Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación

21 de Junio de 2010

1. Modulaciones analógicas QAM y BLU (3 puntos) 1.1. Definición y generación de la modulación QAM: dibujar el diagrama de bloques de un modulador QAM, siendo x1(t), x2(t) las señales de información (de mismo ancho de banda Bx), fc la frecuencia de la portadora e y(t) la señal modulada. Dibujar el espectro de la señal a la salida del modulador de manera aproximada, indicando su ancho de banda. (0.5 ptos.) La modulación QAM consiste en enviar dos señales de información independientes en dos portadoras ortogonales de la misma frecuencia (desfasadas π/2):

K 0

Bx

f

-

-90º

Q 0

Bx

|Y(f)|

f 0

By=2Bx K/2 Q/2 f

fc

Puesto que las dos señales x1(t), x2(t) se envían sobre la misma portadora, sus espectros se solapan. Si cada una tiene un ancho de banda Bx el de la señal transmitida y1(t)- y2(t) será 2Bx. 1.2. Suponer que la señal QAM ideal y(t) del apartado 1.1 se contamina con ruido blanco y gaussiano de d.e.p. η, y llega al receptor A de la figura 1. Definir las características de los filtros y calcular las señales x1r(t) y x2r(t) a la salida del demodulador A. (0.5 ptos.) By=2Bx

Los filtros son los siguientes: Si la señal recibida es del tipo:

1

1 f

fc Filtro predetcción

Bx 0

f

Filtros postdetcción

y (t ) = x1 (t ) cos ωct − x2 (t )sin ωc t + nI (t ) cos ωct − nQ (t )sin ωct , las señales a la entrada de cada filtro son:

z1r (t ) = y (t )cos ωc t = ( x1 (t ) + nI (t ))cos 2 ωc t − ( x2 (t ) + nQ (t ))sin ωc t cos ωc t = = 12 ( x1 (t ) + nI (t )) + 12 ( x1 (t ) + nI (t ))cos 2ωc t − 12 ( x2 (t ) + nQ (t ))sin 2ωc t z2 r (t ) = − y (t )sin ωc t = −( x1 (t ) + nI (t )) cos ωc t sin ωc t + ( x2 (t ) + nQ (t ))sin 2 ωc t = = − 12 ( x1 (t ) + nI (t ))sin 2ωc t + 12 ( x2 (t ) + nQ (t )) − 12 ( x1 (t ) + nI (t )) cos 2ωc t Al filtrar paso bajo se obtienen las señales enviadas (si no ha habido perturbación durante la transmisión):

x1r (t ) = 12 ( x1 (t ) + nI (t )) , x2 r (t ) = 12 ( x2 (t ) + nQ (t )) .

Ingeniería de Telecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

1

Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación

21 de Junio de 2010

1.3. Definición y generación de BLU: dibujar el diagrama de bloques de un modulador BLI/BLS por transformada de Hilbert (TH), siendo x(t) la señal de información (de ancho de banda Bx), fc la frecuencia de la portadora e y(t) la señal modulada. Dibujar el espectro de la señal a la salida del modulador de manera aproximada, indicando su ancho de banda. (0.5 ptos.) La señal de una modulación BLI (Banda Lateral Única, donde sólo se transmite la parte correspondiente a la Banda Lateral Inferior de la señal de información) se puede construir con el siguiente diagrama de bloques.

2Bx

|X2(f)|

|Y2(f)|

BLU de BLS -fc

0 2Bx

|X2(f)|

fc

f

fc

f

|Y2(f)|

BLU de BLI 0

-fc

Su expresión en el tiempo (signo superior para BLI e inferior para BLS) combina x(t) con su transformada de Hilbert (TH, con función de transferencia H(f)=-jsign(f), desfase de 90º para todas las frecuencias).

(BLI) (BLS)

-90º

-90º

(BLI)

(BLS)

-1 1.4. Suponer que la señal BLU ideal y(t) del apartado 1.3 (en este caso sin ruido) llega al receptor A de la figura 1, al que se le añade el B. ¿Sirve el receptor A+B para demodular BLU (BLI o BLS)? Razonar la respuesta calculando la señal xr(t). ( notar que TH{TH{x(t)}} = - x(t) ). (0.5 ptos.) En este caso, la señal recibida es del tipo y (t ) = x(t )cos ωc t ± x(t )sin ωc t , y por tanto las señales a la salida son: x1r (t ) = 12 x(t ) , x2 r (t ) = ∓ 12 x(t ) . Al pasar por el transformador de Hilbert

