1.

1.

Modelos Matemáticos y Experimentales

Modelos Matemáticos y Experimentales _____________________________ 1

1.1. Definición _________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Tipos de Procesos __________________________________________________________________________________________________ 2 1.3. Tipos de Modelos ___________________________________________________________________________________________________ 3 1.4. Transformada de Laplace ____________________________________________________________________________________________ 4 1.5. Función de Transferencia ____________________________________________________________________________________________ 7 1.6. Función transferencia y ecuaciones de estado ___________________________________________________________________________ 8 1.7. Linealización______________________________________________________________________________________________________ 12 1.8. Retardos de Trasporte ______________________________________________________________________________________________ 13 1.9. Escalado _________________________________________________________________________________________________________ 17 1.10. Diagramas de bloques _____________________________________________________________________________________________ 18 1.10.1. Álgebra de bloques ____________________________________________________________________________________________________________ 20

1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros____________________________________________________________________________________ 21 1.12. Resumen ________________________________________________________________________________________________________ 32

02 02 Modelos.doc 1

1.1. Definición un modelo es una descripción y reproducción de un proceso determinado para analizar su comportamiento. 1.2. Tipos de Procesos Hay muchas formas de clasificar los procesos y sus modelos, de acuerdo a su función: válvulas, tanques, hornos por industria: metalurgia, automotriz, alimentos por sus características físicas: térmicos, químicos Los ingenieros de control los clasifican de acuerdo a sus características dinámicas: linealidad estabilidad resonancia retardos adelanto o retraso de fase

02 02 Modelos.doc 2

1.3. Tipos de Modelos Atributo

Atributo antagónico

Determina si. . .

SISO

MIMO

. . . las ecuaciones del modelo tienen una entrada y una salida.

Lineal

No lineal

. . . las ecuaciones del modelo son lineales en las variables del sistema.

Estacionario

No Estacionario

. . . los parámetros del modelo son constantes.

Continuo

Discreto

. . . las ecuaciones describen su comportamiento en cada instante de tiempo, o sólo en muestras discretas.

Entrada-salida

Espacio de estados

. . . las ecuaciones dependen sólo de las entradas y las salidas, o también de variables de estado.

02 02 Modelos.doc 3

1.4. Transformaciones u t 

y t  G

Lo que se busca es encontrar una descripción del sistema de modo que exista una relación algebraica entre entrada y salida:

Y  G U

[1.1]

En el dominio tiempo, lo más cercano a esto es el producto de convolución 

y t   g t   u t  

 g   u t    d

[1.2]



donde g  t  es la respuesta del sistema cuando es excitado por una delta de Dirac Es un poco complejo para resolver Se buscan transformaciones,

02 02 Modelos.doc 4

En el dominio frecuencial y mediante la Transformada de Fourier se logra que

Y     G    U  

[1.3]

en donde Y    y U   son las transformadas de Fourier de la salida y la entrada y G    e la respuesta en frecuencia de la planta. Pero esta transformada no es cómoda para trabajar con señales no periódicas.

02 02 Modelos.doc 5

1.4.1. Transformada de Laplace 

X( s )  s  x(t)   x(t) e -stdt 0

[1.4]

s= + j  La propiedad fundamental es:

  g t   u t   G  s  U  s   Y  s 

[1.6]

02 02 Modelos.doc 6

1.5. Función de Transferencia Relación entre entrada y salida en transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas. Generalmente incluye la dinámica de los actuadores y sensores. Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo

a0 y ( n  a1 y ( n 1    an 1 y  an y  b0u ( m  b1u ( m1    bm1u  bm u B  s  bm s m  bm1s m1    b1s  b0 G s   A  s  an s n  an 1s n1    a1s  a0

[1.7]

[1.9]

con m  n se puede factorizar

K  s  z1   s  zm  G s   s  p1  s  pn 

[1.10]

02 02 Modelos.doc 7

1.6. Función transferencia y ecuaciones de estado Un sistema podría describirse en forma de ecuaciones de estado

x  t   Ax  t   Bu  t  [1.11]

y  t   Cx  t   Du  t 

... si aplicamos Transformada de Laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas

sX  s   x  0   AX  s   BU  s  [1.12]

Y  s   CX  s   DU  s  1

1

X  s    sI  A  x  0    sI  A  BU  s 

[1.13]

1 1 Y  s   C  sI  A  B  D  U  s   C  sI  A  x  0   

[1.14]

la función de transferencia será 1

G  s   C  sI  A  B  D

[1.15]

