´ 1 LOS NUMEROS NATURALES N.

1

Los numeros ´ reales. Los numeros ´ naturales N.

1.

Los n´umeros naturales son aquellos que sirven para contar y son: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

El conjunto de los n´umeros naturales se designa por el s´ımbolo N. Los conjuntos de n´umeros que se ver´an en este tema se representan sobre una recta. As´ı para los n´umeros N la recta ser´ıa similar a la mostrada en la figura 1. La recta real es infinita, ya que hay infinitos n´umeros que poner sobre ella.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 1: Recta representando la recta sobre la que se colocan los n´umeros naturales (N).

1.1.

Repaso de los numeros ´ primos.

Definici´on: Un n´umero es primo si al dividirlo entre otro n´umero, s´olo se obtiene una divisi´on exacta si se divide entre e´ l mismo o el 1. Por ejemplo, el n´umero 5 es primo, ya que, el resto de la divisi´on entre 5 y otro n´umero s´olo sale 0 cuando se divide entre 1 o´ 5. El resto de dividir 5 entre 4, 3 o´ 2 no es 0. El n´umero 7 es primo, ya que, el resto de la divisi´on entre 7 y otro n´umero s´olo sale 0 cuando se divide entre 1 o´ 7. El resto de dividir 7 entre 6, 5, 4, 3 o´ 2 no es 0. El n´umero 10 no es primo, ya que, 10 entre 5 es una divisi´on exacta. Recordemos que para ser primo, s´olo se puede dividir entre 1 o´ e´ l mismo. N´umeros primos importantes son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,... ´ de un numero 1.1.1. Descomposicion ´ en sus factores primos. Cualquier n´umero se puede puede escribir como producto de n u´ meros primos. Por ejemplo, el 10 no es primo y se puede escribir como producto de 2 y 5 que s´ı son primos: 10 = 2 · 5 Hay que recordar algunas propiedades de los n´umeros primos que pueden ser u´ tiles para esta tarea: ✺ El 2 divide a todos los n´umeros pares. Es decir, si un n´umero es, par al dividirlo entre 2 la divisi o´ n ser´a exacta. ✺ El 5 divide a todos los n´umeros acabados en 0 o´ en 5. Por ejemplo, los siguientes n´umeros se pueden dividir entre 5 obteniendo una divisi´on exacta: 15, 10, 25, 2005, 3450, 12345,... ✺ El 3 divide a todos los n´umeros cuya suma de sus cifras se pueda dividir entre 3. Por ejemplo, el 37032 se puede dividir entre 3, ya que, 3 + 7 + 0 + 3 + 2 = 15 y 15 se puede dividir entre 3.

´ 1 LOS NUMEROS NATURALES N.

2

El resto de n´umeros primos tambi´en suelen tener reglas similares a las vistas, pero suele ser m´as c´omodo hacer la divisi´on y ver si esta sale exacta. Para descomponer un n´umero en sus factores primos se procede de la siguiente manera: Se har´an los ejemplos descomponiendo en n´umero 120.

① Se coloca el n´umero a descomponer en una construcci´on similar a la de la figura: 120

② Comenzando por los n´umeros primos m´as peque˜nos se va comprobando si alguno divide al n´umero que se desea descomponer. Nos interesan los n´umeros primos a partir del 2 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,...). Siempre hay que procurar empezar a usar los n´umeros primos m´as peque˜nos. En este caso se comienza con el 2. El 2 divide a 120. Esto se puede ver haciendo la divisi´on 120/2 = 60 que es exacta, o bien, usando las propiedades de los n´umeros primos, 120 es par, por lo tanto se puede dividir entre 2.

③ Una vez que se encuentra un n´umero primo que divida al n´umero, se a˜nade a la operaci´on y se pone el resultado de la divisi´on entre ambos debajo del n´umero a factorizar. En este caso 120/2 = 60 por lo que se escribir´ıa:

120 2 60

④ Se repite el paso ② usando el resultado de la divisi´on del n´umero que se haya encontrado. Es decir, ahora hay que trabajar con el 60. Se comprueba si 60 es divisible entre 2. S´ı lo es por ser par, por lo tanto:

120 2 60 2 30

Se repite el proceso con el 30. Se comprueba si 30 es divisible entre 2. S´ı lo es por ser par, por lo tanto:

120 2 60 2 30 2 15 Se repite el proceso con el 15. Se comprueba si 15 es divisible entre 2. Como 15 es impar ya no se puede volver a usar el 2. El siguiente en la lista de n´umeros primos es el 3. 15 es dividido entre 3:

120 60 30 15 5

2 2 2 3

´ 1 LOS NUMEROS NATURALES N.

3

Se repite el proceso con el 5. Se comprueba si 5 es divisible entre 3. 5 no es divisible entre 3. El siguiente en la lista de n´umeros primos es el 5:

120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

⑤ Una vez que se obtiene el 1 quiere decir que el proceso de la descomposici´on en factores ha finalizado. S´olo resta escribir el resultado correctamente. En nuestro caso 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 o´ lo que es lo mismo 120 = 23 · 3 · 5

Ejercicios: 1. Descomponer en factores primos los siguientes n´umeros: 100, 320, 25, 12, 14, 34 100=22 · 52 , 320=26 · 5, 25=52 , 12=22 · 3, 14=2 · 7, 34=2 · 17

1.1.2. El m´ınimo comun ´ multiplo ´ (m.c.m.). Definici´on: El m´ınimo com´un m´ultiplo (m.c.m.) de un conjunto de n´umeros es el n´umero m´as peque˜no al que todos los n´umeros del conjunto dividen de forma exacta. El m.c.m. se suele usar en las operaciones con fracciones, por lo que conviene tenerlo claro. Para calcular el m.c.m. de un conjunto de n´umeros se procede de la siguiente manera: ① Se procede a descomponer en factores primos cada uno de los n´umeros del conjunto. Por ejemplo, si se desea calcular el m.c.m. de 120, 8, 36 se descomponen en factores primos:

120=23 ·3 ·5 8=23 36=22 ·32 ② Se construye el m.c.m. tomando todos los n´umeros primos que aparezcan en la descomposici´on elevados a su mayor exponente. En este ejemplo, los n´umeros primos que en la descomposici´on son el 2, 3 y 5. El m´aximo exponente al que est´a elevado el dos es 3 (23 ), el m´aximo exponente de 3 es 2 (32 ) y el m´aximo exponente de 5 es 1 (cuando un n´umero no tiene exponente se considera que el exponente es 1).

