Tema 8.- INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice 1. Introducción

1

2. Ecuación del calor

3

3. Ecuación de onda

5

4. Ecuación de Laplace

7

1.

Introducción

En los temas anteriores, nuestra atención se ha centrado en encontrar soluciones generales de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ahora, nos interesará el estudio de otra clase de ecuaciones diferenciales, las llamadas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Estas ecuaciones surgen en relación con varios problemas físicos y geométricos cuando las funciones que intervienen dependen de dos o más variables independientes. Es importante señalar que sólo los sistemas físicos más sencillos pueden modelarse por ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que la mayoría de los problemas de mecánica de fluidos y sólidos, transferencia de calor, teoría electromagnética, mecánica cuántica y otras áreas de la Física llevan a ecuaciones en derivadas parciales. Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una ecuación en la que interviene una o más derivadas parciales de una función de dos o más variables independientes. El orden de la derivada más alta es llamado orden de la ecuación y una solución de una ecuación en derivadas parciales es una función que satisface la ecuación. En este tema nos centraremos en el estudio de ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables, esto es, ecuaciones de la forma A

∂2u ∂2u ∂u ∂2u ∂u +B +C 2 +D +E + Fu = G 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

donde A, B, C, . . . , G son funciones de x e y. Cuando G (x, y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea. Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes. 1. Ecuación unidimensional del calor ∂u ∂2u (x, t) = k 2 (x, t) ∂t ∂x

(1)

∂2u ∂2u (x, t) = a2 2 (x, t) 2 ∂t ∂x

(2)

2. Ecuación unidimensional de onda

1

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3. Ecuación bidimensional de Laplace ∂2u ∂2u (x, y) + (x, y) = 0 ∂x2 ∂y 2

(3)

La ecuación (1) aparece en la teoría del flujo de calor en una varilla o en un alambre delgado donde la función u (x, t) representa la temperatura de la varilla. Los problemas de vibraciones mecánicas a menudo conducen a la ecuación de onda (2), en la que u (x, t) representa los pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante. Por último, la solución u (x, y) de la ecuación de Laplace (3) puede ser interpretada como la distribución estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana y delgada. Aquí no veremos cómo se deducen estas ecuaciones sino que nos concentraremos en su resolución. Para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden –aún con las que tienen coeficientes constantes– no es fácil llegar a la solución general. Sin embargo, casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales anteriores ya que, generalmente, el objetivo que se persigue no es únicamente la resolución de una ecuación en derivadas parciales, sino que, en la mayoría de los casos, se está interesado en la determinación de una solución particular que cumpla ciertas condiciones adicionales que surgen del problema. Por ejemplo, la condición de que la solución u asuma valores dados en la frontera de la región considerada o, cuando el tiempo t es una de las variables, que u esté dada en t = 0. Así, distinguiremos condiciones adicionales de dos tipos: Condiciones iniciales (asociadas a variables temporales). Condiciones de contorno o de frontera (relativas a variables espaciales). Hemos visto, en temas anteriores, que si una ecuación diferencial ordinaria es lineal y homogénea, entonces, a partir de soluciones conocidas, pueden obtenerse otras soluciones por superposición. Para una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y homogénea la situación es muy parecida. De hecho, se verifica el siguiente teorema. Teorema 1.1 (Principio de superposición) Si u1 , u2 , . . . , uk son soluciones cualesquiera de una ecuación en derivadas parciales lineal y homogénea en alguna región R, entonces u = c1 u1 + c2 u2 + · · · ck uk donde c1, c2 , . . . , ck son constantes cualesquiera, también es una solución de esa ecuación en R. A continuación veremos un procedimiento general para obtener soluciones para las tres ecuaciones anteriores.

Método de separación de variables El método de separación de variables es una técnica clásica que resulta efectiva para resolver varios tipos de ecuaciones en derivadas parciales. Para determinar una solución, se supone que ésta puede escribirse con sus variables separadas; esto es, en la forma u (x, y) = X (x) Y (y) . Sustituyendo esta forma de solución en la ecuación y teniendo en cuenta que ∂u = X 0Y ∂x

∂u = XY 0 ∂y

∂2u = X 00 Y ∂x2

∂2u = XY 00 ∂y 2

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se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias de las funciones incógnitas X (x) y Y (y). De esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace cuando se verifican ciertas condiciones adicionales (iniciales y de contorno).

2.

Ecuación del calor

La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura u según la posición x y el tiempo t en una varilla calentada de longitud L y de temperatura inicial f (x) que se extiende a lo largo del eje x y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si el flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje x no se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla no se genera calor en la varilla la varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante su calor específico y su conductividad térmica son constantes, entonces la temperatura u (x, t) de la varilla está dada por la solución del problema con condiciones iniciales y de contorno ∂u ∂2u (x, t) = k 2 (x, t) , ∂t ∂x u (0, t) = 0,

k > 0,

0 < x < L,

u (L, t) = 0,

u (x, 0) = f (x) ,

t > 0,

t > 0,

0 < x < L.

