14

Cuerpos geométricos. Volúmenes ACTIVIDADES INICIALES

14.I.

Identifica en la imagen cada una de las cuatro torres. Ver fotografía en la actividad siguiente.

14.II. Señala los elementos geométricos que aparecen en el texto. Planta triangular y lados curvos

Torre Sacyr Vallehermoso

Elipse

Torre Caja Madrid

Torre Cristal

Torre Espacio

Arco

45 plantas en 3 grupos

Planta cuadrángular

14.III. Busca el significado del término skyline aplicado a una ciudad.

Se refiere a la silueta total o parcial de las estructuras y edificios más altos de una ciudad.

14.IV. Piensa cinco cosas de uso cotidiano que puedan considerarse cuerpos geométricos.

Respuesta abierta, por ejemplo: • • • • •

Una lata de refresco suele tener forma cilíndrica. Un envase de leche suele tener forma de prisma rectangular. Un balón de baloncesto tiene forma esférica. Los dados son cubos. Los cucuruchos de los helados tienen forma de cono.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 14.1. Indica si los siguientes poliedros son convexos o cóncavos

a)

a)

18

b)

Cóncavo

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

b)

Convexo

14.2. Dibuja el desarrollo plano de:

a)

Un ortoedro

b)

a)

F

A

D

B

C

B

F

G

A

E

H

A

D

G

B

C E

H

A

D

Un cubo

c)

Un tetraedro

C D

b) F B

G

B

C

B

F

G

C

B

A

E

H

D

A

A

D

C E

A

H D

c)

B D

A D C

A

B B C

A

14.3. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro?

30 aristas 14.4. ¿Qué condiciones debe cumplir un prisma triangular para ser regular? Dibújalo.

Para que un prisma triangular sea regular, su base tiene que ser un triángulo equilátero, y sus caras, rectángulos.

14.5. Dibuja una pirámide que no sea regular y describe sus elementos.

Vértice Cara lateral Altura Base

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19

14.6. El número de aristas de una pirámide es 12. ¿De qué pirámide se trata?

Se trata de una pirámide hexagonal: 6 aristas de la base y 6 aristas de las caras laterales, que coinciden con el número de vértices de la base y, por tanto, con el número de aristas. 14.7. Actividad interactiva

14.8. La altura de un cilindro mide 12 centímetros, y el radio de su base, 4.

Dibuja el cilindro y su desarrollo plano. 4 cm 4 cm 12 cm

12 cm

14.9. La generatriz de un cono mide 13 centímetros, y el radio de su base, 5.

Dibuja el cono y su desarrollo plano. 13 cm 13 cm 5 cm 5 cm

14.10. Una cartulina tiene forma de rectángulo de dimensiones 10 por 14 centímetros.

a)

¿Cuántos cilindros distintos puede generar?

b)

Calcula las dimensiones de los desarrollos planos de los distintos cilindros.

a) B

C

B

C

A

D

A

D

C

D

B

A

b) C

D

20

B

D

C

B

C

A

B

A

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A

B

14.11. Actividad resuelta 14.12. Señala cuál de las siguientes figuras planas engendra una esfera al girar sobre uno de

sus lados. a)

a) b)

b)

Genera una esfera si se hace girar la figura alrededor del lado horizontal o diámetro de la semicircunferencia. No genera una esfera, ya que le falta un sector circular para completar la semicircunferencia.

14.13. El diámetro de una esfera mide 20 centímetros.

¿Cuánto mide el radio de la circunferencia máxima? 10 cm

14.14. Actividad interactiva

14.15. Actividad resuelta

14.16. Determina el volumen de este ortoedro cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

2 6

1,5

V = 6 · 1,5 · 2 = 18 cm3

14.17. Calcula el volumen, en decímetros cúbicos, de los ortoedros cuyas medidas se indican.

a)

a = 4 dm

b = 2 dm

c = 7 dm

b)

a = 0,5 dm

b = 25 cm

c = 1 dm

c)

a = 0,07 m

b = 0,8 dm

c = 4,25 cm

d)

a=8m

b = 80 dm

c = 800 cm

a) b) c) d)