120=23 ·3 ·5 8=23 36=22 ·32 mcm=23 ·32 ·5

③ Por u´ ltimo se multiplican los factores del resultado para obtener el m.c.m. En este caso mcm = 23 · 32 · 5 operando:

mcm = 23 · 32 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360

´ 1 LOS NUMEROS NATURALES N.

4 mcm = 360

Se puede comprobar que 360 es el n´umero m´as peque˜no que es dividido de forma exacta por 120, 8 y 36. Ejercicios: 1. Calcular el m.c.m. de 100, 25, 15 Sol: 300 2. Calcular el m.c.m. de 12, 14, 15 Sol: 420 3. Calcular el m.c.m. de 120, 12, 10 Sol: 120 4. Calcular el m.c.m. de 3, 4, 12 Sol: 12

´ 1.1.3. El maximo comun ´ divisor (m.c.d.). Definici´on: El m´aximo com´un divisor (m.c.d.) de un conjunto de n´umeros se define como el mayor n´umero que divide a todos los n´umeros del conjunto.

Para calcular el m.c.d. de un conjunto de n´umeros se procede de la siguiente manera: ① Se procede a descomponer en factores primos cada uno de los n´umeros del conjunto. Por ejemplo, si se desea calcular el m.c.d. de 120, 40, 900 se descomponen en factores primos:

120=23 ·3 ·5 40=23 ·5 2 2 900=2 ·3 ·52 ② Para construir el m.c.d. se toman s´olo aquellos n´umeros primos que aparezcan en la descomposici´on de todos los n´umeros, elevados a su menor exponente. En el ejemplo que se est´a haciendo, el 2 aparece en la descomposici´on de todos los n´umeros. El 3 no aparece en la descomposici´on de 40. El 5 aparece en la descomposici´on de todos los n´umeros. El menor exponente del 2 es 2 (22 ). El menor exponente del 5 es 1 (cuando un n´umero no tiene exponente se considera que el exponente es 1). Por lo tanto en nuestro caso:

120=23 ·3 40=23 900=22 ·32 mcd=22

·5 ·5 ·52 ·5

③ Por u´ ltimo se multiplican los factores del resultado para obtener el m.c.d. En este caso se obtiene que mcd = 22 · 5:

mcd = 22 · 5 = 2 · 2 · 5 = 20 mcd = 20 Ejercicios:

´ 2 LOS NUMEROS ENTEROS Z.

5

1. Calcular el m.c.d. de 100, 25, 75 Sol: 25 2. Calcular el m.c.d. de 12, 14, 15 Sol: 1 3. Calcular el m.c.d. de 120, 12, 10 Sol: 2 4. Calcular el m.c.d. de 12, 120, 24 Sol: 12

2.

Los numeros ´ enteros Z.

El conjunto de los n´umero enteros el conjunto de los n´umeros naturales a los que se les a˜naden los n´umeros negativos. Al conjunto de n´umeros enteros se les denomina por la letra Z: Z = {..., −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Al igual que en el caso anterior se pueden representar sobre una recta. La recta ser´ıa similar a la mostrada en la figura 2.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Figura 2: Recta representando la recta sobre la que se colocan los n´umeros enteros (Z). Ni que decir tiene que los n´umeros naturales est´an inclu´ıdos dentro de los n´umeros enteros. Esto se indica con: N⊂Z

2.1.

Z

Repaso de las operaciones con los numeros ´ enteros .

✺ Suma: La suma se realizar´a sumando por un lado los n´umeros positivos, por otro los negativos y finalmente se restar´an ambos resultados. Por ejemplo: 4+3−4+2−7 = En esta operaci´on se encuentran los n´umeros positivos: 4,3 y 2 Su suma da 4 + 3 + 2 = 9 Los n´umeros negativos que hay son: -4 y -7 Su suma da 4 + 7 = 11 Ahora se resta el resultado de la suma de los n´umeros negativos al resultado de la suma de los n´umeros positivos: 4 + 3 − 4 + 2 − 7 = 9 − 11 = −2 En este caso se ha tenido que realizar la resta de 9 − 11, siempre que hay que realizar una resta en la que el minuendo sea menor que el sustraendo, se hace la resta del n´umero mayor menos el menor y se pone el signo del menor. En el caso de la resta 9 − 11, se har´ıa 11 − 9 = 2 y al resultado se le pone el signo del n´umero mayor, 9 − 11 = −2.

´ 2 LOS NUMEROS ENTEROS Z.

