15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES

Ejercicios Resueltos

1. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. Sean: L=Longitud del lado. P=Perímetro. Entonces: L=15 m. P=15 + 15 + 15 + 15 = 60. Es decir 60 metros. O lo que es lo mismo: P=5 · 15 = 60 metros.

2. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono regular?. Sean: L=Número de lados. D=Cantidad de diagonales (diagonales totales de la figura). Entonces: L=5; D?

D=

L ( L − 3) 5·2 10 = = =5 2 2 2

Por tanto, el pentágono regular tiene 5 diagonales.

3. Calcular el valor del ángulo central y de cada uno de los ángulos interiores de un octógono regular. Sean:

α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. Entonces: 8· α =360;

α=

360 =45; de donde resulta que α =45º, luego el ángulo 8

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES central mide 45º. Como

α = γ , entonces γ = 45º .

Luego el ángulo exterior mide 45º.

Como α + β = 180 º , entonces 45º + β = 180 º ; Luego el ángulo interior mide 135º.

β = 180 º −45º ;

β = 135º .

4. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si uno de sus ángulos interiores es de 175º?. Sean:

α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. Entonces:

β = 175º β + γ = 180 º ;

175º +γ = 180 º ;

γ = 180 º −175º ;

γ = 5º

Luego el ángulo exterior mide 5º. Como

α = γ , entonces

α = 5º

Luego el ángulo central de nuestro polígono mide 5º. Nuestro polígono tiene n ángulos centrales iguales, luego: N·5=360º;

n=

360 º ; 5º

n=72.

Nuestro polígono tiene 72 lados, porque el número de ángulos centrales iguales y el número de lados son iguales.

5. Hallar el número de diagonales de un eneágono.

Sea: L=Número de lados del polígono. D=Número de diagonales. Aplicamos:

D=

L ( L − 3) 2

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Y entonces

D=

diagonales.

9(9 − 3) 9·6 54 = = = 27 2 2 2

Luego el polígono tiene 27

6. Hallar el número de lados de un polígono que tiene 54 diagonales. Sea: L=Número de lados del polígono. D=Número de diagonales. Aplicamos:

L ( L − 3) 2

D=

Entonces:

54 =

L ( L − 3) ; 2

54·2 = L ( L − 3) ;

108 = L( L − 3) ;

108 = L2 − 3L ;

Luego: L − 3L − 108 = 0 . 2

Ahora aplicando la fórmula para hallar las soluciones de una ecuación de segundo grado, tendremos:

L=

3 ± 9 + 4·108 3 ± 441 3 ± 21 ; = = 2 2 2

Luego obtenemos las dos soluciones

siguientes: L=

12 -9

Como es imposible tener una cantidad negativa de lados, entonces la solución correcta será: L=12. El polígono tiene 12 lados.

7. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono. Un decágono tiene 10 lados, 10 ángulos centrales, 10 ángulos interiores y 20 ángulos exteriores. Sean:

α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior.

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Entonces

10·α = 360º ;

α=

360 ; 10

α = 36º ;

Luego el ángulo central mide 36º. Como α = γ , entonces γ = 36 º ; Luego el ángulo exterior también mide 36º. Y ahora, como

β + γ = 180 º ;

β + 36 º = 180 ;

β = 180 º −36º ;

β = 144 º Luego el ángulo interior mide 144º.

8. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 162º? Un polígono regular tiene tantos lados como ángulos centrales iguales. Sean: α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior.

β = Ángulo interior. X=Número de ángulos centrales. Entonces:

x·α = 360 º β = 162 º

Como

α =γ

Entonces:

β + γ = 180 º ;

162 º +γ = 180 º ;

Luego también será: Entonces:

α = 18º.

x·α = 360º ;

x·18º = 360º ; x =

γ = 180 º −162 º ;

360º = 20 ; 18º

El polígono tiene 20 ángulos centrales iguales. El polígono tiene 20 lados.

Luego x=20.

γ = 18º

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9. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área es de 25 metros cuadrados?. Sean: S=Supeficie (Área) del cuadrado. P=Perímetro del cuadrado. A=Apotema.

