ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

01 ÜNİTE

Ünitenin Kazanımları 12.1. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 12.1.1. Üstel Fonksiyon

12.1.1.1. Üstel fonksiyonu açıklar.

12.1.2. Logaritma Fonksiyonu

12.1.2.1. Logaritma fonksiyonu ile üstel fonksiyonu ilişkilendirerek problemler çözer.



12.1.2.2. 10 ve e tabanında logaritma fonksiyonunu tanımlayarak problemler çözer.



12.1.2.3. Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak işlemler yapar.

12.1.3. Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler

12.1.3.1. Üstel, logaritmik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.



12.1.3.2. Üstel ve logaritmik fonksiyonları gerçek hayat durumlarını modellemede kullanır.

Üstel Fonksiyon

Konu Öğrenimi

Çözüm için

Üstel Fonksiyona Giriş

Örnek Soru 1

Üstel ve logaritmik fonksiyonları daha iyi anlayabilmek için üslü ifadeleri hatırlayalım.

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

+

5 4 a) 3 . 9 . c

x ∈ R, n ∈ Z olmak üzere, n

. x. x. .... x = x x14243

1 6 m 27

n tane

n

ifadesinde x taban, n üs, x de üslü ifadedir.

+

1. x, y ∈ R ve m, n ∈ R olmak üzere, m n m+n ✪ x . x = x m.n

m n

4

✪ (x ) = x

b) 5 + (0,2)

–4

n n n ✪ (x. y) = x . y n

x n x m = n y y

✪ c ✪

x

m

x

(y ≠ 0)

m–n

=x

n

–m

✪ x

=

1 x

0

✪ x = 1

m 3 3 c) 16 . (0,125)12

(x ≠ 0)

m

✪ 1 = 1

+

+

2. x ∈ R ve m, n ∈ N olmak üzere,

m

n

m

x

m

= x n dir.

m

3. x = y eşitliğinde;

• m tek ise; x = y



• m çift ise; x = y veya x = –y olur.

m

d) (5

n

4. x = x ise m = n olur.

12. Sınıf | Matematik

6

–1

0 –2 +3 ) .

12 25

Kazanım Testi - 1 Çözüm için

1. a negatif bir gerçek sayı olduğuna göre, –1

0

A) a –2



D) –a

3

2.

x

2



–2 –3

B) –a

C) (–a )

E) (–a)

7

B) –3

5. 2. 3

= 64



8

9

B) 2

C) 2

10

D) 2 E) 2

2 –1 2 4 m. (–3 ) . (–3 )

x+3

C) –9

D) 27 E) –27

x+2 x+1 – 5. 3 – 2. 3 = 243

olduğuna göre, x değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 2

11

–1 3–1

işleminin sonucu kaçtır? A) 9

–3

olduğuna göre, x sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2

–5 (–3) . c

4.

aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?

B) 3

C) 4

D) 5 E) 6

x

3.

2 = a, x

3 = b,

x

6. 2 = 3 olduğuna göre,

x

5 = c

x

x

olduğuna göre, 300 ifadesinin a, b, c türünden



yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? 2

2 2

A) a bc

2

2

D) a bc



2 2

B) ab c

C) a b c

7

2

–2x

2x

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)

2

E) ab c

4 –2

1 3

B) 3

C)

9 81 80 D) E) 8 80 81

1. ÜNİTE | Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel Fonksiyon

Konu Öğrenimi

Çözüm için

Örnek Soru 4

Bu konunun kazanımı: 12.1.1.1 Üstel fonksiyonu açıklar.

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz. +

Üstel Fonksiyonun Tanımı +

+

a) f: R → R , f(x) = 3

x

b) f: R → R , f(x) = c +

1 m 2

+

x

x

a ∈ R – {1} ve x ∈ R olmak üzere f: R → R , f(x) = a şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Aman Dikkat! Üstel fonksiyonda taban negatif olamaz ve x a > 0 olduğundan f(x) = a > 0 olur.

