Institut Alexandre Satorras Departament de Matemàtiques

Primer de Batxillerat (científic-tecnològic)

MATEMÀTIQUES curs 2014/15

ÍNDEX 1.- Trigonometria

pàg 3

2.- Geometria

pàg 14

3.- Circumferència i còniques

pàg 21

4.- Conjunts numèrics

pàg 25

5.- Successions i progressions

pàg 32

6.- Funcions algebraiques i polinomis

pàg 36

7.- Funcions transcendents

pàg 43

8.- Continuïtat

pàg 52

9.- Derivades

pàg 58

1

CONNEXIONS AMB ALTRES MATÈRIES FÍSICA I Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de física i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura. Vectors i trigonometria: cinemàtica, dinàmica, camp gravitatori, camp elèctric, electromagnetisme. Fenòmens periòdics: moviment circular. Còniques: camp gravitatori, camp elèctric. Les funcions polinòmiques, de proporcionalitat inversa, exponencials i trigonomètriques: en tot el currículum de física Taxes de variació i derivades: pràcticament en totes les parts però especialment en la cinemàtica i el moviment ondulatori. Estadística: tractament de dades experimentals. QUÍMICA I Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de química i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura. Resolució d’equacions: problemes d’equilibri químic Estudi de funcions a partir de taules i gràfics Funcions polinòmiques i de proporcionalitat inversa: llei dels gasos de Gay-Lussac, llei de Boyle-Mariotte Logaritmes: equilibri químic, ph Taxes de variació i derivades: cinètica química, gasos ideals. Estadística: Tractament de dades experimentals. Ús de la calculadora i de fulls de càlcul en bona part del currículum BIOLOGIA I i II Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de biologia i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura. Funció exponencial: creixements de població Taxes de variació: taxa de creixement d’una població Combinatòria: Bioquímica i reproducció cel·lular Probabilitat: genètica Estadística: Evolució DIBUIX TÈCNIC I Geometria plana: Construccions geomètriques i resolució gràfica de problemes. CIÈNCIES DE LA TERRA I DEL MEDI AMBIENT I Trigonometria: càlcul d’àrees Funcions trigonomètriques: fenòmens periòdics FÍSICA II Còniques: interferències, camp gravitatori i elèctric. Derivades: moviment ondulatori Funcions trigonomètriques: moviment harmònic simple, pèndul simple, moviment ondulatori. Funció exponencial: física nuclear ELECTROTÈCNIA Derivades, funcions trigonomètriques i complexos: Corrent altern

2

TRIGONOMETRIA 1. Els angles i la seva mesura Un angle és una de les meitats en què queda dividit el pla per dues semirectes (anomenades costats) amb el mateix origen (anomenat vèrtex). Per indicar quina meitat és es fa un petit senyal en forma d'arc de circumferència.

Un angle té per nom una lletra (majúscula o grega) que s'escriu en el vèrtex o a l'interior. Quan un objecte gira al voltant d'un punt descriu un angle que s’anomena angle de gir. Els angles de gir són angles orientats: angles positius si el gir és contrari al de les busques del rellotge, i angles negatius si giren en el mateix sentit.

angle de gir positiu

angle de gir negatiu

Si el gir dóna més d'una volta completa al centre, l'angle que queda finalment entre els costats és la determinació principal de l'angle de gir.

Sistemes de mesura d’angles Hi ha dos sistemes de mesura d'angles: (1) El sistema dels graus. Té tres unitats: grau, minut i segon. En aquest sistema un angle recte val 90 graus. No és un sistema decimal i per tant no es poden escriure dècimes de grau ni de minut. (2) El sistema dels radians: si es traça una circumferència que té centre al vèrtex d'un angle, entre els costats quedarà un arc. Si l’arc mesura igual que el radi tenim 1 radià. La mesura d’un angle qualsevol en radians és el resultat de dividir la longitud de l'arc entre la longitud del radi. m

angle =

m radians r

r

3

En aquest sistema un angle complet (una volta sencera) val 2π radians, un angle pla en val π , i π un angle recte en val radians. 2 Per canviar de graus a radians i recíprocament s'utilitza la proporció gra us 180 = radians π

Representació dels angles a la circumferència unitat La circumferència unitat és una circumferència amb centre l'origen de coordenades que se suposa de radi 1. Un angle es representa a la circumferència unitat posant el vèrtex a l'origen i el primer costat a la meitat positiva de l'eix horitzontal. Llavors l'altre costat talla la circumferència en un punt. Els eixos divideixen la circumferència en quatre quadrants. Segons en quin estigui el punt representatiu, l'angle és diu que "l’angle és del primer quadrant", "l’angle és del segon quadrant", etc. La divisió dels quadrants en dues o en tres parts produeix els angles més importants (que també apareixen en figures regulars com el triangle equilàter, el quadrat o l’hexagon, bé com a angles propis o bé quan es tracen les bisectrius) que estan indicats a les figures següents amb la seva mesura en graus i en radians:

Si el punt representatiu d'un angle es reflecteix successivament en cada eix s'obtenen tres angles més, un a cada quadrant, que són els angles relacionats amb el primer. Com veurem més endavant aquestes relacions seran importants per deduir les raons trigonomètiques d’un angle a partir d’un altre.

