1

Interpolaci´ on 1. Hallar el n´ umero de operaciones en la evaluaci´on de un polinomio pn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn por el m´etodo est´andar y el de Horner. 2. Hallar el polinomio de interpolaci´on de Lagrange y de Newton en los datos (−2, 0), (0, 1) y (1, −1). Escribirlos en la forma a0 + a1 x + a2 x2 para verificar que son id´enticos. 3. El polinomio p3 (x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1) interpola a los primeros cuatro datos de la tabla xi f (xi )

−1 2

0 1 2 1 2 −7

3 10

A˜ nadir un t´ermino m´as a p3 (x) de manera que el polinomio resultante interpola a la tabla entera. 4. Encontrar las f´ormulas de Lagrange y de Newton del polinomio de interpolaci´on para los siguientes datos: −2 0

xi f (xi )

0 1 1 −1

Escribir ambos en la forma a0 + a1 x + a2 x2 para ver que son id´enticos. 5. Halla el polinomio de interpolaci´on para los siguientes datos: f (0) = 0

f 0 (0) = 0

f (1) = 1

f 0 (1) = 0

6. Demostrar que en el problema de interpolaci´on de Lagrange se verifican las siguientes propiedades: a) Los polinomios de la base de Lagrange verifican n X k=0

1

Ln k (x) = 1.

b) Si pn (x) es el polinomio de interpolaci´on de f (x) en los puntos x0 , x1 , . . . , xn (distintos), entonces, el error puede escribirse como: En (x) = f (x) − pn (x) =

n X

(f (x) − f (xk )) Ln k (x).

k=0

7. Hallar el polinomio de interpolaci´on de grado ≤ 2 a la funci´on f (x) = cos(x) en los puntos x = 0, 1/2, 1. Calcular el error de interpolaci´on y dar una cota del error cometido en x = 3/4. 8. Sea la tabla de datos xi f (xi )

0 1.0000

0.2 1.2214028

0.4 1.4918247

0.6 1.8221188

correspondientes a la funci´on f (x) = ex . a) Para la interpolaci´on lineal en x = 1/3 que intervalo tomar´ıas. Da una cota del error absoluto y compara con el resultado exacto. b) Calcula el polinomio de interpolaci´on de grado ≤ 3, dando una cota del error cometido y comparando con el resultado exacto. c) Aproxima el valor de exp4/5 con el polinomio de interpolaci´on c´ ubico hallando el error. Razona a que es debido que el error anterior sea tan grande comparado con el obtenido en b). 9. Calcular el polinomio de grado ≤ 4 que interpola a f (x) = cos(x) en los nodos 0, 1, 2, 3 y 4. 10. Hallar el valor de la siguientes sumas: a) 1 + 2 + · · · + n b) 12 + 22 + · · · + n2 c) 13 + 23 + · · · + n3 11. Hallar el siguiente valor en las sucesiones a) 7, 18, 29, 40, 51, 62, . . . b) 13, 1, 49, 40, 76, 70, 94, 91, . . . 2

2

Ecuaciones no lineales 1. Demostrar que la funci´on f (x) =

x2 − 1 tiene una u ´nica ra´ız en R. ex

2. Considerar la ecuaci´on no lineal f (x) = e2x + 3x + 2. Probar que f (x) tiene una u ´nica ra´ız en R. Determinar un intervalo en el que se encuentre y aplicar 3 iteraciones del m´etodo de bisecci´on. 3. Demostrar que los polinomios de la forma xn + x + 1 no tienen ninguna ra´ız real si n es par, y tienen exactamente uno si n es impar. 4. Se quiere calcular una ra´ız de la ecuaci´on f (x) = x3 + 2x − 1 = 0 en el intervalo [1/4, 1/2]. • Estudia la existencia y unicidad de la misma en dicho intervalo. • Aplica cinco iteraciones del m´etodo de bisecci´on. Calcula una cota sobre el error cometido. Halla el n´ umero de iteraciones necesarias para que el error absoluto sea menor que 10−4 , 10−6 , 10−8 y 10−10 . 5. Repetir el ejercicio anterior para la funci´on f (x) = x3 + 5ex + 3 = 0 en el intervalo [−2, −1]. 6. En Astronom´ıa se conoce como ecuaci´on de Kepler a la siguiente expresi´on m = x − e sen(x), 0 < e < 1, Demostrar que para cada m ∈ (0, π) existe un u ´nico x que satisface dicha ecuaci´on. 7. El m´etodo de Newton para resolver cierta ecuaci´on f (x) = 0 viene dado por   x0 arbitrario x2n , n ≥ 0. x =  n+1 2 xn − 1 Determinar la funci´on f (x). 8. Utilizando el m´etodo de Newton para resolver la ecuaci´on x2 = a, con a > 0, deducir el algoritmo siguiente para calcular la ra´ız cuadrada de a:   x0 arbitrario 6= 0 a 1  xn+1 = (xn + ), n ≥ 0. 2 xn 3

