Actividades resueltas de Dinámica

1

Sobre un cuerpo de 25 kg actúa una fuerza de 10 N durante 3 s. Calcular: a) El impulso de la fuerza. b) La variación de la cantidad de movimiento del cuerpo. c) Su velocidad final si en el momento de actuar la fuerza, el cuerpo se mueve a 4 m/s. Solución: a) I = F ⋅ ∆t = 10 ⋅ 3 = 30 N ⋅ s

b) ∆p = I = 30 N ⋅ s c) ∆p = m ⋅ v f − m ⋅ v 0 ⇒ 30 = 25 ⋅ v f − 25 ⋅ 4 ⇒ v f =

2

30 + 25 ⋅ 4 = 5,2 m/s 25

Sobre un cuerpo de 75 kg actúa una fuerza de 55 N durante 14 s. Calcular: a) El impulso de la fuerza. b) La variación de la cantidad de movimiento del cuerpo. c) Su velocidad final si en el momento de actuar la fuerza, el cuerpo se mueve a 9 m/s. Solución: a) I = F ⋅ ∆t = 55 ⋅ 14 = 770 N ⋅ s

b) ∆p = I = 770 N ⋅ s c) ∆p = m ⋅ v f − m ⋅ v 0 ⇒ 770 = 75 ⋅ v f − 75 ⋅ 9 ⇒ v f =

3

770 + 75 ⋅ 9 = 19,26 m/s 75

Un camión de 12 toneladas que circula una velocidad de 40 km/h se ve obligado a entrar en una pista de frenado de 50 m. Calcula la aceleración de frenado y la resistencia que debe ofrecer la pista para que el camión se detenga sin salirse de la pista. Calcula también el tiempo que tardará en pararse. Solución:

40 km/h =

40 ⋅ 1 000 = 11,11 m/s 3 600

Para que el camión se detenga : v = v 0 + a ⋅ t ⇒ 0 = 11,11 + a ⋅ t    ⇒  1 1 2 2 x = v ⋅ t + ⋅ a ⋅ t ⇒ 50 = 11,11 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t 0   2 2    − 11,11  a ⋅ t = −11,11 ⇒ a =  a = −1,23 m/s2  t ⇒ ⇒    t = 9 s  50 = 11,11 ⋅ t + 1 ⋅ (− 11,11) ⋅ t    2 La resistencia que debe ofrecer la pista será una fuerza que se oponga al movimiento: F = m ⋅ a ⇒ F = 12 000 ⋅ ( −1,23 ) = −14760 N

4

Calcular el impulso necesario para que un automóvil de 950 kg de masa, reduzca su velocidad desde 120 km/h hasta 80 km/h.

1

Solución:

120 ⋅ 1 000 = 33,33 m/s 3 600 80 ⋅ 1 000 80 km/h = = 22,22 m/s 3 600 ∆p = m ⋅ v f − m ⋅ v 0 ⇒ ∆p = 950 ⋅ 33,33 − 950 ⋅ 22,22 = 10 554,5 N ⋅ s

120 km/h =

5

Un patinador de 70 kg se impulsa sobre el hielo con una fuerza de 130 N. Si inicialmente se encuentra en reposo, ¿qué velocidad alcanza a los 5 s y qué distancia recorre en ese tiempo? Solución:

F 130 = = 1,85 m/s 2 m 70 v = v 0 + a ⋅ t = 0 + 1,85 ⋅ 5 = 9,25 m/s  A los 5 s ⇒  1 1 2 2 x = x 0 + v 0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t = 0 + 0 + ⋅ 1,85 ⋅ 5 = 23,12 m 2 2  F = m⋅a ⇒ a =

6

Calcula la fuerza que se opone a un movimiento que se desarrolla a una velocidad constante de 50 m/s. Solución: Si la velocidad es v = 50 m/s = cte v = 50 m / s = cte ⇒ a = 0 ⇒ ∑ F = Fn − Fo = m ⋅ a = 0 ⇒ Fa = Fo

7

Una bola de billar de 0,4 kg se desliza por el suelo, sin rozamiento, a una velocidad de 1 m/s. Otra bola que se desliza en la misma dirección y sentido impulsa a la primera con una fuerza de 1,5 N. Calcula la velocidad que alcanza la primera bola a los 2 s de producirse el choque y la distancia que recorre en ese tiempo. Solución: La fuerza que sufre la primera bola al ser golpeada es: F 1,5 F = m⋅a ⇒ a = = = 3,75 m/s2 m 0,4

v = v 0 + a ⋅ t = 1 + 3,75 ⋅ 2 = 8,5 m/s  A los dos segundos: ⇒  1 1 2 2 x = x 0 + v 0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t = 0 + 1⋅ 2 + ⋅ 3,75 ⋅ 2 = 9,5 m 2 2 

8

Un objeto de 200 g de masa se ve sometido a dos fuerzas de 5 N. Calcula la aceleración de dicha masa cuando las fuerzas son de la misma dirección y sentido. Solución: Según la segunda ley de la Dinámica, la aceleración comunicada a un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante aplicada. FR = F + F = 2F = 10N 10 = 50 m/s2  ⇒ 10 = 0,2 ⋅ a ⇒ a = FR = m ⋅ a 0,2 

9

Una vagoneta circula por una vía a una velocidad de 25 km/h sin que actúe ninguna fuerza sobre ella, ¿qué velocidad tendrá al cabo de 30 s?

