 2, F / 2

Se rechaza H 0

Análisis de la varianza

24

Ejemplo: Contraste de igualdad de varianzas H0 : H1 :

2 1 2 1

2 2 2 2

s12 154.02 s22 111.7

0.248 1.37

154.02 1.37 111.7

F0

1.37

RR 0.025

RR 0.025

0.248,4.03

4.03

No se rechaza H 0 25

Análisis de la varianza

F 1,

Tabla F

2

P( F 1 ,

,

2

F 1,

2

,

)

Grados de libertad del denominador:

2

=0.05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 Inf

1 161,4 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 4,23 4,21 4,20 4,18 4,17 4,08 4,03 4,00 3,98 3,96 3,95 3,94 3,92 3,84 1

2 199,5 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,63 3,59 3,55 3,52 3,49 3,47 3,44 3,42 3,40 3,39 3,37 3,35 3,34 3,33 3,32 3,23 3,18 3,15 3,13 3,11 3,10 3,09 3,07 3,00 2

3 215,7 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 3,16 3,13 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,98 2,96 2,95 2,93 2,92 2,84 2,79 2,76 2,74 2,72 2,71 2,70 2,68 2,60 3

Ejemplo : P( F7,8

4 224,6 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,73 2,71 2,70 2,69 2,61 2,56 2,53 2,50 2,49 2,47 2,46 2,45 2,37 4

5 230,2 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,03 2,96 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2,66 2,64 2,62 2,60 2,59 2,57 2,56 2,55 2,53 2,45 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 2,31 2,29 2,21 5

6 234,0 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,47 2,46 2,45 2,43 2,42 2,34 2,29 2,25 2,23 2,21 2,20 2,19 2,18 2,10 6

3.50) 0.05

7 236,8 19,35 8,89 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,91 2,83 2,76 2,71 2,66 2,61 2,58 2,54 2,51 2,49 2,46 2,44 2,42 2,40 2,39 2,37 2,36 2,35 2,33 2,25 2,20 2,17 2,14 2,13 2,11 2,10 2,09 2,01 7

8 238,9 19,37 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,37 2,36 2,34 2,32 2,31 2,29 2,28 2,27 2,18 2,13 2,10 2,07 2,06 2,04 2,03 2,02 1,94 8

9 240,5 19,38 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,71 2,65 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,39 2,37 2,34 2,32 2,30 2,28 2,27 2,25 2,24 2,22 2,21 2,12 2,07 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,88 9

10 241,9 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,85 2,75 2,67 2,60 2,54 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,27 2,25 2,24 2,22 2,20 2,19 2,18 2,16 2,08 2,03 1,99 1,97 1,95 1,94 1,93 1,91 1,83 10

12 243,9 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,25 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,10 2,09 2,00 1,95 1,92 1,89 1,88 1,86 1,85 1,83 1,75 12

15 245,9 19,43 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,72 2,62 2,53 2,46 2,40 2,35 2,31 2,27 2,23 2,20 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,04 2,03 2,01 1,92 1,87 1,84 1,81 1,79 1,78 1,77 1,75 1,67 15

20 248,0 19,45 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 2,16 2,12 2,10 2,07 2,05 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,84 1,78 1,75 1,72 1,70 1,69 1,68 1,66 1,57 20

24 249,1 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2,51 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19 2,15 2,11 2,08 2,05 2,03 2,01 1,98 1,96 1,95 1,93 1,91 1,90 1,89 1,79 1,74 1,70 1,67 1,65 1,64 1,63 1,61 1,52 24

30 250,1 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2,15 2,11 2,07 2,04 2,01 1,98 1,96 1,94 1,92 1,90 1,88 1,87 1,85 1,84 1,74 1,69 1,65 1,62 1,60 1,59 1,57 1,55 1,46 30

40 251,1 19,47 8,59 5,72 4,46 3,77 3,34 3,04 2,83 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10 2,06 2,03 1,99 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1,85 1,84 1,82 1,81 1,79 1,69 1,63 1,59 1,57 1,54 1,53 1,52 1,50 1,39 40

60 252,2 19,48 8,57 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01 2,79 2,62 2,49 2,38 2,30 2,22 2,16 2,11 2,06 2,02 1,98 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,82 1,80 1,79 1,77 1,75 1,74 1,64 1,58 1,53 1,50 1,48 1,46 1,45 1,43 1,32 60

100 253,0 19,49 8,55 5,66 4,41 3,71 3,27 2,97 2,76 2,59 2,46 2,35 2,26 2,19 2,12 2,07 2,02 1,98 1,94 1,91 1,88 1,85 1,82 1,80 1,78 1,76 1,74 1,73 1,71 1,70 1,59 1,52 1,48 1,45 1,43 1,41 1,39 1,37 1,24 100

120 253,3 19,49 8,55 5,66 4,40 3,70 3,27 2,97 2,75 2,58 2,45 2,34 2,25 2,18 2,11 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,87 1,84 1,81 1,79 1,77 1,75 1,73 1,71 1,70 1,68 1,58 1,51 1,47 1,44 1,41 1,39 1,38 1,35 1,22 120

Inf. 254,3 19,50 8,53 5,63 4,37 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,92 1,88 1,84 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,69 1,67 1,65 1,64 1,62 1,51 1,44 1,39 1,35 1,32 1,30 1,28 1,25 1,00 Inf.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 Inf

F 1,

Tabla F

2

P( F 1 ,

,

F 1,

2

2

,

)

=0.025

Grados de libertad del denominador:

