Chapter 1 Complementos de teor´ıa de curvas 1.1

El caso particular de las curvas planas.

Una curva en el espacio cuya torsi´ on se anula est´ a contenida en alg´ un plano. Supongamos que ese plano es el z = 0, identificado de manera natural con R2 . Sea α(t) = (x(t), y(t)) una curva parametrizada1 regular en el plano. Entonces el vector tangente unitario es t=

α! (x! , y !) ! = . |α!| x! 2 + y !2

on u ´ nica de un vector unitario Por estar en R2 , dado t(t) tenemos una elecci´ ˆ (t) de tal forma que la base {t(t), n ˆ (t)}, resulte positivamente ortogonal n orientada. En concreto: (−y ! , x! ) ˆ=! n . x! 2 + y !2 Como t˙ :=

t! |α! |

es ortogonal a t, necesariamente

ˆ, t˙ = kˆ n

x! y !! − x!! y ! ˙ n ˆ >= . kˆ =< t, 3/2 (x! 2 + y ! 2 )

Definici´ on. Dada la curva parametrizada regular plana α(t) = (x(t), y(t)) y t perteneciente a su intervalo de definici´ on, la normal orientada de la ˆ ˆ (t) y la curvatura con signo es k(t). curva en t es n 1

Todas las curvas se considerar´ an diferenciables, al menos de clase C 2

3

CHAPTER 1. COMPLEMENTOS DE TEOR´IA DE CURVAS

4

Interpretaci´ on de la curvatura con signo. La aplicaci´on tangente unitaria es una aplicaci´ on diferenciable del intervalo de definici´ on de α en la 1 2 on diferenciable circunferencia, esto es, t : I → S ⊂ R . Existe una aplicaci´ φ : I → R de tal forma que t(t) = cos φ(t)e1 + sin φ(t)e2 . Derivando t! (t) = (− sin φ(t)e1 + cos φ(t)e2 )φ! (t). Por lo tanto

! ˆ = φ (t) . k(t) |α! (t)|

ˆ = En particular si la curva est´ a parametrizada por la longitud de arco k(t) ! φ (t). La curvatura con signo mide la variaci´ on de φ, que es el a´ngulo desde ˆ el vector e1 hasta el vector tangente. En los puntos en los que k(t) > 0 el angulo es creciente y la curva gira en sentido contrario a las agujas del ˆ < 0 el angulo es decreciente y la curva reloj. En los puntos en los que k(t) gira en el sentido de las agujas del reloj. Definiciones. • En los puntos donde la curvatura no se anula, el radio de curvatura 1 1 ˆ (t). y el centro de curvatura como α(t) + k(t) se define como |k(t)| ˆ n ˆ • La circunferencia cuyo centro es el centro de curvatura y cuyo radio es el radio de curvatura se llama circunferencia osculatriz. • La evoluta de una curva α es la curva que describen sus centros de curvatura 1 ˆ (t). αevta (t) = α(t) + n ˆ k(t)

1.2

Pr´ acticas

Curvas planas: visualizaci´ on de la traza y las rectas tangentes. Una aplicaci´ on diferenciable α : IR → IR2 se dice que es una curva parametrizada en el plano. Se denomina traza al conjunto imagen α(IR) y para cada t0 ∈ IR se dice recta tangente a α en t0 a la recta que pasa por α(t0 ) en la direcci´ on de α! (t0 ).

´ 1.2. PRACTICAS

5

a) Sean p = (p1 , p2 ) y q = (q1 , q2 ) dos puntos distintos de IR2 . Encuentra la expresi´ on de una curva parametrizada, α, cuya traza sea la recta que pasa on de la recta tangente por p y por q. Para cada t0 ∈ IR calcula la expresi´ a α en t0 . b) Sea P(a) la par´abola de ecuaci´on y = ax2 , esto es, P(a) = {(x, y) ∈ on de una curva parametrizada α cuya IR2 ; y = ax2 }. Encuentra la expresi´ traza sea P(a). Para cada t0 ∈ IR calcula la expresi´ on de la recta tangente a α en t0 . Dibuja las par´abolas para los valores de a ∈ {−2, −1, − 12 , 0, 12 , 1, 2}. En la par´abola con a = 1, dibuja las rectas tangentes en t0 = 1, t0 = 2. c) Sea E(a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E(a,b) = {(x, y) ∈ IR2 ;