2

Solución: Si no actúa ninguna fuerza, la aceleración será nula, con lo que la velocidad se mantiene constante. Asi pues, a los 30 s, la velocidad seguirá siendo 25 km/h.

10 Se aplica una fuerza F sobre un objeto de masa m1, imprimiéndole una aceleración de 3 m/s2. Esa misma fuerza se aplica sobre un objeto de masa m2 y le produce una aceleración de 12 m/s2. ¿Qué relación existe entre ambas masas? Solución: Según la segunda ley de la Dinámica, la aceleración que un cuerpo experimenta al aplicarle una fuerza es inversamente proporcional a la masa del cuerpo: F = m1 ⋅ a1  m1 a2 12 = = = 4 ⇒ m1 = 4 ⋅ m2  ⇒ m1 ⋅ a1 = m2 ⋅ a2 ⇒ F = m2 ⋅ a2  m2 a1 3 La masa m1 es 4 veces mayor que la masa m2.

11 Sobre una masa m actúan dos fuerzas iguales. Calcula la aceleración de dicha masa cuando las fuerzas son de la misma dirección y sentido contrario. Solución: Según la segunda ley de la Dinámica, la aceleración comunicada a un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante aplicada. FR = F - F = 0 ⇒a=0 FR = m ⋅ a 

12 Un patinador se desliza a una velocidad de 2 m/s. Si sobre él no actúa ninguna fuerza, ¿qué velocidad tendrá al cabo de 7 s? Solución: Si no actúa ninguna fuerza, la aceleración será nula, con lo que la velocidad se mantiene constante. Así pues, a los 7 s, la velocidad seguirá siendo 2 m/s.

13 Se aplica una fuerza F sobre un objeto de masa m1, imprimiéndole una aceleración de 14 m/s2. Esa misma fuerza se aplica sobre un objeto de masa m2 y le produce una aceleración de 21 m/s2. ¿Qué relación existe entre ambas masas? Solución: Según la segunda ley de la Dinámica, la aceleración que un cuerpo experimenta al aplicarle una fuerza es inversamente proporcional a la masa del cuerpo: F = m1 ⋅ a1  m1 a2 21 = = = 1,5 ⇒ m1 = 1,5 ⋅ m2  ⇒ m1 ⋅ a1 = m2 ⋅ a2 ⇒ F = m2 ⋅ a 2  m2 a1 14 La masa m1 es 1,5 veces mayor que la masa m2.

14 Un objeto de 160 g de masa se ve sometido a dos fuerzas de 20 N. Calcula la aceleración de dicha masa cuando las fuerzas son de la misma dirección y sentido.

3

Solución: Según la segunda ley de la Dinámica, la aceleración comunicada a un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante aplicada. FR = F + F = 2F = 40N 40 = 250 m/s2  ⇒ 40 = 0,16 ⋅ a ⇒ a = FR = m ⋅ a 0,16 

15 Un vehículo de 1 000 kg asciende por una pendiente que forma un ángulo de 15º con la horizontal, recorriendo 50 m sobre el plano en 10 s. Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular la aceleración del vehículo y la fuerza que ejerce el motor. Solución: Suponiendo que parte del reposo: 1 2 ⋅ x 2 ⋅ 50 x = ⋅ a ⋅ t2 ⇒ a = 2 = = 1 m/s 2 2 t 10 2 Basándonos en el segundo principio: r r ∑ F = m ⋅ a ⇒ Fm − Px = m ⋅ a ⇒ Fm = Px + m ⋅ a

Fm = m ⋅ g ⋅ sen α + m ⋅ a = 1 000 ⋅ 9,8 ⋅ sen 15º +1 000 ⋅ 1 = 3 536,4 N

16 Se arrastra un cuerpo de 15 kg por una mesa horizontal con una fuerza de 50 N paralela a la mesa. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,3, calcular: a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) ¿Qué velocidad habrá alcanzado a los 4 s, si parte del reposo? Solución:

a) Aplicando la 2ª ley de Newton y teniendo en cuenta la fórmula del rozamiento: F - Froz = m ⋅ a   ⇒ F - µ⋅m ⋅ g = m ⋅a Froz = µ ⋅ N = µ ⋅ m ⋅ g F - µ ⋅ m ⋅ g 50 - 0,3 ⋅ 15 ⋅ 9,8 Despejando: a = = = 0,4 m/s 2 m 15 b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 = 0 + 0,4 ⋅ 42 = 6,4 m/s

17 Calcula la fuerza de rozamiento estático que se produce en un plano, inclinado 60º, para conseguir que un cuerpo de 2 kg permanezca en reposo sobre el plano.