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 Inf

1 647,8 38,51 17,44 12,22 10,01 8,81 8,07 7,57 7,21 6,94 6,72 6,55 6,41 6,30 6,20 6,12 6,04 5,98 5,92 5,87 5,83 5,79 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 5,61 5,59 5,57 5,42 5,34 5,29 5,25 5,22 5,20 5,18 5,15 5,02 1

2 799,5 39,00 16,04 10,65 8,43 7,26 6,54 6,06 5,71 5,46 5,26 5,10 4,97 4,86 4,77 4,69 4,62 4,56 4,51 4,46 4,42 4,38 4,35 4,32 4,29 4,27 4,24 4,22 4,20 4,18 4,05 3,97 3,93 3,89 3,86 3,84 3,83 3,80 3,69 2

3 864,2 39,17 15,44 9,98 7,76 6,60 5,89 5,42 5,08 4,83 4,63 4,47 4,35 4,24 4,15 4,08 4,01 3,95 3,90 3,86 3,82 3,78 3,75 3,72 3,69 3,67 3,65 3,63 3,61 3,59 3,46 3,39 3,34 3,31 3,28 3,26 3,25 3,23 3,12 3

4 899,6 39,25 15,10 9,60 7,39 6,23 5,52 5,05 4,72 4,47 4,28 4,12 4,00 3,89 3,80 3,73 3,66 3,61 3,56 3,51 3,48 3,44 3,41 3,38 3,35 3,33 3,31 3,29 3,27 3,25 3,13 3,05 3,01 2,97 2,95 2,93 2,92 2,89 2,79 4

Ejemplo : P( F7,8

5 921,8 39,30 14,88 9,36 7,15 5,99 5,29 4,82 4,48 4,24 4,04 3,89 3,77 3,66 3,58 3,50 3,44 3,38 3,33 3,29 3,25 3,22 3,18 3,15 3,13 3,10 3,08 3,06 3,04 3,03 2,90 2,83 2,79 2,75 2,73 2,71 2,70 2,67 2,57 5

6 937,1 39,33 14,73 9,20 6,98 5,82 5,12 4,65 4,32 4,07 3,88 3,73 3,60 3,50 3,41 3,34 3,28 3,22 3,17 3,13 3,09 3,05 3,02 2,99 2,97 2,94 2,92 2,90 2,88 2,87 2,74 2,67 2,63 2,59 2,57 2,55 2,54 2,52 2,41 6

7 948,2 39,36 14,62 9,07 6,85 5,70 4,99 4,53 4,20 3,95 3,76 3,61 3,48 3,38 3,29 3,22 3,16 3,10 3,05 3,01 2,97 2,93 2,90 2,87 2,85 2,82 2,80 2,78 2,76 2,75 2,62 2,55 2,51 2,47 2,45 2,43 2,42 2,39 2,29 7

8 956,6 39,37 14,54 8,98 6,76 5,60 4,90 4,43 4,10 3,85 3,66 3,51 3,39 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01 2,96 2,91 2,87 2,84 2,81 2,78 2,75 2,73 2,71 2,69 2,67 2,65 2,53 2,46 2,41 2,38 2,35 2,34 2,32 2,30 2,19 8

9 963,3 39,39 14,47 8,90 6,68 5,52 4,82 4,36 4,03 3,78 3,59 3,44 3,31 3,21 3,12 3,05 2,98 2,93 2,88 2,84 2,80 2,76 2,73 2,70 2,68 2,65 2,63 2,61 2,59 2,57 2,45 2,38 2,33 2,30 2,28 2,26 2,24 2,22 2,11 9

10 968,6 39,40 14,42 8,84 6,62 5,46 4,76 4,30 3,96 3,72 3,53 3,37 3,25 3,15 3,06 2,99 2,92 2,87 2,82 2,77 2,73 2,70 2,67 2,64 2,61 2,59 2,57 2,55 2,53 2,51 2,39 2,32 2,27 2,24 2,21 2,19 2,18 2,16 2,05 10

12 976,7 39,41 14,34 8,75 6,52 5,37 4,67 4,20 3,87 3,62 3,43 3,28 3,15 3,05 2,96 2,89 2,82 2,77 2,72 2,68 2,64 2,60 2,57 2,54 2,51 2,49 2,47 2,45 2,43 2,41 2,29 2,22 2,17 2,14 2,11 2,09 2,08 2,05 1,94 12

15 984,9 39,43 14,25 8,66 6,43 5,27 4,57 4,10 3,77 3,52 3,33 3,18 3,05 2,95 2,86 2,79 2,72 2,67 2,62 2,57 2,53 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,36 2,34 2,32 2,31 2,18 2,11 2,06 2,03 2,00 1,98 1,97 1,94 1,83 15

20 993,1 39,45 14,17 8,56 6,33 5,17 4,47 4,00 3,67 3,42 3,23 3,07 2,95 2,84 2,76 2,68 2,62 2,56 2,51 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33 2,30 2,28 2,25 2,23 2,21 2,20 2,07 1,99 1,94 1,91 1,88 1,86 1,85 1,82 1,71 20

