1. Ejercicios 1. Ordena de menor a mayor los siguientes n´umeros racionales y repres´entalos en una recta num´erica:

9 ; 4

2 − ; 3

6 − ; 5

7 ; 3

−

7 4

2. Determina, sin hacer la divisi´on de numerador por denominador, cu´ales de los siguientes n´umeros racionales tienen una representaci´on decimal finita y cu´ales no. 37 19 57 270 28 521 , , , , , . 5 3 6 75 700 124 3. Realiza los siguientes c´alculos. a) 121212121252 − 121212121242 ,

c) (115115115 − 115115114)2 ,

b) 250000292 − 250000312 ,

d) (25299999 − 25300001)2 .

4. Escribe al menos 10 n´umeros racionales que est´en comprendidos entre: √ √ a) 0 y 1, b) 1/2 y 3/5, c) 2 y 5. 5. Indica si las siguientes afirmaciones son correctas o no, realizando los c´alculos correspondientes: √ √ a) ( 2 − 3)2 + ( 2 + 3)2 es un n´umero irracional. √ √ b) ( 2 − 3)2 · ( 2 + 3)2 es un n´umero entero. √ √ √ ¢¡ √ √ ¢ ¡ √ c) ( 3 9)2 − ( 3 8)2 = ( 3 9) − ( 3 8) ( 3 9) − ( 3 8) ¡√ ¢2 √ d) 3 7 + 5 = 3 49 + 25. 6. Encuentra el error en el siguiente razonamiento: √ p 12 = (−1)2 , entonces vale que 12 = (−1)2 . Simplificando, queda 1 = −1. 7. Calcula el valor absoluto de los siguientes n´umeros: 3,

−3,5,

4,32

0

− 0,4.

8. Determina la distancia entre los siguientes pares de n´umeros: a.)−3,5 y 3,

b.) 2 y 9,1,

c.) −3, 5 y −5,3, 1

d.) 0 y 0,5,

e.)0 y −3,4.

2

9. Resuelve sin utilizar calculadora: 2

a) 27 3 = 3

b) 49 2 =

e) 320,4 =

2

c) 8 3 = 1

d) (0, 125)− 3 =

3

f ) 32− 5 =

10. Resuelve, de modo que no queden ra´ıces cuadradas en el denominador: √ 6+2 a) √ = 6−2

b) √

4 = 5−3

√

c) √

2 = 2−3

11. Para cada uno de los siguientes n´umeros complejos calcula su conjugado y la suma, la resta y el producto del n´umero y su conjugado. a) 3 + i, √ b) 5 − πi,

d) −7i,

c) i,

f ) 0,

e) 8,

√ g) −i + 7, √ h) i − 7

12. Escribe algebraicamente los siguientes enunciados. a) El doble de un n´umero. b) La mitad de un n´umero. c) El opuesto de un n´umero. d) El inverso de un n´umero. e) La suma de dos n´umeros. f ) La suma de un n´umero y el opuesto de otro. g) La suma de un n´umero y su inverso. h) El producto de tres n´umeros. i) El producto del inverso de tres n´umeros. j) El inverso del producto de tres n´umeros. k) La suma del cuadrado de dos n´umeros. l) El cuadrado de la suma de dos n´umeros. m) La diferencia entre el cubo de un n´umero y su cuadrado. n) La diferencia entre el triplo de un n´umero y su doble. n˜ ) El valor absoluto del cubo de un n´umero. o) El cubo del valor absoluto de un n´umero.

1. EJERCICIOS

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13. Suponiendo que en todos los casos se trata de n´umeros enteros, describe algebraicamente los siguientes enunciados: a) La suma de dos n´umeros enteros consecutivos. b) El producto de tres n´umeros enteros consecutivos. c) Un n´umero par. d) Un m´ultiplo de 5. e) La suma de un n´umero par y uno impar. f ) La suma de dos pares consecutivos. g) La suma de dos impares consecutivos. h) El doble de un n´umero impar. 14. Describe algebraicamente las siguientes situaciones: a) El cuadrado de la suma de dos n´umeros es igual al cuadrado de uno, m´as el cuadrado del otro m´as el doble producto de ambos. b) El valor absoluto de un n´umero es igual al valor absoluto de su opuesto. c) La diferencia entre los cuadrados de dos n´umeros es igual al producto entre la diferencia y la suma de los mismos. d) En un tri´angulo rect´angulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. e) En todo tri´angulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos. 15. Identifica en los siguientes enunciados las variables, y describe algebraicamente la relaci´on entre ellas. a) El triple de un n´umero m´as el doble de otro es igual a 17. b) La raz´on entre el per´ımetro de una circunferencia y su di´ametro es π. c) El precio de un viaje en remis es de $2 m´as $1,50 por kil´ometro recorrido. 16. Despeja la inc´ognita que se muestra encerrada entre {} en cada una de las siguientes ecuaciones:

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nE R + nr Kgt2 x= 2u(1 + K) 2bx a= 1 + b(x − 1) I=

a.) {n} b.) {K} c.)

{x}

W (u2 − 2gL) gL s K 2 + h2 T = 2π gh √ 2ax = b2 − 4ac − b

d.) {L}

T =

e.) {K} f.)