4

Solución:

Para que permanezca en reposo: a x = 0 ⇒ ∑ Fx = m ⋅ a x = 0 Por lo tanto: ,Froz − Px = 0 ⇒ Froz = Px = m ⋅ g ⋅ sen α Sustituyendo: Froz = 2 ⋅ 9,8 ⋅ sen 60º = 16,9 N

18 Calcula el coeficiente de rozamiento cinético para que un cuerpo descienda por un plano, inclinado 60º, a velocidad constante. Solución:

v = cte ⇒ a = 0 ⇒ Froz − Px = 0 ⇒ Froz = Px = m ⋅ g ⋅ sen α Además: Froz = µ ⋅ N = µ ⋅ Py = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α Entonces: m ⋅ g ⋅ sen α = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α ⇒ µ =

m ⋅ g ⋅ sen α = tg α = tg 60º = 1,73 m ⋅ g ⋅ cos α

19 Se arrastra un cuerpo de 8 kg por una mesa horizontal, sin rozamiento, con una fuerza de 32 N que forma un ángulo de 60º con la mesa. a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) Si en el instante de aplicar la fuerza se movía con una velocidad de 3 m/s, ¿qué velocidad habrá alcanzado a los 5 s?

5

Solución:

a) La fuerza causante del movimiento es la componente Fx. r r Basándonos en el segundo principio: ∑ F = m ⋅ a Teniendo en cuenta la componente horizontal de la fuerza: Fx = m ⋅ a  Fx F ⋅ cos α 32 ⋅ cos 60º = = = 2 m/s2 ⇒a= Fx = F ⋅ cos α m m 8 b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 = 3 + 2 ⋅ 5 2 = 53 m/s

20 Se desplaza un cuerpo de 8 kg por una mesa horizontal por la acción de una fuerza de 32 N que forma un ángulo de 60º con la mesa. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,14, calcular: a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) Si en el instante de aplicar la fuerza se movía con una velocidad de 1 m/s, ¿qué velocidad habrá alcanzado a los 10 s?

6

Solución:

a) Se descompone el movimiento aplicando el 2º principio: Fx - Froz   OX : Fx - Froz = m ⋅ a ⇒ a = m   OY : Fy + N = P ⇒ N = P - Fy  Para calcular la aceleración sustituimos: Fy = F ⋅ sen α    Fx - Froz F ⋅ cos α - µ ⋅ (m ⋅ g - F ⋅ sen α) = Fx = F ⋅ cos α ⇒a= m m F = µ ⋅ N = µ ⋅ P - F = µ ⋅ (m ⋅ g - F ⋅ sen α ) y   roz 32 ⋅ cos 60º-0,14 ⋅ (8 ⋅ 9,8 - 32 ⋅ sen 60º ) Sustituyendo los datos conocidos: a = = 1,11 m/s 2 8

(

)

b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 = 1 + 1,11⋅ 10 2 = 112 m/s

21 Un vehículo de 800 kg asciende por una pendiente que forma un ángulo de 15º con la horizontal, recorriendo 32 m sobre el plano en 5 s. Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular la aceleración del vehículo y la fuerza que ejerce el motor. Solución: Suponiendo que parte del reposo: 1 2 ⋅ x 2 ⋅ 32 x = ⋅ a ⋅ t2 ⇒ a = 2 = = 2,56 m/s 2 2 t 52 Basándonos en el segundo principio: r r ∑ F = m ⋅ a ⇒ Fm − Px = m ⋅ a ⇒ Fm = Px + m ⋅ a

Fm = m ⋅ g ⋅ sen α + m ⋅ a = 800 ⋅ 9,8 ⋅ sen 15º +800 ⋅ 2,56 = 4 077,14 N

22 Se arrastra un cuerpo de 45 kg por una mesa horizontal por la acción de una fuerza de 170 N que forma un ángulo de 60º con la mesa. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,23, calcular: a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 6 m/s, suponiendo que parte del reposo?

7

Solución:

a) Se descompone el movimiento aplicando el 2º principio: Fx - Froz   OX : Fx - Froz = m ⋅ a ⇒ a = m   OY : Fy + N = P ⇒ N = P - Fy  Para calcular la aceleración sustituimos: Fy = F ⋅ sen α    Fx - Froz F ⋅ cos α - µ ⋅ (m ⋅ g - F ⋅ sen α) = Fx = F ⋅ cos α ⇒a= m m F = µ ⋅ N = µ ⋅ P - F = µ ⋅ (m ⋅ g - F ⋅ sen α ) y   roz 170 ⋅ cos 60º-0,23 ⋅ (45 ⋅ 9,8 - 170 ⋅ sen 60º ) Sustituyendo los datos conocidos: a = = 0,38 m/s 2 45

(

)

b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 ⇒ t =

vf − v0 = a

6−0 = 3,9 s 0,38

23 Se arrastra un cuerpo de 25 kg por una mesa horizontal, sin rozamiento, con una fuerza de 70 N que forma un ángulo de 60º con la mesa. a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 2 m/s, suponiendo que parte del reposo?