24 30 40 60 100 120 Inf. 997,3 1001,4 1005,6 1009,8 1013,2 1014,0 1018,3 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 39,49 39,50 14,12 14,08 14,04 13,99 13,96 13,95 13,90 8,51 8,46 8,41 8,36 8,32 8,31 8,26 6,28 6,23 6,18 6,12 6,08 6,07 6,02 5,12 5,07 5,01 4,96 4,92 4,90 4,85 4,41 4,36 4,31 4,25 4,21 4,20 4,14 3,95 3,89 3,84 3,78 3,74 3,73 3,67 3,61 3,56 3,51 3,45 3,40 3,39 3,33 3,37 3,31 3,26 3,20 3,15 3,14 3,08 3,17 3,12 3,06 3,00 2,96 2,94 2,88 3,02 2,96 2,91 2,85 2,80 2,79 2,72 2,89 2,84 2,78 2,72 2,67 2,66 2,60 2,79 2,73 2,67 2,61 2,56 2,55 2,49 2,70 2,64 2,59 2,52 2,47 2,46 2,40 2,63 2,57 2,51 2,45 2,40 2,38 2,32 2,56 2,50 2,44 2,38 2,33 2,32 2,25 2,50 2,44 2,38 2,32 2,27 2,26 2,19 2,45 2,39 2,33 2,27 2,22 2,20 2,13 2,41 2,35 2,29 2,22 2,17 2,16 2,09 2,37 2,31 2,25 2,18 2,13 2,11 2,04 2,33 2,27 2,21 2,14 2,09 2,08 2,00 2,30 2,24 2,18 2,11 2,06 2,04 1,97 2,27 2,21 2,15 2,08 2,02 2,01 1,94 2,24 2,18 2,12 2,05 2,00 1,98 1,91 2,22 2,16 2,09 2,03 1,97 1,95 1,88 2,19 2,13 2,07 2,00 1,94 1,93 1,85 2,17 2,11 2,05 1,98 1,92 1,91 1,83 2,15 2,09 2,03 1,96 1,90 1,89 1,81 2,14 2,07 2,01 1,94 1,88 1,87 1,79 2,01 1,94 1,88 1,80 1,74 1,72 1,64 1,93 1,87 1,80 1,72 1,66 1,64 1,55 1,88 1,82 1,74 1,67 1,60 1,58 1,48 1,85 1,78 1,71 1,63 1,56 1,54 1,44 1,82 1,75 1,68 1,60 1,53 1,51 1,40 1,80 1,73 1,66 1,58 1,50 1,48 1,37 1,78 1,71 1,64 1,56 1,48 1,46 1,35 1,76 1,69 1,61 1,53 1,45 1,43 1,31 1,64 1,57 1,48 1,39 1,30 1,27 1,00 24 30 40 60 100 120 Inf.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 Inf

4.53) 0.025

F 1,

Tabla F

2

P( F 1 ,

,

2

F 1,

2

,

)

Grados de libertad del denominador:

2

=0.01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 Inf

1 4052,2 98,50 34,12 21,20 16,26 13,75 12,25 11,26 10,56 10,04 9,65 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,29 8,18 8,10 8,02 7,95 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 7,64 7,60 7,56 7,31 7,17 7,08 7,01 6,96 6,93 6,90 6,85 6,63 1

2 4999,3 99,00 30,82 18,00 13,27 10,92 9,55 8,65 8,02 7,56 7,21 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 6,01 5,93 5,85 5,78 5,72 5,66 5,61 5,57 5,53 5,49 5,45 5,42 5,39 5,18 5,06 4,98 4,92 4,88 4,85 4,82 4,79 4,61 2

3 5403,5 99,16 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,19 5,09 5,01 4,94 4,87 4,82 4,76 4,72 4,68 4,64 4,60 4,57 4,54 4,51 4,31 4,20 4,13 4,07 4,04 4,01 3,98 3,95 3,78 3

4 5624,3 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,21 5,04 4,89 4,77 4,67 4,58 4,50 4,43 4,37 4,31 4,26 4,22 4,18 4,14 4,11 4,07 4,04 4,02 3,83 3,72 3,65 3,60 3,56 3,53 3,51 3,48 3,32 4

Ejemplo : P( F7,8

5 5764,0 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 4,25 4,17 4,10 4,04 3,99 3,94 3,90 3,85 3,82 3,78 3,75 3,73 3,70 3,51 3,41 3,34 3,29 3,26 3,23 3,21 3,17 3,02 5

6 5859,0 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 4,01 3,94 3,87 3,81 3,76 3,71 3,67 3,63 3,59 3,56 3,53 3,50 3,47 3,29 3,19 3,12 3,07 3,04 3,01 2,99 2,96 2,80 6

7 5928,3 99,36 27,67 14,98 10,46 8,26 6,99 6,18 5,61 5,20 4,89 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 3,02 2,95 2,91 2,87 2,84 2,82 2,79 2,64 7

6.18) 0.01

8 5981,0 99,38 27,49 14,80 10,29 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,56 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 3,23 3,20 3,17 2,99 2,89 2,82 2,78 2,74 2,72 2,69 2,66 2,51 8

9 6022,4 99,39 27,34 14,66 10,16 7,98 6,72 5,91 5,35 4,94 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,46 3,40 3,35 3,30 3,26 3,22 3,18 3,15 3,12 3,09 3,07 2,89 2,78 2,72 2,67 2,64 2,61 2,59 2,56 2,41 9

10 6055,9 99,40 27,23 14,55 10,05 7,87 6,62 5,81 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,21 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,70 2,63 2,59 2,55 2,52 2,50 2,47 2,32 10

12 6106,7 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,46 3,37 3,30 3,23 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,66 2,56 2,50 2,45 2,42 2,39 2,37 2,34 2,18 12

