Hoja de Problemas nº1 – Algebra 1

1. Hallar un número cuadrado perfecto de cinco cifras sabiendo que el producto de esas cinco cifras es 1568. Solución: n2 = x1 · 104 + x2 · 103 + x3 · 102 + x4 · 10 + x5

Sea sea

n = a · 102 + b · 10 + c

el número que buscamos y

la raíz cuadrada del número que buscamos.

Entonces debe ocurrir que: x1 · 104 + x2 · 103 + x3 · 102 + x4 · 10 + x5 = = a2 · 104 + 2ab103 + (b2 + 2ac) · 102 + 2bc10 + c2 Por otro lado sabemos que 1568 = 72 · 25 , entonces se tiene que n2 debe estar formado por las siguientes posibles cifras: 1) 7, 7, 8, 4, 1 2) 7, 7, 8, 2, 2 3) 7, 7, 4, 4, 2 La opción 2) no es posible porque un cuadrado no puede tener nunca como cifra de las unidades un 7, un 8 o un 2. Por otro lado la opción 3) tampoco puede ser, pues la suma de sus cifras es 24, que es dursible por 3, pero no por 9, por lo tanto no pueden formar un cuadrado perfecto. Por lo tanto las cifras de n2 deben ser 7, 7, 8, 4, 1 y bajo estas condiciones se tiene que x5 debe ser 1 o 4 y x4 debe ser par. Entonces se tiene que los posibles valores de n2 son: 17784 71784 77184

77841 78741 87741

74781 77481 47781

Pero de todos ellos el único que es un cuadrado perfecto es: 77841 = (279)2 Entonces: N2 = 77841

2. Encontrar un número “abcd” de 4 cifras en base 12, tal que es cuadrado perfecto y además los números “ab” y “cd” son consecuentes en base 12. Solución: Como bien nos dice el problema, se tiene que

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ab + 1 = cd,

y por otro lado1000012) ≤ abcd < 10000012) ⇒ Pasando la desigualdad a base 10, se tiene que

1728 ≤ n2 < 20738

donde denotamos por n2 el número abcd pero en base 10. Entonces tenemos que 42 ≤ n < 144 Por otro lado tenemos que

abab = abcd – 1 ⇒

⇒ a · 123 + b · 122 + a · 12 + b = 145(12ª + b) = n2 – 1 ⇒ ⇒ 29 · 5 · (12ª + b) = (n – 1)(n + 1). Por lo tanto (n – 1) o (n + 1) deben ser múltiplos de 29 y como 42 ≤ n < 144, entonces: • Si n – 1 es múltiplo de 29, y como (n – 1)(n + 1) debe ser múltiplo de 5 entonces n = 59 ⇒ n2 = 3481 = 202112) que verifica las condiciones. • Si n + 1 es múltiplo de 29 y como (n – 1)(n + 1) debe ser múltiplo de 5 entonces n = 86 ⇒ n2 = 7396 = 434412) que verifica las condiciones del problema. Por lo tanto hay dos soluciones posibles para este problema: n1 = 202112)

y

n2 = 434412)

3. En un sistema de numeración cuya base se desconoce, dos números se escriben 302 y 402. El producto de ambos números es 75583 en el sistema de numeración de base 9. Hallar la base desconocida.

Solución: Tenemos que: 302n) · 402n) = 755839) Entonces pasándolo a base diez se tiene que: (3 · n2 + 2)(4 · n2 + 2) = 7 · 94 + 5 · 93 + 5 · 92 + 8 · 9 + 3 ⇒ ⇒ (3n2 + 2)(4n2 + 2) = 50052 ⇒ ⇒12n4 + 6n2 + 8n2 + 4 = 50052 ⇒ 12n4 + 14n2 – 50048 = 0 ⇒ ⇒ 6n4 + 7n2 – 25024 = 0, haciendo n2 = m tenemos:

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6m2 + 7m – 25024 = 0 ⇒ m =

− 7 ± 49 + 600576 = 12

64 =

− 7 ± 775 = 12

)