3

V = 4 · 2 · 7 = 56 dm V = 0,5 · 2,5 · 1 = 1,25 dm3 V = 0,7 · 0,8 · 0,425 = 0,238 dm3 V = 80 · 80 · 80 = 803 dm3 = 512 000 dm3

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21

14.18. Calcula el volumen de estos poliedros cuyas medidas vienen expresadas en centímetros.

a)

b)

5,88

2 9

4

9 4,04

a) b)

p⋅a 29,4 ⋅ 4,04 ⋅h = ⋅ 9 = 534,492 cm3 2 2 1 1 4⋅2 ⋅ 9 = 12 = 12 cm3 V= · Abase · h = ⋅ 3 2 3

V = Abase · h =

14.19. La base de una pirámide es un cuadrado de 5 centímetros de lado, y la altura es el triple

del lado de la base. Halla el volumen de la pirámide. Altura de la pirámide: 3 · 5 = 15 cm 1 1 · Abase · h = · 52 · 15 = 125 cm3 V= 3 3 14.20. La base de un prisma es un hexágono regular de 7 centímetros de lado y 6,06 de

apotema. Halla el volumen del prisma sabiendo que su altura mide 10 centímetros V = Abase · h =

p⋅a 42 ⋅ 6,06 ⋅h = ⋅ 10 = 1272,6 cm3 2 2

14.21. Calcula el volumen de estos cilindros sabiendo que las medidas vienen dadas en

centímetros. a)

b) 7 8

5

3

a)

V = Abase · h = π · r2 · h = π · 32 · 7 = 197,82 cm3

b)

V = Abase · h = π · r2 · h = π · 2,52 · 8 = 157 cm3

14.22. Calcula el volumen de estos conos cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

a)

b) 12 2 10

5

a)

b)

22

1 1 · π · r2 · h = · π · 52 · 10 = 261,67 cm3 3 3 1 1 V= · π · r2 · h = · π · 22 · 12 = 50,24 cm3 3 3 V=

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EJERCICIOS Poliedros 14.23. Calcula la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de los poliedros

regulares. ¿Qué observas?

Tetraedro: en un vértice concurren tres triángulos equiláteros, 60º + 60º + 60º = 180º. Cubo: en un vértice concurren tres cuadrados, 90º + 90º + 90º = 270º. Octaedro: en un vértice concurren cuatro triángulos equiláteros, 60º + 60º + 60º + 60º = 240º. Dodecaedro: en un vértice concurren tres pentágonos regulares, 108º + 108º + 108º = 324º. Icosaedro: en un vértice concurren cinco triángulos equiláteros, 60º + 60º + 60º + 60º + 60º = 300º.

14.24. ¿Un prisma cuya base es un rectángulo es regular? ¿Y una pirámide? Dibújalos.

Como el rectángulo no es un polígono regular, ni el prisma ni la pirámide serán poliedros regulares.

14.25. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene un icosaedro?

12 vértices, 30 aristas y 20 caras

14.26. Indica cuáles de los siguientes cuerpos geométricos son poliedros.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

a) b) c) d) e) f)

Sí, es un icosaedro. Sí, es un prisma cuadrangular oblicuo. No, porque sus caras no son polígonos. Sí, es una pirámide triangular. No, porque alguna de sus caras no son polígonos. Sí, es un poliedro cóncavo.

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14.27. Dibuja una pirámide cuya base sea un cuadrilátero.

14.28. Si una pirámide tiene 8 aristas, ¿qué polígono es su base?

Dibuja el desarrollo plano de la pirámide.

La base es un cuadrilátero.

14.29. Dibuja el desarrollo plano de un prisma regular hexagonal cuyas aristas miden 6

centímetros. 6 6

6

6 6 6

6

6

6

6 6

6

6 6 6 6

6

6

6 6

14.30. Si un prisma recto tiene 16 vértices, ¿qué polígono forma su base?

Un octógono, ocho vértices en la cara superior y ocho vértices en la cara inferior. 14.31. Una pirámide tiene 9 vértices, ¿qué polígono es su base?