Aplicamos la fórmula para calcular la superficie:

P·A ; como el perímetro es 4·L, entonces, sustituyendo tendremos 2 4·L· A 25 = 2 25 Entonces, 25 = 2·L· A ; = L· A ; 12,5 = L· A 2 L Entonces, resulta que L=2·A y por tanto = A; 12,5 = L· A ; 2 L 12,5 = L· ; 2 S=

25 = L·L ;

25 = L2 ; 5 = L ;

25 = L2 ;

Luego el lado mide 5 metros.

10. Hallar la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que su diagonal mide 12 centímetros. La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, y por tanto podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Sean: d=Longitud de la diagonal del cuadrado. c=Longitud del lado del cuadrado (todos poseen la misma longitud).

Entonces, tendremos d = c + c ; 2

2

2

d 2 = 2c 2 ;

12 2 = 2c 2 ;

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 144 = c2 ; 2

144 = 2c 2 ;

Entonces, calculando la raíz

72 = c 2 ;

72 = c 2 ;

72 = c ;

8,49 = c

Luego el lado mide 8,49 centímetros.

11. El lado de un triángulo equilátero mide 2 centímetros. Halla su área. Sean: L=Longitud del lado del triángulo equilátero. P=Perímetro. a=Apotema. S=Superficie (Área) del triángulo.

Sabemos que S =

S=

P·a 2·L·a ; sustituyendo el perímetro, obtenemos S = ; 2 2

3·2·a ; 2

Sabemos que

3·2·a = L ;

Luego

3·2·a = 2 ;

S = 3·a ;

S = 3·

a=

3·2·a = L ; entonces

2 ; 3·2

a=

1 ; 3

1 3 3 = = = 1,73 cm2 3 3 1,73

Luego su área mide 1,73 centímetros cuadrados.

12. Calcular la apotema de un cuadrado cuya área es de 36 metros cuadrados. Sean: S=Superficie (área) del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. a=Apotema. Entonces aplicando la fórmula para calcular la superifice tendremos

S=

P·a ; 2

Sustituyendo el perímetro, S =

4·L·a ; S = 2·L·a ; 2

36 = 2·L·a ;

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 36 = L·a ; 2

18 = L·a ;

Como el lado es igual que dos veces la

apotema,

L = 2·a , y sustituyendo 18 = L·a ; 9 = a2 ;

9 = a2 ;

18 = 2a·a ;

18 = 2a 2 ;

18 = a2 ; 2

3=a;

Luego la apotema mide 3 metros.

13. El lado de un hexágono regular mide 8 cm. Hallar el radio de una circunferencia inscrita. El radio de la circunferencia coincide con la apotema del hexágono. Hallaremos por tanto la apotema del hexágono. Sean: 2 2 2 L=Longitud del ladoPitágoras, del hexágono. Aplicando tendremos r = a + m M=Mitad de la longitud del lado del hexágono. r=Radio de la circunferencia inscrita. L 8 a=Apotema. Como M = = = 4 cm. Entonces:

2

2

r 2 = a2 + m2 ;

r 2 = a 2 + 42 ;

r 2 = a 2 + 16 ;

64 = a 2 + 16 ; 6,9 = a ;

64 − 16 = a 2 ;

48 = a 2 ;

82 = a 2 + 16 ;

48 = a 2 ;

48 = a ;

La apotema del hexágono mide 6,9 centímetros.

14. Calcular el perímetro de un cuadrado inscrito en un círculo del 3 cm. de radio. Sean: r=Radio de la circunferencia. P=Perímetro del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. d=Longitud de la diagonal del cuadrado. La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos, luego podemos aplicar Pitágoras:

d 2 = L2 + L2 ; 36 = 2 L2 ;

(2r ) 2 = L2 + L2 ; 4r 2 = 2 L2 ; 4·32 = 2 L2 ; 4·9 = 2 L2 ; 36 18 = L2 ; 18 = L ; = L2 ; 18 = L2 ; 2

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 4,2 = L ; Luego el perímetro será P = 4·4,2 = 16,8 cm.

15. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyo lado es de 6 cm. Sean: L=Longitud del lado del cuadrado. r=Radio de la circunferencia circunscrita.

Tenemos que aplicando Pitágoras (2r ) = L + L ; 2

4r 2 = 2 L2 ; r 2 = 18 ;

4r 2 = 2·6 2 ;

r = 18 ;

mide 4,2 centímetros.

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2

4r 2 = 2·36 ;

r = 4,2 ;

4r 2 = L2 + L2 ; 72 ; 4r 2 = 72 ; r2 = 4 2

Luego el radio de la circunferencia