6

✺ Producto: Para realizar un producto de n´umeros enteros hay que proceder recordando las siguientes reglas de operaciones con los signos: (+) · (+) = (+) (−) · (−) = (+) (+) · (−) = (−) (−) · (+) = (−) O lo que es lo mismo, al multiplicar signos distintos, el signo del resultado es -. Al multiplicar signos iguales, el signo del resultado es +. Por ejemplo: (+3) · (+5) = +15 ⇒ 3 · 5 = 15 (−3) · (−5) = +15 (+3) · (−5) = −15 (−3) · (+5) = −15 Hay que hacer unas observaciones importantes: Los n´umeros positivos no es necesario que lleven el signo. ⇐⇒ Si un n´umero no lleva signo, entonces es positivo. Hay que procurar poner cada n´umero con su signo entre par´entesis. Es decir, poner 3 · 5 = 15 ser´a lo mismo que poner (+3) · (+5) = +15. Hay que procurar que los n´umeros negativos vayan siempre entre par´entesis en los productos. En lugar de escribir −5 · 3 = −15 se procurar´a escribir (−5) · 3 = −15 Si un signo va delante de un par´entesis, el signo multiplica a el resultado del par´entesis. Por ejemplo, −(−4) = +4, otro ejemplo, −(3 + 5) = −(+8) = −8, o tambi´en, −(−4) · (−7) = (+4) · (−7) = −28 Si un n´umero (con o sin signo), va delante de un par´entesis, multiplica a el resultado del par´entesis. Por ejemplo, 4(4 + 5) = 4(9) = 4 · 9 = 36, o en este otro caso, 3 − 4(2 + 3) = 3 − 4(5) = 3 − 4 · 5 = 3 − 20 = −17 Si un n´umero va detr´as de un par´entesis y no hay ninguna operaci´on entre el n´umero y el par´entesis se considera que el n´umero multiplica al resultado del par´entesis. Ej.: (3 + 7)3 = (10)3 = 30 Si hay un par´entesis ‘)’seguido de un par´entesis ‘(’sin ninguna operaci´on entre ambos, se considera que se multiplican los resultados de ambos. Ej.: (3 + 4)(2 + 3) = (7)(5) = 35 Es completamente incorrecto que dos operaciones vayan seguidas sin ning´un par´entesis o n´umero entre ellas. (Esto es casi como una regla de ortograf´ıa del lenguaje matem´atico, las matem´aticas tienen su propio lenguaje y es casi universal). Por ejemplo, ser´ıa incorrecto escribir − + 2 · 7 = −14 lo correcto ser´a escribir −(+2) · 7 = −14 • Esto suele suceder cuando se realiza la operaci´on que hay en el interior de un par´entesis, por ejemplo: 4 − (3 · (−5)) = 4 − (−15) = | {z } −15

Si ahora se quitan los par´entesis, quedar´ıa 4 − −15 lo cual est´a expresado incorrectamente. Lo correcto ser´ıa escribir: 4 − (3 · (−5)) = 4 − (−15) = 4 · (+5) = 20 | {z } −15

´ 3 LOS NUMEROS RACIONALES Q.

7

• Tambi´en suele suceder al escribir un producto en el que haya n´umeros negativos. Por ejemplo: 4 · −4 = −16 Hay un signo de multiplicar seguido por un signo -. Habr´a que usar los par´entesis para expresar esto correctamente: 4 · (−4) = −16

• Otro caso en el que aparece es cuando se sustituyen las variables por su valor. Por ejemplo, si se tiene la expresi´on: 2c + b y nos indican que c = −2 y b = −1, si se introducen dichos valores directamente en la expresi o´ n: 2 − 2 + −1 Que es incorrecto y se generan operaciones incorrectas. En estos casos lo correcto es introducir los valores de las variables entre par´entesis: 2(−2) + (−1) = (−4) + (−1) = −5 En el apartado de los n´umeros reales se estudiar´an las operaciones combinadas. Ejercicios: Comprueba los resultados de las siguientes operaciones: 1. 2 − 3 + 4 − 5 + 7 − 14 = −9 2. (−2) + 3(3 + 4 − 14) = −23 3. Si a=-3 y b=7 → a · a + a · b + 2a = −18 4. Si a=-2 y b=-1 → a · 2 + a · b + 3a = −8

3.

Los numeros ´ racionales Q.

Estos n´umeros se obtienen de dividir un n´umero Z en partes iguales. Por ello se representan como fracciones donde m y n son n´umeros enteros (m, n ∈ Z). Tambi´en se pueden representar usando n´umeros decimales. ′ Por ej. 21 , 23 10 , 3 12,... Cuando se expresan en forma de fracci´on, al n´umero de la parte superior de la fracci´on se le llama numerador y al de abajo denominador. Por ejemplo: m n

1 ← numerador 2 ← denominador Para pasar de un n´umero Q en forma de fracci´on a un n´umero decimal s´olo se tiene que realizar la divisi´on del numerador y el denominador: 12 = 0,5 Puede suceder que el resultado tenga infinitas cifras decimales: 12 99 = 0,12121212... En el caso de tener infinitas cifras decimales, las cifras decimales se repiten de forma peri´odica, es decir, son siempre los mismos n´umeros que se repiten una y otra vez. Al igual que en el caso anterior: N ⊂ Z ⊂ Q Un poco m´as avanzado el tema se repasar´an las operaciones con estos n´umeros.

´ 3 LOS NUMEROS RACIONALES Q.

3.1.

8

Operaciones con fracciones.

En los siguientes subapartados se repasar´an las operaciones b´asicas con fracciones. ´ de fracciones. 3.1.1. Simplificacion Muy importante, los resultados de las operaciones deben estar siempre simplificados. Para simplificar una fracci´on se procede usando el siguiente m´etodo: 1. Se descomponen en factores primos tanto el numerador como el denominador. Por ejemplo, si se desea simplificar la siguiente fracci´on: 12 144 Se comienza descomponiendo en factores el numerador y el denominador: 12 = 22 · 3 144 = 24 · 32 Por lo tanto, la fracci´on quedar´ıa: 22 · 3 12 = 4 2 144 2 ·3

2. Se “tachan” los factores que est´en repetidos en el numerador y en el denominador. En el ejemplo, en el numerador hay un 3 y en el denominador hay dos 3 (es lo que significa 32 ) por lo que se puede simplificar un 3 de arriba con un 3 de abajo: 22 22 · 3 12 = 4 2 = 4 144 2 ·3 2 ·3

Tambi´en se puede ver que arriba hay dos 2 (22 ) y abajo hay 4 (24 ). Por ello se pueden simplificar dos 2 de arriba con dos 2 de abajo: 12 22 22 · 3 1 = 4 2 = 4 = 2 144 2 ·3 2 ·3 2 ·3

Importante: Cuando en el numerador o en el denominador se simplifican todos los n´umeros, se pone un 1. En este caso,en el numerador se han simplificado todos los n´umeros, por ello se ha puesto el 1.