Un octógono, 8 vértices correspondientes a la base y el noveno vértice correspondiente al vértice de la pirámide. 14.32. El número de vértices de un prisma es 6. ¿Cuántas caras laterales tiene?

Dibuja su desarrollo plano.

Se trata de un prisma triangular, por lo que tiene tres caras laterales.

24

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

14.33. ¿Cuál de estos dos desarrollos planos daría lugar a un ortoedro?

a)

b)

El diseño b, al diseño a le falta una cara lateral.

14.34. ¿Existe alguna pirámide con 9 aristas? Razona la respuesta.

No. El número de aristas de una pirámide es la suma del número de aristas de la base más las aristas que no están en ella, y ambos números coinciden, ya que el número de aristas que no están en la base es igual al número de vértices de esta. Por tanto, el número de aristas de una pirámide es siempre par.

14.35. Las aristas laterales y las de la base de la pirámide regular de la figura miden 10 y 6

centímetros, respectivamente. Calcula la apotema de la pirámide.

6 cm 10 cm

Para calcular la apotema aplicamos el teorema de Pitágoras a una de las 6 caras laterales de la pirámide: c2 = a2 + b2  102 = a2 + 32  a2 = 100 – 9  a = 91 = 9,54 cm

a 3 10

La apotema mide 9,54 cm.

Cuerpos redondos 14.36. Dibuja los cuerpos que se generan al girar las figuras planas sobre el eje indicado.

a)

b)

c)

a)

b)

c)

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25

14.37. La altura de un cilindro mide 10 centímetros, y el radio de sus bases, 4. ¿Cuáles son las

medidas del rectángulo de su desarrollo plano?

La altura del rectángulo coincide con la altura del cilindro: 10 cm. La base del rectángulo debe ser igual al perímetro del círculo que tiene de base el cilindro: 2 · π · r = 2 · π · 4 = 8 · π = 25,13 cm 14.38. El radio de un cono mide 10 centímetros. ¿Cuánto mide el arco del sector circular

correspondiente a su desarrollo?

El arco tiene que coincidir con el perímetro del círculo de la base del cono: 2 · π · r = 2 · π · 10 = 20 · π = 62,83 cm

14.39. Los radios de dos esferas miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Si la distancia entre

sus centros es de 14 centímetros, ¿cuántos puntos tienen en común?

Como la distancia entre sus centros coincide con la suma de sus radios, 14 cm, las esferas son tangentes, por lo que tienen un único punto en común.

14.40. El diámetro de una pelota de plástico mide 12 centímetros. ¿Cuánto mide la

circunferencia máxima?

La circunferencia máxima medirá: 2 · π · r = 2 · π · 6 = 12 · π = 37,7 cm. 14.V.

Volumen de prismas y pirámides 14.41. Calcula el volumen de las siguientes cajas.

3m

2 cm 2 cm

a)

4 cm

4m

V = 2 · 4 · 2 = 16 cm3

b)

1,5 m

V = 4 · 1,5 · 3 = 18 m3

14.42. Calcula el volumen de este prisma.

4 cm

2,75 cm 10 cm

 2,75 ⋅ 20  3 V = Abase · h =   ⋅ 10 = 275 cm 2  

26

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14.43. Expresa en decímetros cúbicos el volumen de un cubo de arista 0,8 metros.

0,8 m = 8 dm V = 83 = 512 dm3

14.44. Calcula el volumen de esta pirámide.

8 cm

3 cm 5 cm

V=

1 1 ⋅ Abase · h = ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 8 = 40 cm3 3 3

14.45. Calcula el volumen de un prisma cuadrado sabiendo que el área de su base es de 49

centímetros cuadrados, y su altura mide el triple del lado de la base.