x2 y 2 + 2 = 1}. a2 b

d) Demuestra que α(t) = (a cos t, b sin t) es una curva parametrizada cuya traza es la elipse E(a,b) y encuentra la condici´ on necesaria y suficiente para que los n´ umeros reales t0 , t1 verifiquen α(t0 ) = α(t1 ). e) Para cada t0 ∈ IR calcula la recta rt0 ≡ {α(t0 ) + λα! (t0 ); λ ∈ IR}. Demuestra que si α(t0 ) = α(t1 ) entonces α! (t0 ) = α! (t1 ), y por tanto, para cada p ∈ E(a,b) podr´ıa definirse la recta tangente en p como cualquiera de las rectas rt0 , con t0 ∈ IR tal que α(t0 ) = p. f ) Dibuja las elipses para los valores a = 1, b = 2; a = 1, b = 4; a = 2, b = 1. Dibuja tambi´en en alguna de ellas las rectas tangentes en t = 0, t = π4 , t = π2 . g) Encuentra una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro p ∈ IR2 y radio a > 0. h)A continuaci´ on tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas. Suponiendo que cada traza lo es de alguna de las tres curvas asocia a cada curva su traza dando un razonamiento convincente: a) α(t) = "(t − 2 sin t, 1 − 2 cos#t), t t b) β(t) = e 20π cos t, e 20π sin t , # " cos t sin t cos t , . c) γ(t) = 1+sin 2 t 1+sin2 t

6

CHAPTER 1. COMPLEMENTOS DE TEOR´IA DE CURVAS

3 2 1 -7.5

-5

-2.5

-1

5

2.5

7.5

Figure 1.1:

0.3 0.2 0.1 -1

-0.5

-0.1 -0.2 -0.3

0.5

1

Figure 1.2:

4

2

-4

-2

2

-2

-4

-6 Figure 1.3:

4

´ 1.2. PRACTICAS

7

Curvas planas: c´ alculo y visualizaci´ on de la curvatura con signo. Nota. Una curva se dice simple si es inyectiva. De una curva α : [a, b] → IRn , definida en un intervalo cerrado, se dice que es cerrada si α(a) = α(b); y que es cerrada simple si es cerrada y los u´nicos puntos donde se repite su valor son los extremos del intervalo. $ % 1.- Se considera la curva parametrizada α(t) = sin t, 12 sin 2t . a) Demuestra que es una curva diferenciable y regular pero no es simple. b) Demuestra que si la restringimos al intervalo [0, 2π] es cerrada. c) Escribe la ecuaci´ on de la recta tangente en un punto t0 ∈ [0, 2π] arbitrario. Encuentra los puntos donde esta recta es horizontal y los puntos donde es vertical. d) Calcula la recta tangente en t0 = 0 y en t0 = 2π, y demuestra que ambas coinciden. Calcula la recta tangente en t0 = π.¿Coincide con la anterior? ¿Tiene sentido hablar de la recta tangente a la traza en (0, 0)? e) Dibuja la traza de la curva α(t). 2.- Sea β(t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sin t). Esta curva se denomina cardioide y su traza la tienes abajo. a) Demuestra que la curva β(t) restringida a [−π, π] es una curva cerrada. ¿Se trata de una curva regular? ¿Se puede definir la recta tangente a la traza en (0, 0)? b) Calcula la curvatura de esta curva parametrizada. c) Demuestra que β restringida a [−π, π] es una curva cerrada simple.

8

CHAPTER 1. COMPLEMENTOS DE TEOR´IA DE CURVAS

Cardioide

1

0.5

0.5

1

-0.5

-1

Figure 1.4:

1.5

2