4

2. Les raons trigonomètriques Si per un punt d'un costat d'un angle agut es traça una perpendicular a l'altre costat es forma un triangle rectangle. A partir de les mesures x, y i z es defineixen les raons trigonomètriques de l'angle, amb les quals relacionem els costats d’un triangle rectangle amb els seus angles.

La divisió y:z s’anomena el sinus de l'angle:

sin α =

y z

La divisió x:z s’anomena el cosinus de l'angle:

cos α =

x z

La divisió y:x s’anomena la tangent de l'angle:

tan α =

y x

El sinus, el cosinus i la tangent són tres nombres, generalment decimals, que són independents del punt que s’hagi agafat per definir-los (es comprova tenint en compte el Teorema de Tales). Si l'angle està representat a la circumferència unitat les tres raons trigonomètriques corresponen a les longituds de tres segments:

Si l'angle no és agut les raons trigonomètriques es defineixen tal com s'indica a la figura següent, considerant el punt situat sobre uns eixos de coordenades:

segon quadrant

tercer quadrant

quart quadrant

Les longituds de x i de y es compten com a positives o com a negatives d'acord amb la seva posició respecte dels eixos, i la longitud z es compta sempre positiva.

5

Resulta doncs que els signes de les raons trigonomètriques varien segons els quadrants de la forma que s'indica a continuació:

sinus

cosinus

tangent

Relacions fonamentals Entre les tres raons trigonomètriques hi ha dues relacions molt importants: sin2α+cos2α = 1

tan α =

sin α cos α

Una conseqüència de la primera relació és que ni el sinus ni el cosinus poden ser més grans que 1 ni més petits que -1.

3. Càlcul de raons trigonomètriques Càlcul directe: Consisteix en passar de l'angle a les raons. Es fa amb les tecles sin, cos i tan de la calculadora. Cal tenir en compte que l'angle es pot entrar en graus (mode DEG) o en radians (mode RAD). Convé saber les raons d'alguns angles que tenen una forma especialment senzilla: Angle graus

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

Angle radians

0

π

π

π

π

6

4

3

π 2

3π 2

sinus

0

1/2

√2/2

√3/2

1

0

-1

cosinus

1

√3/2

√2/2

1/2

0

-1

0

tangent

0

√3/3

1

√3

cap

0

cap

Càlcul invers: -1

-1

-1

Consisteix a passar d'una de les raons a l'angle. Es fa amb les tecles sin , cos i tan de la calculadora. Ara bé, hi ha molts angles que tenen una mateixa raó. La calculadora només en dóna un, que s’anomena l'arcsinus, arccosinus o arctangent segons els casos; els altres s'han de calcular seguint l'esquema anterior i sumant i restant múltiples de 360°. Per donar la resposta correcta és necessari saber en quin quadrant ha d'estar. 6

Raons trigonomètriques d’un angle relacionant-lo amb un del primer quadrant: Si coneixem les raons trigonomètriques d’un angle α es poden deduir les dels angles relacionats amb ell de la forma següent: sin (180- α )= sin α

cos (180- α )= - cos α

tan (180- α )= -tan α

sin (180+ α )= - sin α

cos (180+ α )= - cos α

tan (180+ α )= tan α

sin (360- α )= - sin α

cos (360- α )= cos α

tan (360- α )= -tan α

Aquestes relacions quedarien així esquematitzades, respecte a un angle del primer quadrant:: segon

sinus iguals cosinus oposats tangents oposades

tercer

sinus oposats cosinus oposats tangents iguals

quart

sinus oposats cosinus iguals tangents oposades

Important: Per tant a cada volta hi ha dos angles que tenen un valor igual per a una raó determinada, excepte en el cas de sin o cos igual a 1 o -1.

Com trobar les raons trigonomètriques a partir d’una de donada: Es pot fer: - utilitzant les relacions que hi ha al final de la secció 2; llavors no és necessari calcular el valor de l'angle i els resultats poden ser més exactes, això sí depenent d’arrels quadrades. - calculant l'angle que correspon a la raó donada, amb les precaucions expressades abans.

4. Resolució de triangles Un triangle té sis elements que es poden mesurar: els tres costats a, b i c i els tres angles A, B i C. Normalment la lletra d'un angle és la majúscula de la lletra del costat oposat.

Resolució de triangles rectangles Si el triangle és rectangle i A és l'angle recte, el costat a s’anomena hipotenusa i els costats b i c s’anomenen catets. Entre aquests elements hi ha les següents relacions: (1) entre els angles: A+B+C = 180° (2) entre els costats: a2 = b2+c2 (teorema de Pitàgores) (3) entre els angles i els costats:

b catet oposat a B catet adjacent a C = = = cos C a hipotenusa hipotenusa c catet adjacent a B catet oposat a C cos B = = = = sin C a hipotenusa hipotenusa b catet oposat a B catet adjacent a C 1 tan B = = = = c catet adjacent a B catet oposat a C tan C sin B =

7

Entre els 5 elements B, C, a, b i c es poden calcular tres d'ells si es saben els altres dos (excepte si aquests dos són B i C). Aquest càlcul és la resolució del triangle rectangle.