Lado de la base:

49 = 7 cm

Altura del prisma: h = 3 · 7 = 21 cm V = Abase · h = 49 · 21 = 1029 cm3 14.46. Calcula el volumen de este prisma.

2,5 cm

2,5 cm 8 cm

 2,5 ⋅ 2,5  3 V = Abase · h =   · 8 = 25 cm 2   14.47. La base de una pirámide regular es un pentágono de 5 centímetros de lado y 34,4

milímetros de apotema. Halla la altura de la pirámide sabiendo que su volumen es de 344 centímetros cúbicos. 344  3,44 ⋅ 5 ⋅ 5  a⋅p 3 V = Abase · h =  ⋅ h = 344  h = = 8 cm ⋅ h = 344 cm     2 43    2  14.48. Las aristas de un ortoedro miden 20, 27 y 50 centímetros, respectivamente.

Halla la arista de un cubo que tenga el mismo volumen que el ortoedro.

El volumen del ortoedro es: V = 20 · 27 · 50 = 27 000 cm3. La arista de un cubo con el mismo volumen será: a =

3

27 000 = 30 cm.

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27

14.49. La superficie que ocupa el desarrollo plano de un cubo es de 384 centímetros

cuadrados. a)

¿Cuánto mide la arista del cubo?

b)

Halla el volumen del cubo.

a)

Si nos fijamos en el desarrollo plano del cubo, la superficie que ocupa es:

b)

a a

A = a · 3a + 3a · a = 6a2 = 384  a2 = 64  a = 8 cm V = a3 = 83 = 512 cm3

a

a

a

a a

a

14.50. *Halla el volumen del siguiente cuerpo geométrico. 2 cm 5 cm 2 cm 2 cm

8 cm

Se divide en dos prismas cuadrangulares: V = 8 · 2 · 2 + 2 · 2 · 3 = 32 + 12 = 44 cm2

Volumen de cilindros y conos 14.51. Calcula el volumen de estos cuerpos cuyas medidas se indican en las siguientes figuras.

5 cm

70 cm

2 cm

a)

V = π · r2 · h = π · 22 · 5 = 62,8 cm3

b)

V=

4 dm

1 1 · π · r2 · h = · π · 402 · 70 = 117 226,667 cm3 3 3

14.52. Calcula el volumen de los cilindros sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la

base son las siguientes.

a)

28

h = 8 cm 2

r = 50 mm 2

b) h = 2,5 dm 3

a)

V = π · r · h = π · 5 · 8 = 628,32 cm

b)

V = π · r2 · h = π · 152 · 25 = 1767,15 cm3

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

r = 15 cm

14.53.

14.54.

Halla el volumen de los conos sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son las siguientes. a)

h = 0,5 dm

r = 1 cm

b) h =

a)

V=

1 1 · π · r2 · h = · π · 12 · 5 = 5,24 cm3 3 3

b)

V=

1 1 2 · π · r2 · h = · π · 52 · ⋅ 5 = 52,36 cm3 3 3 5

2 r 5

r = 50 mm

Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 centímetros, y el diámetro de su base, 18. Para calcular la altura del cono aplicamos el teorema de Pitágoras: h=

252 − 92 = 625 − 81 = 544 = 23,32 cm

1 1 V = · π · r2 · h = · π · 92 · 23,32 = 1977,069 cm3 3 3

14.55.

h

25 cm

9 cm

Halla el volumen del siguiente cuerpo geométrico. 6 cm

3 cm

12 cm

Descomponemos la figura en dos conos y un cilindro: V=2·

1 2 · π · r2 · hcono + π · r2 · hcilindro = · π · 1,52 · 3 + π · 1,52 · 6 = 14,14 + 42,41 = 56,55 cm3 3 3

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PROBLEMAS 14.56. La arista de un depósito cúbico mide 1,5 metros.

¿Con cuántos litros de agua se llenará?

V = a3 = 1,53 = 3,375 m3 = 3375 dm3 = 3375 L El depósito se llena con 3375 litros.