Örnek Soru 2 Aşağıdaki fonksiyonların üstel fonksiyon olup olmadığını belirtiniz. a) f(x) = 5

2x

b) g(x) = 3

–x

c) h(x) = (–4) d) k(x) = 1 e) l(x) = x

x

x

x

x x

f) m(x) = 7 3

c) f: R → R , f(x) = 2 – 2

Örnek Soru 3

f(x) = (3a – 2)

x

fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için a’nın değer aralığını bulunuz.

12. Sınıf | Matematik

8

Konu Öğrenimi Çözüm için

Sonuçlar:

Örnek Soru 7

x

f(x) = a fonksiyonu



1. a > 1 ise artandır.

f(x) = 3 , g(x) = 5 ve h(x) = c x

x

1 m 4

x

fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde çiziniz.

2. 0 < a < 1 ise azalandır.

Hatırlayalım! f: A → B fonksiyonunda A’daki her elemanın görüntüsü farklı ise f fonksiyonu birebirdir. B’de açıkta eleman kalmıyorsa f fonksiyonu örtendir.

Örnek Soru 5

+

x

f: R → R , f(x) = 5 + 1

fonksiyonunun grafiğini çizip birebir ve örten olma durumunu inceleyiniz.

Örnek Soru 8

y 4 b f(x) = a

Örnek Soru 6

+

–1 2

f: R → R f(x) = (t – t – 1)

x

O

x

x

x

Şekilde f(x) = a fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

fonksiyonu artan olduğuna göre, t’nin alabileceği en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır?

Buna göre, a. b değerini bulunuz.

9

1. ÜNİTE | Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

DİZİLER

02 ÜNİTE

Ünitenin Kazanımları 12.2. Diziler 12.2.1. Gerçek Sayı Dizileri

12.2.1.1. Dizi kavramını fonksiyon kavramıyla ilişkilendirerek açıklar.



12.2.1.2. Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir sayı dizisinin terimlerini bulur.



12.2.1.3. Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.



12.2.1.4. Diziler yardımıyla gerçek hayat durumları ile ilgili problemler çözer.

Konu Öğrenimi

Dizi Kavramı Çözüm için

Bu konunun kazanımı: 12.2.1.1 Dizi kavramını fonksiyon kavramıyla ilişkilendirerek açıklar.

Örnek Soru 72

(an) = c

2n – 1 m n+3

dizinin 5. terimini bulunuz.

Tanım Pozitif doğal sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan her fonksiyona gerçel sayı dizisi veya kısaca dizi denir.

Örnek Soru 73

+



f: N → R, f(n) = an

şeklinde tanımlanan bir fonksiyonda

Genel terimi



f(1) = a1 → Dizinin 1. terimi





f(2) = a2 → Dizinin 2. terimi

olan (an) dizisinin ilk üç terim toplamını bulunuz.



an = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)

f(n) = an → Dizinin n. terimi

an aynı zamanda dizinin genel terimidir. Bir Bilgi! Diziler genel terimleri ile belirlenir. Genel terim belirtmeden oluşan sayı grupları dizi belirtmezler.

Örnek Soru 74 Genel terimi

Örnek Soru 71 Aşağıda verilen ifadelerden dizi belirtenleri işaretleyiniz. a)

(an) = c

n m n+4

b)

(bn) = c

3n m n–4

c)

(cn) = ( 7 – n )

an =

123



n + 4

, n tek ise

2n – 5 , n çift ise

olarak verilen dizinin ilk 6 terim toplamını bulunuz.

Örnek Soru 75 Genel terimi

n

d)

(dn) = (n )



e)

(en) = (sinn°)

olarak verilen dizide a4 + a5 + a6 + a7 toplamını bulunuz.

f)

(fn) = (lognn)

g)

(gn) = (2, 4, 6, ...)