-65´1 6

lo rechazamos

⇒ n2 = 64 ⇒ n1 = 8 o n2 = -8 que lo rechazamos ⇒ la soluciónes n1 = 8 4. Demuestre que para todo número natural n, n ≥ 1, se tiene: 1 2 n ( −1) m +1 ∑ =∑ m k =n +1 k m =1 2n

Solución: 2n  1 2 n (−1) m +1  Sea Α = n ∈ ΙΝ / ∑ = ∑  m  k = n +1 k m =1 

ι) ¿1∈Α? 2

∑k = 2 1

1

k=2

⇒ 1∈Α

( −1) m m =1 2

∑

m +1

=

(−1) ( −1) 1 1 + =1 − = 1 2 2 2 2

3

ιι) Supongamos cierto que n∈Α, es decir:

1 2 n ( −1) m +1 . ∑ =∑ m k =n +1 k m =1 2n

1 2 n +2 (−1) m +1 ? ∑ =∑ m k =n + 2 k m =1 2 n +2

Veamos si (n + 1)∈Α, ¿

2 n +2

2 n +2 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + = − + + = ∑ ∑ ∑ n + 1 n + 1 k =n + 2 k k =n +1 k n + 1 2n + 1 2 n + 2 k =n + 2 k

(−1) m m =1 2n

=∑ =

m +1

1 2n 1 1 ( −1) m +1 (−1) 2 n + 2 ( −1) 2 n +3 2 + − + =∑ + + = 2 n + 1 n + 1 n + 1 m =1 m 2n +1 2n + 2

(−1) m +1 ⇒ (n + 1)∈Α ∑ m m =1 ⇒

2 n +2

Α = ΙΝ 3/7

5. Hallar un número de cinco cifras diferentes que sea igual a la suma de todos los de tres cifras que se pueden obtener formando todas las variaciones ordinarias de dichas cinco cifras tomadas de tres en tres. Solución: Supongamos que N = x1 x2 x3 x4 x5 no, no tendría cinco cifras.

es el número pedido con x1 ≠ 0, porque si

Como con esas cinco cifras queremos formar números de tres cifras se tiene que hay V5,3 = 60 posibilidades, de las cuales hay 12 que tienen una cifra determinada en una posición determinada. Por tanto tenemos que: 12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) + 12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) · 10 + + 12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) · 100 = 1332(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) y por lo tanto: N = 1332(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) Entonces N es múltiplo de 9 porque 1332 lo es, y utilizando el criterio de divisibilidad del 9 se tiene que: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 9t y dado que todas las cifras son distintas entre si, su suma estará entre: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

y 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

⇒ 15 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 35 Por lo tanto los únicos valores posibles de t son

t=2

y

t = 3.

• Si t = 2 entonces N = 1332 · 9 · 2 = 23976, y como la suma de sus cifras es 27 ≠ 18 = 9 · 2 entonces contradice que x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 9t ⇒ Este número no es el buscado. • Si

t=3

entonces

3 + 5 + 9 + 6 + 4 = 27 = 9 · 3

N = 1332 · 9 · 3 = 35964 entonces

N = 35964

y como es la solución del problema.

6. Dados los códigos ordenados de cinco letras entre las ocho: A, B, C, D, E, F, G, H (repetidas o no, se pide hallar: a) Número total de códigos. b) 1) Número de ellos con una sola letra repetida dos veces. Ejemplo: ABACH.