15 6157,0 99,43 26,87 14,20 9,72 7,56 6,31 5,52 4,96 4,56 4,25 4,01 3,82 3,66 3,52 3,41 3,31 3,23 3,15 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,81 2,78 2,75 2,73 2,70 2,52 2,42 2,35 2,31 2,27 2,24 2,22 2,19 2,04 15

20 6208,7 99,45 26,69 14,02 9,55 7,40 6,16 5,36 4,81 4,41 4,10 3,86 3,66 3,51 3,37 3,26 3,16 3,08 3,00 2,94 2,88 2,83 2,78 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,37 2,27 2,20 2,15 2,12 2,09 2,07 2,03 1,88 20

24 6234,3 99,46 26,60 13,93 9,47 7,31 6,07 5,28 4,73 4,33 4,02 3,78 3,59 3,43 3,29 3,18 3,08 3,00 2,92 2,86 2,80 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,29 2,18 2,12 2,07 2,03 2,00 1,98 1,95 1,79 24

30 6260,4 99,47 26,50 13,84 9,38 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,10 2,03 1,98 1,94 1,92 1,89 1,86 1,70 30

40 6286,4 99,48 26,41 13,75 9,29 7,14 5,91 5,12 4,57 4,17 3,86 3,62 3,43 3,27 3,13 3,02 2,92 2,84 2,76 2,69 2,64 2,58 2,54 2,49 2,45 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,11 2,01 1,94 1,89 1,85 1,82 1,80 1,76 1,59 40

60 6313,0 99,48 26,32 13,65 9,20 7,06 5,82 5,03 4,48 4,08 3,78 3,54 3,34 3,18 3,05 2,93 2,83 2,75 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,40 2,36 2,33 2,29 2,26 2,23 2,21 2,02 1,91 1,84 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 1,47 60

100 6333,9 99,49 26,24 13,58 9,13 6,99 5,75 4,96 4,41 4,01 3,71 3,47 3,27 3,11 2,98 2,86 2,76 2,68 2,60 2,54 2,48 2,42 2,37 2,33 2,29 2,25 2,22 2,19 2,16 2,13 1,94 1,82 1,75 1,70 1,65 1,62 1,60 1,56 1,36 100

120 6339,5 99,49 26,22 13,56 9,11 6,97 5,74 4,95 4,40 4,00 3,69 3,45 3,25 3,09 2,96 2,84 2,75 2,66 2,58 2,52 2,46 2,40 2,35 2,31 2,27 2,23 2,20 2,17 2,14 2,11 1,92 1,80 1,73 1,67 1,63 1,60 1,57 1,53 1,32 120

Inf. 6365,6 99,50 26,13 13,46 9,02 6,88 5,65 4,86 4,31 3,91 3,60 3,36 3,17 3,00 2,87 2,75 2,65 2,57 2,49 2,42 2,36 2,31 2,26 2,21 2,17 2,13 2,10 2,06 2,03 2,01 1,80 1,68 1,60 1,54 1,49 1,46 1,43 1,38 1,00 Inf.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 Inf

1.2

K tratamientos

29

Análisis de la varianza

¿Existen diferencias entre las cuatro semillas? Se desea comparar el rendimiento de cuatro semillas A,B,C y D. Un terreno se divide en 24 parcelas similares y se asigna al azar cada semilla a 6 parcelas. A 229.1 253.7 241.3 254.7 237.2 241.3 242.9 Análisis de la varianza

B 233.4 233.0 219.2 200.0 224.3 202.0 218.7

C 211.1 223.1 217.5 211.8 207.6 213.7 214.1

D 270.4 248.6 230.0 250.7 230.0 245.8 245.9 30

Método: 4 pasos Definición del modelo de distribución de probabilidad: Hipótesis Parámetros

Estimación de los parámetros Diagnosis de las hipótesis Aplicación

31

Análisis de la varianza

Modelo

... 1

2

K

y21

y11 y12

y22

y1n

y2 n

1

Análisis de la varianza

2

...

yK1 yK 2 y Kn

K 32

Hipótesis del modelo Normalidad yij

N( i, 2)

Homocedasticidad Var [yij] =

2

Independencia Cov [yij, ykl] = 0

33

Análisis de la varianza

Modelo: Hipótesis y Parámetros Hipótesis básicas:

Parámetros

Normalidad

1

yij

N( i, 2)

2

Homocedasticidad Var [yij] =

2

Independencia Cov [yij, ykl] = 0 Análisis de la varianza

K 2 34

Modelo: Forma alternativa yij

uij ,

i

uij

N (0,

2

)

Las observaciones se descomponen en: Parte predecible

i

uij

Parte aleatoria

0 35

Análisis de la varianza

Estimación medias:Max. Verosímil n1

y1 j 1:

y1

j 1

n1 n2

y2 j 2

:

y2

j 1

n2 nK

y Kj K

:

yK

Análisis de la varianza

A 229.1 253.7 241.3 254.7 237.2 241.3 242.9

B 233.4 233.0 219.2 200.0 224.3 202.0 218.7

C 211.1 223.1 217.5 211.8 207.6 213.7 214.1

D 270.4 248.6 230.0 250.7 230.0 245.8 245.9

j 1

nK

36

Estimación varianza (residuos) yij

uij , uij

i

uij

yij

eij

yij

N (0,

A -13.8 10.8 -1.6 11.8 -5.7 -1.6 0.0

yi

eij : RESIDUO

2

:

s R2

) Residuos

i

K ni

2

eij2

i 1j 1

B 14.8 14.4 0.6 -18.7 5.7 -16.7 0.0

sR2

n K

C -3.0 9.0 3.4 -2.3 -6.5 -0.4 0.0

D 24.5 2.7 -15.9 4.8 -15.9 -0.1 0.0

142.4 37

Análisis de la varianza

Comparación de medias La comparación de tratamientos con este modelo se reduce a comparar las medias 1, 2, ..., K , en primer lugar con el contraste:

H0 :

1

2

K

H1 : Al menos una es diferente

Análisis de la varianza

38

Descomposición de la variabilidad yij yij

uij

i

y

yij

( yi

yi

( yij

y ) ( yij

y i ) : restando y

yij n

,

yi )

elevando al cuadrado y sumando para todo i,j K ni

(donde

( yi

y )( yij

y i ) 0)

i 1j 1 K ni

( yij

y )

K ni

2

( yi

i 1j 1

y )

2

i 1j 1

K ni

( yij

y )

ni ( y i

i 1j 1

( yij i 1j 1

K

2

K ni

y )

2

i 1

K ni

( yij i 1j 1

y i )2 yi )2

39

Análisis de la varianza

Variabilidades Variabilid ades K ni

VT

( yij i 1j 1 K

VE i 1

ni ( y i

K ni

VNE

( yij i 1j 1

VT

yi )

Grados de libertad

y )2

n-1

y )2

K-1

2

VE

K ni

eij 2

n-K

i 1j 1

VNE

n 1 ( K 1) (n K ) Análisis de la varianza

40

Descomposición: ejemplo y

230.4

Datos

Medias

229.1 253.7 241.3 254.7 237.2 241.3

233.4 233.0 219.2 200.0 224.3 202.0

211.1 223.1 217.5 211.8 207.6 213.7

270.4 248.6 230.0 250.7 230.0 245.8

-1.3 23.3 10.9 24.3 6.8 10.9

3.0 2.6 -11.2 -30.4 -6.1 -28.4

-19.3 -7.3 -12.9 -18.6 -22.8 -16.7

40.0 18.2 -0.4 20.3 -0.4 15.4

yij

Residuos

=

242.9 242.9 242.9 242.9 242.9 242.9

218.7 218.7 218.7 218.7 218.7 218.7

214.1 214.1 214.1 214.1 214.1 214.1

245.9 245.9 245.9 245.9 245.9 245.9

=

12.5 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5

-11.7 -11.7 -11.7 -11.7 -11.7 -11.7

-16.3 -16.3 -16.3 -16.3 -16.3 -16.3

15.5 15.5 15.5 15.5 15.5 15.5

y

yi

+

-13.8 10.8 -1.6 11.8 -5.7 -1.6

14.8 14.4 0.6 -18.7 5.7 -16.7

-3.0 9.0 3.4 -2.3 -6.5 -0.4

24.5 2.7 -15.9 4.8 -15.9 -0.1

+

-13.8 10.8 -1.6 11.8 -5.7 -1.6

14.8 14.4 0.6 -18.7 5.7 -16.7

-3.0 9.0 3.4 -2.3 -6.5 -0.4

24.5 2.7 -15.9 4.8 -15.9 -0.1

yij

y

yi 41

Análisis de la varianza

Variabilidades: ejemplo Variabilid ades K ni

VT

( yij i 1j 1 K

VE

ni ( y i

Grados de libertad

y )2

7645.5

n-1 23

y )2

4798.1

K-1 3

i 1

K ni

VNE

eij 2

2847.4

n-K

20

4798.1

2847.4

i 1j 1

7645.5 23 Análisis de la varianza

3

20 42

Interpretación gráfica de la descomposición y1 y2 yi

y3

yij

y

yi

y4 y

yij

y 43

Análisis de la varianza

Distribución de VE yij Si

N( i, 1

2

2

yi

)

2

K

N( i,

ni

)

que llamaremos 2

yi

i

y1 / n1

y1

y / n1

Análisis de la varianza

2

2

y2 / n2

y2

y / n2

N( , 2

2

ni

) yK / nK

yK

y / nK

2 2 K

2 2 K 1

44

Distribución de VNE ni

y i )2

( yij yij

2

N( i,

)

( yij

yi )

i 1j 1

( ni 1) si2

ni 1 1

2

n

( y1 j

y1 )

j 1

2

2

( y2 j

nK

2

( y Kj

j 1

y K )2

n K ( n1 1) s12

( n1 1) s12

2

y2 )

j 1

n K

( n K ) s R2

2 ni 1

2

n

K ni

s R2

j 1

si2

( n2 1) s22 n K

( n2 1) s22

2

(nK 1) s K2

2

2 n1 1

(nK 1) s K2

2

2 n2 1

2 nK 1

2 n K

45

Análisis de la varianza

Contraste (Análisis de la Varianza) H0 :

1

2

K

H1 : Al menos una es diferente K ) s R2 2

(n

F0

i 1

F0

F

F0

F

ni ( y i

y

y )2

ni ( yi

2 n K

K

K

Si Ho es cierto : i

1 2

2 K 1

)2

2 ( K 1) s R No se rechaza H 0

FK

1, n K

Se rechaza H 0

Análisis de la varianza

46

Tabla de Análisis de la Varianza Suma de Cuadrados

Fuentes Tratamient os

ni ( y i

Residual Total

y )

Grados de Libertad 2

K 1

( yij

yi )2

n K

( yij

y )2

n 1

Varianzas ni ( y i

2

y ) /( K 1)

