COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

SEK-CATALUNYA COL·LEGI INTERNACIONAL

SISTEMA EDUCATIU SEK

Aula

INTEL·LIGENT AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 6:FUNCIONES II, EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

Ámbito Materia:

Científico – Técnico Matemáticas

Alumno

1

Curso: 4ESO PAI

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

CRITERIO A: NIVEL DE LOGRO 0

DESCRIPTOR El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación. El alumno intenta hacer deducciones al resolver problemas sencillos en contextos conocidos.RESUELVE LOS EJERCICIOS 2 Y 3. En ocasiones, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas sencillos y de carácter más complejo en contextos conocidos.RESUELVE LOS EJERCICIOS 4 Y 5 Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos conocidos. RESUELVE EL EJERCICIO 6 El alumno hace deducciones adecuadas en todo momento al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos, incluidas situaciones desconocidas. RESUELVE EL EJERCICIO 7

1-2

3-4

5-6

7-8

1.-REPRESENTA LA SIGUIENTE FUNCIÓN UTILIZANDO UN ESTUDIO DETALLADO: a) f ( x) 

6x 2  8 2x  6

ESTUDIO DELA FUNCIÓN: 1.-DOMINIO DE LA FUNCIÓN: 6 2x  6  0  x   3 2 Df  (,)  3 Vemos que tendrá una posible asíntota vertical en x=3 If  (,1,33]  [34,67, ) 2.-PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: EJE Ox: Y=0

2

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

6x2  8 8 4 4  0  6x2  8  0  x2    x   2x  6 6 3 3 4 4 ,0)( ,0) 3 3 EJE 0Y:X=0 6·02  8 8 4 4  Y   ; (0, ) 2·0  6 6 3 3 3.-ASINTOTAS: VERTICALES: 6·32  8 54  8 46    lim 66 0 x 3 2·3  6 Existe una asíntota vertical en x=3. HORIZONTALES: (

No puede tener ya que el grado del numerador es mayor que el denominador por lo tanto el límite cuando x tienda a infinito será infinito y este resultado nos indica que no tiene. OBLICUA: Calculemos primero la pendiente de la misma:

6x2 8 8  6  2 2 6x  8   f ( x)  x x  x2  6  3    lim mxlim lim 2  x  lim 2 x 2  6 x  x   x 2 x2  6 x2 x 2  6x 2 x x Ahora determinemos n: 2

 6 x 2 83x(2 x 6)   6x  8  lim     f ( x )  mx   3 x  2 x 6 n lim lim  2 x  6  x   2

x 

x 

 8 18 x 8   18  6 x 2  8  6 x 2  18 x   8  18 x    x x  x lim     9  lim  lim lim  6 2x  6 x    x   2 x  6   x  2 x  6 2 x x x Por lo tanto concluimos que tiene una asíntota oblicua que se puede expresar como y=3x+9

3

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

4.-SIMETRÍA: CON OY: F(X)=F(-X) 6x2  8 6( x) 2  8 6 x 2  8 f ( x)   f (  x)    f ( x) 2x  6 2( x)  6  2 x  6 No lo es. SIMETRÍA AL o.o, F(X)=-F(-X) 6( x) 2  8 6x2  8 6x2  8  f (  x)      f ( x) 2( x)  6  2x  6 2x  6 Tampoco lo es, por lo tanto la función no es simétrica. 5.-GRÁFICA DE LA FUNCIÓN:

Habiendo utilizado el programa Geogebra para la determinación de los puntos A(5,56.34,67) y B(0,1,33) 6.-INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:

4

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor: (,0)CRECIENTE (0,3) DECRECIENT E (3,5,56) DECRECIENT E (5,56, )CRECIENTE Podemos ver que presenta en A un mínimo relativo y en B un máximo relativo.

7.-NO ES PERIÓDICA. 2.- El Radio es un elemento radioactivo que tiene una constante de desintegración radioactiva de -0,0042 (1/años). Utilizando la ecuación de desintegración radioactiva responde a las siguientes preguntas: Ecuación de desintegración radioactiva:

N (t )  N0e0,0042t a) Si tenemos una muestra con 100 átomos iniciales ¿cuántos de ellos continuarán siendo radioactivos cuando hayan transcurrido 50 años? Lo único que debemos hacer es sustituir en la ecuación los datos dados: N (t )  100·e0,0042·50  81 Átomos continuarán siendo radioactivos transcurridos 50 años. b) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el número de átomos que se han desintegrado sea el 80% de los iniciales? Recordemos que N(t) son los que continúan siendo radioactivos si se han desitengrado el 80% continuarán siendo radiactivos el 20%. En este caso volvemos a sustituir: 0,2·100  100·e 0,0042·t En este caso al tener que calcular el tiempo que se encuentra en el exponente tenemos dos alternativas, iterar o aplicar el logaritmo neperiano para bajar el tiempo. Apliquemos este segundo procedimiento: 20 20  100·e 0, 0042·t   e 0,0042·t  0,2  e 0, 0042·t 100 ln 0,2 ln 0,2  ln e 0,0042·t  ln 0,2  0,0042t  t   383,2años  0,0042 3.-Resuelve los siguientes sistemas exponenciales:

5

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

a)

  2 x 1  5 y 1  9 2x  5y  9

32 x  y  37  b) x  2 y  3  3  a) El primero de los sistemas podemos ver que hay varias exponenciales y no son de la misma base por lo tanto no las podemos juntar en una única exponencial, además las operaciones que entre ellas se establecen son sumas y restas, esto hace que nos decantemos por un cambio de variable:  2 x  5 y  9  2x  5y  9 x y  )  u  2 v 5 x 1 y 1 x 1 y 2  5  9 2 2  5 5  9 uv9  9v   5v  9  9  v  10v  18 u u 9v 2  5v  9 2  9 9v  18  9  v   1  u  9  1  8 9 x 82  x3 1  5y  y  0 b)Este caso es diferente al anterior porque tenemos la misma potencia en ambas ecuaciones o una combinación de potencias que se pueden reducir a una ya que están multiplicando o dividiendo por lo tanto sólo tenemos que igualar los exponentes para obtener el sistema algebraico que debemos resolver: 32 x  y  37   2 x  y  7    x  1  2 y  2(1  2 y )  y  7 x  2 y  1 3x  2 y  3    2  4 y  y  7  5 y  5  y  1  x  1  2·1  1  2  3

4.-Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

6

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor: a )2 2 x 1  4 2 2 x 1  4  2 2 x 1  2 2  2 x  1  2  2 x  3  x 

3 2

b)(43  x ) 2  x  1 ( 43  x ) 2  x  1 4( 3  x )( 2  x )  40 (3  x)(2  x)  0 6  3x  2 x  x 2  0 x2  5x  6  0 x

5  26  24 5  1   x1  3; x2  2 2 2 3

c)32 x 1  9 x2 

3

2 x 1

9

1 4

3

4 x 1 6

x2 

1 4

9

4 x 2 1 4 3

9

4 x 2 1 12

 (3 ) 2

4 x 2 1 12

3

4 x 2 1 6



2

2x  1 

 6(2 x  1)  4 x 2  1  4 x 2  1  12 x  6

4 x 2  12 x  5  0 x

12  144  80 12  8   x1  10; x2  2 8 2

5.- Conocidos los valores de los dos logaritmos siguientes, y sin utilizar la calculadora determina los valores de los siguientes logaritmos: Se trata de aplicar las propiedades de los logaritmos para llegar a tener uno o0 los dos logaritmos dados como dato.

7

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor: ln a  0,6 ln b  2,4 1 2

1 1 ln a  0,6  0,3 2 2 1 1 1 b) ln 4 b  ln b 4  ln b  2,4  0,6 4 4 1 1 1 c) ln ab  ln( ab) 2  ln( ab)  ln a  ln b   2 2 1 1  0,6  2,4  3  1,5 2 2 a ) ln a  ln a 

1





ab 1  ab  3 1 d ) ln 3 2  ln  2   ln ab  ln e 2  ln a  ln b  2 ln e  e 3 3 e  1 1  0,6  2,4  2  3 3 2 3  3  a    ln a  3  ln 3 b 2  ln a 2  ln b 3   3 ln a  2 ln b  e) ln   3 b2  2 3   3 2   0,6  2,4  0,9  1,6  2,5 2 3

6.-Determina el valor de las siguientes ecuaciones logarítmicas: Apliquemos el método explicado en clase:

8

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

a) log x  log 50  log 100 log x  log 100  log 50 100  log x  log   50  10log x  10log100/ 50 x2 b) log x  1  log( 22  x) log x  log( 22  x)  1  x  log   log 10  22  .x  10

 x  log   22 x 

 10log10

x  10 22  x x  220  10 x 11x  220 x  20 c)1  log x  2  2 log x 1  log x  2  log x 2 log x 2  log x  2  1  x2  log    1 x 10log x  101 x  10 d )2 log( 5 x  4)  2 log 2  log( x  4) log( 5 x  4) 2  log 22  log( x  4) log( 5 x  4) 2  log( x  4)  log 22  (5 x  4) 2  log   log 22   ( x  4)  10

 (5 x  4) 2     ( x  4 ) 

 10log 2

2

9

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFICO – TÈCNIC MATEMÀTIQUES 4ESO NOM I COGNOMS 14/15

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 6: tutor:

10

 (5 x  4) 2     ( x  4 ) 

 (5 x  4) 2     ( x  4 ) 

 10log 2

2

4

(5 x  4) 2  4( x  4) 25 x 2  40 x  16  4 x  16 25 x 2  36 x  0 x(25 x  36)  0 x0 x

36 25

1 0