xr (t ) = x1r (t ) + TH [ x2 r (t )] = 12 x(t ) + TH [∓ 12 x(t )] = 12 ( x(t ) ± x(t )) . Para BLI recupera la señal. Para BLS la elimina. 1.5. Si ahora la señal BLU llega con ruido, definir las características de los filtros y calcular la SNR a la salida del demodulador A+B (1 pto.). El filtro de postdetección no cambia. El filtro de predetcción tiene amplitud 1 de fc a fc±Bx (centrado en fc±Bx/2 para BLI/BLS). Las señales a la salida de A con ruido son: x1r (t ) = 12 ( x1 (t ) + nI (t )) , x2 r (t ) = 12 (∓ x(t ) + nQ (t )) . A la salida de B: xr (t ) = 12 ( x(t ) ± x(t )) + 12 (nI (t ) + nQ (t )) = x(t ) + 12 (nI (t ) + nQ (t ))

Ingeniería de Telecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

2

Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación

21 de Junio de 2010

La potencia de ruido de cada componente, al pasar por el filtro de ancho de banda Bx es Pn0=PnI=PnQ=ηBy=ηBx. La potencia de TH{nQ} es la misma que la de nQ (su d.e.p se multiplica por el módulo de H(f)=-jsign(f), que es 1). La snr final es la siguiente, que es el doble de la de un receptor BLU convencional.

snr =

1 4

Px Px 2P =1 = x = 2z 1 1 PnI + 4 PnQ 4 η Bx + 4 η Bx η Bx

2. Modulaciones analógicas y perturbaciones (2 ptos) Se tiene un sistema de comunicaciones por ondas de radio donde la señal de información a transmitir es: x(t)=A1cos(2πf1t)+A2cos(2πf2t)+A3sinc(t/T3), f1=3KHz, f2=4KHz, 1/T3=6KHz. La señal x(t) tiene como valor máximo la unidad y su potencia es pxN=0.5. La frecuencia de la portadora es 100MHz. Todo el ruido del sistema es térmico (η=kt=10-15W/Hz) y se puede modelar de la manera habitual como una fuente de ruido a la entrada del receptor. El canal tiene una atenuación de 60 dB. El sistema no debe tener distorsión y debe funcionar con una relación señal ruido superior a 30 dB. Se van a estudiar dos alternativas: AM (a=0.5) y FM (D=2). 2.1. Representar el espectro de la señal a transmitir e indicar que características debe cumplir la función de transferencia del canal, indicando el rango de frecuencias, para que la señal emitida por el transmisor no sufra distorsión en AM o FM. (0.5 ptos.). La señal en banda base tiene un ancho de banda de Bx=4KHz, el mayor de entre las tres componentes. La transformada TF{A3sinc(t/T3)}= A3T3Π(T3f) es un pulso en frecuencia de anchura f3=1/T3=6Hz, de f3/2=-3KHz a f3/2=+3KHz en banda base. A1/2

La señal en AM tiene un ancho de banda de By=2Bx=8KHz.

|X(f)|

A2/2

A3T3

Bx=f2 f

-f2

La señal FM un ancho de banda de By=2(2+1)4=24KHz

-f1 f3/2

0

f1 f3/2

f2 A1/4

|YAM(f)|

A3T3/2

A2/4

By=2Bx=2f2 f

El canal debe tener modulo constante y fase lineal (retardo de grupo plano) de fc-By/2 a fc+By/2.

0

fc-f2

fc-f1

fc

fc-f3/2 |YFM(f)|

fc+f1

fc+f2

fc+f3/2

By=2(D+1)Bx f fc

0

2.2. Dibujar un esquema del receptor AM que no necesite osciladores coherentes, detallando el filtro de predetección. Calcular la potencia del transmisor. (0.5 ptos.). El receptor que no necesita osciladores coherentes es el detector de envolvente By=2Bx

1

f fc Filtro predetección

yr(t)

ur

ur(t)

wr(t)

xr(t)

yr Elemento no lineal

Filtrado paso-bajo

Eliminación de la continua

Ingeniería de Telecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

3

Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación

21 de Junio de 2010

La calidad del sistema vendrá dada por:

snr = E p z =

a 2 pxN prx a 2 pxN ptx 10− A /10 = ≥ 1030 /10 , 1 + a 2 pxN η Bx 1 + a 2 pxN η Bx

donde A=60 es la atenuación del enlace y ptx es la potencia transmitida. Con estos datos, despejando de la fórmula de la snr se tiene la potencia mínima:

SNR = 10log E p + Ptx [dBW ] − A − 10log(η Bx ) ≥ 30dB ⇒ Ptx ≥ −14.43dBW = 0.036W . 60 dB

−9.54 dB

−114 dBW

2.3. Dibujar un esquema del receptor FM, detallando el filtro de predetección. Calcular la potencia del transmisor. (0.5 ptos.). Conversor FM-AM

Despejando de la fórmula de la snr se tiene la potencia mínima:

Detector de envolvente

Elim. Cont.

