Objetivo: Abordar la dimensión histórica de la matemática.

Nota: De manera intuitiva, el uso transitorio del nuevo número i permite hallar una solución real a la ecuación.

Objetivo: Establecer la relación entre los puntos del plano y los números complejos.

1. Resolución de una ecuación de tercer grado. El fin de esta actividad es resolver la ecuación (E) x3 = 15 x + 4. 1. Donde se buscan las soluciones de la forma u + v. a) Demuestra que u + v es solución de (E) si y sólo si, u3 + v3 + 3(uv – 5)(u + v) – 4 = 0. b) Se buscan u y v tales que uv = 5. Demuestra que si u3v3 = 125 y si u3 + v3 = 4 entonces u + v es solución de (E). c) Verifica que para todo real x, (x – u3)(x – v3) = x2 – 4x + 125. Nos interesamos seguidamente en la ecuación (E’) x2 – 4x + 125 = 0. d) Muestra que la ecuación (E’) no tiene solución en R. 2. Imaginemos un nuevo número para proseguir… Se considera en lo que sigue un nuevo número notado i tal que i2 = –1 y se efectúan los cálculos con él de la misma manera que con los números reales. a) Demuestra que la ecuación (E’) se puede escribir: [x – (2 + 11i)][x – (2 – 11i)] = 0. Las soluciones de la ecuación (E’) se escriben, con ese nuevo número, así: 2 + 11i y 2 – 11i. b) Calcula (2 + 11i)3 y (2 – 11i)3. c) Deduce de los cálculos de la parte 1. una solución de la ecuación (E). d) Verifica que para todo real x, x3 – 15x – 4 = (x – 4)(x2 + 4x + 1). e) Resuelve la ecuación (E).

2. Hacia una representación geométrica de los números complejos. (O; OU ; OV ) es un referencial ortonormal del plano. A todo punto P del eje de las abscisas se le asocia su abscisa x que es un número real. Se efectúa la convención de que es posible asociar a todo otro punto del plano un nuevo número llamado número complejo. • Si Q es el punto de coordenadas (O; y), ese número se denota con iy (se lee «i ye»). • De manera general, si M es el punto de coordenadas (x; y), ese número se denota con x + iy.

M

Q V O

U

P

B A D

V O

U

C

a) Escribe los números complejos zA, zB, zC, y zD asociados a los puntos A, B, C y D de la figura anterior. b) Construye el punto S tal que: OS = OA + OC . ¿Cuál es el número complejo z asociado al punto S?

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c) Construye el punto T tal que: OT = 2OA . ¿Cuál es el número complejo z asociado al punto S? d) Ubica los puntos F, G y H que corresponden respectivamente a los complejos: zF = i(–2), zG = 5 + i y zH = –3 – i. En 1811, Carl F. Gauss escribía: «De la misma manera que se puede representar todo el dominio de los reales por medio de la recta…, de la misma manera se pueden representar los reales y los imaginarios por medio de un plano donde cada punto, determinado por su abscisa a y su ordenada b, represente al mismo tiempo la cantidad a + ib…»

Objetivo: Aproximar la escritura de los números complejos a la forma trigonmétrica.

3. Coordenadas polares y coordenadas cartesianas. (O; OU ; OV ) es un referencial ortonormal del plano. 1. Puntos particulares. 2π 1 π A y B son los puntos del plano de coordenadas polares respectivas (2; ------ ) y ( --- ; – --- ) en el 3 2 4 referencial (O; OU ; OV ). a) Efectúa una figura y ubica los puntos A y B. b) Determina la medida del ángulo ( OA ; OB ). c) Calcula las coordenadas cartesianas de los puntos A y B. d) A′ es el simétrico del punto A respecto del eje de las abscisas. determina un par de coordenadas polares del punto A′. e) B′ es el simétrico del punto B respecto del punto O. determina un par de coordenadas polares del punto B′. 2. En general. M es un punto distinto de O, de coordenadas polares (r; θ) en el referencial (O; OU ). Da una condición necesaria y suficiente para que M pertenezca: a) al eje de las abscisas; b) al eje de las ordenadas; c) a la recta de ecuación y = x; d) a la circunferencia de centro O radio 2; e) al círculo de centro O y radio 1.