Relació entre les raons d’un angle i les del seu complementari A partir de les relacions anteriors i tenint en compte que B+C=90 o sigui que C=90-B, en general podem escriure les relacions entre les raons trigonomètriques d’un angle i el del seu complementari: sin (90- α )= cos α cos (90- α )= sin α tan (90- α )=

1 tan α

Resolució de triangles no rectangles La resolució d’un triangle no rectangle pot fer-se tenint com a dades • • • •

els tres costats un costat i els angles adjacents dos costats i l'angle que formen dos costats i un angle que no formen. En aquest cas el problema pot tenir dues solucions.

El càlcul dels altres elements es fa a partir de les relacions: 1) A+B+C = 180° 2) fórmules del cosinus:

3) fórmula dels sinus

a² = b² + c² - 2bc.cos A b² = a² + c² - 2ac.cos B c² = a² + b² - 2ab.cos C a b c = = sin A sin B sin C

És interessant pensar en la resolució geomètrica amb regle i compàs dels diferents casos, a partir de les dades que tenim, i es pot analitzar quines dades dónen solució, quines no i quines en donen dues.

5. Fórmules amb raons trigonomètriques No és cert que sin(a+b) = sin a + sin b, ni que sin 2a = 2sin a, ni altres relacions simples d'aquest caire. Les autèntiques relacions entre les raons trigonomètriques i les operacions de suma i producte vénen donada per les quinze fórmules següents: A) Fòrmules de la suma d'angles 1.

sin(a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b

3.

tan (a+b)=

2. cos(a+b) = cos a.cos b - sin a.sin b

tan a + tan b 1 − tan a ⋅ tan b

A partir de la primera de les fórmules es poden anar deduint les altres, per això us donem la demostració de la primera que és la més important. Aquestes fórmules més endavant s’utilitzaran per resoldre equacions trigonomètriques.

8

Demostració de la fórmula trigonomètrica 1 En el triangle BOE es té sin(a+b) = Però BE = BD + DE, i per tant

BE . OB

BE BD DE = + . OB OB OB

La primera fracció no es canvia si es multipliquen el numerador i el denominador pel mateix factor, en aquest cas BD BD BC per BC: = ⋅ . OB BC OB L’angle DBC és igual a l’angle “a” perquè tenen els costats perpendiculars. En el triangle BDC es té cos a =

En el triangle OBC es té sin b =

BD . BC

BC BD . Resulta doncs que = cos a · sin b OB OB

Anem a la segona fracció. Aquesta tampoc no es canvia si es multipliquen el numerador i el denominador pel DE DE OC mateix factor, en aquest cas per OC: = ⋅ . OB OC OB

DE CF . Però si es mira el triangle OCF, aquesta divisió = OC OC CF OC DE resulta ser sin a = . En el triangle OBC es té = sin a · cos b = cos b. Resulta doncs que OC OB OB El segment DE és igual al segment CF, i per això

Per tant tenim, sin(a+b) = sin a · cos b + cos a · sin b B) Fòrmules de la diferència d'angles 4.

sin(a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b

6.

tan(a-b) =

5.

cos(a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b

tan a − tan b 1 + tan a ⋅ tan b

C) Fórmules de l'angle doble 7.

sin 2a = 2sin a.cos a

9.

tan 2a =

8.

cos 2a = cos²a - sin²a

2tan a 1 - tan 2 a

D) Fórmules de l'angle meitat 10.

sin

a = 2

1 − cos a 2

11.

cos

a 1 + cos a = 2 2

E) Fórmules de la suma i diferència de raons 12.

sin a+ sin b = 2sin

a+b a−b cos 2 2

13.

sin a- sin b = 2cos

14.

cos a+cos b = 2cos

a+b a−b cos 2 2

15.

cos a- cos b = - 2sin

a+b a−b sin 2 2 a+b a−b .sin 2 2

9

TRIGONOMETRIA

EXERCICIS

1. Dibuixa angles de 42°, 155°, -80°, 348°, -155° i 222°. 2. D'un formatge circular de radi 17 cm talles un sector, la circumferència del qual mesura 11 cm. Quin és l'angle d'aquest sector?. 3. Calcula la mesura en radians d'un angle que comprèn un arc de 12,4 cm de longitud en un cercle de radi 15 cm. 4. Calcula la longitud de l'arc que comprèn un angle de 1,5 radians en un cercle de radi 8,3 cm. 5. Una bicicleta que té les rodes de 35 cm de radi recorre 4 metres. Quin angle han girat les seves rodes?. 6. Calcula l'angle que formen les busques d'un rellotge a les: a) 7 hores i 30 minuts

b) 10 hores i 10 minuts

7. Expressa en graus, minuts i segons els angles que mesuren, en radians: 3

2,42

2/5

4,3

4π/9

12π/5

7π/4

8. Expressa en radians els angles que mesuren, en graus i minuts: 74°

132°

240°

25° 30'