3. Se realizan las operaciones despu´es de simplificar. 12 22 22 · 3 1 1 1 = 4 2 = 4 = 2 = = 144 2 ·3 2 ·3 2 ·3 2·2·3 12

Ser´ıa interesante que el lector comprobara las siguientes simplificaciones por s´ı mismo: 8 =4 2

14 7 = 36 18

25 1 = 625 25

Una curiosidad a la hora de simplificar es la simplificaci´on de los n´umeros acabados en 0. Si el numerador y el denominador terminan en 0, y estos 0 no pertenecen a los decimales, se pueden tachar ambos ceros. Por ejemplo: 7 70 = 20 2 7000 7000 700 70 = = = 200 200 20 2

´ 3 LOS NUMEROS RACIONALES Q.

9

Ojo siempre se simplifican los ceros del final que no pertenezcan a los decimales. Ser´ıa totalmente incorrecto hacer: 70001 7001 70001 = = 203 203 23 Esto en un examen equivale a un suspenso del tama˜no de un catedral.

!!!!

Ejercicios: Simplificar las siguientes fracciones: 14 12 Sol.:

14 12

=

7 6

100 120

=

5 6

134 240

=

100 120

134 240

67 120

3.1.2. Suma de fracciones. Para realizar la suma de fracciones hay que seguir los siguientes pasos: 1. S´olo se pueden sumar (o restar) las fracciones que tengan el mismo denominador. Por ejemplo:

1 5 7 1+5−7 −1 + − = = 2 2 2 2 2

2. En el caso de no tener el mismo denominador hay que generar un denominador com´un. Para ello se usar´a el m.c.m. de los denominadores. Por ejemplo:

5 7 11 − + = 120 8 36 Hay que hallar el m.c.m. de 120, 8 y 36. Operando se obtiene que el m.c.m.=360.

3. Una vez que se ha calculado el denominador com´un, para cada fracci´on de la suma, hay que dividir el m.c.m. entre el denominador de cada fracci´on y multiplicar el resultado por el numerador. En este caso se tienen las fracciones:

5 7 11 ,− , 120 8 36 Para cada fracci´on se divide el m.c.m.=360 entre el denominador: 11 ⇒ 360/120 = 3 120 −

5 ⇒ 360/8 = 45 8

7 ⇒ 360/36 = 10 36 Por u´ ltimo, se multiplica el numerador por de cada fracci´o n por el resultado de la divisi´on anterior y se pone como denominador el m.c.m.: 11 11 · 3 33 ⇒ 360/120 = 3 ⇒ = 120 360 360 5 · 45 225 5 =− − ⇒ 360/8 = 45 ⇒ − 8 360 360 7 7 · 10 70 ⇒ 360/36 = 10 ⇒ = 36 360 360

´ 3 LOS NUMEROS RACIONALES Q.

10

Ya se ha obtenido el denominador com´un para las operaciones: 225 70 33 − + = 360 360 360 Por ello ya se pueden sumar (o restar): 33 225 70 33 − 225 + 70 −122 −61 − + = = = 360 360 360 360 360 180 Por lo que finalmente se encuentra que:

5 7 −61 11 − + = 120 8 36 180 Al final, siempre hay que simplificar el resultado.

Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: 14 15 5 + − 12 12 12 7 12 5 + − 4 3 14 12 5 7 25 + − − 4 3 12 6 Sol.:

14 12

+

15 12

−

5 12

=2

12 4

+

5 3

−

7 14

=

25 6

12 4

+

5 3

−

7 12

−

25 6

=0

3.1.3. Producto de fracciones. La multiplicaci´on de fracciones es muy sencilla. Se deben multiplicar los denominadores entre s´ı y los numeradores entre s´ı. Otra ventaja es la posibilidad de hacer la simplificaci´on del resultado a la vez que se hace el producto. Por ejemplo, se desea realizar el siguiente producto: 12 15 · 35 8 Una forma de hacer lo es hacer las multiplicaciones de los denominadores entre s´ı y los numeradores entre s´ı, y finalmente hacer la simplificaci´on del resultado: 12 15 12 · 15 180 22 · 32 · 5 9 · = = = 3 = 35 8 35 · 8 280 2 ·5·7 14 La otra forma consiste en descomponer los numeradores y los denominadores y ver lo que se puede simplificar: 12

15 z }| { z}|{ 2 12 · 15 9 2 ·3·3 ·5 12 15 22 · 32 · 5 · = == = = 3 3 35 8 35 · 8 2 ·5·7 14 2 5 · 7 · |{z} |{z} 35

Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: 14 15 · 12 12

8

´ 3 LOS NUMEROS RACIONALES Q.

11 120 34 · 72 360 120 34 108 · · 360 72 34

Sol.:

14 12

·

15 12

=

35 24

120 72

·

34 360

=

17 108

120 360

·

34 72

·

108 34

=

1 2

3.1.4. Cociente de fracciones. Realmente el cociente de fracciones se reduce a una multiplicaci´on de fracciones: En la divisi´on de fracciones deben multiplicarse los t´erminos en cruz: a c a·d : = b d b·c Por ejemplo:

2 −5 2·6 12 : = = 3 6 3 · (−5) −15

Al final, siempre se debe simplificar el resultado. La notaci´on nos puede jugar malas pasadas, por ejemplo: 5 3 4 6

=

Esto es realmente una divisi´on. La l´ınea de dividir de mayor tama˜no es la “manda”: 5 3 4 6

=

5 4 5 : = 3 6 2

Aunque a veces es muy dif´ıcil distinguir cu´al es la principal si no se hacen las l´ıneas suficientemente largas: 2 3 −5 6

=

2 −5 2·6 12 : = = 3 6 3 · (−5) −15

Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: 14 12 : 12 15 120 72 360 34 120 360

Sol.:

14 12

:

12 15

=

35 24

120 72 360 34

=

17 108

120 34 108 360 · 72 · 34

2

=

1 4

·

34 72

2

·

108 34

´ 4 LOS NUMEROS IRRACIONALES I.

12

Los numeros ´ irracionales I.

4.