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Introducción histórica de los números complejos. ¿Cómo y por qué aparecen los números complejos? Los números complejos no han entrado en la matemática del mismo modo en que lo han hecho los números naturales, los racionales o incluso los reales, es decir, como construcciones abstractas buscadas exprofeso para resolver un problema: los números complejos se han colado «por la puerta de atrás». Los matemáticos se toparon de frente con ellos sin saber muy bien qué hacer, y fueron considerados una anomalía, algo embarazoso que «ensuciaba» el Álgebra, hasta que primero Argand y después, sobretodo, Gauss, les dieron el status que les correspondía al dar una interpretación geométrica de los números complejos. A partir de ahí revelan todo su potencial práctico y entran por la puerta grande en la física y en la ingeniería, de modo que actualmente, la teoría más moderna sobre la Naturaleza, la mecánica cuántica, no se puede formular sin emplear números complejos; el diseño de circuitos de corriente alterna se basa en los complejos; la teoría de control de sistemas tiene su expresión más simple en números complejos... y los números complejos pueblan la matemática con la naturalidad con que antes lo hacían los números reales. La primera manipulación de números complejos se debe a Girolamo Cardano (1501–1576), a quien debemos las fórmulas para la solución de las ecuaciones degrado 3 y 4. Cardano era, además de matemático, un afamado médico de Milán. Las fórmulas de la solución de la ecuación cúbica no son suyas, sino que se deben a Tartaglia, otro matemático contemporáneo suyo, a quien persuadió de que se las revelara, en1539, bajo el juramento de no divulgarlas hasta que éste las publicara. Cardano no cumplió su promesa y en 1545 las fórmulas aparecieron en su Ars Magna, obra considerada hoy como el germen del álgebra. Para ilustrar las fórmulas, Cardano resuelve una serie de ejemplos. En el capítulo 37 se plantea el siguiente problema: dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos tenga área 40. Si los dos trozos miden x y10–x, la ecuación que plantea el problema es: x(10 – x) = 40. El propio Cardano admite que el problema no tiene solución, ya que el rectángulo de mayor área que se puede construir, un cuadrado, correspondería a la división del segmento en dos iguales de longitud 5, y tendría, por tanto, área 25. Aplicando las fórmulas de las raíces de las ecuaciones cuadráticas, Cardano obtiene 5 + – 15 y 5 – – 15 como longitudes de los segmentos. Desde luego, afirma que tales soluciones son «imposibles», porque involucran la raíz cuadrada de números negativos; sin embargo, si uno las multiplica, 2

2

2

( 5 + – 15 ) ( 5 – – 15 ) = 5 – ( – 15 ) = 5 – ( – 15 ) = 40 , que es, efectivamente, el área buscada. Así que concluye que, de alguna manera «sutil» ambas expresiones son solución de la ecuación, pero se apresura a denominar «quantitas sophistica», es decir, algo así como «número formal», a la expresión

– 15 .

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3

El álgebra de Cardano fue ampliada y desarrollada posteriormente por Rafael Bombelli (1526–1572), cuyos trabajos se recogen en su obra L’algebra, publicada en Bolonia en1572. En dicha obra Bombelli vuelve a manipular números complejos, y lo hace correctamente. El ejemplo más destacable es la manipulación que hace de las f´ormulas de Cardano para resolver la ecuación cúbica: x3 = 15x+4, una de cuyas soluciones es, claramente, x = 4. Fórmula de Cardano para la ecuación del tipo: x3 = px +q con p > 0 y q > 0, 2

3

q p Si ⎛ ---⎞ – ⎛ ---⎞ ≥ 0 entonces el real: ⎝ 2⎠

3

⎝ 3⎠

q 2 p 3 q 2 p 3 q--+ ⎛⎝ ---⎞⎠ – ⎛ ---⎞ + 3 q--- – ⎛⎝ ---⎞⎠ – ⎛ ---⎞ es solución. ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2 2 2 2

Aplicada a la ecuación cúbica propuesta, dan como una solución la expresión: x = 3 2 + – 121 + 3 2 – – 121 El propio Cardano había concluido de este resultado que sus fórmulas no eran aplicables a este caso; sin embargo, Bombelli razona de la siguiente manera: 3

2

2

3

2 ± – 121 = 2 ± – 1 .

3

3

( 2 ± – 1 ) = 2 ± 3 × 2 × – 1 + 3 × 2 × ( – 1 ) ± ( – 1 ) = 2 ± – 121 de donde concluye que: Entonces: x = 3 2 + – 121 + 3 2 – – 121 = 2 + – 1 + 2 – – 1 = 4 que es, en efecto, una solución de la ecuación. Con esta manipulación Bombelli salva el álgebra de Cardano y aporta la primera manipulación algebraica de números complejos para resolver un problema de la historia. En 1637, Descartes, en el apéndice La géométrie de su obra Discourse de la méthode, afirma: «Ni las raíces verdaderas ni las falsas son siempre reales; a veces son imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar tantas raíces de cada ecuación como grado haya asignado, no siempre hay una cantidad definida que corresponda a cada raíz imaginada». Y con esta frase bautiza como imaginarias las expresiones que contienen raíces cuadradas de números negativos. Pero a pesar de que los algebristas parecen dispuestos a admitir la existencia de estos “engendros” para salvar el Álgebra, los números “imaginarios” tienen muchos detractores. Y no les falta razón, dado que la manipulación de las raíces de números negativos no es consistente; véase, sino, este sencillo ejemplo: 2

2

–1 = ( –1 ) = –1 × –1 = ( –1 ) = 1 = 1 . Newton, por ejemplo, afirma que la existencia de estas raíces no es m´as que la expresión de la insolubilidad de un problema. Al mismo tiempo, Leibnitz hace una nueva aportación al álgebra de los complejos descubriendo la identidad: 1 + –3 + 1 – –3 = 6 muy fácil de demostrar sin más que elevar los dos miembros al cuadrado. Además, afirma que expresiones como ln(–1) son números imaginarios.

