คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์

( Computer Mathematics )

( Computer Mathematics )

รหัสวิชา 20204-2003

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 1 ระบบจำนวนจริง จำนวนจริง หมายถึง จำนวนที่เป็นตรรกยะและ จำนวนที่เป็นอตรรกยะ ซึ่งเป็นจำนวนที่สามารถหา ค่าได้หรือจำนวนที่หาค่าได้โดยประมาณ จะใช้ R แทนเซตของจำนวนนั้น จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้ อยู่ในรูปเศษส่วนได้ และแทนเซตของ จำนวนตรรกยะด้วยสัญลักษณ์ Q จำนวนตรรกยะ ประกอบด้วย จำนวนเต็ม และ เศษส่วน

จำนวนเต็ม ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และ จำนวนเต็มศูนย์ แทนเซตของจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ I นั่นคือ I = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} เซตของจำนวนเต็มบวก แทนด้วย I นั่นคือ "I" ^+ = {1, 2, 3, ...} เซตของจำนวนเต็มลบ แทนด้วย I นั่นคือ "I" ^- = {-1, -2, -3, ...} เซตของจำนวนเต็มศูนย์ แทนด้วย I นั่นคือ "I" ^0 = {0}

สมบัติเกี่ยวกับการบวกของจำนวนเต็ม 1. สมบัติปิด ถ้า a I,B I แล้ว a+b I 2. สมบัติการสลับที่ ถ้า a I,b I แล้ว a + b = b + a 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ ถ้า a, b และ c I แล้ว (a + b) + c = a + (b + c) 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ การบวก มีจำนวนเต็มศูนย์ เป็นเอกลักษณ์การบวก เมื่อ a I แล้ว a + 0 = 0 + a = a 5. สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก เมื่อ a I, -a I ดังนั้น a + (-a) = (-a) + a = 0

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈

∈

สมบัติเกี่ยวกับการคูณของจำนวนเต็ม 1. สมบัติปิด ถ้า a, b I แล้ว ab I 2. สมบัติการสลับที่ ถ้า a I, b I แล้ว ab = ba 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ ถ้า a, b และ c I แล้ว (ab) = a(bc) 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ มีจำนวนเต็ม 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ เมื่อ a I แล้ว a x 1 = 1 x a = a 5. สมบัติการแจกแจง ถ้า a, b, c I แล้ว a(b + c) = ab = ac

∈

∈

∈ ∈ ∈ ∈

∈

เศษส่วน

ซึ่งเขียนในรูปเศษส่วน โดยแทน a และ b เป็นจำนวนเต็มแค่ b 0 และรวมถึงทศนิยมซ้ำ อันประกอบด้วยทศนิยมศูนย์ซ้ำ และไม่ใช้ศูนย์ซ้ำ จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่ใช่ จำนวนตรรกยะ เพราะเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนไม่ ได้ จะเขียนได้เป็นทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถหาค่า ได้โดยประมาณแทนเซตของจำนวนอตรรกยะ

≠

การบวกจำนวนจริง

สมบัติปิดของการบวก

∈

∈ ∈

ถ้า a R และ b R แล้ว a+b เช่น 3 + 8 = 11 R

∈R

สมบัติการสลับที่การบวก

∈

∈ ∈

ถ้า a R และ b R แล้ว a+b เช่น 3 + 8 = 11 R

∈R

การบวกจำนวนจริง

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก

∈

ถ้า a,b และ c R แล้ว (a+b) +c = a +(b+c) เช่น (5+1) + 6 = 5 + (1+6)

สมบัติการมีเอกลักษณ์ ของการบวก

มีจำนวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกเมื่อ a R แล้ว a + 0 = 0 + a เช่น 0 + 3 = 3 + 0 =3

∈

การบวกจำนวนจริง

สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก

เมื่อ a เป็นจำนวนใดๆ จะมี-a เป็นอินเวอร์ส การบวกของ a โดย a + (-a) = (-a) + a = 0 เช่น 5+ (-5)= (-5) + 5 = 0 เรียก 5 และ -5 เป็น อิน เวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน

การคูณจำนวนจริง

สมบัติของระบบจำนวนจริงกับการคูณ

1.สมบัติปิดของการคูณ ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b 5 x 3 = 15 R 7 x 5 = 35 R

∈

∈

∈ R เช่น

สมบัติของระบบจำนวนจริงกับการคูณ

2.สมบัติการสลับที่ของการคูณ ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b = b 2x7=7x2 2x7x9=9x7x2

∈

∈

∈ a เช่น

การคูณจำนวนจริง

สมบัติการเปลื่ยนกลุ่มได้ของการคูณ

∈

ถ้า a,b และ c R แล้ว (ab) c = a (ab) เช่น (5 x 2 ) x 3 = 5 x (2 x 3)

สมบัติการมีเอกลัษณ์ของการคูณ ในระบบจำนวนจริงจะมี 1 เป็น เอกลักษณ์ของการคูณ เมื่อ a R ดังนั้น a x 1 = 1 x a = a เช่น 3x1=1x3=3

∈

การคูณจำนวนจริง

สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ

∈

เมื่อ a R โดยที่ a ≠ 0 จะมีจำนวนจริง a^(-1) เป็น อินเวอร์สการคูณของ a ดังนั้น a ∙ a^(-1) = a^(-1) ∙ a = 1 ซึ่ง a^(-1) = 1/a นั่นเอง อินเวอร์สการคูณของ 3 คือ 3 เพราะ 3 x 3^(-1) = 3 x 1/3 = 1/3 x 3 = 1

สมบัติการแจกแจง

∈

ถ้า a, b และ c R แล้ว a(b + c) = ab + ac 5(3 + 4) = (5 x 3) + (5 x 4)

การเท่ากันในระบบจำนวนจริง

สมบัติการสะท้อน

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว a = a

สมบัติการสมมาตร

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว ถ้า a = b แล้ว b = a

สมบบัติการถ่ายทอด

เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

การเท่ากันในระบบจำนวนจริง



สมบัติการบวกด้วยจำนวนเดียวกัน เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

สมบัติการคูณด้วยจำนวนเดียวกัน เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว ac = bc

การไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง

กำหนด A และ B เป็นจำนวนจริงใดๆ ดังนั้น a < b หมายถึง a - b เป็นจำนวนลบ หรือ a b b หมายถึง a - b เป็นจำนวนบวก หรือ a - b >0 ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ และเรียกสมบัตินี้ ว่า สมบัติไตรวิภาค แล้ว a = b, a < b หรือ a > b จะเป็นจริงอย่างใดอย่าง หนึ่งเท่านั้น

ทฤษฎีบวกเศษเหลือ

เมื่อมี P(x) ซึ่งเป็นพหุนาม a_x x^n+ a_(n-1) ∙ x^(n-1)+ a_(n-2)∙โดย ที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ a คือสัมประสิทธิ์ของ พหุนามและ a = 0 ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x - c ใดๆ จะเหลือเศษส่วนเท่ากัน

การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ

ให้ P(x) = x ³ เพราะว่าพจน์ของตัวคงที่ +2 จะมี ตัวประกอบ +1 +2 ทดลองแทนค่า x ด้วยตัวเหล่านี้ เพื่อหาเศษ ถ้าได้เศษเท่ากับ 0 แสดงการหารลงตัว

P(x) P(1) = = =

x (1) 1-2-1+2=0

การบวกจำนวนจริง

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก

∈

ถ้า a,b และ c R แล้ว(a+b) +c = a +(b+c) เช่น (5+1) + 6 = 5 + (1+6)

สมบัติการมีเอกลักษณ์ ของการบวก

มีจำนวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกเมื่อ a R แล้ว a + 0 = 0 + a เช่น 0 + 3 = 3 + 0 =3

∈

การบวกจำนวนจริง

สมบัติของระบบจำนวนจริงกับการคูณ

1.สมบัติปิดของการคูณ ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b 5 x 3 = 15 R