Son n´umeros que pueden expresarse con n´umeros decimales con infinitas cifras decimales que no se repiten de forma peri´odica. Por ejemplo 2′ 1243583225427... √ Estos n´umeros se suelen obtener al realizar operaciones con ra´ıces: 2 = 1,4142135623730950488016887242097... Tambi´en hay n´umeros importantes que pertenecen a este conjunto, como por ejemplo: π = 3,1415926535897932384626433832795... e = 2,7182818284590452353602874713527...

Los numeros ´ reales R.

5.

Si se unen los conjuntos Q e I, se obtiene el conjunto de los n´umeros reales R. Esto se suele representar poniendo R = Q ∪ I. Es f´acil deducir por tanto: N⊂Z⊂Q⊂R

Al igual que en el caso de los n´umeros Z, los n´umeros R se pueden representar sobre una recta, llamada recta real. Esta recta es como pensar en una regla en la que se colocan los metros, cent´ımetros, mil´ımetros,... Para expresar cualquier n´umero sobre la recta real s´olo hay que pasar dicho n´umero a su expresi´on con n´umeros decimales (si no lo est´a ya) y dibujarlo sobre la recta.

5.1.

Operaciones con los numeros ´

R

Los operaciones b´asicas con n´umeros reales son: ☞ Suma: Los propiedades b´asicas de la suma son: 1. Conmutativa: a+b = b+a ⇒ El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: 2+3 = 5, 3+2 = 5 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ⇒ A la hora de sumar 3 o´ m´as n´umeros, da igual el orden en el que los sumemos. Ejemplo: 2 + 3 + 4 = 5 + 4 = 9 o´ tambi´en 2 + 3 + 4 = 2 + 7 = 9.

✎ Nota:

☞ A la hora de realizar una operaci´on, siempre hay que realizar primero las operaciones entre par´entesis. Por ejemplo: 2 + 3 − (4 + 5) = 2 + 3 − 9 = 5 − 9 = −4 Aunque la propiedad asociativa nos indica cuando se pueden ignorar los par´entesis, hay que procurar seguir siempre esta regla. 3. Existe elemento neutro 0: a + 0 = a ⇒ El elemento neutro es el cero. Cualquier n´umero m´as cero da como resultado el mismo n´umero. 4. Existe elemento opuesto: Para cualquier n´umero a existe otro n´umero −a tal que sumados dan cero: a + (−a) = 0 ⇒ Es decir, si se suman el 2 con el −2 el resultado da cero.

´ 5 LOS NUMEROS REALES R.

13

Hay que darse cuenta de un detalle importante: en la propiedad anterior se est´a asumiendo que la resta es... ¡¡una suma!! Efectivamente, cuando se habla de propiedades se asume que la resta es un caso especial de suma. ☞ Resta: Como ya se ha indicado es un caso particular de la suma. ☞ Producto: Son las mismas propiedades de la suma pero ahora se aplican al producto: 1. Conmutativa: a · b = b · a ⇒ El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: 2 · 3 = 6, 3 · 2 = 6 2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) ⇒ A la hora de multiplicar 3 o´ m´as n´umeros, da igual el orden en el que los multipliquemos. Ejemplo: 2 · 3 · 4 = 6 · 4 = 24 o´ tambi´en 2 · 3 · 4 = 2 · 12 = 24. 3. Existe elemento neutro 1: a · 1 = a ⇒ El elemento neutro es el uno. Cualquier n´umero por uno, da como resultado el mismo n´umero. 1 4. Existe elemento opuesto: Para cualquier n´umero a existe otro n´umero tal que multiplicados dan 1: a 1 a · = 1 ⇒ Es decir, si se multiplica el 2 con el 12 el resultado da 1. a Al igual que en el caso anterior, cuando se habla de propiedades se asume que la divisi´on es un caso especial del producto.

✎ Nota: No existe la divisi´on entre 0. Por ejemplo, si se pide realizar la divisi´on de 10 entre 0 esta operaci´on no se puede realizar.

Hay una u´ ltima propiedad que relaciona la suma y el producto, la propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 3(2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4 = 6 + 12 = 18 Las propiedades tambi´en se pueden leer ‘al rev´es’: a · b + a · c = a · (b + c) As´ı escrita a esta propiedad se la llama sacar factor com´un. Indica que si se tiene un n´umero (o cualquier expresi´on) multiplicando a todos los t´erminos de una suma (o resta), dicha expresi´on se puede ‘sacar multiplicando’para hacer las operaciones m´as sencillas. Esta propiedad ser´a u´ til en algunos casos. Por ejemplo, se puede usar para hacer m´as sencillas las operaciones: 3 · 2 + 3 · 4 = 3(2 + 4) = 3(6) = 18

´ 5 LOS NUMEROS REALES R.

5.2.

14

Prioridad de las operaciones.

A la hora de enfrentarse a operaciones del tipo: 3+4·5 = Se deben tener en cuenta el orden para las operaciones, pues no es lo mismo: 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23 que es correcto, a:

!!!

3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35 que es incorrecto.

Para c´alculos en los haya mezclados varios tipos de operaciones se seguir´an las siguientes reglas: 1. Se realizar´an siempre primero las operaciones que est´e n dentro de un par´entesis. 2. Despu´es se realizar´an las potencias. 3. Despu´es las multiplicaciones y divisiones. 4. Por u´ ltimo se realizar´an las sumas y restas. Por ejemplo, para realizar la siguiente operaci´on: (3 + 4) 3 −3= 2+3 Se realizan las operaciones entre par´entesis: (7) 3 (3 + 4) 3 −3= −3= 2+3 2+3 Todo lo que est´e en el numerador o en el denominador de una fracci´on, se puede considerar como si estuviese dentro de un par´entesis, por lo tanto: (7) 3 (7) 3 (3 + 4) 3 −3= −3 = −3= 2+3 2+3 5 Ya no quedan par´entesis, por lo que se proceden a realizar los productos: (7) 3 (7) 3 21 (3 + 4) 3 −3 = −3= −3= −3= 2+3 2+3 5 5 Las divisiones se procurar´an no realizar si dan n´umeros decimales y se dejar´a el resultado en forma de fracci´on: (7) 3 (7) 3 21 6 (3 + 4) 3 −3= −3= −3= −3= 2+3 2+3 5 5 5 Si al final se obtiene una fracci´on se simplificar´a el resultado. Ejercicios: Resolver las siguientes operaciones: 1. 2 + 3(−4) + 7

6 OPERACIONES CON LAS POTENCIAS. 2. 2 + 3. 4.

2+3 5 4 5

+

3(−4) 14

·

15

·7

2+3 3+4

5

2 1 − 3 5

( 45 − 16 ) 2 9

1. -3, 2. -4, 3. 1/7, 4. 323/100

6.

