PRESENTACIÓN de RESULTADOS I el resultado El resultado de una medición es una cantidad aproximada y su error esta acotado por la incertidumbre de la medida.

123 ± 18

cm

valor unidades ±incertidumbre • Si el resultado es consecuencia de una serie de cálculos y se obtiene : ¿Cómo se presenta? x = 123.23689 ± 18.3425 cm. ERRORES : C absoluto ∆ x = ± 18.3425 cm C relativo ( en % ) εr =∆ x/x *100 = 14.8839% .

Y Truncamiento : x = 123 ± 18 cm (±± 15 %)

PRESENTACIÓN de RESULTADOS II ¿Cómo se expresa correctamente el valor de la medida y su error? ¿Es un error absoluto o relativo?

g cm

1) ¿ ρ = 1, 0 1 9 6 ± 0 , 0 0 1 2 3 8 9

g cm

2)

¿ ρ = 1, 0 2 0 ± 0 , 0 0 1

3)

¿ ρ = 1, 0 1 9 6 ± 0 , 0 0 1 2

3

3

?

3

?

?

g cm

¿CUÁL ES LA PRESENTACIÓN CORRECTA DEL RESULTADO ?

PRESENTACIÓN de RESULTADOS II ERRORES

TRUNCAMIENTO

Ejemplos estimación del error

resultado

± 17.82 mm

- 1492.2543…mm

± 1.2875 % (± 0.202 g)

15.6900445… g

± 27.625 nF

3492.2543… nF

presentación del resultado

-1.492 ± 0.018 m -1492 ± 18 mm (± % )

±

)

Medidas y Tipos de Errores Tenemos básicamente dos tipos de errores en el proceso de medida: • Errores Sistemáticos: Tienen que ver con la metodología del proceso de medida (forma de realizar la medida): 1) Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En algunos casos errores de fabricación del aparato de medida que desplazan la escala. Una forma de corregir las medidas es valorando si el error es lineal o no y descontándolo en dicho caso de la medida. 2) Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la escala de medida del aparato. • Errores accidentales o aleatorios :

Se producen por causas difíciles de controlar: momento de iniciar una medida de tiempo, colocación de la cinta métrica, etc. Habitualmente se distribuyen estadísticamente en torno a una medida que sería la correcta. Variaciones de presión o temperatura. Para evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un tratamiento estadístico de los resultados. Se toma como valor o medida más cercana a la realidad la media aritmética de las medidas tomadas y como error, su error cuadrático medio.

• Nociones estadísticas aplicables al cálculo de errores La medida se repite n veces y se obtienen los valores x1 , x2 , x3 , x4 ,... xi ,... xn .

Valor medio Desviación

D

Desviación media

∑

=

x

Desviación standard

Error cuadrático medio

x

σ

i

∑

=

D

i

n

=

i

x

− x D

i

n

=

∆ x =

68% datos en x±1σ 95% datos en x±2σ 99% datos en x±3σ

2 ∑ D i n − 1

ε =

σ n

=

∑

D

2 i

n ( n − 1 )

• Comentarios a las nociones estadísticas • La media x es el mejor representante de una medida física que cualquiera de los valores particulares obtenidos: x 1 , x 2 , x 3 , . . . • La desviación standard σ da una idea de la dispersión de las lecturas alrededor de la media ( el 68 % de ellas están en el intervalo ± σ y el 95 % en el intervalo ) ± 2σ ) • El error cuadrático medio ε se adopta como estimación del error de la media, supuesto un número de medidas muy elevado. Obsérvese que disminuye con la n

• Si el número de medidas no es muy elevado ( n ≤ 10 ) la estimación del error debe venir modificada por un factor de corrección f ( de Student ) .