10° 15'

9. Troba la determinació principal dels angles que mesuren: 800°

467°

4065°

42π rad

25π/6 rad

53 rad

10. Dibuixa i calcula la mesura de tots els angles compresos entre 0 i 360 graus relacionats amb els angles de: a) 35 graus

b) 112 graus

c) 247 graus

d) 341 graus

11. Calcula les raons trigonomètriques de dos angles, i després el valor dels dos angles, si el seu primer costat és l'eix positiu de les X i el segon passa per: a) el punt (5,8)

b) el punt (3,-1)

12. Dibuixa tres angles que tinguin, respectivament: a) cosinus igual a 2/3 b) tangent igual a 3/5 c) sinus igual a -1/6 i calcula les altres raons trigonomètriques d'aquests angles, i després el valor dels angles. 13. Calcula les raons trigonomètriques dels angles d'un triangle rectangle en què: a) la hipotenusa és 7 i un catet 3 b) els catets són 2 i 5 c) un catet és el doble de l'altre 14. Escriu el sinus, el cosinus i la tangent de tots els angles superiors al primer quadrant que divideixen el cercle en 8 i en 12 parts iguals. 15. Si un angle és del segon quadrant i té sinus 3/8, calcula'n el cosinus i la tangent.

10

16. Si un angle és del tercer quadrant i té cosinus -1/5, calcula'n el sinus i la tangent. 17. Si un angle és del primer quadrant i té tangent 4, calcula'n el sinus i el cosinus. 18. Escriu tots els angles α compresos entre 0° i 360° tals que: a) sin α = 1/2 b) tan α = -1 c) cos α = sin 40° d) sin α = 0'8 19. Si l'angle α és al primer quadrant i sin α = 1/3 calcula les raons trigonomètriques d'α, -α, 180° - α i 180° + α. 20. Si l'angle ß és al tercer quadrant i tan ß = 2 calcula les raons trigonomètriques de ß, ß - 180°, 360° - ß. 21. Amb regle, compàs i transportador, dibuixa els triangles rectangles que tenen: a) catets de 3 cm i 6 cm b) un catet de 3 cm i la hipotenusa de 8 cm c) un catet de 4 cm i l'angle entre aquest catet i la hipotenusa de 35° d) un catet de 10 cm i l'angle oposat a ell de 72° e) la hipotenusa de 8 cm i un angle de 24°. 22. Calcula l'altura a què arriba una escala de 5 metres recolzada en una paret, si forma amb el paviment un angle de 70°. 23. Calcula l'angle d'elevació del Sol respecte a l’horitzó quan una persona de 1,72 metres projecta una ombra de 1,2 metres. 24. Una rampa de 10 metres de llarg està, en el seu punt més alt, a 2,3 metres del sòl. Calcula quin és el seu angle d'inclinació. 25. Un balcó està a 2,8 metres sobre el sòl i sobresurt 49 cm de la paret. Plou i la pluja cau inclinada cap a la paret, amb un angle de desviació respecte la vertical de 8°. Es mullarà la paret o no?. En cas afirmatiu, fins quina alçada?. En cas negatiu, fins quina distància de la paret quedarà el terra sec?. 26. Resol i dibuixa els triangles rectangles en què se sap que: a) un catet és 3 cm i la hipotenusa és 8 cm b) un catet és 5 cm i l'angle oposat és 42° c) la hipotenusa és 6 cm i un angle és 62° d) els catets són 2 cm i 3 cm e) l'àrea és 20 cm² i un angle és 40° f) un angle és 25° i l'altura sobre la hipotenusa és 4 cm. 27. Un compàs té longitud 13'5 cm i està obert de forma que la distància entre les puntes és 5'8 cm. Calcula el seu angle d'obertura. 28. Des d'un lloc del terra es veu el punt més alt d'una casa amb un angle de 33°. Si avancem 38 metres l'angle passa a ser de 58°. Calcula l'altura de la casa.