Operaciones con las potencias.

Definici´on: Se llama potencia de base b y exponente n, bn , a multiplicar b tantas veces por s´ı misma como indique n: n veces z }| { n b = b · ... · b Por ejemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8

35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

6.1.

Propiedades de las potencias.

Sean a, b, n y m n´umeros. Se tienen las siguientes propiedades: an · am = an+m an = an−m am (a · b)n = an · bn  a n an = n b b n m (a ) = an·m a−n =

1 an

a = a1 a0 = 1 Estas propiedades tambi´en se pueden leer al rev´es, por ejemplo, an · bn = (a · b)n . Para realizar operaciones con potencias s´olo hay que ir revisando cada una de las propiedades anteriores y ver si se puede aplicar alguna. Por ejemplo: 24 · 37 24 · 37 24 37 24 · 37 = = = · = 1 · 37−4 = 33 (22 · 32 )2 (22 )2 · (32 )2 24 · 34 24 34

7 RADICALES.

16

Se puede comprobar que ya se estaban aplicando las propiedades de las potencias cuando se realizaba alguna simplificaci´on. Ejercicios: Resolver las siguientes operaciones: 1. 23 · 24 · 24 2. 23 · 34 · 24 3.

23 ·34 ·24 27 ·35

4.

24 ·3−5 ·2−3 ·35 2

1. 21 1, 2. 27 · 34 , 3. 1/3, 4. 1

7.

Radicales.

Definici´on: La ra´ız n-´esima de un n´umero a,

√ n a, es un n´umero r, tal que r n = a.

√ Por√ ejemplo, 3 8 = 2 ya que, 23 = 8. La 4 81 = 3 ya que, 34 = 81. √ Cuando la ra´ız no tiene ´ındice, se considera que el ´ındice es 2. Por ejemplo, 16 = 4 ya que, 42 = 16.

7.1.

Propiedades de los radicales.

Realmente los radicales son potencias cuyos exponentes son n´umeros Q: √ m n m a = an Por lo que todas las propiedades de las potencias se podr´an aplicar a los radicales. Por ejemplo: √ 1 3 √ −5 3 1 2 23 12 √ = 3 = 2 3 − 4 = 2 12 = 2−5 4 3 2 24 Para introducir un factor dentro de un radical hay que elevarlo al ´ındice del radical: √ √ 3 3 5 2 = 2 · 53 Para sacarlo hay que dividir el exponente entre el ´ındice de la ra´ız: √ √ 3 3 2 · 53 = 5 2 A veces es conveniente aplicar el siguiente truco: √ √ √ √ 3 3 3 3 25 = 22+3 = 22 · 23 = 2 22 Definici´on: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo ´ındice y el mismo radicando.

7 RADICALES.

17

√ √ √ √ 3 3 3 3 Por ejemplo, 25 y 22 son semejantes, ya que, 25 = 2 22 . Si dos radicandos son semejantes se pueden sumar (o restar) sus coeficientes: √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 25 + 5 22 = 2 22 + 5 22 = (2 + 5) 22 = 7 22 Si se hace un poco de memoria, en esta operaci´on se ha aplicado la propiedad llamada sacar factor com´un. Definici´on: Para poder realizar operaciones con fracciones, no debe haber radicales en el denominador. A las manipulaciones necesarias para trasformar la fracci´on en otra sin ra´ıces en su denominador se las denomina racionalizar.

Para racionalizar hay que multiplicar el numerador y el denominador de la fracci´on por la expresi´on adecuada. Para saber por lo que se debe multiplicar se seguir´an las siguientes pautas: ✎ En el caso de que la fracci´on sea de la forma: √ n expresi´on · an−1 expresi´on √ √ ⇒ √ n n n a a · an−1 Por ejemplo:

√ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 · 22 3 · 22 3 · 22 3 · 22 3 · 22 √ √ √ √ √ = = = = = √ 3 3 1+2 3 3 3 3 3 2 2 2 · 22 2 · 22 2 2

√ ✎ En el caso√de que en el denominador ız expresi´on + b se multiplicar´a por √ haya alg´un factor sumando a la ra´ √ expresi´on − b (o si es expresi´on − b se multiplicar´a por expresi´on + b): √ expresi´on · (expre − b) expresi´on √ ⇒ √ √ expre + b (expre + b) · (expre − b) Por ejemplo:

√ √ √ √ 2(2 + 3) 2(2 + 3) 2 √ = √ √ = = 2(2 + 3) = 4 + 2 3 4−3 2− 3 (2 − 3)(2 + 3)

Hay que recordar que:

(a + b)(a − b) = a2 − b2 Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: √ √ √ 1. 2 2 + 3 5 − 7 2 √ √ √ 2. 25 2 + 3 5 − 7 2 3.

2√ 5+2 2

4.

2√ 5+ 2

+

+

−7√ 5−2 2

−7 √ 5− 2

√ √ √ Sol.: 1. 3 5 − 5 2, 2. 3 5 −

−33 5

√ √ √ 2+25 2+25 , 4. − 9 23 2, 3. − 18 17

´ CIENTIFICA. ´ 8 NOTACION

8.