8

Solución:

a) La fuerza causante del movimiento es la componente Fx. r r Basándonos en el segundo principio: ∑ F = m ⋅ a Teniendo en cuenta la componente horizontal de la fuerza: Fx = m ⋅ a  Fx F ⋅ cos α 70 ⋅ cos 60º = = = 1,4 m/s2 ⇒a= Fx = F ⋅ cos α m m 25 b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 ⇒ t =

vf − v0 = a

2−0 = 1,2 s 1,4

24 Calcula la fuerza de rozamiento estático que se produce en un plano, inclinado 45º, para conseguir que un cuerpo de 20 kg permanezca en reposo sobre el plano. Solución:

Para que permanezca en reposo: a x = 0 ⇒ ∑ Fx = m ⋅ a x = 0 Por lo tanto: ,Froz − Px = 0 ⇒ Froz = Px = m ⋅ g ⋅ sen α Sustituyendo: Froz = 20 ⋅ 9,8 ⋅ sen 45º = 138,6 N

9

25 Se arrastra un cuerpo de 36 kg por una mesa horizontal con una fuerza de 100 N paralela a la mesa. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,2, calcular: a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 1,3 m/s, suponiendo que parte del reposo? Solución:

a) Aplicando la 2ª ley de Newton y teniendo en cuenta la fórmula del rozamiento: F - Froz = m ⋅ a   ⇒ F - µ⋅m ⋅ g = m ⋅a Froz = µ ⋅ N = µ ⋅ m ⋅ g F - µ ⋅ m ⋅ g 50 - 0,3 ⋅ 15 ⋅ 9,8 Despejando: a = = = 0,4 m/s 2 m 15 b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 ⇒ t =

v f − v0 1,3 − 0 = = 1,26 s a 0,81

26 Un objeto de 50 kg se desplaza por una superficie horizontal. Si al movimiento se le opone una fuerza de 3 N, debida al rozamiento, calcula el coeficiente de rozamiento cinético. Solución:

Froz = µ ⋅ N = µ ⋅ m ⋅ g ⇒ µ =

Froz 3 = = 6,1⋅ 10 − 3 m ⋅ g 50 ⋅ 9,8

27 Un cuerpo de masa 2 kg se desplaza por una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento µ = 0,2. Calcula la fuerza de rozamiento. Solución: Froz = µ ⋅ N = µ ⋅ m ⋅ g = 0,2 ⋅ 2 ⋅ 9,8 = 3,92 N

28 Se arrastra un cuerpo de 5 kg por una mesa horizontal, sin rozamiento, con una fuerza de 18 N paralela a la mesa. a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 1,5 m/s, suponiendo que parte del reposo?

10

Solución:

a) Puesto que sólo actúa una fuerza: F = m ⋅ a ⇒ a = b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 ⇒ t =

F 18 = = 3,6 m/s 2 m 5

vf − v0 1,5 − 0 = = 0,64 s a 3,6

29 Se arrastra un cuerpo de 30 kg por una mesa horizontal, sin rozamiento, con una fuerza de 50 N paralela a la mesa. a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? b) ¿Qué velocidad habrá alcanzado a los 0,75 s, si parte del reposo? Solución:

a) Puesto que sólo actúa una fuerza: F = m ⋅ a ⇒ a =

F 50 = = 1,66 m/s 2 m 30

b) Se trata de un MRUA: v f = v 0 + a ⋅ t 2 = 0 + 1,66 ⋅ 0,75 2 = 0,93 m/s

30 ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento de un objeto de 20 kg que se desliza por un plano inclinado 45º, a velocidad constante? Solución:

Si v = cte ⇒ a = 0 ⇒ ∑ F = m ⋅ a = 0 ⇒ Px − Froz = 0 Entonces: Froz = Px = m ⋅ g ⋅ sen α Así pues: Froz = 20 ⋅ 9,8 ⋅ sen 45º = 138,6 N

11

31 Calcula la fuerza paralela a un plano, inclinado 45º y sin rozamiento, que hay que ejercer para conseguir que un cuerpo de 20 kg permanezca en reposo sobre el plano. Solución:

Para que permanezca en reposo: ⇒ a x = 0 ⇒ ∑ Fx = m ⋅ a x = 0 Por lo tanto: F − Px = 0 ⇒ F = Px = m ⋅ g ⋅ sen α Sustituyendo: F = 20 ⋅ 9,8 ⋅ sen 45º = 138,6 N