(4) (5) (6)

La constante k es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica. Solución del problema Para resolver este problema por el método de separación de variables, se empieza por suponer que la ecuación (4) tiene una solución de la forma u (x, t) = X (x) T (t) . Para determinar X y T, primero se calculan las derivadas parciales de la función u ∂u (x, t) = X (x) T 0 (t) ∂t

∂2u (x, t) = X 00 (x) T (t) ∂x2

y se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando X (x) T 0 (t) = kX 00 (x) T (t) , y separando las variables

T 0 (t) X 00 (x) = . kT (t) X (x)

Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente de t, mientras que las del segundo miembro dependen solamente de x y, puesto que x y t son variables independientes entre sí, los dos cocientes deben ser iguales a alguna constante λ. Por tanto,

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T 0 (t) =λ kT (t)

y

X 00 (x) =λ X (x)

X 00 (x) − λX (x) = 0

y

T 0 (t) − λkT (t) = 0.

o bien En consecuencia, para soluciones separables, el problema de resolver la ecuación en derivadas parciales se ha reducido al problema de resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores. Si consideramos ahora las condiciones de contorno (5) y, teniendo en cuenta que u (x, t) = X (x) T (t) tenemos que X (0) T (t) = 0 y X (L) T (t) = 0, t > 0. Por consiguiente, o bien T (t) = 0 para todo t > 0, lo cual implica que u (x, t) ≡ 0 o bien X (0) = X (L) = 0. Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuación diferencial en X y se obtiene el problema X 00 (x) − λX (x) = 0 (7) X (0) = X (L) = 0, donde λ puede ser cualquier constante. Nótese que la función X (x) ≡ 0 es una solución para todo λ y, dependiendo de la elección de λ ésta puede ser la única solución del problema. Así que si se busca una solución no trivial u (x, t) = X (x) T (t), primeramente se deben determinar aquellos valores de λ para los cuales el problema con condiciones iniciales y de contorno tiene una solución no trivial. Dichos valores especiales de λ se denominan valores propios, y las soluciones no triviales correspondientes son las funciones propias. Para resolver el problema, empezamos con la ecuación característica r2 − λ = 0 y consideramos tres casos. √ Caso 1. λ > 0. En este caso, las raíces de la ecuación característica son ± λ, de modo que la solución general de la ecuación diferencial (7) es X (x) = C1 e

√ λx

√ λx

+ C2 e−

Si recurrimos a las condiciones de contorno, X (0) = X (L) = 0, para determinar C1 y C2 obtenemos que la única solución es C1 = C2 = 0. Por consiguiente, no existe solución no trivial para λ > 0. Caso 2. λ = 0. Ahora r = 0 es una raíz doble de la ecuación característica y la solución general de la ecuación diferencial es X (x) = C1 + C2 x. Las condiciones de contorno implican de nuevo que C1 = C2 = 0 y, consecuentemente, no existe solución no trivial. √ Caso 3. λ < 0. En este caso las raíces de la ecuación característica son ±i −λ y la solución general de la ecuación es √ √ X (x) = C1 cos −λx + C2 sen −λx En esta ocasión las condiciones de contorno dan lugar al sistema √ √ C1 = 0 C1 cos −λL + C2 sen −λL = 0 √ Como C1 = 0, el sistema se reduce a C2 sen −λL = 0. Por tanto, (7) tiene una solución no trivial cuando √ −λL = nπ o lo que es lo mismo ³ nπ ´2 λ=− n = 1, 2, . . . L

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Además las soluciones no triviales Xn (x) correspondientes al valor λ = − Xn (x) = an sen

nπx L

¡ nπ ¢2 L

están dadas por

donde los valores an son constantes arbitrarias distintas de cero. Una vez determinados los valores de λ consideramos las segunda ecuación ³ nπ ´2 T (t) = 0. T 0 (t) + k L

Para cada n = 1, 2, . . . , la solución general de la ecuación lineal de primer orden es 2

Tn (t) = bn e−k(nπ/L) t . Por tanto, combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada n = 1, 2, . . . 2

un (x, t) = Xn (x) Tn (t) = cn e−k(nπ/L)

t

sen

nπ x L

donde cn es una constante arbitraria. Si consideramos una suma infinita de estas funciones, entonces aplicando el principio de superposición, la serie ∞ X 2 nπ u (x, t) = cn e−k(nπ/L) t sen x L n=1

satisface tanto la ecuación del calor como las condiciones homogéneas (5). ∞ Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes {cn }n=1 utilizando la condición inicial u (x, 0) = f (x) . Esto da lugar a u (x, 0) =