14.57. Para construir parte de los cimientos de un edificio se ha tenido que hacer un cilindro de

6 metros de diámetro y 5 metros de profundidad. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra se han tenido que extraer?

V = π · r2 · h = 3,14 · 32 · 5 = 141,3 m3

14.58. Calcula el volumen de este salón.

El volumen del salón es igual al de un ortoedro de 6 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de alto, menos el volumen de la esquina, que es otro ortoedro de 1 m de largo por 1 m de ancho y 3 m de alto. Vortoedro salón = 6 · 4 · 3 = 72 m3 Vesquina = 1 · 1 · 3 = 3 m3 Vsalón = 72 – 3 = 69 m3

14.59. Se han fabricado unos radiadores eléctricos para calentar recintos de entre 60 y 65

metros cúbicos. ¿Comprarías un radiador de este tipo para un salón que tiene 6 metros de largo, 3,8 metros de ancho y 2,8 metros de alto?

Vsalón = 6 · 3,8 · 2,8 = 63,84 m3 Como el volumen del salón está comprendido entre 60 y 65 m3, sí compraríamos el radiador.

14.60. Una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado de la base mide 2 metros, y

la apotema, 1,72. La altura de la pirámide mide 6 metros. Halla su volumen. V =

30

1 1  p ⋅a  1  12 ⋅ 1,72  3 ⋅ Abase ⋅ h = ⋅  ⋅h = ⋅  ⋅ 6 = 20,64 m 3 3  2  3  2 

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14.61. En un recinto ferial se ha instalado una carpa, siendo la parte inferior cilíndrica, y la

superior, cónica. El diámetro de la parte cilíndrica mide 30 metros, y su altura, 10. La altura de la parte cónica es de 8 metros. ¿Cuál es el volumen del circo?

Vcilindro = π · r2 · h = π · 152 · 10 = 7065 m3 Vcono =

1 1 · π · r2 · h = · π · 152 · 8 = 1884 m3 3 3

Vcirco = 7065 m3 + 1884 m3 = 8949 m3

14.62. El diámetro de la base de un vaso cilíndrico mide 4,5 centímetros, y la altura, 5.

Con el refresco de una botella de 1,5 litros, ¿cuántos vasos se pueden llenar?

Vvaso = π · r2 · h = π · 2,252 · 5 = 79,481 cm3 Vbotella = 1,5 L = 1,5 dm3 = 1500 cm3 1500 : 79,481 = 18,87 Se pueden llenar 18 vasos.

14.63. La altura de una torre cónica es

3 del diámetro, que mide 8 metros. Calcula el volumen 5

de la torre.

Altura de la torre: V=

3 · 8 m = 4,8 m 5

1 1 · π · r2 · h = · π · 42 · 4,8 = 80,384 m3 3 3

14.64. Un bloque de madera de forma de ortoedro tiene 1 metro de largo, 1 metro de ancho y

medio metro de alto. ¿Cuál es el máximo número de bloques cúbicos de 1 decímetro de arista que se pueden obtener serrando adecuadamente el bloque?

La arista del cubo cabe 10 veces en el largo del ortoedro. La arista del cubo cabe 10 veces en el ancho del ortoedro. La arista del cubo cabe 5 veces en el alto del ortoedro. El número máximo de bloques cúbicos será: 10 · 10 · 5 = 500.

14.65. Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 1 metro, y

la altura del prisma, 2. Se echa agua a razón de 100 litros por minuto. Calcula el tiempo que tarda en llenarse.

Para calcular la apotema, se aplica el teorema de Pitágoras: a = 12 − 0,52 = 0,75 = 0,87 m

1 cm

p·a 6·0,87 ·h = ·2 = 5,22 m3 = 5220 dm3 = 5220 L 2 2 5220 : 100 = 52,20 minutos = 52 min 12 s

V = Abase · h =

a 0,5 cm

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

31

14.66. Observa las medidas de la pieza y calcula el volumen del material del que está

construida.

