Multicolinealidad

´ Salmeron ´ Gomez ´ Roman Universidad de Granada

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Contenidos Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad

Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Multicolinealidad Deteccion Soluciones al problema de multicolinealidad

Soluciones al problema de multicolinealidad

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Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad

Concepto y causas

Soluciones al problema de multicolinealidad

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Multicolinealidad Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

El problema de multicolinealidad consiste en la existencia de relaciones lineales ´ variables independientes del modelo lineal uniecuacional multiple. entre dos o mas ´ ´ lineal hablaremos de multicolinealiDependiendo de como sea dicha relacion dad perfecta o aproximada. Las principales causas que producen multicolinealidad en un modelo son: ´ causal entre variables explicativas del modelo.  relacion

 escasa variabilidad en las observaciones de las variables independientes. ˜ de la muestra.  reducido tamano En definitiva, la multicolinealidad suele ser un problema muestral que se presenta normalmente en datos con el perfil de series temporales. ´ As´ı, por ejemplo, la edad y la experiencia suelen presentar una alta relacion ya que ambas evolucionan conjuntamente: a mayor edad se presupone mayor experiencia. Por tal motivo sera´ dif´ıcil separar el efecto de cada una sobre la va´ causal riable dependiente y que se produzca multicolinealidad debido a la relacion existente entre dichas variables (series temporales).

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Supongamos ahora que nos pasan una encuesta donde hay que valorar las siguientes afirmaciones en una escala de 1 a 5 donde 1 significa que estamos totalmente en desacuerdo y 5 totalmente de acuerdo:

 Seguro que saco un 10 en Econometr´ıa.  No me gusta la Econometr´ıa. ´ variable que llamaremos X , tendremos valores Para la primera afirmacion, concentrados alrededor del 1, mientras que para la segunda, que llamaremos Y , obtendremos valores alrededor del 5. Por tanto, tendr´ıamos dependencia lineal ya que Y ∼ = 5 · X. Estas variables se podr´ıan usar en un modelo donde la variable dependiente ´ obtenida en la asignatura de Econometr´ıa: X podr´ıa ser un es la calificacion ´ esperada e Y del grado de afinidad a la materia. indicio de la calificacion Como se puede observar, la multicolinealidad de este ejemplo se debe a pro˜ blemas con las observaciones disponibles (escasa variabilidad o reducido tamano de la muestra). Por tanto, si se es capaz de mejorar estos problemas muestrales se evitar´ıa la presencia de multicolinealidad entre dichas variables.

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Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad exacta o perfecta Ejemplo Multicolinealidad aproximada: efectos

Multicolinealidad exacta: efectos

´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

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Multicolinealidad exacta o perfecta Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad exacta o perfecta Ejemplo Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

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La multicolinealidad exacta o perfecta hace referencia a la existencia de una re´ lineal exacta entre dos o mas ´ variables independientes. lacion Dicho tipo de multicolinealidad se traduce en el incumplimiento de una de las ´ ´ hipotesis basicas del modelo uniecuacional multiple: ´ la matriz X no es de rango completo por columnas, esto es, rg(X) < k . ´ El incumplimiento de dicha hipotesis no permite invertir la matriz X t X , por lo que el sistema normal

X t X · β = X t y, ´ unica es compatible indeterminado, es decir, es imposible obtener una solucion ´ b (hay infinitas). para β ´ ´ estimar los ¿Que´ hacer ante esta situacion? Evidentemente no se podran coeficientes de las varaibles independientes, sin embargo, si se podra´ estimar ´ lineal de los mismos. Y en tal caso no tenemos garantizado una combinacion ´ ´ que se puedan recuperar a partir de estas las estimaciones de los parametros originales.

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Ejemplo Contenidos

Consideremos el modelo

Concepto y causas

Yt = β1 + β2 Xt2 + β3 Xt3 + ut ,

Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad exacta o perfecta Ejemplo Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

donde Xt2 − Xt3 = 1. ´ que sustituir Xt2 = 1 + Xt3 en el modelo original: Entoces, sin mas

Yt

= =

β1 + β2 · (1 + Xt3 ) + β3 Xt3 + ut (β1 + β2 ) + (β2 + β3 ) · Xt3 + ut ,

´ obtenemos que las combinaciones lineales estimables de los parametros originales son:

β1 + β2 ,

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β2 + β3 .