(no contempla las condiciones iniciales) Terminología

zi ceros de G  s  02 02 Modelos.doc 8

pi polos de G  s 

b0 K  G 0   ganancia estática de G  s  a0 b0 K  G 0   ganancia estática de G  s  a0 n  m grado relativo de G  s  cuando n  m , bm es la ganancia de alta frecuencia de G  s  cuando n  m , G  s  es estrictamente propia cuando n  m , G  s  es bi propia Los polos complejos de la Función de Transferencia aparecen con su conjugado

G s 

10 10  s 2  6s  10  s  3  j  s  3  j 

[1.16]

La función de transferencia se puede expresar como suma de fracciones simples:

G s 

15 7,5 7,5   s 2  8s  15 s  3 s  5

[1.17]

02 02 Modelos.doc 9

Diferentes sistemas físicos pueden tener igual Función de Transferencia Orden del Sistema: potencia en S más alta del denominador

02 02 Modelos.doc 10

02 02 Modelos.doc 11

1.7. Linealización Todo sistema es no lineal Consideración: Desviación pequeña del punto de trabajo Desarrollo en serie de Taylor

y  f  x df  f x dx

1 d2 f x  x  2 2! dx x x

x  x 

2

[1.18]



xx

en forma aproximada,

y  y  K x  x  K

df dx

[1.19]

[1.20]

xx

y  K x

[1.21]

es lineal en y y x

02 02 Modelos.doc 12

1.8. Retardos de Trasporte

Transformada de un Impulso 

Ls   t      t  e -stdt  1

[1.22]

0

Impulso Desplazado en un tiempo T

Ls   t  T   e -sT

[1.23]

No es racional

02 02 Modelos.doc 13

Aproximación: 2

e

-sT



e

T - s 2

e

T s 2

3

T 1 T  1 T  1  s    s2    s3   2 2!  2  3!  2   2 3 T 1 T  2 1 T  3 1 s    s    s  2 2!  2  3!  2 

[1.24]

Limitando términos se obtienen distintas aproximaciones Primer orden

T 2 s s 2  T  T 2 1 s s  2 T 1

e

-sT

[1.25]

02 02 Modelos.doc 14

Segundo orden: 2

e

-sT

T 1 T  1  s    s2 2 2!  2    2 T 1 T  1  s    s2 2 2!  2 



2 T

2 2   s   j  T T   2 2   s   j T T  

2 T

[1.26]



2 2  j T T



2 2 j T T

2 2  j T T

2 2 j T T

02 02 Modelos.doc 15

Aproximación menos precisa:

e  sT  1  Ts 1 1 e  sT  sT  e 1  Ts

[1.27]

[1.28]

02 02 Modelos.doc 16

1.9. Escalado Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena selección de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo. Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y más precisos y disminuirá enormemente los problemas de simulación en computador.

02 02 Modelos.doc 17

1.10. Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple manipulación. Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema.

Los diagramas de bloques permiten ver la similitud esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan del dominio físico). Bomba 02 02 Modelos.doc 18

Sistema físico Bomba

Caudal de salida

señal de velocidad

Diagrama de Bloques u

Señal de Velocidad

Función de transferencia G

y

Caudal de Salida

02 02 Modelos.doc 19

1.10.1. Álgebra de bloques

02 02 Modelos.doc 20

1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros "Hoy es fácil y muy didáctico calcular polos, ceros, respuesta al escalón y división en fracciones simples" g=tf(1,poly([-1]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;axis([0 6 0 1.5]) pzmap(g);sgrid;axis([-2 1 -1 1]) Pole-z ero map