Vtotal = 4 · 4 · 10 = 160 cm3 Vagujero = 2 · 2 · 10 = 40 cm3 Vpieza = 160 cm3 – 40 cm3 = 120 cm3

14.67. Observa las medidas del tubo y calcula el volumen del material del que está construido.

Vtotal = π · r2 · h = π · 62 · 100 = 11 309,73 cm3 Vhueco cilindro = π · r2 · h = π · 42 · 100 = 5026,55 cm3 Vtubo = 11 309,73 cm3 – 5026,55 cm3 = 6283,18 cm3

14.68. El área total de un cubo hueco es de 216 decímetros cuadrados.

¿Podrá contener este cubo un número exacto de ortoedros de base cuadrada de 2 centímetros de lado y 3 centímetros de altura?

Área de una cara: 216 : 6 = 36 dm2 Longitud de la arista:

36 = 6 dm = 60 cm

La arista del cubo es múltiplo de 2 y 3: a lo largo caben 30 ortoedros; a lo ancho 30, y a lo alto 20. El cubo sí puede contener un número exacto de ortoedros: 30 · 30 · 20 = 18 000 ortoedros.

32

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

14.69. *La figura representa un cubo y su desarrollo.

Señala sobre el desarrollo los vértices que faltan por nombrar, y sobre el cubo, el trayecto OQRGS que ha seguido una hormiga al caminar sobre su superficie. A A

B C

D

B

P D

Q

C S

E

F

H

H

R

G

G E

F

A

A

P

B

P

D

Q C

D

C

B

A

D

E

H

S

F H

R

Q

S

E H

B

R

G

F

G

E

F

14.70. Paco y su vecino han colocado en sus tierras recipientes como los que aparecen en la

figura, para medir el agua que cae cuando llueve. Calcula la altura alcanzada por el agua en cada recipiente tras una tormenta en la que cayeron 15 litros por metro cuadrado.

6 cm

10 cm 8 cm

Cilindro: habrá recogido

100 ⋅ π ⋅ 15 = 0,15π litros = 150 π cm3 10000

V = Abase ⋅ h = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 100 ⋅ h = 150π  h =

Prisma: habrá recogido

150π = 1,5 cm 100π

6 ⋅ 8 ⋅ 15 = 0,072 litros = 72 cm3 10 000

V = Abase ⋅ h = 8 ⋅ 6 ⋅ h = 72  h =

72 = 1,5 cm 48

La forma de la base es indiferente y en los dos recipientes la altura alcanzada será de 15 mm.

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

33

AMPLIACIÓN 14.71. Pintamos de rojo una caja de madera cuyas aristas miden 4, 3 y 2 decímetros, y luego la

cortamos en cubos de 1 decímetro de arista. ¿Cuántos de estos cubitos tienen exactamente una sola cara pintada de rojo? a)

0

b)

4

c)

8

d)

12

Los dos centrales de las caras 4 x 3. En total, 4.

14.72. ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del mayor cilindro que cabe en un cubo de

10 centímetros de arista? a)

25π 2

b)

100π

2

3

c)

250π

d)

500π

3

V = πR h = π · 5 ·10 = 250π cm = 785 cm

14.73. Las dimensiones de una caja rectangular son r, s y t centímetros, con r < s < t. Si

aumentamos en 1 centímetro solamente una de las tres dimensiones, entonces el volumen: a)

Aumenta más cuando la dimensión que aumenta es r.

b)

Aumenta más cuando la dimensión que aumenta es s.

c)

Aumenta más cuando la dimensión que aumenta es t.

d)

Aumenta igual sea cual fuere la dimensión que aumente.

El aumento del volumen en cada caso es: (r + 1) · s · t – r · s · t = s · t  r · (s + 1) · t – r · s · t = r · t  r · s · (t + 1) – r · s · t = r · s Luego el mayor aumento se obtiene al aumentar r.