F ni ( y i

y )2

( K 1) s R2

2 sR

47

Análisis de la varianza

Tabla de Análisis de la Varianza Suma de

Grados de

Fuentes

Cuadrados

Libertad

Varianzas

F

Tratamient os Residual

4798.1 2847.4

3 20

1599.3 142.4

11.2

Total

7645.5

23

Análisis de la varianza

48

Intervalos de confianza para las medias yij

N( i,

2

2

)

yi

yi i

N( i,

tn

sR ni

i

R.R

R.R. i

yi

)

N (0,1)

ni yi

ni

tn-K

1-

K

/2

/2

t

s

R. Acept. H0

-t

t

/2

/2

R /2 n i 49

Análisis de la varianza

Intervalos de confianza

Semilla A B C D

Análisis de la varianza

Media 242.9 218.7 214.1 245.9

L. Inferior L. Superior 235.7 211.4 206.9 238.7

250.1 225.8 221.3 253.1

50

Intervalos de confianza (95%)

Rendimiento

260 250 240 230 220 210 200 A

B

C

D

Semilla 51

Análisis de la varianza

Diferencia de medias: y1

1

2

y11 2

y12

y1

N(

1,

n1

)

y2 ( y1

y21 y22

2

y2

N(

2,

n2

)

y2 n2

y1n1 y1

y2

N( y2 ) ( 1 n1

1 1

1 n2

Análisis de la varianza

2, 2)

2

2

n1

n2

) ( y1

y2 ) (

1

1 n1

1 n2

N (0,1) sR

2)

tn

K

52

Contraste multiples

H0 :

tij

i

j

H1 :

i

yi

yj

sR

R.R

R.R.

1 ni

tn-K

j

1/2

tn

1 nj

/2

R. Acept. H0

K

-t

/2

t0

t

/2

No se rechaza H 0

t0

t

/2

Se rechaza H 0

Análisis de la varianza

Diagnosis del modelo

t

/2

53

Modelo

... 2

1

K

y21

y11 y12

y22

y1n

y2 n

1

...

2

yK1 yK 2 y Kn

K 55

Análisis de la varianza

Hipótesis del modelo Normalidad yij

N( i, 2)

Homocedasticidad Var [yij] =

2

Independencia Cov [yij, ykl] = 0

Análisis de la varianza

56

Residuos: Normales y homocedásticos

yij

i

uij

uij

yij

i

uij

N (0,

2

eij

yij

yi

)

Residuos A -13,8 10,8 -1,6 11,8 -5,7 -1,6 0,0

B 14,8 14,4 0,6 -18,7 5,7 -16,7 0,0

C -3,0 9,0 3,4 -2,3 -6,5 -0,4 0,0

D 24,5 2,7 -15,9 4,8 -15,9 -0,1 0,0

0

Análisis de la varianza

57

Comprobación de la normalidad Los residuos deben de tener distribución normal. Las observaciones originales también, pero cada grupo con media diferente, por ello es preciso estimar el modelo para descontar a cada observación su media y obtener valores con la misma distribución.

Herramientas de comprobación: Histograma de residuos Gráfico de probabilidad normal (Q-Q plot) Contrastes formales (Kolmogorov-Smirnov) Análisis de la varianza

58

Gráfico probabilista normal Es un gráfico X-Y de los residuos frente a los percentiles de la distribución normal.

Pasos: Ordenar los residuos de menor a mayor. e(1) e(2) e(n)

La idea básica es que cuando los residuos tienen distribución normal, los puntos deben formar aproximadamente una línea recta

Calcular los percentiles de la distribución normal 1

Yi

(

i 0.5 ) sR , i 1,2,..., n n

Representar

e(i ) , Yi 59

Análisis de la varianza

Gráfico prob. Normal (ejemplo) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Resid. Probab. Percen. Percen. eij (i-0.5)/n N(0,1) N(0, ) -18,7 -16,7 -15,9 -15,9 -13,8 -6,5 -5,7 -3,0 -2,3 -1,6 -1,6 -0,4 -0,1 0,6 2,7 3,4 4,8 5,7 9,0 10,8 11,8 14,4 14,8 24,5

0,021 0,063 0,104 0,146 0,188 0,229 0,271 0,313 0,354 0,396 0,438 0,479 0,521 0,563 0,604 0,646 0,688 0,729 0,771 0,813 0,854 0,896 0,938 0,979

Análisis de la varianza

-2,04 -1,53 -1,26 -1,05 -0,89 -0,74 -0,61 -0,49 -0,37 -0,26 -0,16 -0,05 0,05 0,16 0,26 0,37 0,49 0,61 0,74 0,89 1,05 1,26 1,53 2,04

-24,30 -18,30 -15,01 -12,58 -10,58 -8,85 -7,28 -5,83 -4,46 -3,15 -1,88 -0,62 0,62 1,88 3,15 4,46 5,83 7,28 8,85 10,58 12,58 15,01 18,30 24,30

Q-Q plot 30,0 20,0 10,0

Percentiles

Orden i

0,0 -10,0 -20,0 -30,0 -30,0

-20,0

-10,0

0,0

10,0

20,0

30,0

Residuos ordenados

60

Gráfico probabilista normal 99.9

Probabilidad

99 95 80 50 20 5 1 0.1 -30

-20

-10

0

10

20

30

Residuos 61

Análisis de la varianza

Ejemplos 99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1

99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1

Normal -2,6

-1,6

-0,6

99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1

0,4

1,4

2,4

3,4

0,4

0,8

Análisis de la varianza

1,2

1,6

0

3

6

99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1

No normal 0

No normal

2

9

12

15

No normal -3

-1

1

3

5

62

Comprobación de la homocedasticidad En el proceso de estimación se ha supuesto que los distintos tratamientos tienen la misma varianza

Herramientas Gráficos de residuos: Frente a valores previstos Frente a tratamientos (o factor,etc.)