9. Demostrar que el m´etodo de Newton para calcular una ra´ız de multiplicidad k de un polinomio p(x) tiene convergencia lineal. Sin embargo, si se modifica el m´etodo de Newton de la forma   x0 arbitrario p(xn ) , n ≥ 0.  xn+1 = xn − k 0 p (xn ) vuelve a tener convergencia cuadr´atica. 10. Demostrar que la funci´on h(x) =

f (x) tiene los mismos ceros que f (x), f 0 (x)

pero simples. 11. Considerar la funci´on f (x) = 1/x − a. Aplicar el m´etodo de Newton, viendo que no es preciso realizar ninguna divisi´on. Hallar la relaci´on entre el error en+1 = xn+1 − 1/a y en . 12. Una persona pide un cr´edito de 10000 = ⊂ a 15 a˜ nos pagando una mensualidad de 80 e. Hallar el tipo de inter´es. 13. El crecimiento de una poblaci´on de bacterias, en funci´on del tiempo t, est´a dado por p(t) = 100 e0.1t − 0.005t Determinar el instante en el que la poblaci´on sea de 500. 14. Determinar las ecuaciones reales para la iteraci´on zk+1 = zk2 + 2, siendo z complejo. 15. Aplicar el m´etodo de Newton a la funci´on f (x) = xe−x partiendo de x0 = 0.5 y de x0 = 2. 16. Aplicar el m´etodo de Newton al polinomio p(x) = x3 −x−3 con x0 = 0. ¿Que es lo que ocurre?.

3

Integraci´ on 1. Demostrar que la funci´on f (x) = x es integrable en [0, b]. 2. Demostrar que la funci´on definida es [0, 1] por  1 si x ∈ I f (x) = 0 si x ∈ Q 4

no es integrable, donde I es el conjunto de los numeros irracionales y Q el de los racionales. 3. Calcular las siguientes primitivas Z q Z Z √ log x x x dx dx (2x + 1)n dx x Z Z Z √ x dx x + 2 dx tan x dx x2 + 4 Z e

x2 dx x3 + 5

Z Z

5x

(4 − x2/3 )3 dx

Z dx

1 dx 3x − 7

Z

x dx +5

2x2

Z

Z x+1 2 dx (x + 2)ex +4x−5 dx 2 x + 2x + 3 Z √ Z 3 x x + 5x2 − 4 4/3 ( − 3x + 1) dx dx x x2

Z

Z

3

Z

x arctag(x) dx x log x dx arcsen(x) dx Z Z Z x 2 x x e dx x e dx x cos x dx Z Z Z 2 2 x cos x dx (3x − 4x − 1) cos x dx ex cos x dx

x4 dx (1 − x)3

Z 1 x dx dx 2 2 x(x + 1)(x − 4) x − 3x − 4 Z Z Z 3x + 5 1 1 dx dx dx x3 − x2 − x + 1 (x2 + 1)(x + 1) x3 + x Z

Z

4. Calcular las siguientes primitivas aplicando la regla de Barrow: √

Z

3

1

Z

π/2

−π/2

√

1 dx 1 + x2

Z

π/2

0

cos x − cos3 x dx

Z π/2 1 cos x dx dx 3 1 + cos x + sen x π/6 sen x Z √3 Z −1 1 1 dx dx 2 3/2 3 (1 + x ) −2 (11 + 5x) 1

5

5. Calcular las siguientes integrales 2

Z

 f (x) dx, con f (x) =

0

x2 x ∈ [0, 1] x x ∈ [1, 2]

2

Z

|1 − x| dx 0 b

Z

x dx |x|

a

100π

Z

p 1 − cos(2x) dx

0 0

6. Hallar F (x) en los casos siguientes Z 1√ Z 0 Z x 1 1 dt, F (x) = 1 − t2 dt, F (x) = dt F (x) = x cos x 2 + t 1 t 7. Hallar Z xla aproximaci´on lineal y la cuadr´atica de la funci´on f (x) = 10 dt en el origen. 2+ 0 1+t 8. Hallar la longitud de los siguientes arcos de curva √ f (x) = x3 , en [0, 4] f (x) = x2 , en [0, 3] f (t) = (t − sen t, 1 − cos t), en [0, 4π]