By=2(D+1)Bx 1 f fc Filtro predetección

SNR = 10log3D 2 pxn + Ptx [dBW ] − A − 10log(η Bx ) ≥ 30dB ⇒ Ptx ≥ −31.76dBW = 0.66mW . 7.78 dB

60 dB

−114 dBW

2.4. Si para conseguir la potencia necesaria en el transmisor se utilizara un amplificador trabajando cerca del regimen no lineal, ¿Qué tipo de perturbación sufriría la señal de salida? ¿Qué sistema elegiría de entre los dos estudiados en esta situación? (0.5 ptos.). Si el amplificador entra en régimen no lineal, se produce distorsión no lineal, caracterizada por la aparición de nuevas componentes frecuenciales (armónicos y productos de intermodulación). Este perturbación afecta más a las modulaciones AM, ya que la información va en la amplitud, mientras que en FM (la elegida) va en la frecuencia (tiene envolvente constante).

vs(t)

Vs,sat

ve(t)

Ve,sat t

distorsión

3. Características de los sistemas digitales (2.5 puntos) Se dispone de un modulador digital binario que codifica los símbolos “0”,”1” con las señales ⎧ A , 0 ≤ t ≤ T2 + Q s1 (t ) = ⎨ 1 , resto ⎩ 0,

⎧A , s 2 (t ) = ⎨ 2 ⎩ 0,

T 2

−Q ≤ t ≤T , 0≤Q≤ resto

T 2

3.1. Dar una base ortonormal y dibujar la constelación (indicando las coordenadas) para los siguientes casos particulares: a) A1=-A2 y Q=T/2; b) A2=0 y Q=0; c) A1=-A2 y Q=0. (1 pto.) (se toma Ia,b(t) como señal que es 0 excepto en a≤t≤b que vale 1).

Ingeniería de Telecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

4

Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación

21 de Junio de 2010

a) Modulación 2-PAM simétrica (señales antipodales banda base, dimensión 1).

ψ (t ) =

1 T

s1 (t ) = A1 Tψ (t ),

I 0,T (t ),

s2 (t ) = − A1 Tψ (t ),

Es = A1 T

b) Modulación RZ (señales ortogonales banda base, dimensión 1)

ψ (t ) =

I 0,T / 2 (t ),

1 T /2

s1 (t ) = A1 T / 2ψ (t ),

s2 (t ) = 0,

E s = A1 T / 2

c) Señales ortogonales (banda base, dimensión 2)

ψ 1 (t ) =

1 T /2

I 0,T / 2 (t ),ψ 2 (t ) =

−1 T /2

s1 (t ) = A1 T / 2ψ 1 (t ), s2 (t ) = A1 T / 2ψ 2 (t ), E s = A1 T / 2

I T / 2,0 (t ),

b)

a)

c)

3.2. Sin suponer ningún valor particular para A1 ,A2, Q, calcular la energía media de la constelación (símbolos equiprobables) y la distancia entre las dos señales s1(t) y s2(t). (0.5 ptos.) La energía media de la constelación y la distancia son por definición :

Ebit = E simb =

E s1 2

+

E s2 2

T

=

T

1 1 ( ∫ s12 (t )dt + ∫ s22 (t )dt ) = ( A12 + A22 )( T2 + Q ) 2 0 2 0

T

2 d 2,1 = ∫ ( s2 (t ) − s1 (t )) 2 dt = ( A12 + A22 )( T2 − Q) + ( A2 − A1 ) 2 2Q = 0