Contrastes formales: Bartlett, Cochran, Hartley, Levene

63

Análisis de la varianza

Residuos - Valores previstos En este modelo los valores previstos corresponden a la media del tratamiento

30

residuos

20 10 0 -10 -20 -30 210

220

230

240

250

valores previstos 30

residuos

20 10 0 -10 -20 -30 0

5

10

Valores previstos

Análisis de la varianza

15

Los puntos deben aparecer dispuestos al azar en una banda horizontal alrededor del eje horizontal. Heterocedasticidad: a veces la dispersión aumenta conforme la media crece. 64

Residuos por tratamientos 25

máx.

mín.

Residuos

15 5 -5 -15 -25 A

B

C

D

Semilla

En cada grupo los residuos aparecen esparcidos con dispersión similar y media cero. 65

Análisis de la varianza

Residuos por tratamientos 25

máx.

mín.

Residuos

15 5 -5

máx mín

3

-15 -25 A

B

C

D

Semilla

En cada grupo los residuos aparecen esparcidos con dispersión similar y media cero. Análisis de la varianza

66

Contrastes formales

1

2

1

2

H0 :

2 1

...

K

K

2 2

2 K

H1 : Alguna es distinta 67

Análisis de la varianza

Contraste de Bartlett n1=n2=———=nK=m 1

2

1

2

( y1 j y1 ) 2

s12

m 1

sG2

yK1 s22

( y2 j y2 ) 2 m 1

...

y2n2

y1m s R2

y22

s12

s22

sK2 K

K

s12 s22

s K2

Análisis de la varianza

K

K

y21

y11 y12

...

2 Si Ho n K log sR 2 sG cierto 1 c

yK 2

sK2

( y Kj y K ) 2 m 1

yKm 2 K 1

c

K 1 3(n K ) 68

Contraste de Bartlett (general) sR2

(n1 1) s12 (n2 1) s22 n K n K

sG2

s12

n1 1

(nK 1) sK2 s22

n2 1

1 3( K 1)

c

n K sR2 log 2 1 c sG

Si Ho cierto

nK 1

sK2 K

1

1 1 n K

i 1 ni

2 K 1

69

Análisis de la varianza

Contraste de Bartlett: ejemplo Datos B 233,4 233,0 219,2 200,0 224,3 202,0 218,7

C 211,1 223,1 217,5 211,8 207,6 213,7 214,1

D 270,4 248,6 230,0 250,7 230,0 245,8 245,9

96,8

216,2

29,9

227,2

Varianzas

p valor

0,25

A 229,1 253,7 241,3 254,7 237,2 241,3 Medias 242,9

2 3

0.177

0.05

0.01

0 0

4

8

12

16

x

sR2

96.8 216.2 29.9 227.2 142.4 4

sG2

4

96.8 216.2 29.9 227.2 109.1

Análisis de la varianza

2 0

n K s R2 log 2 1 c sG 20 142.4 log 1 (5 / 60) 109.1

4.91

70

0,57

0,57

0,37

0,37

residuos

residuos

Diagnosis: Tres gráficos básicos 0,17 -0,03

0,17 -0,03 -0,23

-0,23

-0,43

-0,43 0

0,3

0,6

0,9

1

1,2

probabilidad

3

Tratamientos

Valores previstos 99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1 -0,33

2

Homocedasticidad

Normalidad -0,13

0,07

0,27

0,47

residuos

probabilidad

Gráfico probabilista normal 99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1 -0,33

-0,13

0,07

0,27

0,47

residuos Análisis de la varianza

72

Transformaciones z=h(y) para estabilizar la varianza Desarrollo de Taylor para z

h( y ) en

1 z h( ) h' ( )( y ) h' ' ( )( y 2 La media y varianzas de z son aprox. E[z]

h( )

E[y] )2

1 h''( )Var (y) 2

h' ( ) 2 Var [ y ]

Var [ z ]

73

Análisis de la varianza

Ejemplo

z

a by

La media y varianzas de z son E[z]

a b

Var [ z ] b 2 Var [ y ]

La Var[ z ] depende de b Observación: Esta transformación no altera las características de y: si y no tiene varianza constante, z tampoco. Análisis de la varianza

74

z

Ejemplo

log( y)

La media y varianzas de z son aprox. E[z]

1

log ( ) 2

Var [ z ]

1 2

2

Var (y)

Var [ y ]

Si Var[ y] k

2

Var[ z]

k

79

Análisis de la varianza

h( yij )

zij homocedásticas

zij

yij heterocedásticas

Transformaciones Box-Cox z ij1,5

p>1

p=1

1

p1 o p µA . ¿ Qu´e condici´on debe cumplir la diferencia entre las medias muestrales de los dos m´etodos para rechazar H0 con α = 0.01? 3. Se ha realizado un experimento para estudiar el efecto de un u ´ nico factor con I niveles en la variable respuesta y con un n´ umero diferente de observaciones en cada tratamiento: n1 , n2 , ..., nI siendo el total n = n1 + n2 + · · · + nI . Llamando yij a la observaci´on j del tratamiento i, i = 1, ..., I, j = 1, 2, ..., ni e y¯i• la media del tratamiento i. Se desea estimar la media general ¿cu´al de los dos estimadores siguientes

y •• =

ni I P P

yij

i=1 j=1

I P

i=1

y¯i•

, y˜•• = n I tiene m´ınima varianza? Realiza la comprobaci´on para el caso I = 5, con ni = 3, 2, 3, 5, 6 el n´ umero de observaciones en cada tratamiento. Asumir que las observaciones son independientes y que se cumple la hip´otesis de homocedasticidad. 1

