18. DOMINIO FRECUENCIA – CRITERIO DE NYQUIST 18.1. DIAGRAMAS POLARES En análisis dinámico de sistemas en el dominio de la frecuencia, además de emplearse los diagramas y el criterio de Bode, se utilizan las representaciones de las funciones de transferencia sinusoidales en coordenadas polares que sirven de base para otros criterios de estabilidad como son el de Nyquist y el de Nichols El diagrama polar de una función de transferencia sinusoidal G(jw) es una gráfica de la magnitud de G(jw) con respecto al ángulo de fase de G(jw) en coordenadas polares, cuando “w” varía de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores G ( jw) ∠G ( jw) cuando “w” varía de cero a infinito. Cada punto en el diagrama polar de G(jw) representa el punto terminal de un vector en un valor determinado “w”. En el diagrama polar, es importante mostrar la graduación de la frecuencia del lugar geométrico. Las proyecciones de G(jw) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. En las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario al de las agujas del reloj (en el sentido de las agujas) a partir del eje real positivo. El diagrama polar se denomina, a menudo, “Diagrama de Nyquist” Una ventaja de utilizar un diagrama polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que el diagrama no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia en lazo abierto.

18.2. DIAGRAMAS DE NYQUIST Los diagramas de Nyquist de algunos de los sistemas componentes de un proceso se presentan a continuación:

Sistema Integrador Para un sistema integrador con función de transferencia de la forma

G ( s) =

1 s

(18.1)

356

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es

G( jw) =

1 1 1 = − j = ∠ − 90° jw w w

(18.2)

De acuerdo a la ecuación (18.2), el diagrama polar de la función de transferencia sinusoidal de un sistema integrador es el eje imaginario negativo. La Figura 18.1 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema integrador como el de la ecuación (18.1)

Figura 18.1. Diagrama de Nyquist para un sistema integrador

Sistema Derivativo Para un sistema derivativo con función de transferencia de la forma

G(s) = s

Mach

(18.3)

357

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es

G( jw) = jw = w∠90°

(18.4)

De acuerdo a la ecuación (18.4), el diagrama polar de la función de transferencia sinusoidal de un sistema derivativo es el eje imaginario positivo. La Figura 18.2 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema derivativo como el de la ecuación (18.3)

Figura 18.2. Diagrama de Nyquist de un sistema derivativo

Sistema con Atraso de Primer Orden Para una función de transferencia con atraso de primer orden de la forma

G (s) =

Mach

K τs + 1

(18.5)

358

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es:

G( jw) = Ó

Para w= 0 Para w=

1

τ

K

+j

− Kτw 1 + τ 2 w2

1+ τ w K G( jw) = ∠ − tan−1 (τw) 1 + τ 2 w2 2

2

(18.6) (18.7)

G( j 0°) = K∠0° y 1 K G( j ) = ∠ − 45° τ 2

Si “w” tiende a infinito, la magnitud de G(jw) tiende a cero y el ángulo de fase tiende a -90°. El diagrama polar de esta función de transferencia es un semicírculo cuando la frecuencia varía de cero a infinito. El centro se localiza en K/2 sobre el eje real y el radio es igual a K/2.

Figura 18.3. Diagrama de Nyquist para un sistema con atraso de primer orden (K = 5, τ = 1)

Mach

359

Para probar que el diagrama polar de un sistema con atraso de primer orden es un semicírculo de radio K/2 y centro en el punto K/2 sobre el eje real, se define a G ( jw ) = X + jY siendo X, Y, las partes real e imaginaria, respectivamente, de la ecuación (6) y, se tiene en cuenta que si son las coordenadas de un círculo deben satisfacer su ecuación analítica, es decir: 2

K  2 2  X −  +Y = r 2 

(18.8)

Siendo el “r”, el radio del círculo e igual a K/2. Sustituyendo las expresiones para X, Y, observadas en la ecuación (18.6), en la ecuación (8) se demuestra que el radio es igual a K/2 y, con ello, que el gráfico es un círculo. El semicírculo inferior corresponde a 0 ≤ w ≤ ∞ y el semicírculo superior corresponde a − ∞ ≤ w ≤ 0. La Figura 3 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema con atraso de primer orden

Sistema con Adelanto de Primer Orden Para una función de transferencia con adelanto de primer orden de la forma

G ( s ) = K (1 + τs )

(18.9)

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es:

ó

G( jw) = K + jKτw

(18.10)

G( jw) = K 1 + τ 2w2 ∠ tan(τw)

