Análisis Derivadas 1

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1. Dada la siguiente función, calcular, por la definición, la derivada que se indica: 2. f(x) x2-3x+2 ; f ´(1)

1. f(x) = x+5 ; f ´(2) 5. f(x) =

3. f(x) = sen 2x ; f ´(0)

x , x -3, por f(x) = 2x+6 que está más próximo al origen de coordenadas. (2) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en P. 76. Desde la tierra, que suponemos situada en el origen de coordenadas del plano, se observa un objeto que sigue una trayectoria de exuación xy = 16 (donde las distancias se miden en años-luz). ¿Cuáles son las coordenadas del punto de la trayectoria cuya distancia a la tierra es mínima y cuánto vale dicha distancia? 77. Dos partículas A y B se mueven en el plano XOY. En cada instante de tiempo t las posiciones de las partículas son, 3 1 (1-t) y B(2-t,0). Determinar el instante t0 en el que las partículas están más respectivamente, A (t-1) , 2 2 próximas entre sí y a qué distancia se hallan una de otra en ese instante. 1 + Ln(x) (donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x), determinar x cuál de las rectas tangentes a la gráfica de f tiene la máxima pendiente.

78. Dada la función f:[1,e]→ℜ definida por f(x) =

Soluciones 1.1. 1

1.2. -1 2x

2.7.

2

x +1

2.15.

2.8.

1 - x·ln x xex

1.3. 2 6x

2x(1 - 2x)

2.9.

2

x +1

1.5. No 1

x ln x

2.16. 2x·cos x +2

2.29.

-2(x+1) 2

sen (x+1) 1

2(x+1) x

29 de enero de 2006

2

2.17.

2.23.

2.30.

1.6. 0

2.1. 2x+2

2.10. 2x·lnx(lnx+1)

2

2

3·sen2x·sen3x 2.22. 1

1.4. -3

cos x 2 sen x

-sen ln 2x x

2.2. 2(x-1)(3x-1)

2.11.

2.3.

(x+2)ln(x+2)-(x+1)ln(x+1) 2

(x+1)(x+2)ln (x+2) -2·cos

2.18. 3·sen 6x

2.24. -

tg x 2

-3 (x-2)2

2.19.

x x-2

(x-2)2

x

2.4.

2.12.

e2

2.20.

2

x +1 x

x

2.5. 3x x2+1

2.13. 22x·2ln 2

2x·cos x - sen x 2x x

2.25. (cos 2x - 2x·sen 2x)2x·cos 2x·ln 2 2.26.

2ln x·ln 2 2 ln x

x·cos 2

2.6.

2 3

3 (2x+1)2

2.14.

22x+1 ·ln 2

2.21. 2·cos2x·cos3x 2.27.

ex 1-e2x

2.28.

ln(x+1) lnx -1 + (x+1)ln x 3.1. 0 3.2. 4e2x 3.3. 5.1. ℜ - {-2} 5.2. ℜ - {k/k∈Z} 5.3. ℜ - {1} 6. (1) ℜ. x x+1 x2

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Análisis Derivadas 1

MasMates.com Colecciones de ejercicios x -2x-1 , x < -1 ; (3) ℜ. h´(x) = 2x+1 , x > -1

f ´(x) = -1 ; (2) ℜ. g´(x) =

-2x , x < 0 2x , x ≥ 0

3+x2 x 1 + 2 2 x

7. ℜ - {1} ; f´(x) =

Y

- 1 si 0 < x < 1 si

X

8. 3 ;

x>1

Y

; ℜ - {2,5}

13.2. -

9. (1) a = 3 ; (2) a = 3, b = -3

y2

14. x - ey = 0

2

3y -2xy-1

; D: (-∞,10). R: [0,+∞) ; No, 0

X

Tangente: x + 2y - 3 = 0 Normal: 2x - y - 1 = 0

15.

Tangente: 4x - 2y - 1 = 0 Normal: x + 2y + 1 = 0

16.

7 ; 1 ; -4 2

11. -

17. 0º

18. (0,0) ,

12. 1 ; 1

3 2

3,-

13.1. -

, - 3,

x y

3 2

7 7 2 4 1 1 1 - x +x ; g(x) = 2-x3 22.1. 22.2. 2 22.3. 22.4. 2 22.5. +∞ 22.6. 2 22.7. 2 2 6 2 2 1 -1 1 creciente en (-1,1) mínimo en x = -1 22.8. 23. , 1 24. (1) Máximo en x = 1. Mínimo en x = (2) 0 25. h(a) = 3 26. 27. 8 , decreciente en (-∞,-1)∪(1,+∞) máximo en x = 1 2 2 2 1 , 2 , 30 ; (2) -14 28. f(x) = x2 - 6x + 4 29. -2 , 3 , -1 30. (1) 1 hora, el 31 de diciembre de 1995. (2) el 31 de marzo de 1996. 31. (1) 5 19. y = 2x+1

20. R 0 ,

9 , Q(-4,5) 5

10. 0 ;

21. f(x) =

B(p) = -130.000.000p2 + 166.500.000p - 40.750.000 Máximo: 0´64€

máximo (35º) a las 5 de la tarde y el mínimo (25.2º) a la 12 de la noche. 32.