{c}

17. Determina cu´ales de las siguientes ecuaciones son lineales y cu´ales no: a) x2 + x − 5y + 2 = 0, b) x2 + y 2 + 2xy = 10 c) x − y + z = 1 √ d) 3x − 2y = 4 √ e) 3x − 2y = 4 f ) x + 3zy − y = 0. 18. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales:

a)2x + 5 = 0, √ c) 2x + 3 = 1,

b)

3x − 2 = 4, 7

d)π +

√

3x = 2π,

c)

3x − 2 = 4. 7

3 1 2 e) y + = √ . 4 2 7

19. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, reemplazando el valor de x en la ecuaci´on: a) x = 3 es soluci´on de x2 − 3 = 6. √ √ √ b) x = 2 es soluci´on de x2 − 2 = 2. √ √ c) x = 2 + 1 es soluci´on de (x − 1) 2 = 2.

1. EJERCICIOS

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20. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Indica para cada uno de ellos si es compatible o incompatible. Si tiene soluci´on indica si es determinado o indeterminado.

a)

 2x + y

=1

3x + 2y = 4  x − 3 = 2y d) x =4+y

 4x + 1 y = 13 2 b) − 1 x − 3y = −7 3  2x + 3y − 9 = 0 e) 6y + 4x = 12

 x − 2y =5 c) 2x − 4y = 0  12x = y f) x = 12y

21. En dos vasijas hay la misma cantidad de agua. Si sac´aramos 15 litros de una de ellas y los ech´aramos en la otra, entonces e´ sta tendr´ıa triple n´umero de litros que la primera. ¿Cu´antos litros hab´ıa, al principio, en cada vasija? 22. Un grupo de personas va a un restaurante a cenar. Si se sientan tres personas en cada mesa quedan dos personas sin mesa. Si se sientan cuatro personas en cada mesa, queda una mesa vac´ıa. ¿Cu´antas personas y cu´antas mesas hay? 23. En una granja hay varios conejos y varias jaulas, de forma que si se coloca un conejo en cada jaula, queda un conejo sin jaula y si se colocan dos conejos en cada jaula, queda una jaula vac´ıa. Cu´antos conejos y cu´antas jaulas hay? 24. La suma de dos n´umeros es 123 y uno es el doble del otro. ¿De qu´e n´umeros se trata? 25. Juan dice que en su aula son 37 compa˜neros, y que hay el doble de varones que mujeres. ¿Es posible? 26. En un bolso hay 40 monedas, todas de 25 y 50 centavos. Si en total hay $16,50, ¿cu´antas monedas de cada valor hay? 27. Cada una de las siguientes expresiones corresponde a una ecuaci´on de segundo grado. Para cada una de ellas, a) calcula el discriminante ∆, b) determina si tiene 2 ra´ıces reales distintas, una u´ nica ra´ız doble o dos ra´ıces complejas,

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c) calcula las ra´ıces x1 y x2 , y escribe cada ecuaci´on de la forma a (x − x1 ) (x − x2 ). a) x2 − 5x − 5 = 0 b) x2 + x − 1 = 0

h) 9x2 − 8x + 1 = 0 ¡ ¢2 i) 52 − 2x + (x − 12 )2 = x2

c) 4x2 + 4 = 5x

j) 2x2 = (x + 2)2

d) 32x2 − 20x + 3 = 0

k) 2x2 + 3x = 7x + 4

e) x2 − 28x + 192 = 0

l) 5 + x(x − 7) = 9

f ) x2 + 7x − 9 = 0

m) 6 + 10x − x2 = 0

g) 3x2 − 5x + 2 = 0

n) x(x − 2) = 15

28. Escribe una ecuaci´on de segundo grado de la forma 2x2 + bx + c = 0 sabiendo que la suma de sus ra´ıces es 2 y su producto tambi´en. Calcula dichas ra´ıces. 29. Escribe 3 o m´as ecuaciones de segundo grado cuyas ra´ıces sean de igual valor absoluto √ √ pero de distinto signo, (por ejemplo, 2 y − 2). ¿Qu´e forma tienen estas ecuaciones? 30. Una ecuaci´on de segundo grado con coeficientes reales tiene una ra´ız igual a 2 + 3i. ¿Cu´al es la otra ra´ız? 31. Resuelve las siguientes ecuaciones completando cuadrados. Verifica la respuesta. a) x2 + 4x − 4 = 0

b) x2 − 8x − 20 = 0

32. La suma de las ra´ıces de una ecuaci´on de segundo grado es −1 y su producto es −6. Si el polinomio es de la forma x2 + bx + c, encuentra el valor de b y c. 33. Si un polinomio P (x) es de la forma P (x) = 4x2 − 4x + k, cu´anto vale k si sabemos que P tiene dos ra´ıces iguales? 34. A partir del c´alculo del discriminante, determina la naturaleza de las ra´ıces de las siguientes ecuaciones: a) 2x2 − 3x + 4 = 0

d) 3x2 + 2x + 1 = 0

b) p2 − 3p + 4 = 0

e) 9x2 − 12x + 4 = 0

c) x2 + 2px + p2 = 0

f ) x4 − 1 = 0