∈

∈

∈ R เช่น

สมบัติของระบบจำนวนจริงกับการคูณ

2.สมบัติการสลับที่ของการคูณ ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b = b 2x7=7x2

∈

∈

∈ a เช่น

ช่วงและการแก้อสมการ

ช่วงครึ่งเปิด [a, b) หมายถึง เซตของจำนวนทุก จำนวนที่น้อยกว่า b แต่มากกว่าหรือเท่ากับ a หรือ [a, b) = {x l a < x < b} ช่วง [a, ) หมายถึง เซตของจำนวนทุกจำนวนที่ มากกว่า หรือเท่ากับ a หรือ [a, ) = {x l x > a}

ช่วง (a, ) หมายถึง เซตของจำนวนทุกจำนวนที่ มากกว่า a หรือ (a, ) = {x l x > a}

ช่วงและการแก้อสมการ

ช่วง (-, a) หมายถึง เซตของจำนวนทุกจำนวนที่ น้อยกว่า หรือเท่ากับ a หรือ (-, a) = {x l x < a} ช่วง (-, a) หมายถึง เซตของจำนวนทุกจำนวนที่ น้อยกว่า a หรือ (-, a) = {x l x < a} ช่วง (-, ) หมายถึง เซตของจำนวนจริงทุกจำนวน

วีดีโอสอนเพิ่มเติม

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 2 ระบบตัวเลข ระบบตัวเลขแต่ละระบบ จะมีตัวเลขที่ใช้เหมือน กับชื่อของระบบตัวัเลขนั้น และมีฐาน ของเลขตาม ชื่อนั้นด้วย เช่น เลขฐานสอง จะประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ 0 กับ 1 จำนวนต่างๆ เกิดจากการนำเลขทั้งสองมา เรียงต่อกันหลายๆ หลักและเรียกแต่ละหลักว่า บิต

ระบบตัวเลข

เลขฐานสาม จะประกอบด้วยตัวเลข 3 ตัว คือ 0, 1 และ 2 และจำนวนต่างๆ เกิดจากการนำตัวเลขมา เรียงต่อกันเป็นจำนวนใหม่ เลขฐานเจ็ด จะประกอบด้วยตัวเลข 7 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 เลขฐานแปด จะประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, และ 7

ระบบตัวเลข

เลขฐานแปด จะประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, และ 7

เลขฐานสิบหก จะประกอบด้วยตัวเลข 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F โดยใช้

A แทน 10 B แทน 11 C แทน 12 D แทน 13 E แทน 14 และ F แทน 15

ระบบตัวเลข การแปลงฐานของระบบตัวเลข การแปลงเลขฐาน สิบให้เป็น เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบ หก ในกรณีที่เป็นจำนวนเต็มของเลขฐานสิบนั้นถ้า ต้องการแปลงเลขฐานใดๆ ให้นำตัวเลขฐานนั้นไป หารทีละครึ่ง และต้องระบุเศษเหลือด้วย หารไป เรื่อยๆ จนหารต่อไปไม่ได้และคำตอบจะเป็นเศษที่ เหลือในครั้งสุดท้ายที่เป็นค่ามากที่สุดจนถึงเศาที่ เหลือจากการหารครั้งแรกที่เป็นค่าน้อยที่สุดเรียงกัน เป็นแถว

การแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบ หกให้เป็นเลขฐานสิบ

การแปลงเลขฐาน

การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด การแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปดทำได้ โดยแบ่งเลขฐานสองออกเป็นชุดๆ ละ 3 บิต โดยนับ จากทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุดสุดท้ายมีไม่ครบ 3 บิต ให้เติม 0 ลงไป ถ้าเป็นทศนิยมให้แบ่งจากซ้ายไปขวา และการแปลงเลขฐานแปดได้เป็นเลขฐานสองก็ทำ เช่นเดียวกัน หรือจะแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐาน สิบก่อนแล้วแปลงให้เป็นเลขฐานแปดก็ได้