∞ X

cn sen

n=1

nπ x = f (x), L

0 < x < L,

pero esta es la serie de Fourier de senos de f (x) sobre el intervalo [0, L] , lo cual nos permitirá calcular los coeficientes a través de la expresión Z ³ nπ ´ 2 L f (x) sen x dx. cn = L 0 L Concluimos entonces que la serie u (x, t) =

∞ X

n=1

Ã

2 L

Z

L 0

! ³ nπ ´ 2 nπ f (x) sen x dx e−k(nπ/L) t sen x L L

es solución del problema con condiciones iniciales y de contorno descrito anteriormente. Esta solución en serie converge con bastante rapidez, a menos que t sea demasiado pequeño, debido a la presencia de factores exponenciales negativos. Por eso es muy práctica en cálculos numéricos.

3.

Ecuación de onda

Consideraremos ahora las vibraciones transversales de una cuerda extendida entre dos puntos, x = 0 y x = L. El movimiento se produce en el plano xy de manera tal que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje x. Si u (x, t) denota el desplazamiento de la cuerda para t > 0 medidos desde el eje x, entonces u satisface la ecuación (2) en la cuál se asume que La cuerda es perfectamente flexible

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La cuerda es homogénea, esto es, su masa por unidad de longitud es constante Los desplazamientos u son pequeños comparados con la longitud de la cuerda. La tensión de la cuerda es constante La tensión es grande en comparación con la fuerza de la gravedad. No actúan otras fuerzas sobre la cuerda Por consiguiente, un problema típico con condiciones iniciales y de contorno es 2 ∂2u 2∂ u (x, t) = a (x, t) , ∂t2 ∂x2

u (0, t) = 0,

0 < x < L,

u (L, t) = 0,

t > 0,

t ≥ 0,

(8) (9)

∂u (x, 0) = g (x) 0≤x≤L (10) ∂t La constante a2 es estrictamente positiva y depende de la densidad lineal y la tensión de la cuerda. Las condiciones de contorno nos indican que los extremos de la cuerda permanecen fijos en todo instante. En t = 0, las funciones f y g especifican la configuración inicial y la velocidad inicial de cada punto de la cuerda. u (x, 0) = f (x) ,

Solución del problema En este caso, la separación de variables u (x, t) = X (x) T (t) se realiza igual que en el caso de la ecuación del calor. Se calculan las derivadas parciales segundas de la función u, ∂2u (x, t) = X (x) T 00 (t) ∂t2

∂2u (x, t) = X 00 (x) T (t) , ∂x2

se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando X (x) T 00 (t) = a2 X 00 (x) T (t) , y separando las variables

T 0 (t) X 00 (x) = a2 T (t) X (x)

Como en el caso anterior estos cocientes deben ser iguales a alguna constante λ. Por tanto, T 0 (t) =λ a2 T (t)

y

X 00 (x) =λ X (x)

X 00 (x) − λX (x) = 0

y

T 0 (t) − λa2 T (t) = 0.

o equivalentemente

Si consideramos ahora las condiciones de contorno y, teniendo en cuenta que u (x, t) = X (x) T (t) tenemos que X (0) T (t) = 0 y X (L) T (t) = 0, t > 0. Por consiguiente, o bien T (t) = 0 para todo t > 0, lo cual implica que u (x, t) ≡ 0 o bien X (0) = X (L) = 0. Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuación diferencial en X y se obtiene el problema X 00 (x) − λX (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

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donde λ puede ser cualquier constante. Este es el mismo problema que se encontró anteriormente al resolver la ecuación del calor, en la que se obtuvo que los valores propios son λ=− con correspondientes funciones propias

³ nπ ´2

n = 1, 2, . . .

Xn (x) = cn sen

nπ x L

L

donde los valores cn son constantes arbitrarias distintas de cero. Una vez determinados los valores de λ consideramos las segunda ecuación T 00 (t) + a2

³ nπ ´2 L

T (t) = 0.

Para cada n = 1, 2, . . . , la solución general de la ecuación lineal de segundo orden es Tn (t) = cn1 cos

nπa nπa t + cn2 sen t. L L

Por tanto, combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada n = 1, 2, . . . ³ nπa nπa ´ nπ t + bn sen t sen x un (x, t) = Xn (x) Tn (t) = an cos L L L

Aplicando el principio de superposición, la serie u (x, t) =

∞ ³ X nπa nπa ´ nπ an cos t + bn sen t sen x L L L n=1

satisface tanto la ecuación del calor como las condiciones homogéneas (9). ∞ Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes {an }∞ n=1 y {bn }n=1 para que la solución verifique las condiciones iniciales, esto es u (x, 0) =

∞ X

an sen

n=1

nπx = f (x), L

∞ X nπ nπa ∂u (x, 0) = bn sen x = g(x), ∂t L L n=1

0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ x ≤ L,

lo cual nos indica que resolver el problema de la cuerda vibrante se reduce a determinar los desarrollos en series senoidales de Fourier de f (x) y g (x) sobre el intervalo [0, L].