= Es 2 + Es1 − 2 < s1 , s2 >= ( A12 + A22 )( T2 + Q ) − 4 A2 A1 Q T

T / 2−Q

0

T / 2−Q

< s1 (t ), s2 (t ) >= ∫ s2 (t ) s1 (t )dt =

∫

s2 (t ) s1 (t )dt = A2 A1 2Q

Este modulador se quiere utilizar para un canal de datos de 10 Mbps con PE=10-8 en banda base con un ruido blanco y gaussiano a la entrada del receptor de η=10-12 W/Hz. En el sistema se usarán receptores óptimos. Las señales s1(t) y s2(t) deberán tener envolvente constante, ocupar el mínimo ancho de banda posible y minimizar la potencia que debe llegar al receptor. 3.3. Calcular el valor de la potencia de señal que debe llegar al receptor. Razonar como deben escogerse A1 ,A2, Q y su valor numérico en función de los datos del problema. (1 pto.) Si la señales tienen la misma energía |A1|=|A2|=A. Para que tengan el menor ancho de banda posible, se hace que tengan la mayor duración posible Q=T/2= 1/(2Rb)=50ns. Si tienen que minimizar la potencia del receptor, hay que hacer máxima la distancia con señales antipodales: A=A1=-A2. En estas condiciones:

Ingeniería de Telecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

5

Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación Ebit = A2T =

21 de Junio de 2010

prx 2 Ebit 2 prx 2 = (2 A) 2 T = 4 Ebit , PE = Q( , d1.2 ) = Q( ). η Rb Rbη

Si se debe conseguir PE=10-8, mirando la gráfica de la función Q, se tiene que: 2 prx = 5.6, Rbη

prx =

5.62 Rbη = 156.8 μW , 2

A=

prx = TRb

prx = 0.0125V .

4. Sistemas M-PSK (3.5 puntos) Se dispone de un modulador digital M-PSK. Este modulador se quiere utilizar para un enlace de comunicaciones de 20 Mbps en una banda de frecuencias centrada en fc = ωc /(2π) =2.4 GHz. El canal radio que conecta el transmisor y el receptor tiene una atenuación de Ac=20dB y las perturbaciones de la señal se puede modelar como una fuente aditiva de ruido blanco y gaussiano a la entrada del receptor de densidad espectral de potencia η=1012 W/Hz. 4.1. Indicar la base, las coordenadas y dibujar la constelación de un sistema M-PSK genérico. (0.5 ptos).

Las señales M-PSK tienen todas la misma amplitud. Sus fases varían en múltiplos de 360º/M. Su expresión viene dada por:

Una base ortonormal para estas señales es:

Ej: M = 8

Las señales M-PSK también se pueden escribir como

y por tanto, por inspección, las coordenadas son:

La constelación se representa más bajo, y se corresponde con puntos sobre una circunferencia de radio A/K 4.2. Diseñar un receptor digital óptimo para M-PSK genérico indicando los instantes de muestreo y el criterio de decisión utilizado. Para el caso M=2, ¿podría hacerse el receptor de manera más sencilla? (0.5 ptos.)

El diagrama del receptor se encuentra en la siguiente figura, donde las regiones de decisión serían las del apartado 4.2 y las funciones de la base serían las del apartado 4.1. El cálculo de las muestras antes del decisor para una señal r(t)=Ag(t)cosωct+θm)=AImg(t)cosωct-AQmg(t)sinωct se hace más facilmente si se usa la expresión en base a sus coordenadas de 4.2:

Ingeniería de Telecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

6

Examen Final de Junio de la Teoría de la Comunicación

21 de Junio de 2010

T

∫

Ri = r (t )ψ i (t ) dt =< r (t ),ψ i (t ) >=< S m1ψ 1 (t ) + S m 2ψ 2 (t ) ,ψ i (t ) >= 0

= S m1 < ψ 1 (t ),ψ i (t ) > + S m 2 < ψ 2 (t ),ψ i (t ) > .

Si ahora se particulariza para i=1,2, por la ortogonalidad, R1=Sm1 y R2=Sm2. Los valores obtenidos de las muestras son las coordenadas de la señal recibida respecto de la base.

Decisión por distancia mínima

Para el caso M=2, se puede eliminar una rama (la constelación son dos señales antipodales, y se podría tomar sólo las componentes en fase) o utilizar un receptor con umbral 0:

Receptor óptimo

Suponga ahora que el canal tiene un ancho de banda limitado. 4.3. ¿En que se traduce la limitación de ancho de banda?. Si el ancho de banda de canal del que se dispone son 6 MHz y se pudiera utilizar un sistema M-PSK de M señales, elija el valor de M mínimo para poder transmitir los 20 Mbps por el canal y el criterio en el que se basa. (0.5 ptos).

Se traduce en Interferencia entre Símbolos (al muestrear en el receptor se solapan las muestras de distintos símbolos). Para que no haya IES, se tiene que cumplir el criterio de Nyquist: la suma de X(f) y sus réplicas desplazadas múltiplos enteros de la velocidad de símbolo (1/T) debe ser constante para todas las frecuencias. En PAM banda base, este criterio se traduce en que para Bx