การแปลงเลขฐาน

การแปลงเลขระหว่างเลขฐานสองและเลขฐานสิบหก การแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก ทำเช่น เดียวกันกับการแปลงเลขฐานสองกับเลขฐานแปด แต่แบ่งครั้งละ 4 บิต การแปลงเลขระหว่างเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก ทำได้โดยแปลงให้เป็นเลขฐานสองก่อนแล้วจึงแปลง เป็นเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกตามที่ต้องการ

การแปลงเลขฐาน การบวกและลบเลขฐาน การบวกและลบเลขฐานสอง ในการบวกและลบเลขฐานสอง ดำเนินการเช่น เดียวกับการบวก และลบเลขฐานสิบ โดยที่ 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0 ทด 1 ( 1 + 1 = 2 ใส่ 0 แล้วทดไว้ 1 ไปยัง หลักต่อไป ) 1 + 1 + 1 = 1 ทด 1 ( 1 + 1 + 1 = 3 ใส่ 1 ทด 1 ดังนั้น 3 = 11 )

การแปลงเลขฐาน การบวกและลบเลขฐานแปด ทำเช่นเดียวกัน แต่ถ้าผลบวกเกิน 7 ให้หักออก เสีย 8 ซึ่งเป็นค่าฐานได้เท่าไรคือผลลัพธ์ แล้วทด 1 ใส่ ในตำแหน่งต่อไป การบวกและลบเลขฐานสิบหกทำเช่นเดียวกับการบวก ลบเลขฐานสอง และเลขฐานแปด การคูณและหารเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐาน สิบหก การคูณ ใช้วิธีเดียวกับการคูณเลขฐานสิบ คูณทีละตัว ถ้าผลลัพธ์เกินฐานให้ลบออก แล้วนำผลลัพธ์ของการ คูณมาบวกกัน

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 3 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ประพจน์ ประพจน์ คือ ข้อความที่เป็นประโยคบอกเล่าหรือ ประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือมีค่า ความจริงเป็นเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวเชื่อมประพจน์ โดยทั่วๆ ไป จะใช้ p, q, r, … แทนประพจน์ใดๆ และค่าความจริงที่เป็นจริง แทนด้วย T ส่วนค่าความ จริงที่เป็นเท็จ แทนด้วย F

ประพจน์ พิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ของประพจน์ p, q, r, … ดังนี้ 1. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ P เพียงประพจน์เดียว โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p คือประโยคอะไร ดังนั้น P อาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ 2. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 2 ประพจน์ คือ ประพจน์ p กับ q โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p และ q คือ ประโยคอะไร ดังนั้นค่าความจริงของ p และ q จะมี 4 กรณี

ประพจน์ 3. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 3 ประพจน์ คือ ประพจน์ p, q, r โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p, q, r คือ ประโยคอะไร ดังนั้น ค่าตวามจริงของ p, q, r จะมี 8 กรณี 4. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 4, 5, 6, … ประพจน์ค่าต วามจริงของประพจน์ทั้งหมดจะเป็น16, 32, 64, … กรณีตามลำดับ

ตัวเชื่อมประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์ที่ใช้เชื่อมประโยคต่างๆ ในวิชา ตรรกศาสตร์มีอยู่ 5 ตัว คือ 1. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” 2. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” 3. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า … แล้ว …” 4. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” 5. นิเสธของประพจน์ “ไม่”

ตัวเชื่อมประพจน์ การนำประพจน์ย่อยๆ หลายประพจน์มาเชื่อมกัน ด้วยตัวเชื่อมแล้ว ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันแล้วนี้ สามารถบอกได้ว่ามีค่าความเป็นจริงหรือเท็จ การหา ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเขื่อมจะมี 2 กรณี 1. การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมใน กรณีที่ทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อยการหาค่า ความจริงจะทำตามลำดับตัวเชื่อมคือ 2. การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม ในกรณีที่ไม่ทราบค่าความจริงที่แน่นอนของประพจน์ ย่อยในกรณีนี้จะต้องตรวจสอบค่าความจริงของ ประพจน์ย่อย ทุกกรณีที่เป็นไปได้โดยการสร้าง ตารางค่าความจริง