4

Integral doble 1. Evaluar las siguientes integrales iteradas: Z

2

x2

Z

(8x − 10y + 2) dy dx, sol: 208/3 −x2

1

Z

π

3y

Z

cos(2x + y) dx dy, 0

Z

2

y

Z

1

Z

1 2π

Z

y dx dy, x

sol: − 3/4 + log 4

x

(cos x − sen y) dy dx, π

sol: − 4/21

y

0

6

sol: 2 − π

2. En los siguientes problemas, dibujar la regi´on de integraci´on de la integral iterada

2x+1

2

Z

4

1 Z √

Z

f (x, y) dy dx,

(a) 0

Z (b) 1

3

Z (c)

f (x, y) dy dx, −1

y

√ − y

Z f (x, y) dx dy,

Z √16−y2

2

0 x2 +1

Z

(d)

f (x, y) dy dx −1

−x2

3. En los siguientes problemas eval´ ua la integral doble en la regi´on R limitada por las gr´aficas de las ecuaciones indicadas. Elegir el orden de integraci´on m´as conveniente: ZZ

x3 y 2 dA,

y = x, y = 0, x = 1,

sol: 1/21

R

ZZ

(2x + 4y + 1) dA, y = x2 , y = x3

sol: 25/84

R

ZZ 2xy dA,

y = x3 , y = 8, x = 0,

y dA, 1 + xy

y = 0, y = 1, x = 0, x = 1, sol: log 4 − 1

sol: 96

R

ZZ R

4. En los siguientes problemas eval´ ua indicada

RR R

(x + y) dA, donde R es la regi´on

y 4

y 4

3

3

2

2 R

1

1 1

2

3

4 x

sol: 40

1

2 sol: 48

7

3

4 x

5. En los siguientes problemas aplicar una integral doble para determinar el a´rea de la regi´on R limitada por las gr´aficas de las ecuaciones indicadas (a) y = −x, y = 2x − x2

sol: 9/2

(b) y = ex , y = log x, x = −1, x = 4

sol: e4 − e + 3 − 4 log 4

(c) y = −2x + 3, y = x3 , x = −2

sol: 63/4

6. En los siguientes problemas invierte el orden de integraci´on 2

Z

Z

y2

f (x, y) dx dy,

(a) 3

Z

Z

(c)

3

Z

f (x, y) dx dy 0

√

Z

f (x, y) dy dx x

sol:

1 1

Z

e3

Z f (x, y) dy dx,

(b) 0

√

0 ex

2

Z

sol:

0

0

4

Z

x

log y 1

Z

Z

3−y

f (x, y) dy dx, sol: 0

0

f (x, y) dx dy 0

y2

7. Halla el valor de las siguientes integrales dobles siendo R la regi´on indicado por la ecuaciones dadas ZZ (a) xy dA, y = x2 , y = 1, sol: 0 R

ZZ

(x2 + 2y) dA, y = x2 , y =

(b)

√

x

sol:

R

ZZ

sen(y 3 ) dA,

(c)

y=

R

8

√

x, y = 2, x = 0, sol:

27 70 1 − cos 8 3

8. Evaluar

RR R

x2 y 2 dA, donde R es la regi´on indicada en la figura: y 4 3 2 1 1

3 x

2

sol: 160/9

9. En los siguientes problemas determinar el volumen del s´olido limitado por las gr´aficas de las ecuaciones indicadas (a) 2x + y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante,

sol: 18

(b)

x2 + y 2 = 4, x − y + 2z = 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

sol: 2π

(c)

z = 1 + x2 + y 2 , 3x + y = 3, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

sol: 4

(d) z = 4 − y 2 , x2 + y 2 = 2x, z = 0,

sol: 15π/4

(e) El tetraedro acotado por los planos coordenados y z = 6 − 2x − 3y,

sol: 6

(f ) El s´olido del primer octante limitado por 9x2 + 4y 2 = 36 sol: 10 y 3x + 4y − 6z = 0 (g) El s´olido del primer octante acotado por la superficie del cilindro y = x2 y los planos x = 0, z = 0, y + z = 1 10. Hallar el volumen bajo la superficie de Gaud´ı z = 2+ en el dominio [0, 6] × [0, π/2]. Sol: 6π

9

sol: 10

1 (x−3) sen(10y) 10

11. Si f1 (x, y) ≥ f2 (x, y) para todo (x, y) de una regi´on R, entonces el volumen del s´olido entre las dos superficies y sobre R es ZZ V = (f1 (x, y) − f2 (x, y)) dA. En los problemas siguientes aplica este resultado para evaluar el volumen comprendido entre las gr´aficas de las ecuaciones indicadas (a) x + 2y + z = 4, z = x + y, x ≥ 0, y ≥ 0

sol: 16/9

(b) z = x2 , z = −x + 2, x ≥ 0, y ≥ 0, y = 5, sol: 35/6 12. Eval´ ua las siguientes integrales iteradas Z