32 Un cuerpo se desplaza por una superficie horizontal, a velocidad constante, bajo la acción de una fuerza de 20 N. Calcula la fuerza de rozamiento. Solución: Si v = cte ⇒ a = 0 ⇒ ∑ F = m ⋅ a = 0 ⇒ F − Froz = 0 ⇒ Froz = F = 20 N

33 ¿Qué valor tiene la fuerza de reacción normal de un plano horizontal cuando sobre él se mueve un objeto de 15 kg impulsado por una fuerza de 20 N que forma un ángulo de 30º con dicho plano? Solución: r r r N + Fy = −P ⇒ N + Fy = P ⇒ N = P - Fy ⇒ N = m ⋅ g - F ⋅ sen α

N = 15 ⋅ 9,8 - 20 ⋅ sen 30º = 137 N

34 ¿De qué dependen las fuerzas de rozamiento? Solución: Son proporcionales a la fuerza de reacción normal del plano y dependen de la naturaleza de las superficies de contacto (nunca del área de contacto): Fs = µs ⋅ N  donde µ s es el coeficiente de rozamiento estático y µ k el coeficiente de rozamiento dinámico. Fk = µk ⋅ N

12

35 ¿Qué fuerza es la causante de que se produzca el deslizamiento de un cuerpo por un plano que forma un ángulo α con la horizontal, y no presenta rozamiento? Solución: La fuerza causante de dicho movimiento es la componente del peso (Px) que es paralela al plano inclinado. Px = P ⋅ sen α = m ⋅ g ⋅ sen α

36 ¿Qué son las fuerzas de rozamiento y cómo se producen? Solución: Son fuerzas de contacto que se oponen al movimiento de un cuerpo. Se producen debido a los contactos microscópicos existentes entre las partículas de las superficies en contacto.

37 ¿Qué es la fuerza de rozamiento cinético? Solución: Es la fuerza que actúa sobre los cuerpos en movimiento y se opone al mismo. Su valor es constante y algo menor que el máximo valor que puede alcanzar la fuerza de rozamiento estático.

38 Un cuerpo de masa 10 kg se desplaza por una superficie horizontal sin rozamiento. Si la fuerza que lo impulsa es paralela al plano. ¿Cuánto vale la fuerza de reacción normal del plano? Solución: r r r r r N = −P = −m ⋅ g ⇒ N = P = m ⋅ g = 10 ⋅ 9,8 = 98 N

39 Un cuerpo de masa 5 kg se apoya en una superficie horizontal. ¿Cuánto vale la fuerza de reacción normal del plano? Solución: r r r r r N = −P = −m ⋅ g ⇒ N = P = m ⋅ g = 5 ⋅ 9,8 = 49 N

40 ¿Puede existir fuerza de rozamiento sobre un cuerpo en reposo? Solución: Sí. Cuando sobre un cuerpo, inicialmente en reposo, se aplica una fuerza F, insuficiente para mover el objeto, aparece una fuerza de rozamiento estático, fs, que se opone a F.

41 Calcular la fuerza que hace descender un objeto de 20 kg por un plano inclinado 30º y sin rozamiento. Solución: Px = P ⋅ sen α = m ⋅ g ⋅ sen α = 20 ⋅ 9,8 ⋅ sen 30 = 98 N

42 ¿Qué valor tiene la fuerza de reacción normal de un plano horizontal cuando sobre él se mueve un objeto impulsado por una fuerza que forma un ángulo α con dicho plano?

13

Solución: r r r N + Fy = −P ⇒ N + Fy = P ⇒ N = P - Fy ⇒ N = m ⋅ g - F ⋅ sen α

43 ¿Por qué se detiene un cuerpo que se impulsa hacia arriba por un plano inclinado sin rozamiento? Solución: Porque cuando deja de actuar de fuerza impulsora, la única fuerza que actúa en la dirección del movimiento (la componente del peso paralela al plano, Px) es opuesta al mismo, con lo cual la aceleración es negativa y la velocidad disminuye hasta hacerse nula.

44 ¿Puede ocurrir que, en un desplazamiento horizontal, la reacción no sea igual al peso? Solución: Sí, cuando la fuerza que lo impulsa forma con la horizontal un ángulo distinto de cero.

45 Sobre un plano inclinado 45º sin rozamiento, descansa un cuerpo de 15 kg de masa unido mediante una cuerda que pasa por la garganta de una polea a otro cuerpo de 5 kg ¿En qué dirección y con qué aceleración se moverá el conjunto? ¿Cuál será la tensión de la cuerda?