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบ ใดที่มีค่าความ จริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี เรียกรูปแบบทั้งสองว่า “สมมูลกัน” แทนด้วยสัญลักษณ์ รุปแบบของประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดที่มีค่าความ จริงตรงกันข้ามกันกรณีต่อกรณี เรียกรูปแบบทั้ง สองว่าเป็นนิเสธกัน สัจนิรันดร์ รูปแบบของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมรูปแบบใดที่มีค่า ความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกรูปแบบนั้นว่า "สัจนิ รันดร์"

ประโยคเปิด ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปร และไม่ใช่ประพจน์ แต่เมื่อแทนค่าตัวแปร แล้ว สามารถตอบได้ว่าจริงหรือเท็จ ซึ่งเป็นประพจน์ วลีบอกปริมาณ วลีบอกปริมาณ คือ วลีที่ทำให้ทราบถึงปริมาณของ สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งจะใช้แทนตัวแปรใน ประโยคเปิด เพื่อทำให้ประโยคเปิดนั้นมีค่าความจริง เป็นจริง หรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง วลีบอกปริมาณ มี 2 ชนิด 1. วลีบอกปริมาณทั้งหมด 2. วลีบอกปริมาณบางอย่าง

ค่าความจริงของประโยคที่มีวลีบ่งปริมาณ

ประโยคที่มีวลีบ่งปริมาณ สามารถบอกได้ว่ามีค่า ความจริงเป็นจริงหรือเท็จโดยสัมพันธ์กับเอกภพ สัมพัทธ์ที่กำหนดให้ 1. ประโยค x[P(x)] จะมีค่าความเป็นจริง ก็ต่อ เมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกทุกตัว 2. ประโยคจะมีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทน ตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกทุกตัว 3. ประโยค x[P(x)] จะมีค่าความเป็นจริง ก็ต่อ เมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกบางตัว 4. ประโยค x[P(x)] จะมีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อ เมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกบางตัว

∀

∃ ∃

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างเมื่อมีข้อความ P₁, P₂, P₃, ...ชุดหนึ่งแล้วสามารถสรุปได้ข้อความ C ซึ่ง เป็นผล และข้อความ C นี้จะสมเหตุสมผลหรือไม่สม เหตุสมผลก็ได้ การตรวจหาวาสเหตุและผลที่กำหนดมาให้จะสม เหตุสมผลหรือไม่มีวิธีการตรวจสอบได้หลายวิธี ในที่ นี้จะศึกษาเฉพาะการตรวจสอบที่เป็นสัจนิรันดร์

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 4 พีชคณิตบูลีน พีชคณิตบูลีนเป็นคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ วิชาตรรกศาสตร์ โดยที่มีตัวแปรเพียง 2 ค่าคือ 0 และ 1 ตามสถานะของสวิตช์ที่มีเปิดและปิด โดย ข้อความที่เป็นข้อมูลที่ส่งเข้าและส่งออก จะมีสถานะ เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น



รูปแบบของพีชคณิตบูลีน พีชคณิตบูลีนมีหลายรูปแบบเพื่อศึกษาได้เข้าใจ ยิ่งขึ้น และสามารถที่จะเลือกใช้ตามความเหมาะสม รูปแบบของพีชคณิตบูลีน ได้แก่ 1. รูปแบบสมการ เช่น C=A⋅B C=A+B 2. รูปแบบที่เป็นกล่องดำ เช่น ให้ A แทน จำนวนกล่องสีดำ และ B แทน จำนวนกล่องสีขาว