π/2

Z

cos θ

(a) Z0 π Z (b) 0

r2 sen θ dr dθ sol: 1/12

0 sen θ

r2 dr dθ

sol: 4/9

0

13. En los siguientes problemas, calcula el ´area de la regi´on R dada, haciendo primero un dibujo de la regi´on. √ (a) La regi´on interior a la circunferencia r = 4 cos θ sol: 2 3 + 4π/3 y exterior al c´ırculo r = 2 (b) R es un p´etalo de la rosa de cuatro hojas r = 2 sen 2θ

sol: πa2 /8

(b) r = 3 + 3 sen θ

sol: 27π/3

14. En los siguientes problemas, eval´ ua las integrales utilizando coorde-

10

nadas polares. Dibuja primero la regi´on de integraci´on ZZ 2 2 (a) ex +y dA en x2 + y 2 ≤ 4 Z

R √ 1Z 1−x2

(b) 0

Z

1

0

x2 dy dx

x 3

−3

√

Z

1

p x2 + y 2 dy dx

(f ) 0

1

sol: 9π

0

Z √1−y2 0

0

sol: 1/12

9−x2

(e) Z

dy dx

1

Z

(d) Z


−1/2

0

(c) Z

4 − x2 − y 2

sol: π(e4 − 1) √ π(2 − 3) sol: 2

√

Z √

4−x2

1−x2

ex

2 +y 2

dx dy

sol:

x2 dy dx + x2 + y 2

11

Z 1

2

√

Z 0

4−x2

π(e − 1) 4

x2 dy dx sol: 3π/8 x2 + y 2

15. En los siguientes problemas localiza el centro de masas de la l´amina que tiene la forma y la densidad indicadas   8 (a) x = 0, x = 4, y = 0, y = 3, ρ(x, y) = xy sol: ,2 3   3 (b) y = x, x + y = 6, y = 0, ρ(x, y) = 2y sol: 3, 2   17 55 2 , (c) y = x , x = 1, y = 0, ρ(x, y) = x + y sol: 21 147   4 3e + 1 16(e5 − 1) x 3 , (d) y = e , x = 0, x = 1, y = 0, ρ(x, y) = y sol: 4(e4 − 1) 25(e4 − 1) 16. Halla el centro de masas de la regi´on limitada por y = 1 − x2 , y = 0 y cuya densidad es proporcional a la distancia al eje de abscisas. sol: (0, 4/7) 17. Halla el centro de masas de la regi´on limitada por y = 1 − x2 , y = 0 y cuya densidad es proporcional a la distancia al eje de ordenadas. sol: (0, 1/3) 18. En los siguientes problemas, encuentra los momentos de inercia Ix , Iy , Iz para la l´amina limitada por las curvas dadas y con densidad ρ(x, y) = x + y √ sol: (269.036, 5194.13, 5463.16) (a) y = x, x = 9, y = 0, (b) Cuadrado de v´ertices

sol:

(0, 0), (a, 0), (0, a), (a, a)

5a5 (1, 1, 2) 12

19. En los siguientes problemas eval´ ua el momento de inercia indicado en la l´amina que tiene la forma y la densidad dadas: (a) r = a, ρ(r, θ) = k, Ix , sol: πa4 k/4 (b) El exterior de r = a y el interior de r = 2a cos θ, y la densidad en un punto P es inversamente proporcional al cubo de la distancia ka √ al origen. Iy , sol: (15 3 − 4π) 12 20. Halla el a´rea limitada por las curvas x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y = x, 3 3π y = 0. sol: + 2 4 12

RR 21. Calcula D x2 + y 2 dx dy, siendo D el dominio limitado por la circunferencia x2 + y 2 = 2ax. sol: 3πa4 /2 22. Calcular el volumen limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 y el plano z = 2 + 2x + 2y. sol: 8π 23. Calcular el volumen del s´olido limitado por el cono 2(x2 + y 2 ) = z 2 y √ 4 el hiperbolide x2 + y 2 − z 2 = −a2 . sol: πa3 ( 2 − 1) 3 24. En los siguientes problemas determina el volumen del s´olido limitado por las gr´aficas de las ecuaciones indicadas: 25π (a) Un p´etalo de r = 5 cos 3θ, z = 0, z = 4. sol: 3 p 2 2 2 2 (b) Entre x + y = 1, x + y = 9, z = 16 − x2 − y 2 , z = 0. sol: 2π 3/2 (15 − 73/2 ) 3 5 (c) r = 1 + cos θ, z = y, z = 0 en el primer octante. sol: 4

13