4.

Ecuación de Laplace

Supongamos que queremos obtener la temperatura u (x, y) correspondiente al estado permanente en una placa rectangular. Cuando no se pierde calor a través de las caras laterales de la placa, el problema viene dado ∂2u ∂2u (x, y) + (x, y) = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, (11) ∂x2 ∂y 2 ∂u (0, y) = 0, ∂x u (x, 0) = 0,

∂u (a, y) = 0, ∂x u (x, b) = f (x) ,

0 < y < b,

(12)

0 < x < a.

(13)

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Solución del problema Separando variables, primeramente hacemos u (x, y) = X (x) Y (y). Al sustituir en la ecuación se obtiene X 00 (x) Y (y) + X (x) Y 00 (y) = 0, lo cual se separa en

X 00 (x) Y 00 (y) =− = λ. X (x) Y (y)

Esto da lugar a las dos ecuaciones diferenciales ordinarias X 00 (x) − λX (x) = 0

y

Y 00 (y) + λY (y) = 0.

De las condiciones de contorno (12) se tiene además que X 0 (0) = X 0 (a) = 0. En esta ocasión, se puede comprobar que las condiciones de contorno dan lugar a los valores propios1 ³ nπ ´2 λ=− n = 0, 1, 2, . . . a

con las soluciones correspondientes

Xn (x) = cn cos

nπx a

(14)

donde los valores cn son constantes arbitrarias. Si sustituimos λ en la segunda ecuación y calculamos Y (y) obtenemos

2

Y0 (y) = D0 + E0 y, Yn (y) = Dn cosh

nπy nπy + En senh , a a

n = 1, 2, . . .

Ahora bien, la condición de contorno u(x, 0) = 0 se cumplirá si Y (0) = 0, con lo cual se obtienen las soluciones Y0 (y) = D0 y,

(15)

Yn (y) = En senh

nπy , a

n = 1, 2, . . .

Combinando las dos funciones (14) y (15) resultan soluciones del problema de la forma u0 (x, y) = A0 y, un (x, y) = An cos

³ nπ ´ nπx senh y , a a

n = 1, 2, . . .

donde las An son constantes. Aplicando el principio de superposición, la serie u (x, y) = A0 y +

∞ X

n=1

An senh

³ nπ ´ nπx y cos a a

(16)

es una solución de la ecuación que satisface las tres primeras condiciones. Finalmente, si consideramos la condición de frontera no homogénea restante u (x, b) = f (x), sustituyendo y = b en la expresión anterior nos queda µ ¶ ∞ ³ nπx ´ X nπb u (x, b) = f (x) = A0 b + An senh cos . (17) a a n=1 1 Observar 2 En

que en este caso λ = 0 es un valor propio. otros problemas es más útil obtener soluciones en términos de la función exponencial real.

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Esta es una serie cosenoidal de Fourier de f (x) en medio intervalo. Si hacemos la identificación A0 b = An senh

µ

nπb a

¶

a0 2 n = 1, 2, . . .

= an

los coeficientes están dados por A0

=

1 ba

Za

f (x) dx

(18)

0

An

= a senh

2 µ

nπb a

¶

Za 0

f (x) cos

³ nπx ´ a

dx,

n = 1, 2, . . .

De modo que una solución del problema está dada por (17) con los coeficientes A0 y An determinados por (18).

RESUMEN Resolver un problema con condiciones iniciales y de contorno consiste en encontrar una función que satisfaga una ecuación diferencial en derivadas parciales y además algunas condiciones adicionales que pueden ser tanto condiciones de frontera como condiciones iniciales. A veces es posible obtener una solución particular del problema (ecuación lineal en dos variables) suponiendo que tiene una solución en forma de producto u = XY. Este procedimiento, método de separación de variables, consiste en cinco etapas básicas: 1. Separar las variables. 2. Resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas de la separación y encontrar los valores propios y las funciones propias del problema. 3. Formas los productos un . 4. Usar el principio de superposición para formar una serie infinita de las funciones un . 5. Después de usar una(s) condición(es) de frontera, o una(s) condición(es) inicial(es), los coeficientes de la serie se obtienen haciendo una indentificación apropiada con un desarrollo de Fourier en medio intervalo en senos o cosenos.