3. รูปแบบที่เป็นแผนภาพเวนน์

4. รูปแบบประตู

5. รูปแบบวงจร

6. รูปแบบตาราง

ตัวเชื่อมของพีชคณิตบูลีน

ตัวเชื่อมข้อความของพีชคณิตบูลีน ประกอบด้วย AND, OR, NOT, NOT AND (NAND) และ NOT OR (NOR) และความหมายของตัวเชื่อมเหล่านี้ อธิบายตามรูปแบบต่างๆ ดังนี้

วงจรลอจิก วงจรลอจิกเป็นวงจรไฟฟ้า หรือวงจรตรรกะ ที่มี ตัวส่งเข้า ตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป และมีตัวส่งออกเพียง 1 ตัว โดยการนำประตูต่างๆ มาต่อเชื่อมกันเป็นวงจร

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 5 เมตริกซ์ เมตริกซ์ หมายถึง การนำจำนวนจริงมาจัดเรียง กันเป็นแถวแต่ละแถวจะมีจำนวนต่างๆ กันที่เท่ากัน โดยมีวงเล็บเล็ก ( ) หรือวงเล็บใหญ่ [ ] ปิดล้อม จำนวนเหล่านั้นไว้ แต่ละจำนวนที่ประกอบขึ้นเป็นเมตริกซ์ เรียกว่า สมาชิก ของเมตริกซ์นั้น สมาชิกของเมตริกซ์ที่เรียงกันเป็นแนวนอน เรียก ว่า สมาชิกที่อยู่บนแถว ของเมตริกซ์ สมาชิกของเมตริกซ์ที่เรียงกันเป็นแนวดิ่งหรือ แนวตั้ง เรียกว่า สมาชิกที่อยู่ในหลักของเมตริกซ์

สัญลักษณ์ของเมตริกซ์ โดยทั่วๆ ไปจะใช้ A, B, C, D, … แทนชื่อของ เมตริกซ์ ส่วนสมาชิกของเมตริกซ์ นิยมใช้ตัวอักษร ภาษาอังกฤษตัวเล็ก ซึ่งเป็นตัวอักษรตัวเดียวกับชื่อ ของเมตริกซ์ เช่น a, b, c, d, …

มิติของเมตริกซ์ เมตริกซ์ A ใดๆ ที่มีจำนวนแถวเท่ากับ m แถว และจำนวนหลักเท่ากับ n หลัก เราเรียกว่า m x n เมตริกซ์ และเรียก m x n ว่ามิติของเมตริกซ์ นั่นคือ A = [aᵢⱼ] เมื่อ

i = 1, 2, 3, ..., m j = 1, 2, 3, ..., n

ทรานสโพสของเมตริกซ์ กำหนดให้ A คือ เมตริกซ์ที่มีมิติ m x n แล้ว ทรานสโพสของเมตริกซ์ A คือ เมตริกซ์ที่ได้จากการ สลับแถวมาเป็นหลักและสลับหลักเป็นแถว และมีมิติ n x m เมตริกซ์ แทนทรานสโพสของเมตริกซ์ A ด้วย A

ชนิดของเมตริกซ์

1. เมตริกซ์ศูนย์ คือ เมตริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น ศูนย์จะมีมิติเป็นเท่าไหร่ก็ได้ แทนด้วย 0 _ 2. เมตริกซ์จัตุรัส คือ เมตริกซ์ที่มีจำนวนแถว เท่ากับจำนวนหลัก และมีมิติเท่ากับ m x n 3. เมตริกซ์แบบแถว คือ เมตริกซ์ที่มีสมาชิกเพียง แถวเดียวและมีมิติ 1 x n 4. เมตริกซ์แบบหลัก คือ เมตริกซ์ที่มีสมาชิกเพียง หลักเดียวและมีมิติ m x 1 5. เมตริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมตริกซ์จัตุรัสที่มี สมาชิกในตำแหน่งเส้นทแยงมุมหลักเป็น 1 ทุกตัว นอกนั้นเป็น 0 หรือ A

การดำเนินการบนเมตริกซ์

การดำเนินการบนเมตริกซ์ หมายถึง การสร้างเมตริกซ์ขึ้นมาใหม่ โดยการ บวก ลบ เมตริ กซ์ การคูณ เมตริกซ์ด้วยจำนวนจริง การคูณเมตริ กซ์ด้วยเมตริกซ์