18

´ cient´ıfica. Notacion

Hay situaciones en las que hay que trabajar con n´umeros con muy grandes, lo que puede ser engorroso. Por ejemplo, la masa de la Tierra es: 5980000000000000000000000 kg Algo similar pasa cuando se trabaja con n´umeros muy peque˜nos. Ej., la carga del electr´on es: 0,00000000000000000016 C. Para trabajar con estas cantidades y otras similares se usa la notaci´on cient´ıfica. Para trabajar con la notaci´on cient´ıfica hay que darse cuenta de: 102 = 10 · 10 = 100 103 = 1000

104 = 10000 10n = |10 {z . . . 0} n ceros

As´ı:

90000 = 9 · 10000 = 9 · 104

300000000 = 3 · 100000000 = 3 · 108 Esto es muy c´omodo a la hora de expresar cantidades con grandes n´umeros de ceros. De forma similar: 1 = 0,1 10−1 = 10 1 10−2 = = 0,01 100 1 = 0,001 10−3 = 1000 1 10−4 = = 0,0001 10000 As´ı: 0,02 = 0,01 · 2 = 10−2 · 2 = 2 · 10−2

0,0000000000000000006 = 0,0000000000000000001 · 6 = 6 · 10−19

La un n´umero en notaci´on cient´ıfica consta de: Una parte entera formada por una sola cifra no nula. Una parte decimal. Una potencia, multiplicando, de la forma 10n , donde n es un n´umero entero. As´ı el n´umero 324000 en notaci´on cient´ıfica: 324000 = 3,24 · 100000 = 3,24 · 105 El n´umero 2300000 en notaci´on cient´ıfica: 23000000 = 2,3 · 10000000 = 2,3 · 107 Estos n´umeros est´an expresados correctamente en notaci´on cient´ıfica. Por ejemplo, el 3,24 · 105 tiene: Una parte entera formada por una sola cifra no nula. Que es el “3” Una parte decimal. Que es el “,24” Una potencia, multiplicando, de la forma 10n , donde n es un n´umero entero. Que es “·105 ”

9 INTERVALOS.

19

De forma id´entica, se puede hacer con los n´umeros muy pequen˜ os: 0,024 = 0,01 · 2,4 = 10−2 · 2,4 = 2,4 · 10−2 0,0000000000000000006123 = 0,0000000000000000001 · 6,123 = 6,123 · 10−19 La notaci´on cient´ıfica se usa mucho en los campos tecnol´ogicos y cient´ıficos pues es habitual manejar cantidades o muy grandes o muy peque˜nas. Las calculadoras cient´ıficas tambi´en la usan cuando tienen que expresar cantidades que superan a los d´ıgitos que e´ stas pueden mostrar en la pantalla. Ejercicios: 1. Escribe los siguientes n´umeros en notaci´on cient´ıfica: a) 1234564 b) 0,000283 c) 299793,00 · 109

d) 0,016 · 10−19

2. Comprueba las siguientes operaciones en notaci´on cient´ıfica: a) 3 · 107 + 3,5 · 104 + 1,25 · 5 = 3,016 · 107 b) 2 · 103 − 3 · 104 + 4 · 104 = 1,2 · 104

c) 2 · 103 − 3 · 104 · 4 · 104 = −1,2 · 109

d) 2 · 10−3 − 3 · 10−4 + 4 · 10−4 = 2,1 · 10−3

9.

Intervalos.

A veces se definen conjuntos de n´umeros dentro de la recta real. Por ejemplo, todos los n´umeros entre el 2 y el 4 (estos pueden ser el 3, el 2,4, el 3,999). A estos conjuntos de n´umeros se les denomina intervalos. Hay una notaci´on especial para indicar los intervalos: Corchetes a ambos lados: [a, b] ⇒ Son todos los n´umeros entre el n´umero a y el n´umero b, incluyendo a a y a b. Por ejemplo: [2, 4] Son todos los n´umeros entre 2 y 4 incluyendo el 2 y el 4. Par´entesis a ambos lados: (a, b) ⇒ Son todos los n´umeros entre el n´umero a y el n´umero b, sin incluir a a y a b. Por ejemplo: (2, 4) Son todos los n´umeros entre 2 y 4 sin incluir el 2 y el 4. Par´entesis a la izquierda y corchete a la derecha: (a, b] ⇒ Son todos los n´umeros entre el n´umero a y el n´umero b, sin incluir a a, pero incluyendo a b. Por ejemplo: (2, 4] Son todos los n´umeros entre 2 y 4 sin incluir el 2, pero incluyendo a 4. Par´entesis a la derecha y corchete a la izquierda: [a, b) ⇒ Son todos los n´umeros entre el n´umero a y el n´umero b, sin incluir a b, pero incluyendo a a. Par´entesis a la izquierda e infinito a la derecha: (a, ∞) ⇒ Son todos los n´umeros mayores que a, sin incluir a a.

9 INTERVALOS.

20

Corchetes a la izquierda e infinito a la derecha: [a, ∞) ⇒ Son todos los n´umeros mayores o iguales a a. Se incluye a a. Par´entesis a la derecha y menos infinito a la izquierda: (−∞, a) ⇒ Son todos los n´umeros menores que a, sin incluir a a. Corchetes a la derecha y menos infinito a la izquierda: (−∞, a] ⇒ Son todos los n´umeros menores o iguales a a. Se incluye a a.

✎ Nota: Las soluciones de las inecuaciones, los intervalos de continuidad o derivabilidad de una funci´on suelen ser intervalos.

Recuerda: < > ≤ ≥ 6 =

Menor que Mayor que Menor o igual Mayor o igual Distinto a

Por ejemplo, la desigualdad x < 3, representa a todos lo x que son menores a 3. Esto se puede representar mediante un intervalo, (−∞, 3). Otro ejemplo, la desigualdad x ≥ 4, representa a todos lo x que son mayores o iguales a 4. Esto se puede representar mediante un intervalo, [4, +∞).

Ejercicios: ¿Qu´e intervalos representan las siguientes desigualdades? 1. x > 5 2. x + 1 > 6 3. 2x + 1 ≤ 1 Sols.: 1. (5, +∞), 2. (5, +∞), 3. (−∞, 0)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Figura 3: Recta representando el intervalo (-1,3].

Los intervalos se suelen representar sobre la recta real. Para ello se marcan los valores que contiene el intervalo. Por ejemplo, el intervalo (-1,3] est´a representado el la figura 3. En el -1 se coloca un c´ırculo para indicar que ah´ı est´a abierto el intervalo.