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El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números complejos en la matemática se debe a Euler (1707–1783). Éste hizo una cosa muy sencilla, y al mismo tiempo de un enorme alcance: definió un nuevo número, al que llamó i: i = –1 y le dio el mismo status de existencia que a los números reales. De él afirmó que no era ni mayor, ni menor, ni igual a ningún número real, y definió las reglas de suma y multiplicación de este número que hoy conocemos. En particular la conocida i2 = –1. Con este aporte aparecen de lleno los números complejos como el conjunto de todas las expresiones algebraicas construibles con los reales y este nuevo número, y desaparece el problema de la ambigüedad de las raíces de números negativos. Con estas herramientas Euler empieza a manipular expresiones complejas con una maestría sin precedentes, y nos aporta muchas de las mayores contribuciones al análisis matemático. Entre sus mayores aportaciones está la denominada fórmula de Euler, eiθ = cosθ + isenθ, que define la exponencial de un número complejo y la relaciona con las funciones trigonométricas. Y como caso particular, Euler obtiene su famosa ecuación: eiπ + 1 = 0, que relaciona cinco de los números más importantes de la matemática: 0, 1, e, i y π. El último paso en este proceso lo dieron Argand (1768– 1822) y Gauss (1777–1855), quienes introdujeron el plano complejo, es decir, una representación de los números complejos x+iy en la que x es la coordenada sobre un eje cartesiano y y la coordenada sobre el eje perpendicular. Todas las operaciones con complejos tienen su contra partida geométrica en el plano. De este modo, por fin, los matemáticos pudieron «ver» los números complejos, pese a que Descartes afirmaba que eran imposibles de visualizar. Asimismo, definir, por ejemplo, funciones de una variable compleja no es más que otra manera de tratar con funciones de dos variables, revelando unas estructuras muy ricas que abren posibilidades insospechadas al análisis matemático.

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Soluciones.

1. Resolución de una ecuación de tercer grado. 1. a) u + v soluciones de (E) si, y solamente si, (u + v)3 = 15(u + v) + 4 si, y solamente si, u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 – 15(u + v) – 4 = 0 si, y solamente si: u3 + v3 + 3uv(u + v) – 15(u + v) – 4 = 0 si, y solamente si: u3 + v3 + 3(u + v) (uv – 5) – 4 = 0. b) Si u3v3 = 125 y u3 + v3 = 4, entonces (¡con uv real!) uv =

3

125 = 5 y

u3 + v3 + 3(u + v) (uv – 5) – 4 = 4 + 0 – 4 = 0. Así de acuerdo a la parte a) u + v es entonces solución de (E). c) Se tiene entonces que para todo real x, (x – u3) (x – v3) = x2 – (u3 + v3)x + u3v3 = x2 – 4x + 125. d) Es una ecuación de grado 2 con coeficientes reales de discriminante Δ = (– 4)2 – 4×1×125 < 0. 2. a) Se tiene entonces que para todo real x, se puede desarrollar/reducir con las reglas usuales: (x – (2 + 11i) (x – (2 – 11i)) = x2 – (2 + 11i + 2 – 11i)x + (2 + 11i) (2 – 11i) = x2 – 4x + 22 – 112×i2 – 4x + 125. b) Con las reglas usuales, se llega a (2 + i)3 = 23 + 3 × 22i + 3×2i2 + i3 = 8 + 12i + 6×(– 1) + (– 1)×i = 2 + 11i y análogamente (2 – i)3 = 8 – 12i – 6 + i = 2 – 11i. c) Considerando u = 2 + i y v = 2 – i, se tiene así (con las reglas del cálculo): uv = 22 – i2 = 5 y u3 + v3 = (2 + 11i) + (2 – 11i) = 4. Entonces por 1. b) u + v = 4 debería ser solución de (E). d) Para todo real x, (x – 4) (x2 + 4x + 1) = x3 + 4x2 + x – 4x2 – 16x – 4 = x3 – 15x – 4. e) 42 – 4×1×1 = 12 > 0 entonces (E) tiene tres soluciones reales: 4; –2 +

3 y –2 –

3.

2. Hacia una representación geométrica de los números complejos. a) zA = 3 + 2i, zB = 3i, zC = 2 – i, zD = – 3 + i. b) z = 5 + i. c) z = 6 + 4i. d) T B A D

V

H

O

S=G U F

C

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3. Coordenadas polares y coordenadas cartesianas. 1. a) 2 A 1 B′ O –2

1

–1

2

B –1 A′ –2 b) Se puede tomar – π --- – 2π ------ = – 11π --------- . 4 3 12 c) A(– 1;

2 3 ) y B( ------- ; – ------2- ). 4 4

d) (2; – 2π ------ ). 3 1 e) ( --- ; – 3π ------ ). 2 4 2. a) θ = kπ con k ∈ Z. π b) θ = --- + kπ con k ∈ Z. 2 π c) θ = --- + kπ con k ∈ Z. 4 d) r = 2. e) r ≤ 1.

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