14.74. En la figura que ves, todos los escalones tienen igual altura que anchura. ¿Cuál es su

volumen? a)

200 cm3

b)

120 cm3

c)

21 cm3

d)

80 cm3

8 cm 5 cm 8 cm

La cara lateral tiene una superficie de 2 · 8 + 2 · 6 + 2 · 4 + 2 · 2 = 40 cm2. El volumen es de 40 · 5 = 200 cm3. 14.75. La arista mayor de una caja rectangular mide 10 cm, y la menor, 6 cm. De los siguientes

números, ¿cuál podría representar el volumen, en cm3, de la caja?

a)

60

b)

120

c)

300 3

d)

480

El volumen máximo podría ser de 10 · 10 · 6 = 600 cm , y el menor, de 10 · 6 · 6 = 360 cm3, por lo que la respuesta es 480 cm3.

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Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

AUTOEVALUACIÓN 14.A1. Indica qué tipo de cuerpo geométrico representa cada una de las siguientes figuras.

a)

a) b)

b)

c)

Cilindro Ortoedro

c) d)

d)

e)

Cono Semiesfera

e) f)

f)

Casquete esférico Pirámide pentagonal

14.A2. Calcula el volumen de los siguientes poliedros.

6 cm

4,5 cm 7 cm

8 cm

4,1 cm 6 cm

a)

V = Abase · h =

4,5 ⋅ 6 · 8 = 108 cm3 2

b)

V=

1 1 30 ⋅ 4,1 · 7 = 143,5 cm3 ⋅ Abase · h = ⋅ 3 3 2

14.A3. Determina el volumen de un cono de 1,2 decímetros de diámetro y cuya altura mide los

3 del diámetro. 4

d = 1,2 dm = 12 cm  r = 6 cm; h=

3 · 12 cm = 9 cm 4

V=

1 1 · π · r2 · h = · 3,14 · 62 · 9 = 339,12 cm3 3 3

14.A4. Un gran depósito de agua de forma cilíndrica de 10 metros de diámetro y 8 metros de

altura abastece a otros depósitos más pequeños de forma cúbica y 1,5 metros de arista. ¿A cuántos depósitos puede abastecer hasta llenarlos de agua?

Vcilindro = π · r2 · h = 3,14 · 52 · 8 m3 = 628 m3 Vcubo = a3 = 1,5 m3 = 3,375 m3 628 : 3,375 = 186 depósitos 14.A5. ¿Cuántos paquetes se pueden colocar en

la caja del dibujo?

Vcaja = B · h = 36 · 24 · 30 = 25 920 cm3 Vpaquete = B · h = 9 · 6 · 5 = 270 cm3

El número de paquetes que caben en la caja son: 25 920 : 270 = 96.

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

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PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Observa y realiza > Las torres KIO en papel 14.1. ¿Qué forma tiene cada una de las torres KIO?

Prisma cuadrangular oblicuo.

14.2. ¿Por qué crees que no todos los ascensores de las torres suben hasta la última planta?

Porque no todas las verticales miden lo mismo.

14.3. El siguiente desarrollo plano se corresponde con el del cuerpo geométrico que tiene la

misma forma que las torres KIO. Fíjate dónde se marca la inclinación de la torre. 15º

15º

15º

15º

Realiza una maqueta de las torres KIO a escala, de tal manera que la base tenga 3,5 centímetros de lado.

Actividad manual

14.4. ¿Cuál es su volumen?

V = 352 · 114 = 139 650 m3

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Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

Aprende a pensar > Arquitectura y geometría Las siguientes imágenes pertenecen a diversas construcciones arquitectónicas, algunas grandiosas y otras cotidianas. Si las observas detalladamente, podrás descubrir y apreciar la belleza de la geometría.

Pirámide de Kukulcán, Chichén Itzá (México).

en

Partenón, Acrópolis de Atenas (Grecia).

El hotel Burj Al Arab, en Dubai.