(18.11)

El diagrama polar de la función de transferencia de un sistema con adelanto de primer orden es simplemente la mitad superior de la recta que pasa por el punto (K, 0) en el plano complejo y paralelo al eje imaginario. El diagrama polar de un sistema con adelanto de primer orden tiene un aspecto completamente diferente del de un sistema con atraso de primer orden. La Figura 18.4 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema con adelanto de primer orden Mach

360

Figura 18.4. Diagrama de Nyquist para un sistema con adelanto de primer orden (K = 5, τ = 1)

Sistema de Segundo Orden Para un sistema de segundo orden con función de transferencia en la forma

G (s) =

K τ s + 2τζ s + 1 2

2

(18.12)

La expresión para la función de transferencia sinousoidal es

G ( jw ) =

ó

Mach

G ( jw) =

K (1 − τ 2 w 2 ) − K ( 2ζτ w ) + j 2 2 2 2 (1 − τ w ) + ( 2ζτ w ) (1 − τ 2 w 2 ) 2 + ( 2ζτ w ) 2

 − 2ζτw  ∠ tan −1  2 2  1−τ w  (1 − w τ ) + (2τζw) K

2

2 2

2

(18.13)

(18.14)

361

El diagrama polar de esta función de transferencia sinusoidal empieza en K∠0° y cuando la frecuencia toma un valor infinito la función de transferencia sinusoidal es 0∠ − 180° , es decir, que el diagrama termina en forma tangente al eje real negativo.

Sistema de Segundo Orden Subamortiguado La Figura 18.5 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema de segundo orden subamortiguado para varios factores de amortiguamiento

Figura 18.5. Diagrama de Nyquist para un sistema de segundo orden subamortiguado (K = 5, τ = 1) La forma exacta de un diagrama polar para un sistema de segundo orden depende del valor del factor de amortiguamiento, pero la forma general del diagrama es igual tanto para el caso subamortiguado como para el caso sobreamortiguado Para el caso subamortiguado, para una frecuencia w = 1/τ, la función de transferencia sinusoidal corresponde a K/2 ζ ∠ − 90° , es decir, que el diagrama intercepta al eje imaginario negativo. Por lo tanto, se observa que la frecuencia en la que el lugar geométrico de G(jw) corta al eje imaginario es la frecuencia natural no Mach

362

amortiguada. En el diagrama polar, el punto de frecuencia cuya distancia al origen es la máxima, corresponde a la frecuencia de resonancia. El valor pico de G(jw) se obtiene como el cociente entre la magnitud del vector en la frecuencia de resonancia y la magnitud del vector en w = 0.

Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado Para el caso sobreamortiguado, cuando el factor de amortiguamiento aumenta mucho mas allá de la unidad, el lugar geométrico de G(jw) tiende a un semicírculo. Esto se observa porque para un sistema muy amortiguado, las raíces características son reales y una es mucho más pequeña que la otra. Debido a que para un coeficiente de amortiguamiento suficientemente grande, el efecto de la raíz mayor (mayor en su valor absoluto) sobre la respuesta se vuelve muy pequeño, el sistema se comporta como uno de primer orden. La Figura 18.6 muestra los Diagramas de Nyquist, construidos con Matlab, para sistemas de segundo orden sobreamortiguados con factores de amortiguamiento de 1, 2 y 20. Se observa el círculo correspondiente al de un factor de amortiguamiento de 20

Figura 18.6. Diagrama de Nyquist para un sistema de segundo orden sobreamortiguado Mach

363

Sistema de tiempo muerto puro Para un sistema de tiempo muerto puro con función de transferencia de la forma

G ( s ) = Ke− t o s

(18.15)

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es

G ( jw ) = Ke

− jt o w

(18.16)

Mediante las correspondientes expansiones en serie de Taylor de las funciones exponencial, seno y coseno se puede transformar la ecuación (18.16) como una expresión compleja con la siguiente forma ó G( jw) = K cos(to w) − jK sin(to w)

(18.17)

ó G( jw) = K∠ − to w

(18.18)

Las ecuaciones (18.17) y (18.18) indican que el Diagrama de Nyquist de la función de transferencia exponencial sinusoidal correspondiente a un sistema de tiempo muerto puro es un círculo de radio K con centro en el origen del sistema de coordenadas polares.