11

29. L'Estàtua de la Llibertat que hi ha a Nova York té 45 metres d'alt i és dalt d'un pedestal que en té 47. Una persona se la mira des de 300 metres de la base del pedestal. Quin és el seu angle de visió de l'estàtua?. 30. Calcula l'amplada d'un riu de ribes paral·leles si des de dos punts de la mateixa riba distants 50 metres observes un mateix punt de l'altra amb angles de 30° i de 60°. 31. Calcula els angles i els costats d'un rombe que té les diagonals de 16 i 10 centímetres. 32. Resol i dibuixa els triangles no rectangles en què es coneix: a) b = 12 , c = 7 , A = 76°

b) A = 40° , B = 63° , c = 12 c) a = 10 , b = 8 , c = 7

d) a = 12 , b = 15 , A = 48°

e) a = 3 , b = 4 , A = 80°

f) A = 71° , B = 47° , a = 30

33. Un triangle té costats 2, 3 i 4. Calcula la longitud de les tres altures. 34. Un pal de 54 cm s'inclina 50° en la direcció del Sol, quan l'altura d'aquest és 31° . Calcula la longitud de l'ombra del pal. 35. Des d'un punt surten a l'hora dos cotxes per dues carreteres rectes que formen un angle de 43°. Un va a 82 km/h i l'altre a 63 km/h. Calcula: a) quina separació hi haurà entre ells al cap d'una hora? b) quant trigaran en estar separats per 100 km.? 36. Resol el triangle de la figura de sota a l’esquerra sabent que l'angle B és 145° , b = 32 i h = 7. A

B D h

b B

C

A

E

C

37. En la figura de dalt a la dreta la distància EC = 15, i els angles AED = 66° , AEB = 72° , ACB = 68°. Calcula la distància BD. 38. En la figura següent la distància CD = 100, i els angles ACD = 103° , BCD = 68°, CDB = 88° , CDA = 41° . Calcula la distància AB. B A

C

D

39. Les tangents a una circumferència de radi 4 traçades per un punt exterior formen un angle de 40°. Calcula la distància del punt al centre de la circumferència.

12

40. Dues rodes de radis 1 metre i 25 centímetres estan unides per una corretja de transmissió. Si els centres de les rodes estan separats per 2 metres, calcula la longitud de la corretja.

41.- Dedueix la fórmula per calcular l’àrea lateral d’un con a partir de la generatriu i del radi de la base. INDICACIÓ: Pensa en quina figura queda si ho desplegues. o

42. Troba les raons trigonomètriques de l’angle de 75 sabent que 75=45+30

43. Sabent que sin x=

2 x i que l’angle x és del primer quadrant, troba tan 3 2

44. Si α és un angle del segon quadrant amb sin α = 4/5 i ß un angle del quart quadrant amb cos ß = 12/13, calcula (sense decimals ni calculadora) el sinus i el cosinus dels angles α+ß, α-ß, α/2, ß/2, 2α i 2ß. Determina en quin quadrant estan aquests angles. 45. Troba una expressió per sin 3x depenent de sin x. Indicació: posa 3x=x+2x 46. Demostra que pels tres angles d’un triangle qualsevol es verifica que tan A+tan B+tan C= tan A· tan B· tan C Indicació: posa A+B=180-C i desenvolupa tan (A+B)= tan (180-C) 47. Calcula les raons trigonomètriques dels angles α i ß sabent que: a) α és agut i cos 2α = 1/3 b) ß és del tercer quadrant i sin

β 3 = 2 4

48. Redueix a expressions el més senzilles possible: sin2α 1 − cos α

sin4α − cos4 α sin2α − cos2 α

1 1 + 1+ sin α 1 − sin α

AMPLIACIÓ. 49.- Tenint en compte que un con desplegat és un sector circular, dedueix la fórmula que s’utiltza per calcular l’àrea lateral d’un con.

13

GEOMETRIA 1. Punts i vectors Cada punt ve identificat per dos nombres que són les seves coordenades. Hi ha diversos sistemes de coordenades, però el més important és el de les coordenades cartesianes rectangulars: La referència la formen dues rectes perpendiculars (eixos) que es tallen en un punt O (origen). Les coordenades de P són les distàncies de P als eixos, i es diuen abscissa i ordenada. S'escriu P = (p1,p2) o bé P = (x,y). P y O

x

Dos punts A i B determinen un segment AB. Un vector és un segment orientat del pla. Els seus extrems s’anomenen origen i final. Si A és →

l'origen i B el final, el vector s'escriu AB i es dibuixa com una fletxa que uneix A i B. Indica el camí que s'ha de fer sobre el pla per anar d'A fins a B. →

Si les coordenades cartesianes d'A i B són (a1,a2) i (b1,b2), s’anomenen components d' AB a →

les diferències de coordenades: AB = B - A = (b1-a1,b2-a2) →

Les components són les projeccions d' AB sobre els eixos. B b2 A

b2-a2

a2

b1-a1

a1

b1 →

→

S’anomena mòdul (o longitud) d' AB a la distància entre A i B. S’anomena direcció d' AB a la direcció de la recta determinada per A i B. →

→

Els vectors AB i BA són vectors oposats: tenen els mateixos mòdul i direcció, però diferent sentit. Tots els vectors que tenen les mateixes components tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix r sentit. El conjunt de les dues components s'anomena un vector lliure: v = ( v1 , v 2 ) El vector lliure de components (0,0) s’anomena vector nul i s'escriu 0.