14

Solución: m1 ⋅ g ⋅ sen α = 15 ⋅ 9,8 ⋅ sen 45º = 103,9 N

m 2 ⋅ g = 5 ⋅ 9,8 = 49 N Al ser: m1 · g · sen α ≥ m2 · g se tiene que el cuerpo de 15 kg se deslizará hacia abajo del plano inclinado. Para calcular la aceleración: m1 ⋅ g ⋅ sen α - T = m1 ⋅ a  ⇒ m1 ⋅ g ⋅ sen α - m 2 ⋅ g = (m1 + m 2 ) ⋅ a T - m2 ⋅ g = m2 ⋅ a  103,9 - 49 Sustituyendo: 15 ⋅ 9,8 ⋅ sen 45 - 5 ⋅ 9,8 = (15 + 5 ) ⋅ a ⇒ a = = 2,74 m/s 2 20 La tensión valdría: T = m 2 ⋅ (g + a ) = 5 ⋅ (9,8 + 2,74 ) = 62,7 N

46 Una bola de 0,2 kg, sujeta a una cuerda de 0,6 m de longitud, se mueve a una velocidad de 5 m/s sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda en el punto señalado.

15

Solución:

m ⋅ v 2A 0,2 ⋅ 5 2 −m⋅g = − 0,2 · 9,8 = 6,37 N R 0,6 a t = 0; no habrá fuerza en la dirección tangencial TA =

47 Tres cuerpos de masas iguales de 4 kg, unidos por cuerdas, son sometidos a una fuerza de 18 N. Si no existe rozamiento, ¿cuál será la tensión de dichas cuerdas? Solución: Las ecuaciones que se plantean para cada cuerpo son: F − T1 = m1 ⋅ a   T1 − T2 = m 2 ⋅ a  T2 = m 3 ⋅ a  Sumando las tres ecuaciones se tiene: F = (m1 + m2 + m3 ) ⋅ a ⇒ 18 = 12 ⋅ a ⇒ a = 1,5 m/s2 Para hallar las tensiones se sustituye en las primeras ecuaciones: F − T1 = m1 ⋅ a ⇒ T1 = F − m1 ⋅ a = 18 - 4 ⋅ 1,5 = 12 N  T2 = m3 ⋅ a = 4 ⋅ 1,5 = 6 N

48 Una bola de 300 g, sujeta a una cuerda de 1,3 m de longitud, se mueve a una velocidad de 4 m/s sobre un plano horizontal. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración normal y la tensión de la cuerda.

16

Solución:

v2 42 = = 12,3 m/s2 R 1,3 En el eje OY se anulan el peso y la normal, pues no existe desplazamiento vertical: P = N En el eje OX la única fuerza que actúa es la tensión de la cuerda: T = Fc T = Fc = m ⋅ a n = 0,3 ⋅ 12,3 = 3,7 N an =

49 Tres cuerpos de masas iguales de 10 kg, unidos por cuerdas, son sometidos a una fuerza de 25 N. Si no existe rozamiento, ¿cuál será la tensión de dichas cuerdas? Solución: Las ecuaciones que se plantean para cada cuerpo son: F − T1 = m1 ⋅ a   T1 − T2 = m 2 ⋅ a  T2 = m 3 ⋅ a  Sumando las tres ecuaciones se tiene: F = (m1 + m2 + m3 ) ⋅ a ⇒ 25 = 30 ⋅ a ⇒ a = 0,83 m/s 2 Para hallar las tensiones se sustituye en las primeras ecuaciones: F − T1 = m1 ⋅ a ⇒ T1 = F − m1 ⋅ a = 25 − 10 ⋅ 0,83 = 16,7 N  T2 = m3 ⋅ a = 10 ⋅ 0,83 = 8,3 N

17

50 Una bola de 3 kg, sujeta a una cuerda de 1,6 m de longitud, se mueve a una velocidad de 2 m/s sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda en el punto señalado.

Solución:

m ⋅ v 2A m ⋅ v 2A 3 ⋅ 22 ⇒ TA = m ⋅ g + = 3 ⋅ 9,8 + = 36,9 N R R 1,6 a t = 0; no habrá fuerza en la dirección tangencial TA − m ⋅ g =

51 Un satélite artificial de 2 000 kg gira alrededor de la Tierra a una distancia de 150 km y con una velocidad lineal de 300 km/h. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite. Solución:

300 km/h = 300 ⋅ FG = Fc =

1 000 = 83,33 m/s 3 600

m ⋅ v 2 2 000 ⋅ 83,33 2 = = 92,58 N R 150 000

18

52 Una bola de 4 kg, sujeta a una cuerda de 1,2 m de longitud, se mueve a una velocidad de 1 m/s sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda en el punto señalado.