12. Sınıf | Matematik

54

n an = (–1) . (n + 1)

Kazanım Testi - 21 Çözüm için

1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir gerçel sayı dizisinin

4. Nilgün Öğretmen tahtaya bir soru yazıyor ve

genel terimi olamaz? A)

2n + 1 n+4



öğrencilerinden bu soruyu defterlerine çözmelerini istiyor. n

B) (–3)

D)

3n – 1 cosn°



C) logn + 1(n + 3) E) (n + 3)

(an + 3) = e

5–n

2n + 1 o n+3

olduğuna göre, a 5 terimini bulunuz.



Sınıftaki öğrencilerden Beril, soruyu defterine yazarken dizinin genel terimini yanlışlıkla (an – 3) olarak yazıyor.



Buna göre, Beril’in defterinde bulduğu sonuç tahtada yazan sorunun sonucundan kaç fazladır? A) 1

2. Genel terimi; n



=

D)

B) –6 11

17 11 E)

C) –17 11

3n – k 4

şeklinde tanımlanan bir gerçek sayı dizisi için 2



+

3

=2



eşitliği veriliyor.



Buna göre, k sayısı aşağıdakilerden hangisidir?



–1 A) 2



5. Genel terimi, 1 B) 2

–17 D) 2



7 E) 2

17 C) 2

(an) = _log(n + 2)(n + 1)i

olan bir dizinin ilk 6 teriminin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3

6.

B)

(an) =

1 3

C)

1 9

D) 9



dizisi veriliyor.



Buna göre, (an) dizisinin I. a1

3. Genel terimi;



II. a2





III. a5



terimlerinden hangileri tam sayıdır?

an = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)

olan dizinin 10. terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 19

B) 33

C) 68

D) 95

A) Yalnız I

E) 100



55

E)

1 27

2n + 8 n+1





6 11

B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

2. ÜNİTE | Diziler

Dizi Çeşitleri

Konu Öğrenimi

Çözüm için 22918

Bu konunun kazanımı: 12.2.1.1 Dizi kavramını fonksiyon kavramıyla ilişkilendirerek açıklar.

Örnek Soru 78 A5 = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere

Örnek Soru 76



n – 11 (an) = c m n+5

Sabit Dizi Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

3n + 1 m 7–n

dizinin kaçıncı terimi

)

Buna göre, bu sonlu dizinin bütün terimlerinin toplamını bulunuz.

Örnek Soru 77 (an) = c

n–1

dizisi veriliyor.

dizinin ilk 20 teriminin çarpımını bulunuz.



an: A5 → R, (an) = (2

C ∈ R olmak üzere, (an) = (C) dizisi sabit dizidir.

2 sayısına eşittir? 3

Örneğin; (an) = (5) dizisinde a1 = a2 = a3 = ... = an = 5 olduğundan bu dizi sabit dizidir.

Örnek Soru 79 Aşağıdaki dizilerden sabit dizi olanları işaretleyiniz.

Dizi Çeşitleri Sonlu Dizi +

Ak = {1, 2, ..., k}, Ak ⊂ N olmak üzere,

f: Ak → R

a)

(p)

b)

(–1)

4n + 5

c)

(–1)

5–n

d)

(cos(np))

e)

sin(2np) 3

f(n) = (an) şeklinde tanımlanan fonksiyona sonlu dizi denir.

12. Sınıf | Matematik

56

Konu Öğrenimi Çözüm için

Örnek Soru 80

Örnek Soru 83

(an) = _(b – 1)n – (c + 3)n – (b + c)i 2



dizisi bir sabit dizidir.

(an) = c(x + y – 4)n – (x + 3y)n + 2

12 m x. y

dizisi sabit dizi olduğuna göre y + a2022 toplamı kaçtır?

a) b. c kaçtır?

b) a2020 kaçtır?

Eşit Diziler

Anahtar Bilgi! a a.n + b b (an) = c . m dizisi sabit dizi ise = olmalıdır. c cn+d d

+

∀n ∈ N için an = bn ise (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir ve (an) = (bn) biçiminde gösterilir.