1 e

(2) 1 ,

; (3) y = 0

34. creciente en (0,e)

Y

7 5 3 1

35.

33. (1) en el 0 ;

Máximo (0,8). Mínimos en -2 2,0 y 2 2,0

; X

;

(-2,4) 2+2 6 , 20+8 6 2-2 6 , 20-8 6

36. f(x) =

-5 -3 -1 1 3 5 7 Y

7 3 ,2 4

x3-3x2+4 ; (2,0) ; (1,2) 37. -6 , -4 , 2 38. -3 39. 1 , 3 40. -3 41.

(-∞,0) ; convexa en (1,+∞)

46. 8 ; 2 ; -3

3

; 1

X

-1

1 2 3 4 5 6 7 8

47. 10x - 9y - 32 = 0 ; Corta al eje OX en

16 ,0 5

42. 1 , 6 , 2 43. la C 45. creciente en

; Corta a la asíntota x = 1 en el punto 1 , -

Y

48. 2 49. (1)

Y

3

8

(2) Disminución 50. (1) x = 0 ; y = x (2) creciente en -∞,-1 ∪ 1,+∞

5 2

(3)

1

51. (1)

X

-3 -1 1 2 3 4 5 -2

X

22 9

x=0 y = 4x+3

-1 1 3 5 7 9 12 Y

10

Máximo: x = -1 ; (3) Mínimo: x = 1

; (2)

-10

52. -

10

3 Y

3

3 ; 2

53.

2 1 -1

3

Y

2

2

1 2 3 4 5

54.4.

X

1 2

-2 -1

Y

2

54.10.

X

-2 -1

2 Y 1

54.15. -4 -3 -2 -1

1 -1

X

1 2 3 4 5 6

54.20.

Y

2 X

54.7.

1 2

1 -4 -3 -2 -1

X

X

54.8.

1

-2 -1

1 2 3

2 Y

1

54.12.

X

X

1

54.13. -3 -2 -1

1 2 3

3 Y

-2 -1

2

2

X

54.17. 1

54.18.

-1

54.14.

X

54.19.

1 2 3 4

Y

1

X

1 2

X

1 -2

-2 Y

-2

-1

1 2 3 4

-2

Y

2 1

X

1 2 3

2 Y

1

54.16.

-2 3

3 Y 2 1

2

1 2

54.2.

1

Y

-2

X

2

54.1.

-2

-3 -2 -1

1 2 3

Y

Y

-3 -2 -1

54.11.

1

X

X

1 2 3

Y

-1 1

54.6.

Y

3

54.9.

X

-2

-2

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13

2 Y

1

-2 -1

X

1 2 3

Y

1

54.3.

1

Y

1 -1 -2

X

-10

3

55. 9 y 9.

56. 5 y 5.

57. un triángulo equilátero de 10 cm. de lado

58. Base 4 cm. y altura

X

1 2 3 4

-2

60. un cuadrado de 50 m. de lado. 61. Un cuadrado de 25 m. de lado. Área = 625 m2. 62. Base: 94 cm., altura: 59 cm a 3 de la base 66. 63. un cuadrado de 1 cm. de lado 64. Para el círculo 44 cm. y para el cuadrado 56 cm 65. a una distancia 3 2´5 cm.

59. 8x13´33 cm.

29 de enero de 2006

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Análisis Derivadas 1

MasMates.com Colecciones de ejercicios Máximo beneficio con 95 pasajeros. Mínimo beneficio con 80 pasajeros. Radio de la base y altura:

67. 0´12€

68. a 4 km. del puesto.

225 (≈ 8´46) cm. π

69. 42 cm

73. En dos trozos iguales. 225 (≈ 1904´14) cm3 π Puntos: P(4,4) y Q(-4-4) 3 1 1 77. t0 = . Distancia: 78. y = x + ln2 Distancia: 4 2 2 2 4

dm.

72.

70. 6 dm de lado de la base y 3 dm. de altura.

74. Base 2 y altura 0´5.

71. 2´73

75. P 1, 6 ; x - 2y + 3 = 0

76.

Volumen: 225

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