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Multicolinealidad aproximada: efectos

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Multicolinealidad aproximada Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos Multicolinealidad aproximada ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

´ La multicolinealidad aproximada hace referencia a la existencia de una relacion ´ variables independientes. lineal aproximada entre dos o mas ´ ´ En este caso, no se incumplira´ la hipotesis basica de que la matriz X sea completa por columnas (rg(X) = k), por lo que se podra´ invertir X t X y obtener los estimadores por m´ınimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, el determinante ´ de X t X sera´ muy proximo a cero, por lo que (X t X)−1 tendera´ a tener valores altos. En consecuencia, cuando existe un problema de multicolinealidad no perfecta se presentan los siguientes problemas:

 las varianzas de los estimadores son muy grandes. ´ individual no se rechazara´ la  al efectuar contrastes de significacion ´ hipotesis nula, mientras que al realizar contrastes conjuntos si. ´ muy sensibles ante pequenos ˜ cambios en  los coeficientes estimados seran los datos. ´ elevado.  un coeficiente de determinacion

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´ de la Multicolinealidad Deteccion

Soluciones al problema de multicolinealidad

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´ de la multicolinealidad Deteccion Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

´ de la mulBasarse en los sintomas enumerados anteriormente para la deteccion ticolinealidad no es un procedimiento fiable ya que es subjetivo. ´ de la multicolinealidad usaremos los Por tal motivo, para la deteccion ´ metodos: ´  Numero ´ de condicion.

 Factor de agrandamiento de la varianza. ´ k(X), se define como la ra´ız cuadrada del cociente El numero ´ de condicion, ´ grande de X t X , λmax , y el mas ´ pequeno, ˜ λmin . Esto es: entre el autovalor mas

k(X) =

r

λmax . λmin

´ toma un valor entre 20 y 30 estamos ante un proSi dicho numero ´ de condicion blema de multicolinealidad probable y se considera seguro si supera 30.

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´ de la multicolinealidad Deteccion Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad

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El factor de agrandamiento de la varianza, F AV , se define para cada uno de los coeficientes como:

F AV (βbi ) =

1 , 1 − Ri2

i = 2, . . . , k,

´ obtenido al efectuar la regresion ´ de donde Ri2 es el coeficiente de determinacion Xi sobre el resto de las variables independientes del modelo. ´ entre la varianza observada y la que habr´ıa El FAV se interpreta como la razon sido en caso de que Xi estuviera incorrelacionada con el resto de variables independientes del modelo, es decir, muestra en que´ medida se agranda la varianza ´ de los regresores. del estimador como consecuencia de la relacion Valores del FAV superiores a 10 hacen pensar en la posible existencia de multicolinealidad en el modelo.

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Soluciones al problema de multicolinealidad

Soluciones

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Algunas de las posibles soluciones al problema de multicolinealidad son las siguientes: ˜ muestral estrayendo la informacion ´ maxima ´  mejora del diseno de la variables observadas. ´ de las variables que se sospechan son causantes de la multi eliminacion colinealidad. ˜ de la  en caso de disponer de pocas observaciones, aumentar el tamano muestra. ´ extramuestral que permita realizar relaciones entre  utilizar la relacion ´ ´ a priori) que permita estimar el modelo por los parametros (informacion m´ınimos cuadrados restringidos. Por otro lado, algunos autores sugieren tratar el problema de la multicolineali´ ´ ´ dad de forma mecanica y puramente numerica proponiendo una tecnica conocida ´ alomada. Sin embargo, esta tecnica ´ como regresion tiene dos problemas importantes: es arbitraria y los estimadores obtenidos no son interpretables.

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Lecturas recomendadas Contenidos Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos ´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad Soluciones

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´ R. y Gomez, ´ ´ entre los factores institucionales [1] Salmeron, S. (2012). Relacion ´ ´ y el emprendimiento: analisis mediante tecnicas cuantitativas. Revista de ´ ´ Metodos Cuantitativos para la Econom´ıa y la Empresa, Numero ´ 13, Paginas 54-72. ´ de au[2] Novales, A. (1993). Econometr´ıa. McGraw Hill. Cap´ıtulo 1 (obtencion tovalores de una matriz). ´ web: Puedes encontrarlas en la direccion http://www.ugr.es/local/romansg/material/WebEco/index.html

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Bibliografia Contenidos

[1] Gujarati, D. (1997). Econometr´ıa. Ed. McGraw Hill. Cap´ıtulo 8.

Concepto y causas Multicolinealidad exacta: efectos Multicolinealidad aproximada: efectos

[2] Novales, A. (1993). Econometr´ıa. McGraw Hill. Cap´ıtulo 10. ´ M.L. y Peiro, ´ A. (1990). Econometr´ıa. El Mo[3] Uriel, E., Contreras, D., Molto, delo Lineal. Editorial AC. Cap´ıtulo 7.

´ de la Deteccion Multicolinealidad Soluciones al problema de multicolinealidad Soluciones

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