10 EL VALOR ABSOLUTO.

10.

21

El valor absoluto.

Se define el valor absoluto de un n´umero, como el n´umero sin signo. As´ı el valor absoluto de -3 es 3. El valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -12909 es 12909. Otra forma de definirlo es usando la siguiente funci´on:  x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0 As´ı | − 3| = 3, | + 5| = 5, | − 1234| = 1234. Ejercicios: 1. Calcular los valores absolutos de |1|, |1 − 3|, | 45 |, | − 1894387| 2. Razonar los intervalos que cumplen las siguientes desigualdades: a) |x| < 2

b) |x| ≤ 2

c) |x − 1| ≤ 3

Sol.: 2.a (−2, 2), 2.b [−2, 2], 2.c [−2, 4]

11.

Error y redondeo.

Es habitual realizar aproximaciones al realizar c´alculos. Hay dos tipos de aproximaciones: Truncamiento consiste en cortar la expresi´on decimal por un lugar determinado. Por ejemplo: 2,3456789 → 2,3456 Redondeo similar al anterior, pero ahora: • Si la primera cifra despreciada es menor que 5, se realizar´a un truncamiento. Por ejemplo: 2,41 → 2,4 • Si la primera cifra despreciada es mayor o igual a 5, la u´ ltima cifra decimal que se conserva queda aumentada en una unidad. Por ejemplo: 2,47 → 2,5 Al realizar una aproximaci´on, siempre existir´a un error en la cifra aproximada, aunque sea peque˜no. Para describir la magnitud del error se usar´a: Error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado y el exacto. Por ejemplo: Si se aproxima 2,47 → 2,5, entonces el error absoluto ser´a |2,5 − 2,47| = 0,03 Error relativo es el cociente entre el error relativo y la cifra aproximada. Por ejemplo: Si se aproxima 2,47 → 2,5, entonces el error relativo ser´a |2,5−2,47| = 0,012 2,5

12 PARA FINALIZAR.

22

Para indicar el error cometido se suele usar la siguiente notaci´on: 2,50 ± 0,03 que indica que la cifra exacta estar´a entre 2,53 y 2,47. Como curiosidad indicar que esta notaci´on es usada por los cient´ıficos para expresar la exactitud de las medidas. As´ı si algo mide 12,0 ± 0,5 mm quiere indicar que el objeto mide 12 mm y la regla era capaz de medir medio mil´ımetro.

Ejercicios: Aproximar, truncando y redondeando hasta la pen´ultima cifra decimal los siguientes n´umeros, indicando el error absoluto y relativo que se comente. Expresar el resultado usando la notaci´on ±: 1. 12.34 2. 12.35 Sols.: 1. 12,3 ± 0,04 er=0.003, 2. 12,3 ± 0,05 er=0.004 12,4 ± 0,05 er=0.004

12.

Para finalizar.

El alumno deber´ıa terminar de ver el tema por el texto base de la asignatura (los apuntes intentan complementar a los contenidos del texto) y ver ejemplos de ejercicios resueltos en la p´agina de la asignatura. Tambi´en se deber´ıan intentar realizar los ejercicios propuestos en el libro y en la gu´ıa did´actica.

13.

Ejercicios.

Importante: Repasar los conocimientos relacionados con cada ejercicio antes de realizarlo. Procurar hacer

un ejercicio hasta obtener el resultado correcto. En caso de duda, consultar con el tutor. 1. Realizar las siguientes operaciones con n´umeros enteros: a) 2-3+4 b) 4-5-10 c) -4-5+10-11+3-17 Sol. 3, -11, -24

2. Antes de realizar las siguientes operaciones, recuerda: Primero se deben realizar los par´entesis, despu´es multiplicaciones y divisiones y, por u´ ltimo, sumas y restas. a) 2(5-7) b) 2-3(2-3) c) (3-5)2-3(5-7) d) 3(2-7(4-5))-3 Sol. -4, 5, 2, 24

3. Descomponer los siguientes n´umeros en factores primos:

13 EJERCICIOS. a) 12 b) 840 c) 1764 d) 117 Sol. 22 · 3, 23 · 3 · 5 · 7, 22 · 32 · 72 , 32 · 13

4. Calcular el MCD y el mcm de los siguientes n´umeros: a) 3, 4 b) 4, 12 c) 10, 12, 18 d) 9, 27, 18 e) 12, 144, 7 Sol. mcm: 12, 12, 180, 54, 1008 Sol. MCD: 1, 4, 2, 9, 12

5. Simplificar las siguientes fracciones: a) b) c) Sol.

12 144 32 150 18 270 1 16 1 12 , 75 , 15

6. Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones: 1 3 + 12 4 1 5 7 b) − + 4 6 9 2 7 5 2 c) − + − 9 4 3 7 5 17 5 2 d) − + − 9 5 3 14 a)

Sol. 65 ,

7 36 ,

37 416 − 252 , − 315

7. Realizar las siguientes operaciones con fracciones: 3 10 · 4 9 2 27 b) · 9 10 3 9 c) : 4 10 2 d) 9 10 27 a)

23

13 EJERCICIOS. Sol. 65 , 53 , 56 ,

24

3 5

8. Realizar las siguientes operaciones combinadas con fracciones:   1 5 1 a) + 2 − 7 4 9   1 1 2 1 − b) − 2 3 9 4 2 1 − c) 9 5 3 2 + 4 3 2 1 − 4 d) 9 5 − 3 2 255 + 4 3 Sol.

4 305 55 126 , 108 , 255 ,

0

9. Repasar las propiedades de las potencias: a) a2 · a3

b) a3 · a4 · a7 a4 c) 5 a a2 · a3 d) 3 4 7 a ·a ·a

Sol. a5 , a14 , a1 ,

1 a9

10. Realizar las siguientes operaciones: √ √ a) 3 − 2 2 + 8 2√ 2− 2

+ 2+2√2 √ c) (2 − 3)2

b)

√ Sol. 3, 4, 7 − 4 3