1.5

1 0.8 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.2 0 -0.2

0.5

-0.4 -0.6 -0.8

0

0

1

2

3

4

5

6

-1 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

02 02 Modelos.doc 21

g=tf(.5,poly([-.5])) Pole-z ero map 1.5

1 0.8 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.2 0 -0.2

0.5

-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2

0 0

1

2

3

4

5

6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

g=tf(.5,poly([.5])) Pole-zero map 1.5

1 0.8 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.2 0 -0.2

0.5 -0.4 -0.6 -0.8

0

0

1

2

3

4

5

6

-1 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Ax is

02 02 Modelos.doc 22

g=tf(1,poly([0])) Pole-Zero Map

1500

1 0.87

0.78

0.64

0.46

0.75

0.5

0.64

0.46

0.24

0.8 0.93 0.6 0.97 0.4 Imaginary Axis

1000

500

0.2 2 0 -0.2

0.992 1.75

1.5

1.25

1

0.25

0.992

-0.4 0.97 -0.6 -0.8 0.93 0.87

0

0

500

1000

-1 -2

1500

0.78 -1.5

-1

0.24

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

Para una función de transferencia de Primer Orden,

K K  Gs    U s  s 1 s  1  Y s

La respuesta temporal a un escalón es, t  K 1  y t   L    K 1 e  s 1 s  1



 02 02 Modelos.doc 23

g=tf(5,poly([-.4+2.2i -.4-2.2i])) (85 grados) Pole-zero map 2

2.5

1.8

2

1.6

1.5 1

1.2

0.5

Imag Axis

1.4

1 0.8

0 -0.5

0.6

-1

0.4

-1.5 -2

0.2 0

0

1

2

3

4

5

-2.5 -2

6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Ax is

g=tf(5,poly([-.87+2.06i -.87-2.06i])) (75 grados) Pole-z ero map 2

2.5

1.8

2

1.6

1.5 1

1.2

0.5

Imag Axis

1.4

1 0.8

0 -0.5

0.6

-1

0.4

-1.5

0.2

-2

0 0

1

2

3

4

5

6

-2.5 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

g=tf(5,poly([-1.9-1.17i -1.9+1.17i]))

02 02 Modelos.doc 24

Pole-z ero map 2

2.5

1.8

2

1.6

1.5 1

1.2

0.5

Imag Axis

1.4

1 0.8

0 -0.5

0.6

-1

0.4

-1.5 -2

0.2

-2.5 -2

0 0

1

2

3

4

5

6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

Real Axis

g=tf(20,poly([-.8-4.4i -.8+4.4i])) Pole-z ero map 2

5

1.8

4

1.6

3 2

1.2

1

Imag Axis

1.4

1 0.8

0 -1

0.6

-2

0.4

-3

0.2

-4

0 0

1

2

3

4

5

6

-5 -2

-1.5

-1

-0.5

Real Axis

02 02 Modelos.doc 25

Para una función de transferencia de Segundo Orden,

Y s

K n2 K n2 G s   2  2 U  s  s  2n s  n s  n  jn 1   2 s  n  jn 1   2







La respuesta temporal a un escalón es, 2  K  n y  t   L1  2 2 s  2  s   n n 

  K  s  n  K n 1 1 K   L   2 2 2 2 2 2 s  s  s  n   n 1     s  n   n 1      

2  n t    1   e y  t   K 1  sen  n 1   2 t  arctg  2     1     

   

02 02 Modelos.doc 26

Ceros g=tf(2/3*poly([-3]),poly([-1 -2])) Pole-ze ro map

2 1 0.8

1.5

0.6

1 Imag Axis

0.4

0.5

0.2 0 -0.2

0 -0.4 -0.6

-0.5

-0.8

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

02 02 Modelos.doc 27

g=tf(2/1.5*poly([-1.5]),poly([-1 -2])) Pole-ze ro map

2 1 0.8

1.5

0.6

1

0.4 0.2

Imag Axis

0.5

0 -0.2

0 -0.4 -0.6

-0.5

-0.8

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -4

6

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

g=tf(2/.5*poly([-.5]),poly([-1 -2])) Pole-ze ro map 2

1 0.8

1.5 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.5

0.2 0 -0.2

0 -0.4 -0.6

-0.5 -0.8

-1 0

1

2

3

4

5

6

-1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

02 02 Modelos.doc 28

g=tf(-2/.5*poly([.5]),poly([-1 -2])) Pole-ze ro map 2

1 0.8

1.5 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.5

0.2 0 -0.2

0 -0.4 -0.6

-0.5 -0.8 -1 -4

-1 0

1

2

3

4

5

6

-3

-2

-1

0

1

2

1

2

3

Real Axis

g=tf(-2/1.5*poly([1.5]),poly([-1 -2])) Pole -zero map 2

1 0.8

1.5 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.5

0.2 0 -0.2

0 -0.4 -0.6

-0.5 -0.8

-1 0

1

2

3

4

5

6

-1 -4

-3

-2

-1

0

3

Re al Axis

02 02 Modelos.doc 29

g=tf(-2/2.9*poly([2.9]),poly([-1 -2])) Pole -zero map 2

1 0.8

1.5 0.6 0.4

Imag Axis

1

0.5

0.2 0 -0.2

0 -0.4 -0.6

-0.5 -0.8

-1 0

1

2

3

4

5

6

-1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Re al Axis

Las plantas con ceros en el semiplano positivo se llaman plantas de fase no mínima o de respuesta inversa (péndulo invertido, grúas)

02 02 Modelos.doc 30

02 02 Modelos.doc 31

1.12. Resumen Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesario disponer de una descripción formal — aunque posiblemente simple — del mismo. Esta descripción es el modelo matemático del sistema. Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos. En general, los modelos matemáticos involucran un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrededor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal mucho más tratable. La elección de unidades adecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional. Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los sistemas en forma algebraica en el dominio Laplace.

02 02 Modelos.doc 32