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2) Número de ellos con dos letras repetidas dos veces cada una. Ejemplo: ABBCA. 3) Número de ellos con una letra repetida tres veces. Ejemplo: ABAAE. 4) Número de ellos con una letra repetida tres veces y otra dos. Ejemplo: AABAB. 5) Número de ellos con una letra repetida cuatro veces. 6) Número de ellos con una letra repetida cinco veces. 7) Número de los que no estén comprendidos en los grupos anteriores. 8) Supuestas ordenadas las letras alfabéticamente, calcular el número de códigos formados por cinco letras consecutivas en dicho orden. Ejemplo: DGFHE. c) Supuesto el orden lexicográfico entre los códigos, hallar el que corresponde al 1729. Solución: a) El número total de códigos viene dado por las variaciones con repetición de 8 elementos tomados de 5 en 5. VR8,5 = 85 = 32768 b) 1) C5,2 · 8 · V7,3 = 16800 2) C5,2 · C3,2 · C8,2 · 6 = 5040 3) C5,3 · 8 · V7,2 = 3360 4) C5,3 · 8 · 7 = 560 5) C5,4 · 8 · 7 = 280 6) C5,5 · 8 = 8 7) Le restamos al total de códigos posibles la suma de los anteriores: 32768 – 26048 = 6720 8) Elegidas cinco letras consecutivas el número de formas diferentes de ordenarlas es P5 = 5! = 120 y como hay cuatro formas diferentes de elegir cinco letras consecutivas entre ocho, se tiene que: 4 · 120 = 480 c) Si definimos la aplicación f = {A, B, C, D, E, F, G, H} → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dada por: f(A) = 0, f(B) = 1, f(C) =2, f(D) = 3, f(E) = 4, f(F) = 5, f(G) = 6, f(G) = 7. El orden lexicográfico de los códigos coincide con el orden de los números en base a 8, por ejemplo: el 00000 corresponde a AAAAA entonces la posición 1729 en verdad es el número 1728 según nuestra aplicación, es decir 1728 = 033008) = ADDAA. Entonces la solución es ADDAA 7. Dos mujeres y tres hombres suben a un ascensor en la planta baja de un edificio de seis pisos. Averiguar de cuantas maneras se pueden bajar del

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ascensor, sabiendo que en un mismo piso no pueden bajar personar de distinto sexo. Solución: Hay que tener en cuenta dos posibilidades a la hora de contar, y es que las mujeres se pueden bajar en la misma planta o en distintas plantas. • Si las mujeres se bajan, las dos, en la misma planta tenemos cinco formas diferentes de que se bajen, ya que como se suben en la planta baja, se pueden bajar en cualquiera de las otras cinco plantas. Para cada una de las cinco formas de bajarse las  3 + 4 − 1 6! mujeres hay   = = 20 formas de bajarse los hombres, que son las  3  3!·3! combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3.  5   = 10  2

• Si las mujeres se bajan en pisos distintos se tiene que hay

formas

 3 + 3 − 1   = 10 formas diferentes de  3  bajarse, combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 3 en 3. diferentes de bajarse, y los hombres tendrán

Por lo tanto: N = 5 · 20 + 10 · 10 = 200 ⇒ El resultado es

N = 200

8. Determinar el número máximo de puntos de intersección de las diagonales de un polígono convexo de n lados: a)Contenidos en el interior de aquel. b) Situados en su exterior. Solución: a) Cada cuatro vértices distintos del polígono definen dos diagonales que se cortan en un punto de intersección interior. Entonces:  n Pi =    4 b) Para poder calcular los puntos exteriores de intersección entre las diagonales, vamos a calcular los puntos de intersección totales entre las diagonales y luego restaremos las interiores, obtenemos así los puntos de intersección exteriores entre las diagonales. Como tenemos n vértices y n lados, entonces tenemos

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 n n( n − 3)   − n = 2  2

Diagonales distintas (que no son los lados del triángulo). Como en cada vértice  n − 3 concurren n - 3 diagonales, tenemos por lo tanto que hay    2  diagonales que se cortan en cada vértice. Como cada dos diagonales hay un punto de intersección se tiene que:  n (n − 3   n − 3 n( n − 3)( n 2 − 7n + 14) PT =  2  − n =    2  8  2  Entonces tenemos los puntos exteriores de intersección entre las diagonales vienen dados por: n( n − 3)( n 2 − 7 n + 14)  n  n( n − 3)( n − 4)( n − 5) Pe = PT – Pi = −   = 8 12  4 Entonces las soluciones son:  n a) Pi =    4 b) Pe =

n( n − 3)( n − 4)( n − 5) 12

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