14.1. Enumera al menos 5 elementos geométricos que aprecias en las construcciones.

La pirámide de Kukulcán tiene forma de pirámide cuadrangular truncada, con un prisma cuadrangular en su parte superior. En el Partenón se observan las columnas cilíndricas, y el frontón con forma de prisma triangular. La planta del hotel Burj Al Arab es un triángulo a partir del cual se desarrolla una pirámide oblicua que tiene dos de sus aristas curvas.

14.2. ¿Cuáles te parecen más bonitas? ¿Por qué?

Respuesta abierta

14.3. Hay arquitectos que consideran que el objetivo de su trabajo es crear edificios que

faciliten la vida a las personas, que resulten prácticos, funcionales. Otros arquitectos, en cambio, consideran que lo importante es crear edificios que tengan elementos estéticos diferenciales que resulten bellos y singulares. En tu opinión, ¿para qué debe servir el trabajo de un arquitecto? Opina sobre ello en http://matematicas20.aprenderapensar.net/.

Respuesta abierta

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

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Compara y decide > Eligiendo envases Habrás observado que las bebidas se comercializan generalmente en botellas, latas o tetra briks. Una empresa de bebidas desea lanzar al mercado un refresco en envases de 35 centilitros. Para ello se plantea dos posibilidades: –

Latas de 7 centímetros de diámetro de la base.

–

Tetra briks de 6,5 × 4 centímetros de base.

14.1. ¿Qué forma geométrica tiene cada envase?

Cilindro y ortoedro 14.2. ¿Cuál debe ser la altura de cada envase?

35 cl = 350 cm3 Lata: h =

350  9,1 cm π ⋅ 3,52

Tetra brik: h =

350  13,5 cm 6,5 ⋅ 4

14.3. ¿Cuánto material se necesita en cada caso para construir el envase?

SL = 2 · π · r · h + 2 · π · r2 = 2 · π · r · (r + h) = 2 · π · 3,5 · (9 + 3,5) = 274,75 cm2 SB  2 · (6,5 · 4 + 6,5 · 13,5 + 4 · 13,5) = 335,5 cm2 14.4. ¿Cuál de los dos envases es más económico desde el punto de vista del material

empleado?

La lata El volumen que ocupa cada lote es importante a la hora del transporte, ya que si ocupan menos espacio, cabrán más en un camión. 14.5. ¿Qué volumen ocupa en cada caso un lote de seis envases?

Suponiendo que el lote de seis envases es en la forma habitual del mercado, formando un ortoedro, tendremos: Lote de 6 latas: 14 · 21 · 9,1 = 2675,4 cm3 Lote de 6 tetra briks: (6,5 · 3) · (4 · 2) · 13,5 = 2106 cm3 Aunque el contenido es el mismo, al agruparlas en lote, las latas dejan espacio entre ellas. 14.6. ¿Cuál de los dos envases es más económico desde el punto de vista del transporte?

El tetra brik, porque los lotes de tetra briks ocupan menos espacio. 14.7. Calcula las dimensiones de un tetra brik cúbico que ocupe el mismo volumen. ¿Qué

superficie de material se necesita? ¿Por qué crees que no se construyen tetra briks cúbicos si necesitan menos material?

Haciendo la raíz cúbica de 350 se obtiene aproximadamente 7,05 cm, que sería la arista del tetra brik cúbico. La superficie es aproximadamente de 298 cm2 (6 · 7,052). No se construyen por cuestión de marketing y estética.

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Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

Modeliza y construye > Golpea el esférico 14.1. Construye un icosaedro truncado.

Actividad manual 14.2. Existen otros modelos de balones de fútbol. Busca información y compártela con tus

compañeros.

Un modelo más perfeccionado de balón es el que se puede formar a partir del rombicosidodecaedro. Es un sólido de Arquímedes, que sin inflar puede llenar hasta el 93,32% de una esfera. Está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos; 60 vértices y 120 aristas; 62 caras en total.

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes

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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda, Serafín Mansilla Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, José Santos, Estudio “Haciendo el león” Fotografía: Andrés Hernández Zuazo; Mickael David/PHOTODISC; PRISMA; AGE FOTOSTOCK Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain