1

Ecuaciones diferenciales

La soluci´on a una ecuaci´on algebraica es un n´ umero, o un conjunto de n´ umeros que satisfacen la ecuaci´on. Por ejemplo las soluci´ones de x2 − 4x + 3 = 0 son x0 = 1 y x1 = 3. Las soluciones de una ecuaci´on diferencial, ser´an funciones. Por lo tanto, resolver una ecuaci´on diferencial es encontrar una funci´ on que junto con sus derivadas satisfagan la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, soluciones de la ecuaci´on diferencial y 0 (t) = dy/dt = 2 (1) son las funciones y(t) = 2t, y(t) = 1 + 2t, y(t) = a + 2t, donde a en una constante arbitraria. Note que esta u ´ltima soluci´on es la mas general que podemos escribir. La soluci´on mas general de la ecuaci´on diferencial y 00 (t) = d2 y/dt2 = 4

(2)

es la funci´on y(t) = a + bt + 2t2 , donde a, b son constantes arbitrarias. Note que si damos valores a a y a b obtendremos soluciones particulares de la ecuaci´on diferencial. La soluci´on mas general de la ecuaci´on diferencial y 00 (t) = y 0 (t)

(3)

es la funci´on y(t) = a + bet , donde a, b son constantes arbitrarias. Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales son y(t)y 0 (t) = t

(4)

(y 00 (t))3 + y 00 (t)(y 0 (t)4 − t7 y(t) = sen(t)

(5)

Ejercicio 1 Verificar que las soluciones satisfacen las ecuaciones dadas.

1

Una soluci´on a una ecuaci´on diferencial es una funci´on que junto con sus derivadas, satisfacen la ecuaci´on diferencial. La soluci´ on general de una ecuaci´on diferencial es una soluci´on conteniendo constantes arbitrarias. Cuando se especifica el valor de estas constantes se dice que es una soluci´ on particular. As´ı la soluci´on general a la ecuaci´on diferencial (3) es y(t) = a+bet mientras que y(t) = et , y(t) = 2 − 3et son soluciones particulares. Nosotros estaremos interesados en encontrar soluciones particulares de las ecuaciones diferencial que pasen por un punto dado. En general necesitaremos determinar el valor de las constantes arbitrarias, para esto necesitaremos el valor de la soluci´on en un punto, o en varios puntos (esto ser´a dado como dato y recibe el nombre de condici´on inicial). Por ejemplo, si y(0) = A fuera la condici´on inicial debemos evaluar la soluci´on general y(t) en t = 0 y resolver la ecuaci´on algebraica. Las ecuaciones diferenciales son clasificadas en t´erminos de la derivada de mayor orden. Esto es lo que se denomina orden de la ecuaci´ on diferencial. Las ecuaciones (1), (4) son de primer orden y las ecuaciones (2), (3), (5) son de segundo orden. Una ecuaci´on diferencial se dice lineal si la funci´on desconocida (en los casos anteriores y(t)) y sus derivadas que aparecen el la ecuaci´on diferencial estan elevadas a la potencia primera. En otro caso se dice que la ecuaci´on es nolineal. Ejercicio 2 Clasificar las ecuaciones anteriores en lineales y nolineales.

1.1

Variables Separables

Hay varios m´etodos para resolver ecuaciones diferenciales. Uno de ellos se conoce por el m´etodo de variables separables. Este m´etodo resuelve ecuaciones del tipo g(y)y 0 (t) = f (t) (donde f e y dependen solamente de t y g de y). As´ı la ecuaci´on anterior se puede reescribir como g(y)dy = f (t)dt. Las variables est´an separadas y la soluci´on general es Z

g(y)dy =

Z

2

f (t)dt + c

donde c es una constante arbitraria (tambi´en se la llama constante de integraci´on). Ejemplo 1 Resolver la ecuaci´ on diferencial y 0 = dy/dt = 2t2 Soluci´on. La ecuaci´on puede ser expresada como dy = 2t2 dt Ya que el lado izquierdo solo depende de y y el lado derecho solo de t, las variables han sido separadas. Integrando nos da la soluci´on general y(t) = 2t3 /3 + c. Ejemplo 2 Resolver la ecuaci´ on diferencial y 0 = aty Soluci´on. La ecuaci´on puede ser reordenada como 1 dy = at dt y Ya que el lado izquierdo solo depende de y y el lado derecho solo de t, las variables han sido separadas. Integrando nos da log y = at2 /2 + c, de aqu´ı nos queda que la soluci´on general es y(t) = eat

1.2

Diferenciales exactas

Una ecuaci´on diferencial f (t, y) + g(t, y)y 0 (t) = 0 o, equivalentemente f (t, y) dt + g(t, y)dy = 0 3

2 /2 +c

.

se dice exacta si existe una funci´on U (t, y) tal que dU ≡ Ut dt + Uy dy ≡ f dt + gdy As´ı, la ecuaci´on diferencial es exacta s´ı es precisamente la diferencial total de alguna funci´on. La equaci´on diferencial exacta dU = 0 tiene un soluci´on inmediata U (t, y) = c. Ejemplo 3 Resolver la ecuaci´ on diferencial t2 y 0 + 2ty = 0 Soluci´on. La ecuaci´on puede ser escrita como t2 dy + 2ty = 0 la cual es equivalente a d(t2 y) = 0 (porque si diferenciamos esta igualdad nos queda la ecuaci´on anterior). Integrando nos d´a t2 y = c por lo tanto la soluci´on general al problema es y(t) = c/t2 Ejercicio 3 Resolver yy 0 = t2

1.3 1.3.1

Ecuaciones de primer orden lineales Coeficientes constantes

Una ecuaci´on diferencial de primer orden lineal tiene la forma y 0 (t) + P (t) y(t) = Q (t)

(6)

La soluci´on general de esta ecuaci´on consistir´a en la suma de dos t´erminos uno de los cuales se llama funci´on complementaria (y se denota por yc (t)) y la otra como integral particular (yp (t)). 4

La funci´on complementaria es la soluci´on de la ecuaci´on y 0 (t) + P (t) y(t) = 0 esto se conoce como la ecuaci´on homog´enea de (6). Haciendo algunos pasos algebraicos esta ecuaci´on se transforma en y 0 (t) = −P (t) y(t) o equivalentemente

y 0 (t) = −P (t) y (t)

integrando y despejando y (t), nos queda que la funci´on complementaria es R

y(t) = Ae

−P (t)dt

donde A es una constante. La integral particular depender´a de la funci´on Q (t) . Para calcular la integral particular se propone alguna funci´on para y (t) y se resuleve la ecuaci´on (6). Daremos algunos ejemplos para aclarar esto. Ejemplo 4 (Coeficientes constantes, esto es P (t) = P y Q (t)=Q) Resolver la ecuaci´on y 0 (t) + P y(t) = Q

(7)

Soluci´on. 1. C´alculo de la funci´on complementaria. La ecuaci´on diferencial homog´enea asociada a (7) es y 0 (t) + P y(t) = 0 entonces

y 0 (t) = −P y(t)

integrando y despejando y(t) nos queda que yc (t) = Ae−P t 5

2. Integral particular. Proponemos como una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial (7) a y (t) = B (esto es que la funci´on es constante). Reemplazando en la ecuaci´on (7) nos queda que PB = Q es decir que yp (t) =

Q P

3. Soluci´on general. Ya que la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial (7) es la suma de la funci´on complementaria y la integral particular, tenemos que Q y (t) = yc (t) + yp (t) = Ae−P t + P Ejemplo 5 Resolver la ecuaci´ on diferencial y 0 (t) + P y(t) = QeRt .

(8)

Soluci´on. 1. C´alculo de la funci´on complementaria. La ecuaci´on diferencial homog´enea asociada a (8) es y 0 (t) + P y(t) = 0 entonces la funci´on complementaria nos queda que yc (t) = Ae−P t 2. Integral particular. Proponemos como una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial (8) a y (t) = B. Reemplazando en la ecuaci´on (8) nos queda que P B = QeRt ∀t la cual no es verdadera (ya que como en el caso anterior B es una constante). Propondremos a y (t) = BeCt entonces y 0 (t) = BCeCt . Reemplazando en la ecuaci´on (8) nos queda que eCt (BC + P ) = QeRt 6

entonces C = R y B = (Q − P )/R. Es decir que la integral particular es Q − P Rt yc (t) = e R 3. Soluci´on general. Como dijimos la soluci´on general de la ecuaci´on (8) es la suma de la funci´on complementaria y la integral particular. y (t) = yc (t) + yp (t) = Ae−P t +

Q − P Rt e R

Ejemplo 6 La ecuaci´on diferencial de primer orden mas general es y 0 (t) + P (t)y(t) = Q(t)

(9)

donde P (t) y Q(t) son conocidas e y(t) es la funci´ on a ser determinada. La soluci´on general para esta ecuaci´on es R

y(t) = Ae

−P (t)dt

−

+e

R

P (t)dt

Z

R

Q(t)e

P (t)dt

dt

donde A es la constante de integraci´ on.

1.4

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Una ecuaci´on de segundo orden lineal puede ser escrita de la forma y 00 (t) + P (t) y 0 (t) + Q (t) y (t) = R (t)

(10)

El caso R (t) = 0 se dice que es homog´enea, en otro caso es no–homog´enea. Al igual que en el caso lineal la soluci´on general se puede escribir como la suma de una soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea (la que se llama la soluci´on complementaria y se denota por yc (t)) y una soluci´on particular de la ecuaci´on (10). Estudiaremos los casos que P (t) y Q (t) son funciones constantes. 1.4.1

Ecuaci´ on homog´ enea

La ecuaci´on diferencial tiene la forma y 00 (t) + P (t) y 0 (t) + Q (t) y (t) = 0 7

(11)

La soluci´on general de esta ecuaci´on homog´enea tiene la forma y (t) = Ay1 (t) + By2 (t) donde y1 (t) e y2 (t) son funciones linealmente independientes. El m´etodo que desarrollaremos cumplir´a con ´esto. Proponemos como soluci´on y (t) = cert . Entonces reemplazando en (11) nos queda   (12) cert r2 + P r + Q = 0 Excluimos el caso c = 0 (ya que buscamos soluciones no triviales). Entonces necesitamos calcular para que valores de r la ecuaci´on (12) tiene soluci´on, es decir , debemos calcular las ra´ıces de la ecuaci´on (que se denomina ecuaci´on caracter´ıstica asociada con (11) r2 + P r + Q = 0 las ra´ıces son r1,2 =

−P ±

√

P 2 − 4Q 2

consideraremos 3 casos. Caso i. Ra´ıces reales distintas. En este caso la soluci´on ser´a de la forma y (t) = c1 er1 (t) + c2 er2 (t) donde c1 , c2 son las constantes de integraci´on. Caso ii. Ra´ıces complejas. En este caso la soluci´on ser´a de la forma y (t) = e−P t/2 (c1 cos bt + c2 sen bt) Caso iii. Ra´ıces reales iguales. En este caso tenemos que r = −P/2. Es decir que y (t) = c1 e−P t/2 . Como la soluci´on general debe ser suma de dos funciones linealmente independientes, proponemos como soluci´on a y (t) = c2 test entonces y 0 (t) = c2 est (1 + st)

y

8

y 00 (t) = sc2 est (2 + st)

reemplzando en la ecuaci´on (11) nos queda 



c2 esr 2s + s2 t + P (1 + st) + Qt = 0 o 





c2 est 2s + P + t s2 + P s + Q

=0

como esta ecuaci´on debe valer cero para todo t esto significa (

2s + P = 0 s2 + P s + Q = 0

resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que s = −P/2 (Por ser las raices iguales tenemos que P = 4Q). Por lo tanto la soluci´on general a la ecuaci´on (11) es de la forma y(t) = c1 e−P t/2 + c2 te−P t/2 = e−P t/2 (c1 + c2 t) 1.4.2

Ecuaciones no–homog´ eneas

En la secci´on anterior vimos como podiamos calcular una soluci´on general de una ecuaci´on homog´enea. Como la soluci´on general de la ecuaci´on (10) es suma de la soluci´on general (yc (t))de la ecuaci´on homog´enea y una soluci´on particular (yp (t)) para la ecuaci´on (10). Solo nos resta calcular la soluci´on particular para la ecuaci´on no–homog´enea. El m´etodo consiste en proponer soluciones y verificar que cumplen con la ecuaci´on (10). Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 7 Resolver la ecuaci´ on diferencial y 00 (t) − 4y (t) = 3

(13)

Soluci´on. 1. Soluci´on complementaria. Resolvemos la ecuaci´on homog´enea y 00 (t) − 4y (t) = 0

(14)

proponemos como soluci´on y (t) = cert entonces y 00 (t) = cr2 ert reemplazando en la ecuaci´on (14) nos queda 



cert r2 − 4 = 0 9

es decir que las raices caracter´ısticas son r1 = 2 y r2 = −2. Por lo tanto estamos en el caso de ra´ıces reales distintas. Por lo tanto la soluci´on complementaria es yc (t) = c1 e2t + c2 e−2t 2. Soluci´on particular. Proponemos como soluci´on y (t) = A. Reemplazando en la ecuaci´on (13) tenemos que 4A = 3. Por lo tanto la soluci´on particular es yp (t) = 3/4 3. Soluci´on general. Es la suma de la soluci´on complementaria y la soluci´on particular 3 y (t) = yc (t) + yp (t) = c1 e2t + c2 e−2t + 4

2

Ecuaciones de diferencias

Las ecuaciones diferenciales (en problemas economicos) consideran la evoluci´on de las variables economicas sobre el tiempo (variable t) como una variable continua. Las ecuaciones de diferencias consideran la variable de tiempo, t, como una variable discreta. En este contexto una ecuaci´on de diferencia pude ser vista como un an´alogo a una ecuaci´on diferencial. Denotaremos por ∆yt (en lugar de ∆ (y (t)) )la primer diferencia de una funci´on y es decir ∆yt = yt+1 − yt y por ∆2 yt la deferencia segunda de y, es decir ∆2 yt = ∆yt+1 − ∆yt = yt+2 − 2yt+1 + yt En general la diferencia n − e´sima de una funci´on es ∆n yt = ∆n−1 yt+1 − ∆n−1 yt Una ecuaci´on en diferencias es una ecuaci´on que involucra una funci´on y sus diferencias. Resolver una ecuaci´on de diferencias (al igual que una ecuaci´on diferencial) es encontrar una funci´on que cumpla la ecuaci´on dada. Por ejemplo una soluci´on de la ecuaci´on de diferencia ∆yt = 2

o yt+1 − yt = 2 10

(15)

es yt = A + 2t, donde A es una constante (note que ´esta es la expresi´on m´as general que podemos escribir). Diremos que es la soluci´on general de esta ecuaci´on de diferneicas. yt = At + (t − 1) B es una soluci´on de la ecuaci´on de diferencias ∆2 yt = ∆yt

o yt+2 − yt+1 = yt+1 − yt .

(16)

Estas definiciones y ejemplos nos sugiere una similitud entre ecuaciones de diferencias y ecuaciones diferenciales (reemplazar ∆yt por y 0 (t)). Esta similitud es casi verdadera en general, solo hay que hacer algunos cambios. Analogamente a las ecuaciones diferenciales, las ecuacions de diferencias pueden ser lineales o no–lineales, homogeneas o no-homogeneas, de primer orden, segundo orden, etc. Por ejemplo la ecuaci´on (15) es de primer orden, lineal y no–homogenea. La ecuaci´on (16) es de segundo orden, lineal y homogenea. Nosotros estamos interesados en resolver ecuaciones de diferencias, presentaremos algunos ejemplos.

2.1

M´ etodo iterativo

Este m´etodo consiste en calcular los valores de la funci´on suponiendo que se conocen los primeros valores. Veamos algunos ejemplos Ejemplo 8 Resolver la ecuaci´ on de diferencias (15) Soluci´on. Esta ecuaci´on de diferencia se puede escribir como yt+1 = 2 + yt supongamos que y0 = A, entonces y1 = 2 + A y2 = 2 + y1 = 2 + 2 + A y as´ı siguiendo, esto nos lleva a proponer como soluci´on general a yt = 2t + A ya que no estamos seguro que esta sea la soluci´on, verificaremos que si lo es. Calculamos yt+1 = 2 (t + 1) + A 11

entonces yt+1 − yt = 2 (t + 1) + A − 2 − A = 2 Ejemplo 9 (Ecuaci´on de diferencias de primer orden, lineal, homog´enea). Resolver yt+1 + ayt = 0 (17) Soluci´on. Esta ecuaci´on se puede escribir como yt+1 = −ayt supongamos que y0 = A, entonces y1 = −aA y2 = −ay1 = −a (−aA) = a2 A y as´ı siguiendo, esto nos lleva a proponer como soluci´on general a yt = A (−a)t

(18)

verifiquemos que es soluci´on de la ecuaci´on de diferencias (17). Calculamos yt+1 = A (−a)t+1 entonces yt+1 − ayt = A (−a)t+1 − aA (−a)t = 0 Nota 1 (Diferencias que no son diferencias) Aqu´ı va una de las diferencias. La soluci´on general de una ecuaci´ on diferencial de primer orden lineal homog´enea toma la forma y (t) = Aert mientras que la soluci´on general de una ecuaci´ on de diferencias de primer orden lineal homog´enea es yt = A (−a)t Si miramos con un poco m´as de detalle vemos que ambas soluciones tienen forma exponencial una con base er y la otra con base (−a) . Es decir que las diferencias no son muy grandes(!).