Sistema de Tercer Orden La siguiente función de transferencia de lazo abierto corresponde a un sistema con dinámica de tercer orden. El diagrama de Nyquist correspondiente es el que se muestra en la Figura 18.7

G (s) =

Mach

1 s ( s + 0.8s + 1) 2

364

Figura 18.7. Diagrama de Nyquist para un Sistema de Tercer Orden

18.3 MATLAB: Diagramas de Nyquist Los diagramas de Nyquist, al igual que los diagramas de Bode, suelen utilizarse en la representación de la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de sistemas de control lineal, invariante en el tiempo y realimentados. Los diagramas de Nyquist son gráficas polares mientras que los diagramas de Bode son gráficas rectangulares Uno u otro diagrama puede ser más conveniente para una operación específica, pero una determinada operación siempre puede realizarse en cualquier diagrama El comando “nyquist” calcula la respuesta en el dominio de la frecuencia para sistemas en tiempo continuo, lineales e invariantes en el tiempo. Cuando se introduce el comando “nyquist” a la computadora (sin argumentos en el lado izquierdo), Matlab produce el diagrama de Nyquist en la pantalla definiendo el numerador y el denominador de la función de transferencia ya sea previamente o directamente como argumentos, es decir en la forma de nyquist(num, den)

Mach

365

Si se define la función de transferencia en el sistema LTI con un nombre, por ejemplo, sys, entonces el comando ”nyquist” solo incluye como argumento el nombre de la función de transferencia, es decir nyquist(sys) En forma similar a lo anterior, también se puede introducir la función de transferencia en el sistema LTI directamente como argumento del comando. Con el comando “nyquist” se representan repuestas de varios sistemas LTI sobre una misma figura. Todos los sistemas deben tener el mismo número de entradas y salidas. La sintaxis es de la forma nyquist(sys1, sys2,…, sysN) Se pueden especificar los estilos de las representaciones para cada uno de los sistemas con la siguiente sintaxis nyquist(sys1,’PlotStyle’,…, sysN, ‘PlotStyleN’) Cuando se invoca el comando “nyquist” con argumentos en el lado izquierdo en la forma [re, im, w] = nyquist(sys) Matlab retorna la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia en las matrices re, im y w. No aparece una gráfica en la pantalla. Las matrices re e im contienen las partes real e imaginaria de la respuesta del sistema en los puntos de frecuencia especificados en el vector “w”. Obsérvese que re e im tienen tantas columnas como salidas y una fila para cada elemento de “w”

18.4. CASOS DE ESTUDIO 1. Construya los archivos M-files en Matlab para construir los diagramas de Nyquist de las Figuras 1 a la 6 Mach

366

2. Construya el diagrama de Nyquist para los sistemas con la siguientes funciones de transferencia en lazo abierto A. G ( s ) =

s + 0 .5 s + s +1 2

s 2 + 4s + 6 B. G ( s ) = 2 s + 5s + 4 C. G ( s ) =

20 ( s + 1) s ( s + 5)( s 2 + 2 s + 10 )

18.5 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST El criterio de estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partir de la respuesta de la función de transferencia en lazo abierto y de los polos de ésta. Este criterio se basa en el Teorema de la transformación de la teoría de la variable compleja, y es útil en la ingeniería de control porque en su aplicación, para determinar la estabilidad de un sistema, no se necesita la determinación de los polos de su función de transferencia en lazo cerrado. Para el estudio del criterio de estabilidad de Nyquist, considere un sistema en lazo cerrado como el que muestra la Figura 18.8

Figura 18.8. Sistema en lazo cerrado y su correspondiente función de transferencia

Mach

367

C ( s) G(s) = R(s) 1 + G(s)H (s)

(18.19)

Se supone que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se representa como un cociente de polinomios en “s”. Para un sistema que puede materializarse físicamente, el grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del numerador. Esto significa que el límite de G(s)H(s), cuando “s” tiende a infinito, es cero o una constante para cualquier sistema que pueda materializarse físicamente. Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica

1 + G (s) H (s) = 0

(18.20)

deben estar en el semiplano izquierdo del plano “s”. [Se debe señalar que, aunque los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano “s”, el sistema solo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces de la ecuación característica) están en el semiplano izquierdo del plano “s”]. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de la función de transferencia en lazo abierto G(jw)H(jw) con el número de ceros (Z) y polos (P) de 1 + G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano “s”.