∆ x = • Consulte

f

f .ε

en la Tabla del Apéndice, Manual del Laboratorio de Física

• Realizaremos una serie de medidas al menos ocho o más si es posible. • Tomaremos como mejor valor de la medida el Valor medio 0 . Su error asociado será el error cuadrático medio ε . Ej. Medida de una longitud con 10 valores en el S.I. x = x ± ∆ x = ( x ± ε ) m ( ± … % ) siendo 0 el valor medio de las 10 medidas y ε su error cuadrático medio. Vendrá dado con sus unidades en este caso en el S.I. error absoluto

error relativo

“ Prop[g[]iòn ^_ _rror_s “

¿Qué hacemos cuando tenemos la expresión a = f ( b, c ) ? Es una fórmula o ley física con dos variables b y c.

Para conocer el error en a conocidos los errores en b y c, realizamos una “ Propagación de errores “




Propagación de errores : a = f ( b, c ) dada la fórmula matemática a = f ( b, c ) se conocen los valores de b y c, así como una estimación de sus errores ∆b y ∆c. Se desea obtener el valor de a y una estimación de su error ∆a .


1º) a se obtiene directamente por aplicación de la fórmula, fórmula,




2º) se diferencia la función a = f ( b, c )

da =


∂ f ∂ f db + dc ∂b ∂c

3º) se sustituyen las derivadas por sus valores absolutos y las diferenciales dx por los incrementos ∆x

∆a =


∂f ∆b + ∂b

∂f ∆c ∂c

4º) se aplica la fórmula anterior teniendo en cuenta que los incrementos hacen el papel de estimaciones de los errores absolutos y se toman con signo +.

Propagación de errores en las operaciones elementales ( I ) ∆a =

∂ f ∆b ∂b

+

∂ f ∆c ∂c

• Suma

a=b+c

∆a = ∆b + ∆c

εr ( a ) = ∆a / ( b + c )

• Diferencia

a=b-c

∆a = ∆b + ∆c

εr ( a ) = ∆a / ( b - c ) ¡ Pérdida de precisión !

Propagación de errores en las operaciones elementales ( I I ) ∆a =

• Multiplicación

∂ f ∆b ∂b

+

∂ f ∆c ∂c

a=b×c ∆a = c × ∆b + b × ∆c dividiendo miembro a miembro por a = b × c se obtiene: εr ( a ) = εr ( b ) + εr ( c )

• División

a=b/c

∆ a = ∆ b / c + b × ∆ c / c2

dividiendo miembro a miembro por a = b / c se obtiene: εr ( a ) = εr ( b ) + εr ( c )

• Ejemplo: error de propagación con varias variables

g = 4π L 2

∆g =

T

2

L y T son las dos variables independientes.

∂g ∂g ∆L+ ∆T ∂L ∂T

Entonces el error absoluto de g es:

2L  1  ∆ g = 4π  2 ∆ L + 3 ∆ T  T T  2

¡Los errores siempre se suman!

Pregunta: ¿∆g tiene unidades?. En acaso afirmativo, ¿Cuáles?

El desarrollo completo del ejemplo se puede ver en la pag. 10 del Manual del Laboratorio. Consultar el Tema 0.

Cálculo directo del error relativo. Alternativa, tomando Logaritmos Ln Ln(y) (y) Recurrimos a la siguiente equivalencia:

dy d (ln y ) = y


∆y → ∆ (ln y ) = ֏ εr y EQUIVALENCIA

EJEMPLO: Calcular el error del volumen V de un cilindro. DATOS: altura h, diámetro d .

d 2 V = π ( ) h 2

1º) Tomando neperianos : 2º) Diferenciando :

ln V = ln π + ln h + 2 ln d − 2 ln 2

dV dh d (d ) = +2 V h d

3º) y sustituyendo los diferenciales por incrementos se obtiene el error relativo de V: V:

∆V ∆h ∆d +2 = V h d

Constante de Gravitación Universal G reciente medida: Junio 2009; G=(6.67349 ± 0.00018) X 10-11 m3 kg-1 sg-2. ¿con con qué precisión precisión?

Péndulo de Torsión en cámara de vacío; péndulo de cuarzo; masas (muy homogéneas esféricas) Error relativo: ((18 X 10-5)/ 6.67349 ) x 100= 2.7 x 10-3 !!