4. Considere la comparaci´on de dos tratamientos en poblaciones normales. Demuestre que el contraste t para comparar dos medias es an´alogo al contraste de la F en An´alisis de la Varianza (suponga n1 = n2 ). 5. Cinco tipos (A, B, C, D y E) de material sint´etico se han sometido a un ensayo de desgaste. Para cada tipo de material la prueba se repitio 6 veces. El desgaste medio y la desviaci´on t´ıpica corregida en cada caso es la siguiente:

media xi d. t´ıpica sˆi

A B C D E 14.1 16.3 13.5 14.8 15.3 1.3 1.2 1.4 1.2 1.5

(a) Contrastar (α = 0.05) la hip´otesis H0 : µ A = µ B = µ C = µ D = µ E frente a la hip´otesis alternativa, H1 : Alguna media es distinta a las dem´as. (b) Indicar con nivel de confianza 0.95 el material con desgaste menor y qu´e materiales tienen desgaste medio, distinto. (c) Obtener un intervalo de confianza con α = 0.01 para la varianza del error experimental. 6. Se desea comprobar el efecto de un tratamiento t´ermico sobre la resistencia de un nuevo material. Se han tomado 15 probetas y se han asignado al azar a los tres tratamientos T1 , T2 y T3 obteniendo como medida de resistencia superficial los valores siguientes: T1 2.65 2.67 2.46 1.90 2.62

T2 4.31 3.96 4.64 4.74 4.00

T3 4.81 5.32 4.93 5.49 4.45

(a) Contrastar mediante el test de an´alisis de la varianza si existen diferencias significativas entre los tratamientos t´ermicos (α = 0.01). (b) La temperatura del tratamiento 2 es la media de las temperaturas de los otros dos tratamientos. Si la relaci´on entre la resistencia y la temperatura es lineal, es de esperar que la media del tratamiento 2 verifique : H0 : µ2 = 21 (µ1 + µ3 ). Hacer el contraste bilateral de esta hip´otesis con α = 0.05. (Nota.- Usar la distribuci´on de y 2 −(y 1 +y 3 )/2, donde y i es la media de los datos correspondientes al tratamiento Ti ). 7. En el modelo de an´alisis de la varianza para contrastar la igualdad de medias de I grupos, con n1 , n2 , ..., nI observaciones en cada grupo; indicar, justificando la respuesta, si y¯•• , y¯i• y eij son independientes. Calcular los coeficientes de correlaci´on. 2

8. Explicar detalladamente la descomposici´on de la variabilidad en el modelo b´asico de an´alisis de la varianza para comparar I tratamientos. Obtener el estad´ıstico F de contraste, indicando en cada paso las hip´otesis utilizadas. 9. Demostrar que en el modelo para la comparaci´on de las medias de K tratamientos con el mismo n´ umero de observaciones, la varianza residual estimada (b s2R ) es igual a la media de las varianzas muestrales corregidas de cada tratamiento. Utilizando esta relaci´on, demostrar que el estimador sb2R es insesgado y obtener su distribuci´on de probabilidad. Suponer que se cumplen las hip´otesis de normalidad, independencia y homocedasticidad, y dar por demostrado que la varianza muestral corregida sb2 , en una muestra aleatoria simple de tama˜ no n de una distribuci´on normal, es un estimador centrado de la varianza de la distribuci´on σ 2 , y que (n − 1)b s2 /σ 2 se distribuye como una χ2 con n − 1 grados de libertad). 10. Explicar la descomposici´on de la variabilidad en el modelo b´asico de comparaci´on de K tratamientos (modelo con un factor ). Demostrar que si todos los tratamientos tienen la misma media VE χ2K−1 . σ2 Indicar en cada paso las hip´otesis requeridas. Nota.- Tener en cuenta que si X1 , X2 , ..., Xn son variables aleatorias independientes con distribuci´on normal de media µ y varianza σ 2 , y P X = Xi /n, 2 n  X Xi − X χ2n−1 . σ i=1 11. Un fabricante sospecha que los lotes de materia prima recibidos de un proveedor difieren significativamente de su contenido en calcio. Elige al azar 5 lotes diferentes y un qu´ımico hace cinco determinaciones del contenido en calcio de cada lote. Los resultados obtenidos han sido Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5 23.46 23.59 23.51 23.28 23.29 23.48 23.46 23.64 23.40 23.46 23.56 23.42 23.46 23.37 23.37 23.39 23.49 23.52 23.46 23.32 23.40 23.50 23.49 23.29 23.38 La tabla de an´alisis de la varianza se proporciona a continuaci´on. Comparar mediante el m´etodo de Bonferroni las medias de los cinco tratamientos con nivel de significaci´on total αT = 0.10.

Fuente Lote Residuos Total

An´alisis de la varianza Variabilidad g.l. Var. Media F 0.096976 4 0.024244 5.54 0.08760 20 0.00438 0.184576 24

3

Nivel cr´ıtico 0.0036