Enunciado del Criterio de estabilidad de Nyquist Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s” encierra Z ceros y P polos de 1 + G(s)H(s) y no pasa por los polos ni los ceros de 1 + G(s)H(s) conforme un punto representativo “s” se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el controrno correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea en un círculo N = Z – P veces el punto -1 + j0 en el sentido de las agujas del reloj. (Los valores negativos de N implican rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj) Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos:

Mach

368

1. El punto -1 + j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema es inestable 2. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema es inestable 3. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas del reloj. En este caso el sistema es inestable

18.6. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE SISTEMAS El análisis de la estabilidad de sistemas mediante el criterio de Nyquist se explica, a continuación, a partir del estudio de varios casos con los cuales se aclaren los enunciados incluidos en el apartado anterior

Caso 1 Mediante el criterio de Nyquist, analice la estabilidad del sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo abierto correspondiente es

G(s) H (s) =

10 (2s + 1)(3s + 1)

(18.21)

El diagrama de Nyquist para la función de transferencia en lazo abierto (18.21) se muestra en la Figura 18.9. Debido a que G(s)H(s) no tiene polos en el sentido derecho del plano “s” y el punto -1 + j0 (observe la cruz) no está rodeado por el lugar geométrico de G(jw)H(jw), este sistema es estable para cualquier valor positivo de ganancia y atrasos dinámicos

Mach

369

Figura 18.9. Diagrama de Nyquist para el Caso 1

Figura 18.10. Respuesta Paso Unitario Estable – Caso 1

Mach

370

Para un lazo cerrado con G(s) y H(s) definidas de tal manera que su producto sea igual a la ecuación (18.21) se puede comprobar que el lazo cerrado conformado por ellas es estable ante un cambio paso en la variable de entrada, como se observa en la Figura 18.10

Caso 2 La función de transferencia en lazo abierto de un sistema es

G(s)H (s) =

K s(5s + 1)(4s + 1)

(18.22)

Mediante el diagrama de Nyquist analice la estabilidad del sistema para los siguientes valores de la ganancia: a) K = 0.1; b) K = 10 a) Para una ganancia con un valor pequeño de 0.1 el diagrama de Nyquist es el que se observa en la Figura 18.11

Figura 18.11. Diagrama de Nyquist – Caso 2a (K = 0.1) Mach

371

El número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s” es cero. Por lo tanto, para que este sistema sea estable, es necesario que N = Z = 0 o que el lugar geométrico de G(s)H(s) no rodee el punto -1 + j0, condición esta que se observa en la Figura 18.11 Para un lazo cerrado con G(s) y H(s) definidas de tal manera que su producto sea igual a la ecuación (18.22), con K = 0.1, se puede comprobar que el lazo cerrado conformado por ellas es estable ante un cambio paso en la variable de entrada, como se observa en la Figura 18.12

Figura 18.12. Respuesta Paso – Caso 2a ( K = 0.1 ) b) Para una ganancia con un valor grande de 10 el diagrama de Nyquist es el que se observa en la Figura 18.13. El punto -1 + j0 es rodeado dos veces, en el sentido de las agujas del reloj, por el lugar geométrico de G(s)H(s) y, por lo tanto, el sistema es inestable. Se puede comprobar que la ecuación característica del lazo cerrado 1 + G(s)H(s) tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano “s”, lo que indica la inestabilidad

Mach

372

Figura 18.12. Diagrama de Nyquist – Caso 2b ( K = 10 )

Figura 18.13. Respuesta Paso Unitario – Caso 2 b ( K = 10 )

Mach

373

Para un lazo cerrado con G(s) y H(s) definidas de tal manera que su producto sea igual a la ecuación (18.22), con K = 10, se puede comprobar que el lazo cerrado conformado por ellas es inestable ante un cambio paso en la variable de entrada, como se observa en la Figura 18.13

Caso 3 La estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto

G( s) H ( s) =

K (τ 2 s + 1) s 2 (τ 1 s + 1)

(18.23)

depende de las magnitudes de τ1 y τ2. Para los siguientes casos, construya los diagramas de Nyquist y analice la estabilidad del sistema (K = 10): a) τ1 = 1 seg y τ2 = 4 seg; b) τ1 = τ2 = 1 seg; c)τ1 = 1 seg y τ2 = 0.5 seg a) El diagrama de Nyquist para cuando τ1 < τ2 se muestra en la Figura 18.14.