Örnek Soru 81

Örnek Soru 84

Genel terimi; 3n – k (an) = c m 2n – 5

Genel terimleri

olan dizinin sabit dizi olması için k değerini bulunuz.

n

an = (–1) ve bn = cos(np)

olan (an) ve (bn) dizilerinin eşit dizi olup olmadığını gösteriniz.

Örnek Soru 82

(an) = c

xn – 12 m 3n – x

dizisi sabit dizi olduğuna göre a7’nin alabileceği değerler toplamını bulalım.

Örnek Soru 85 Genel terimi

(an) = c

4n + 3 xn + 6 m ve (bn) = c m n+2 2n + y

olan (an) ve (bn) dizileri eşit olduğuna göre

57

x kaçtır? y

2. ÜNİTE | Diziler

TRİGONOMETRİ

03 ÜNİTE

Ünitenin Kazanımları 12.3. Trigonometri 12.3.1. Toplam-Fark ve İki kat Açı Formülleri

12.3.1.1. İki açının ölçüleri toplamının ve farkının trigonometrik değerlerine ait formülleri oluşturarak işlemler yapar.



12.3.1.2. İki kat açı formüllerini oluşturarak işlemler yapar.

12.3.2. Trigonometrik Denklemler

12.3.2.1. Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulur.

Trigonometri

Konu Öğrenimi

Çözüm için

Hatırlayalım!

2) tan ve cot fonksiyonları:

Açı Ölçü Birimleri



y

 1°

= 60

ıı

Birim Çember 2

2

Denklem: x + y = 1

cot ekseni

T 1

x

–1

ı

= 3600

a

–1

Radyan: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. (2p radyan = 360°)  1°

K

1

1 ‘lik yayını gören merkez açının 360 ölçüsüne 1 derece (1°) denir.

Derece: Bir çemberin



tan ekseni



T(1, tana), K(cota, 1) olur.



tan: R – )



cot: R – {kπ, k∈z} → R

π + kπ, k∈z3 → R 2

y

Trigonometrik Özdeşlikler:

1

• sin α + cos α = 1

–1

• tanα.cotα = 1 cosα • cotα = sinα sinα • tanα = cosα 1 • secα = cosα 1 • cosecα = sinα

–1

2

1

x

2

0°, 30°, 45°, 60°, 90° nin trigonometrik oranları: 0°

30°

45°

60°

90°

sin

0

1 2

1 2

3 2

1

cos

1

3 2

2

1 2

0

tan

0

3

1

3

tanımsız

cot

tanımsız

3

1

Trigonometrik Fonksiyonlar 1) sin ve cos fonksiyonları: y (sin ekseni) 1 P (cosa, sina) a

–1

1

x (cos ekseni)

1

1

–1



cos: R → [–1, 1]  α

–1 ≤ cosa ≤ 1

+ β = 90 ise

sinα = cosβ

sin: R → [–1, 1]

tanα = cotβ

–1 ≤ sina ≤ 1

olur.

12. Sınıf | Matematik

86

1 3

0

Konu Öğrenimi Çözüm için

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri y

π

Trigonometrik Bağıntılar 1) cos Teoremi: 2 2 2 a = b + c – 2bc. cosA

A

π 2

2. bölge sin + cos – tan – cot –

1. bölge sin + cos + tan + cot +

3. bölge sin – cos – tan + cot +

4. bölge sin – cos + tan – cot –

2π

2

2

2 2 2 c = a + b – 2ab. cosC

B

0

2

b = a + c – 2ac. cosB

b

c

a

C

2) sin Teoremi:

x

A c B

3π 2

a



sinA

b

=

b sinB

=

c sinC

C

a

3) Üçgenin Alanı A(ABC) = 1 a. b sinC 2 = 1 a. c sinB 2 = 1 b. c sinA 2

A

İndirgeme Formülleri 3π π f 2  αp ve f 2  αp olan açılarda sin ↔ cos, tan ↔ cot

c

b

isim değişiklikleri olur. (π  α) ve (2π  α) olan açılarda isim değişikliği yapılmaz.

B

• arcsin: [–1, 1] →