Solución:

m ⋅ v 2A 4 ⋅ 12 = = 3,33 N R 1,2 F m⋅g at = t = = g = 9,8 m/s 2 m m TA =

53 Dos masas de 6 y 2 kg están unidas mediante una cuerda. Con otra cuerda se tira de la masa de 6 kg en sentido vertical ascendente con una fuerza de 120 N ¿Qué aceleración adquiere el sistema? ¿Qué tensión tiene la cuerda que une las dos masas? Solución: F - (m1 + m2 ) ⋅ g = (m1 + m2 ) ⋅ a ⇒ 120 - (6 + 2) ⋅ 9,8 = (6 + 2) ⋅ a ⇒ a = 5,2 m/s2

T − m2 ⋅ g = m2 ⋅ a ⇒ T = m2 ⋅ (g + a ) = 2 ⋅ (9,8 + 5,2 ) = 30 N

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54 Un cuerpo de masa 15 kg descansa sobre una mesa y está sujeta a una cuerda que pasa por la garganta de una polea. ¿Con qué aceleración se moverá el cuerpo si se tira de la cuerda con una fuerza de 50 N? ¿Y si se cuelga un cuerpo que pesa 50 N? Solución:

F 50 = = 3,33 m/s2 m 15 P 50 b) F = P = m1 ⋅ a ⇒ a = = = 3,33 m/s2 m1 15 a) F = m ⋅ a ⇒ a =

55 Calcula la tensión de la cuerda, en una máquina de Atwood, sabiendo que la masa mayor es de 12 kg y se mueve con una aceleración de 1,5 m/s2. Solución: La masa mayor es la que desciende, entonces: m ⋅ g - T = m ⋅ a ⇒ T = m ⋅ g − m ⋅ a = m ⋅ (g - a ) = 12 ⋅ (9,8 - 1,5 ) = 99,6 N

56 Un camión de 13 toneladas toma una curva de 200 m de radio a una velocidad de 50 km/h. Suponiendo que no hay peralte, indicar la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el asfalto para mantener el movimiento circular.¿Qué valor tendrá la aceleración normal? Solución:

50 km/h = 50 ⋅

1 000 = 13,88 m/s 3 600

m ⋅ v 2 13 000 ⋅ 13,88 2 = = 12 538,58 N R 200 F 12 538,58 ac = c = = 0,96 m/s2 m 13 000

Froz = Fc =

57 Un cuerpo de masa 5 kg descansa sobre una mesa y está sujeto a una cuerda que pasa por la garganta de una polea. a) ¿Con qué aceleración se moverá el cuerpo si se tira de la cuerda con una fuerza de 20 N? b) ¿Y si se cuelga un cuerpo que pesa 20 N?

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Solución:

a) F = m1 ⋅ a ⇒ a =

F 20 = = 4 m/s 2 m1 5

P 20 = = 4 m/s2 m1 5 Ambas situaciones son equivalentes. b) F = P = m1·a ⇒ a =

58 Calcula el radio de una vía circular por la que se mueve un tren de juguete de 250 g que se desplaza a una velocidad de 1,2 m/s, si la fuerza centrípeta es de 0,7 N. Solución: m ⋅ v2 m ⋅ v 2 0,25 ⋅ 1,22 Fc = ⇒R= = = 0,5 m R Fc 0,7

59 Calcula la tensión de la cuerda, en una máquina de Atwood, sabiendo que la masa menor es de 5 kg y se mueve con una aceleración de 2 m/s2.

Solución: La masa menor es la que asciende, por tanto: T - m ⋅ g = m ⋅ a ⇒ T = m ⋅ a + m ⋅ g = m ⋅ (a + g) = 5 ⋅ (2 + 9,8 ) = 59 N

60 Un cuerpo se mueve por una trayectoria circular; ¿estará sometido a alguna fuerza? Solución: Sí, pues según el segundo principio de la dinámica, todo cuerpo acelerado debe estar sujeto a una fuerza en la misma dirección y sentido que la aceleración: r r F =m⋅a En este caso la llamamos fuerza centrípeta, y es la componente dirigida hacia el centro de la circunferencia de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. m ⋅ v2 Fc = m ⋅ an = R

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61 Calcula la aceleración y la tensión de la cuerda del sistema de la figura siguiente:

Solución: Aplicando el segundo principio, y puesto que T1 = T2 = T: m1 ⋅ g − T = m1 ⋅ a  P1 − T = m1 ⋅ a  ⇒  T - P2 = m 2 ⋅ a T - m 2 ⋅ g = m 2 ⋅ a Sumando ambas ecuaciones: (m − m 2 )·g a= 1 (m1 + m 2 ) Y la tensión: T = m2 (g + a) = m1 · (g - a)

62 Un vehículo de 1 400 kg toma una rotonda de 45 m de radio a una velocidad de 20 km/h. Suponiendo que no hay peralte, indicar la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el asfalto para mantener el movimiento circular en la rotonda. ¿Qué coeficiente de rozamiento mínimo existe entre ambas superficies? Solución:

20 km/h = 20 ⋅

1 000 = 5,55 m/s 3 600

m ⋅ v 2 1 400 ⋅ 5,55 2 = = 958,3 N R 45 F 958,3 = µ ⋅ N = µ ⋅ m ⋅ g ⇒ µ = roz = = 0,07 m ⋅ g 1 400 ⋅ 9,8

Froz = Fc = Froz

63 Un vehículo de 900 kg toma una rotonda de 60 m de radio a una velocidad de 35 km/h. Suponiendo que no hay peralte, indicar la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el asfalto para mantener el movimiento circular en la rotonda. ¿Qué coeficiente de rozamiento mínimo existe entre ambas superficies? Solución:

35 km/h = 35 ⋅

1 000 = 9,7 m/s 3 600

m ⋅ v 2 900 ⋅ 9,72 = = 1 411,35 N R 60 F 1 411,35 = µ ⋅ N = µ ⋅ m ⋅ g ⇒ µ = roz = = 0,16 m ⋅ g 900 ⋅ 9,8

Froz = Fc = Froz

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64 Calcula la fuerza centrípeta de una bola de 2 kg que gira en el extremo de una cuerda de 1,5 m de longitud, a una velocidad de 2,5 m/s. Solución: m ⋅ v 2 2 ⋅ 2,5 2 Fc = = = 8,33 N R 1,5

65 Calcula la aceleración del sistema, en una máquina de Atwood, constituida por dos masas de 2 kg y 3 kg. Solución: Aplicando el segundo principio, y puesto que: T1 = T2 = T

m1 ⋅ g − T = m1 ⋅ a  P1 − T = m1 ⋅ a  (m1 − m2 ) ⋅ g = (3 − 2) ⋅ 9,8 = 1,96 m/s2 ⇒ ⇒a= T - P2 = m2 ⋅ a (m1 + m2 ) (3 + 2) T - m2 ⋅ g = m2 ⋅ a

66 Un tren de juguete que se mueve por una vía circular a una velocidad v, ¿tiene aceleración? Solución: Sí, puesto que la velocidad está variando continuamente; si no en módulo, sí en dirección y sentido. Dicha aceleración se llama aceleración normal o centrípeta, y su valor viene dado por: v2 an = R siendo v la velocidad lineal del tren y R el radio de la trayectoria circular.

67 Calcula la velocidad con la que saldrá despedido un objeto que gira en el extremo de una cuerda de 2 m de longitud, si la aceleración centrípeta es de 6 m/s2.

Solución: El radio de la circunferencia que forma la trayectoria al girar viene dado por la longitud de la cuerda: v2 an = ⇒ v 2 = an ⋅ R ⇒ v 2 = 6 ⋅ 2 ⇒ v = 6 ⋅ 2 = 3,46 m/s R

68 Calcula el radio de una curva por la que circula un automóvil a 20 m/s, sabiendo que la aceleración centrípeta es de 15 m/s2. Solución: v2 v 2 20 2 an = ⇒R = = = 26,67 m R an 15

69 ¿Qué relación existe entre las tensiones en los extremos de una cuerda que enlaza dos cuerpos en movimiento?

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Solución: Sea mc la masa de la cuerda, se tiene: T1 − T2 = m c ⋅ a Despreciando la masa de la cuerda: mc = 0 ⇒ T1 − T2 = 0 ⇒ T1 = T2 Generalmente, podemos decir que las tensiones, en los extremos de una cuerda ligera, son iguales.

70 ¿Cómo se moverá el sistema de la figura?

Solución: Puesto que el movimiento es solidario, m1 y m2 se mueven con la misma aceleración; la pequeña hacia arriba y la más grande hacia abajo.

71 Si dos masas m1 y m2 penden de una polea mediante una cuerda, ¿qué fuerzas actúan sobre cada una?

Solución: Sobre cada masa actúa el peso y la fuerza ejercida por la cuerda, llamada tensión.

72 ¿Qué fuerzas actúan sobre los extremos de la cuerda de la figura?

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Solución: Actúan las fuerzas T1 y T2, que son las fuerzas que m1 y m2 ejercen respectivamente sobre la cuerda, es decir, las reacciones a las fuerzas que la cuerda ejerce sobre cada cuerpo.

73 Un atleta gira sobre sí mismo para realizar un lanzamiento de martillo. ¿Qué tipo de movimiento describe el martillo en el momento de soltarlo? Solución: Se moverá en dirección tangente a la velocidad que tenía en el momento de soltarlo. Si no existe rozamiento, el movimiento será rectilíneo y uniforme; y con rozamiento, el movimiento será rectilíneo uniformemente desacelerado.

74 Calcula la aceleración normal de una piedra que gira a una velocidad de 3 m/s, en el extremo de una honda de 1,1 m de longitud. Solución: Se trata de un movimiento circular, en el que el radio de la circunferencia viene dado por la longitud de la cuerda: v 2 32 an = = = 8,18 m/s2 R 1,1

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