Figura 18.14. Diagrama de Nyquist – Caso 3a Mach

374

El lugar geométrico de G(s)H(s) no rodea el punto -1 + j0 y el sistema en lazo cerrado es estable. La Figura 18.15 muestra la estabilidad de la respuesta paso unitario para un lazo cerrado cuyas G(s) y H(s) multiplicadas corresponden a la ecuación (18.23)

Figura 18.15. Respuesta Paso Unitario – Caso 3a b) El diagrama de Nyquist para cuando τ1 = τ2 se muestra en la Figura 18.16. El lugar geométrico de G(s)H(s) pasa por el punto -1 + j0 lo cual indica que hay polos de lazo cerrado sobre el eje “jw”. La Figura 18.17 muestra la respuesta paso unitario para un lazo cerrado cuyas G(s) y H(s) multiplicadas corresponden a la ecuación (18.23) con iguales valores para τ1 y τ2. Se observa un comportamiento sinusoidal c) El diagrama de Nyquist para cuando τ1 > τ2 se muestra en la Figura 18.18. El lugar geométrico de G(s)H(s) rodea en un círculo al punto -1 + j0 dos veces en el sentido de las agujas del reloj. Por tanto, el sistema en lazo cerrado tiene dos polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano “s” y el sistema es inestable. La Figura 18.19 muestra la respuesta paso unitario para un lazo cerrado cuyas G(s) y H(s) multiplicadas corresponden a la ecuación (18.23) con valores para τ1 > τ2.

Mach

375

Figura 18.16. Diagrama de Nyquist – Caso 3b

Figura 18.17. Respuesta Paso Unitario – Caso 3b

Mach

376

Figura 18.18. Diagrama de Nyquist – Caso 3c

Figura 18.19. Respuesta Paso Unitario – Caso 3c

Mach

377

Caso 4 Analice la estabilidad del sistema en lazo cerrado que tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto

G( s) H (s) =

5 s( s − 1)

(18.24)

La función G(s)H(s) tiene un polo en +1, es decir, en el semiplano derecho del plano “s”. El diagrama de Nyquist para la función de transferencia en lazo abierto (6) se muestra en la Figura 18.20 e indica que el diagrama rodea el punto -1 + j0 una vez en el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, N = 1 y Z = 2 debido a que Z = N + P. Esto significa que el sistema en lazo cerrado tiene dos polos en el plano derecho del plano “s” y que es inestable. La respuesta de un sistema en lazo cerrado a un cambio paso unitario se observa en la Figura 18.21

Figura 18.20. Diagrama de Nyquist – Caso 4

Mach

378

Figura 18.21. Respuesta Paso Unitario – Caso 4

Caso 5 Analice la estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto

G ( s) H ( s) =

5( s + 3) s( s − 1)

(18.25)

La función de transferencia en lazo abierto tiene un polo +1 en el semiplano derecho del plano “s”. El sistema en lazo abierto es inestable. El diagrama de Nyquist correspondiente mostrado en la Figura 18.22, indica que el lugar geométrico de G(s)H(s) rodea al punto -1 + j0 una vez en sentido contrario al de las agujas del reloj y, por lo tanto, N = -1. De acuerdo a lo anterior, se obtiene que Z = 0 porque Z = N + P y esto indica que no hay un cero en la ecuación característica de la función de transferencia en lazo cerrado localizado en el semiplano derecho del plano “s” y que el sistema en lazo cerrado es estable. Este es uno de los ejemplos para los cuales un sistema en lazo abierto se vuelve estable cuando se cierra el lazo

Mach

379

Figura 18.22 Diagrama de Nyquist – Caso 5

Figura 18.23. Respuesta Paso Unitario – Caso 5 Mach

380

La respuesta de un sistema en lazo cerrado a un cambio paso unitario se muestra en la Figura 18.23

18.7. CASOS DE ESTUDIO 1. Construya el diagrama de Nyquist para cada una de las siguientes funciones de transferencia en lazo abierto y haga el análisis de estabilidad para el sistema en lazo cerrado: G ( s) H ( s) =

1 s + 0 .2 s 2 + s + 1 3

s 2 + 2s + 1) G(s) H ( s) = 3 s + 0.2s 2 + s + 1

G( s) H ( s) =

K ( s + 2) Para K = 1, 10 y 100. s ( s + 1)( s + 10)

G(s)H (s) =

10 s + 6s + (5 + 10k )s 3

2

Para K = 0.3, 0.5 y 0.7

2. Considere el sistema en lazo cerrado de la Figura 18.24. Dibuje los diagramas de Bode y de Nyquist de G(s)H(s) para K = 0.2, 0.5 y 2. También dibuje la gráfica del lugar de las raíces de la función de transferencia en lazo abierto y localice los polos en lazo cerrado del sistema para K = 0.2, 0.5 y 2. Haga un análisis de estabilidad para cada uno de los casos

Figura 18.24. Sistema en lazo cerrado

Mach