การดำเนินการบนเมตริกซ์ 1. การเท่ากันของเมตริกซ์ เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ ใดๆ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เมตริกซ์ทั้งสองมีมิติเดียวกัน และสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกตัว แทน สัญลักษณ์เมตริกซ์ A เท่ากับ เมตริกซ์ B ด้วย A = B 2. การบวกและการลบเมตริกซ์ เมตริกซ์ A และ เมตริกซ์ B จะบอกและลบกันได้จะต้องมีมิติเดียวกัน และนำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกัน บวกหรือลบกัน แทนด้วย A + B และ A - B 3. การคูณเมตริกซ์ด้วยจำนวนจริง เมื่อ A = [aᵢⱼ]ₘ ₓ ₙ และ c คือค่าคงที่ใดๆ ดังนั้น cA = [caᵢⱼ]ₘ ₓ ₙ

สมบัติการบวกของเมตริกซ์

1. สมบัติปิด เมื่อ A และ B เป็นเมตริกซ์ ใดๆ ที่มีมิติ m x n แล้ว A + B เป็นเมตริกซ์ที่มิติ m x n 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก เมื่อ A และ B เป็นเมตริกซ์ใดๆ ที่มีมิติ m x n แล้ว A +B=B+A 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ เมื่อ A, B และ C เป็นเมตริกซ์ใดๆ ที่มีมิติ m x n แล้ว ( A + B ) + C = A ( B + C )

สมบัติการบวกของเมตริกซ์ 4. มีเอกลักษณ์การบวก มี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกของเมตริกซ์ A 0+A=A+0=A 5. มีอินเวอร์สการบวก เมื่อ A เป็นเมตริกซ์ใดๆ ที่มีมิติ m x n แล้ว A เป็นอินเวอร์สการบวกของเมตริกซ์ A

-

การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์

กำหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ m x n และ B เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ n x r แล้ว สามารถหาผลคูณ ระหว่างเมตริกซ์ A กับเมตริกซ์ B ได้ เขียนแทนด้วย A x B หรือ AB ซึ่งเป็นเมตริกซ์ที่ มีสมาชิกได้จากการนำสมาชิกแถวที่ I ของเมตริกซ์ A คูณกับสมาชิกหลักที่ j ของเมตริกซ์ B เป็นคู่ๆ แล้วนำผลคูณมาบวกกัน และ A x B จะมีมิติ M x R

สมบัติเกี่ยวกับการคูณเมตริกซ์

1. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม A, B และ C คือ เมตริกซ์ใดๆ ที่สามารถคูณกันได้ ดังนั้น (AB)C = A(BC) 2. สมบัติการแจกแจง A, B และ C คือ เมตริกซ์ใดๆ ที่สามารถคูณกันได้ ดังนั้น A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA

ดีเทอร์มินันท์

กำหนดให้ A คือ เมตริกซ์จัตุรัสใดๆ ดีเทอร์มินันท์ คือ จำนวนจริงที่ได้จากเมตริกซ์ A และแทนดีเทอร์มิ นันท์ของ A ด้วย set หรือ lAl การหาดีเทอร์มินันท์ 1. เมื่อ A = [C] เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ 1 x 1 แล้ว set (A) = C

อินเวอร์สการคูณ A และ B คือ เมตริกซ์จัตุรัสใดๆ ถ้าเมตริกซ์ A คูณกับเมตริกซ์ B แล้วได้ เมตริกซ์เอกลักษณ์การ คูณ เรียก เมตริกซ์ A และ B ว่าเป็นอินเวอร์สการ คูณซึ่งกันและกันนิยมแทน อินเวอร์สการคูณของเม ตริกซ์ A ด้วย A นั่นคือ A ∙ A⁻¹ = A⁻¹ ∙ A = Iₙ

ตัวอย่าง

แบบทดสอบหลังเรียน