12

2.2 2.2.1

Ecuaciones de diferencias lineales Ecuaciones de diferencias de primer orden lineales

Para resolver una ecuaci´on de diferencia de primer orden lineal yt+1 + ayt = b

(19)

Se procede como en las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, es decir que la soluci´on general de una ecuaci´on de diferencias consistir´a de la suma de la integral particular (denotada por yp,t , que es una soluci´on particular de la ecuaci´on de diferencias (19), tambi´en se la conoce como soluci´on particular) y la funci´on complementaria yc,t (que es una soluci´on general de la ecuaci´on de diferencias homogenea asociada a la ecuaci´on (19)). Veamos algunos ejemplos Ejemplo 10 Resolver la ecuaci´ on de diferencias (19) Soluci´on. 1. Funci´on complementaria. Ya que la soluci´on general de la ecuaci´on de diferencias homogenea asociada a (19) ya ha sido calculada, tenemos que yc,t = A (−a)t 2. Integral particular. Al igual que en las ecuaciones diferenciales proponemos alguna soluci´on particular y verificamos que es soluci´on. Para este caso proponemos como yt = B (es decir una constante), reemplazando en (19) tenemos que B + aB = b es decir que B (1 + a) = b consideraremos dos casos: Caso i. a 6= −1, entonces yp,t = 13

b 1+a

Caso ii. a = −1, entonces proponemos como soluci´on yt = Bt. Entonces reemplazando en (19) tenemos que B (t + 1) + aBt = b o equivalentemente B (t (1 + a) + 1) = b es decir que, la soluci´on particular es yp,t = bt 3. Soluci´on general. Tenemos dos casos: Caso i. a 6= −1. Entonces yt = yp,t + yc,t =

b + A (−a)t 1+a

Caso ii. a = −1. Entonces yt = yp,t + yc,t = bt + A (−a)t 2.2.2

Ecuaciones de diferencias lineales de segundo orden

Para resolver una ecuaci´on de diferencia lineal de segundo orden de la forma yt+2 + ayt+1 + byt = c se utiliza un procedimiento similar a ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ejemplo 11 Resolver la ecuaci´ on 1 1 yt+2 + yt+1 − yt = 5 2 2

(20)

Soluci´on. La soluci´on general de esta ecuaci´on de diferencias ser´a la suma de la soluci´on complementaria y de la soluci´on particular. 14

1. Soluci´on complementaria. Es la soluci´on general de la ecuaci´on de diferencia homogenea (21) asociada a la ecuac´on de diferencias (20) 1 1 yt+2 + yt+1 − yt = 0 2 2

(21)

Proponemos como soluci´on yt = Abt , reemplazando en (21) tenemos 1 1 Abt+2 + Abt+1 − Abt = 0 2 2 es decir que la ecuaci´on caracteristica es 1 1 b2 + b − = 0 2 2 cuyas raices son b1 = 1/2 y b2 = −1. Es decir que la soluci´on complementaria es  t 1 yc,t = A1 + A2 (−1)t 2 2. Soluci´on particular. Proponemos yt = B como soluci´on de la ecuaci´on de diferencias (20). Reemplazando 1 1 B+ B− B=5 2 2 es decir que B = 5. Por lo tanto la soluci´on particular es yp.t = 5 3. Soluci´on general. Tenemos que la soluci´on general es  t

yt = yc,t + yp.t = 5 + A1

3

1 2

+ A2 (−1)t

Observaciones

Aqui hemos desarrollado metodos para resolver algunas ecuaciones diferenciales y ecuaciones de diferencias. Recordando que hay ecuaciones algebraicas (x2 + 1 = 0) que no tienen soluciones, tambi´en podemos dar ejemplos 15





de ecuaciones diferenciales (y 0 (t))2 + (y (t))2 = −1 que no tienen soluci´on. 



Por supuesto que hay ecuaciones de diferencias (∆yt )2 + (yt )2 = −1 que no tienen soluci´on. Tambi´en hay ecuaciones que son resolubles pero no hay m´etodo (al menos hasta ahora) pero s´ı hay teoremas llamados de existencia que aseguran que bajo ciertas hipotesis una ecuaci´on diferencial tiene soluci´on. Por ultimo decimos que hay m´etodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales. Aqu´ı resolver significa dar una aproximaci´on a la soluci´on de la ecuaci´on diferencial.

16