r

r

El mòdul d'un vector lliure v s'escriu  v i es calcula per

r 2 2 v = v1 + v 2

L'argument d'un vector lliure v és l'angle α que es calcula per tan α =

v2 v1

14

2. Operacions amb vectors a) Suma Si u = (u1, u2) i v = (v1, v2) la suma és u+v = (u1+v1, u2+v2). Gràficament, es prenen representants d'u i v amb el mateix origen; la diagonal del paral·lelogram que determinen i que té el mateix origen representa u+v.

b) Diferència Si v = (v1, v2) el seu vector lliure oposat és -v = (-v1, -v2). La diferència de dos vectors és u-v = (u1-v1, u2-v2). Gràficament, u-v es fa sumant a un representant d'u l'oposat a un representant de v, o bé representant-los en el mateix origen i unint els finals de tots dos.

u+v

v

v

u-v

u

u Per tant si u i v determinen un paral·lelogram, les diagonals d'aquest representen u+v i u-v.

c) Producte per un escalar Si k és un escalar (un valor numèric) i v un vector, es defineix kv = (kv1, kv2).

r

El vector kv té la direcció de v, mòdul k· v , i sentit igual o contrari al de v segons si k>0 o k1

base aa direm que s'aproxima per la dreta i s'escriu x→a+. El mateix es pot dir amb la variable y. L'estudi asimptòtic d'una funció és la resposta a les preguntes següents: 1) Si x → +∞ , què es pot dir de y? Quan la resposta és y→b, la funció té una asímptota horitzontal a la dreta que és la línia y = b. 2) Si x → −∞ , què es pot dir de y? Quan la resposta és y→b, la funció té una asímptota horitzontal a l'esquerra que és la línia y = b. 3) Hi ha algun valor de x per al qual si x→a , és y → +∞ o y → −∞ ? Si existeix, aleshores la funció té una asímptota vertical que és la línia x = a. Una funció només pot tenir dues asímptotes horitzontals, una a la dreta i una a l'esquerra. En canvi, pot tenir moltes asímptotes verticals, fins i tot infinites (per exemple és el cas de y=tan x, que ja hem vist). Les funcions que tenen asímptotes verticals són discontínues.

53

3.- Asímpotes de les funcions elementals Entre les funcions que hem vist tenen asímptotes només: A) Les funcions racionals

P( x ) Q( x )

- per als valors a tals que Q(a) = 0 i P(a) ≠ 0, hi ha una asímptota vertical x = a. Quan Q(a)=0 i també P(a)=0 s’ha d’estudiar detingudament que passa amb el quocient descomponent els polinomis i simplificant el factor que fa que doni zero.

-si grau P

〈 grau Q, l’asímptota horitzontal és y=0 (o sigui l’eix de les x)

- si grau P = grau Q hi ha una asímptota horitzontal als dos costats; la seva equació és

y = quocient dels coeficients dels termes de grau màxim

-si grau P= (grau Q)+1, hi ha una asímptota obliqua. Una funció té una asímptota obliqua si existeix una recta y = mx + n que tendeix a confondre's amb y = f(x) quan x → +∞ o quan x → −∞ . Entre les funcions elementals només tenen asímptota P( x ) obliqua les funcions racionals en què el grau de P(x) és una unitat superior al grau de Q(x). Q( x ) En tal cas l'asímptota és el quocient de la divisió de P(x) entre Q(x). x

B) La funció exponencial e té una asímptota horitzontal y = 0 a l’esquerra. Així mateix qualsevol funció exponencial de base més gran que 1. Una funció exponencial de base més petita que 1 la té a y=0 però per la dreta. Si a la funció se li suma o se li resta un nombre n l’asímptota serà y=n o y=-n. x

Per exemple y=e +2 tindrà una asímptota horitzontal per l’esquerra a y=2.

C) La funció logaritme ln x té una asímptota vertical x = 0 Així mateix qualsevol funció logarítmica de la base que sigui. Si a la funció s’introdueix un canvi restant o sumant un nombre n a la variable x, l’asímptota es desplaça cap a la dreta o cap a l’esquerra. Per exemple la funció y=ln (x-3) tindrà una asímptota vertical a y=3.

54

CONTINUÏTAT I ASÍMPTOTES

EXERCICIS

1. Fes la gràfica de les següents funcions a trossos: x si x ≤ −1  f ( x ) = x 2 si - 1 < x < 2 2x - 1 si x ≥ 2 

1 si x < 1 j(x) =  2 + x si x ≥ 1

3 si x < 0  1 si 0 < x < 2 g(x) =  - 4 si 2 < x < 3 0 si x ≥ 3

 x si x < 0 k(x) =   x + 1 si x > 2

1 si x < 1 i(x) =  2 - x si x ≥ 1

− x + 2 si x < 2 l(x) =  3x - 6 si x > 2

2. Escriu el domini i el recorregut de totes les funcions que surten a l'exercici anterior. Digues quins són els seus punts de discontinuïtat. 3. Calcula els valors d'a, b i c que fan que aquestes dues funcions a trossos siguin contínues en tots els punts:

 x 2 + a si x ≤ -1 f(x) =  ax + 5 si x > -1

 e x si x < 0  g(x) = bx + c si 0 ≤ x < 2 1  + b si x > 2 x

4. Escriu els valors asimptòtics de les funcions que tenen els gràfics següents:

55

15. Escriu les asímptotes de la funció següent: y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

16. Identifica els punts de discontinuïtat i les asímptotes de les funcions que tenen els gràfics següents:

56

17. Calcula totes les asímptotes de les funcions següents: y=

1 2 x − 5x + 6

y=

2x 2 − 1 x +3

y = x+2+

y=

3x + 2 2 x 2 − 3x + 1

1 x

y=

y=

2x + 1 x−3

y=

x3 − 1 x2 −1

x4 +1 x2 − x

57

DERIVADES 1. La derivada d'una funció en un punt Si y = f(x) és una funció, la seva variació entre x1 i x2 és f(x2)-f(x1) i la seva variació mitjana entre x1 i x2 és f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1 La recta que uneix els punts de la gràfica de f corresponents a x1 i x2 és la recta secant a la gràfica en aquests dos punts. La variació mitjana és el pendent de la recta secant.

La variació instantània de f(x) quan x = a és el valor al qual s'acosten les variacions mitjanes entre a i x quan x s'aproxima a a. Es designa per f'(a) i rep el nom de derivada de f(x) en a. És una quantitat numèrica.

f ( x ) − f (a ) i ara substituïnt x per a. Cal, però, x−a simplificar aquest quocient fent ús de recursos de tipus algebraic per tal que la substitució no 0 produeixi ni altres resultats anòmals. Si el càlcul es pot fer, la funció és derivable per a x=a. 0 La derivada es pot calcular, teóricament, fent

És el que matemàticament s’escriu com un límit: f’(a)=

f (x) − f (a) x−a x→a lim

Una funció definida a trossos és derivable quan és contínua i a més a més per a cada punt de transició x = a, les derivades en x = a dels dos trossos que s'enganxen en ell són iguals.

58

funció contínua en x=2, no derivable en x=2 Per tant el concepte que una funció sigui continua però no derivable en un punt tradueix el fet que las gràfica té un canvi sobtat de direcció en aquell punt. Si una funció és derivable en un punt llavors és contínua en aquest punt. El recíproc no és vàlid: hi ha funcions, com 3 x o x , que són contínues però no són derivables en algun punt. Quan x s'aproxima a a, la recta determinada per x i per a s'aproxima a una recta que només té contacte amb la gràfica en a i que s'anomena recta tangent a la gràfica en a. La derivada de f en a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de f en a: tan α = f'(a)

L’equació de la recta tangent es pot calcular a partir de la forma explìcita d’una recta y=mx+n, tenint en compte que m=f’(a) i que la recta tangent ha de passar pel punt (a, f(a)). L'equació de la recta tangent a y=f(x) en el punt a és y = f(a)+f'(a)(x-a).

2. Càlcul de la funció derivada Es pot definir una nova funció f' fent correspondre a cada a el valor de la derivada f'(a). Aquesta funció és la funció derivada de f i es designa per f' o per y'. La funció derivada f' també pot tenir funció derivada, que es diu la derivada segona de f i es designa per f". Anàlogament es defineixen la derivada tercera, la derivada quarta, etc. Geomètricament la derivada és una mesura de la variació, i d'ella s'extreuen informacions sobre el creixement de la funció. Quant a la derivada segona, és una mesura de la curvatura de la gràfica, i d'ella s'extreuen informacions sobre la concavitat de la funció. Les derivades superiors a la segona no tenen interpretació geomètrica. El càlcul de la funció f' derivada de la funció f segueix un conjunt de regles que es divideixen en: a) Regles d'operació 1. Suma : (f+g)' = f' + g' 2. Producte : (f · g)' = f' · g + g' · f ; en particular si c és constant (cf)' = cf' '

'

f f '⋅g − f ⋅ g' f' f 3. Quocient :   = ; en particular si c és constant   = 2 c c g g 4. Composició : ( f o g)' = ( f 'o g) ⋅ g' b) Derivades de funcions fonamentals 1. Funció constant : (c)' = 0 p

p-1

2. Funcions potencials : (x )' = p. x

; en particular ( x )' =

1 2 x

Per la composició: (fp)' = p·fp-1·f' En el proper curs veurem les funcions derivades de les funcions transcendents. 59

CÀLCUL DIFERENCIAL

EXERCICIS

1. Calcula la variació mitjana de la funció y = 3x²-2x+5 entre: a) x = -1 i x = 1 b) x = 1 i x = 2 c) x = 1 i x = 1,1 d) x = 1 i x = 1,0001 2. Calcula la variació mitjana de la funció y = sin x entre: a) x = 0 i x = 1 b) x = 0 i x = 0,1 c) x = 0 i x = 0,01 d) x = 0 i x = 0,00001

3. Calcula la variació mitjana de la funció y = a) x = 0 i x = 0,1 b) x = 0 i x = 0,01 c) x = 0 i x = 0,001 d) x = 0 i x = 0,0001

3

x entre:

4. Fent servir la definició de derivada, calcula les derivades següents: 2

a) de y= 3x +9x

quan x=-1

(resp.: 3)

a) de y = x3+x2-2

quan x=2

(resp.: 16)

2x 2 + 7 quan x=3

b) de y =

1 3x + 2

c) de y =

quan x=1

(resp.: 6/5) (resp.: -3/25)

CALCULA LA FUNCIÓ DERIVADA DE CADASCUNA DE LES FUNCIONS DE LA COLUMNA DE L'ESQUERRA. LES RESPOSTES SÓN A LA COLUMNA DE LA DRETA. 6

4

2

5. y = 7x +5x -3x +11x-12 -2

-3

-1

6. y = 3x +5x +2x -3

-4

-2

7. y = 2x -4x -x 2

8. y = x (x+6) 3

2

5

3

-3

-4

y' = 42x +20x -6x+11 -2

y' = -6x -15x -2x -4

-5

-3

y' = -6x +16x +2x

y' = 3x(x+4) 3

9. y = x (x +1)(x +6)

7

5

4

2

y' = 8x +6x +30x +18x

60

1   1 10. y = 3 3 + 5  x  x

y' = −

1   11. y = x −2  5 + 3  x  

y' = -5x-6-10x-3

12. y =

13. y =

14. y = 15. y =

16. y =

17. y =

18. y =

19. y =

1

2

−

x3

y' = −

x6

6

y' =

x4 + 2 x3 + 2 7

y' =

2 1+ x

y' =

2

1

y' =

1 − 2x 2

2x − 1 2x + 1

y' =

x2 + 2

y' =

x 3 − 3x 2 x2 x−2

y' =

2/3

-1/2

(

22. y = x 2 + 6 x

3

26. y =

4

12 x7

− 24 x 3 ( x 4 + 2) 2 3x 2 7 − 4x ( x + 1) 2 2

4x (1 − 2x 2 ) 2

4 (2 x + 1) 2 − x 4 − 6 x 2 + 12 x ( x 3 − 3x 2 ) 2 x 2 − 4x ( x − 2) 2 10 -1/3 5 -2/7 x +3- x 3 7 -5/3

+2x

(

50

y' = (100x+300) x 2 + 6 x

y' =

y' =

(1 + x ) 2

y' =

x3 + 9

y' = 3

28. y = (2x+1)(3x+5)

x6

-3/2

)

 x2 + 2   27. y =   4x + 2   

15

+

x4

y' = - 2x

24. y = x ⋅ x 2 + 2

25. y =

3

+7

3x 2 − 4 x + 1

23. y =

x

y' =

-2/3

-3x

−

4

5/7

20. y = 5x +3x-x 21. y = 4x

9

y' =

5

)

49

3x − 2 3 x 2 − 4x + 1 2x 2 + 2 x2 + 2 2 33 1 + x

3x 2 44 ( x 3 + 9) 3

3( x 2 + 2) 2 ( 4 x 2 + 4 x − 8) ( 4 x + 2) 4

y' = (36x+25)(3x+5)

4

61

8  29. y =  x 2 −  x  30. y =

31. y =

(

3x − 7

4

3

8  8   y' = 4·  x 2 −   2x + 2  x x    

)

5

y' =

x+2 (6 − x )

y' =

3

(

15 3 x − 7 2

)3

2x + 12 (6 − x ) 4

2

32.- Donada la funció y=x -4x+5 calcula: a) Quan val la funció en el punt x=-3 b) En quin punt o punts la funció val 17 c) Quina és la variació absoluta a l’interval

[0,5] [2,4 ]

d) Quina és la variació mitjana a l’interval e) Quin és el pendent de la funció en el punt x=5 f) En quin punt el pendent de la funció val 7 33. Dibuixa i escriu la fórmula d’una funció definida a trossos que sigui continua i derivable en el punt x=-2, que no sigui continua en el punt x=0 i que sigui continua però no sigui derivable en elpunt x=3. 34. Escriu l'equació de les rectes tangents: a) a y =

x2 + 1 quan x = 2 x−1

(x+y=7)

b) a y = sin x quan x = 0 (y=x)

2

35. Calcula el pendent de y = x -7x+10 en els punts en què la gràfica talla l'eix de les X. (resp.: 3 i -3) 2

36. Calcula el pendent de x -8y = 0 en els punts d'intersecció amb la recta x-2y = 0. (0 i 1) 37. Calcula els punts en què: 2

a) el pendent de y = x -6x+5 val 4 2

b) el pendent de 5x -xy+4 = 0 val 1 c) la tangent a y =

x3 2 + 3x +5x+2 és paral·lela a la recta 3x+y=1 3

d) la tangent a la funció anterior és perpendicular a x-4y=1

(x=5) (x=1 i x=-1) (x=-4 i x=-2) (x=-3)

e) la tangent a la funció anterior forma amb l'eix de les X un angle de tangent 5. (x=0 i x=-6)

62