r

ÍNDICE

CAPÍTUI,O

-~

1.

SISTEMAS

DE NÚMEROS

ANALÍTICO

REAI,ES

y

COMPI,EJOS

1-2 Introducción. Propiedades aritméticas de los números reales .. 1-3 Propiedades de ordenación de los números reales... . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4 Representación geométrica de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5 Representación decimal de los números reales ............... 1-6 Números racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-7 Algunos números irracionales .......................... 1-8 Algunas desigualdades fundamentales. . .. ... ....... ........ ....... . 1-9 Extremos superior e inferior ............................... 1-10 Números complejos............................................... 1-11 Representación geométrica de los números complejos.. . . . . . . . . . . . . . . 1-12 La unidad imaginaria ..................................... 1-13 Valor absoluto de un número complejo. . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . 1-14 Imposibilidad de una ordenación de los números complejos. . . . . . . . . . 1-15 Exponenciales complejas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-16 Argumento de un número complejo ........................... 1-17 Potencias enteras y raices de números complejos . . . . .. . . . . . . . . 1-18 Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-19 Potencias complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-20 Senos y cosenos complejos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPÍTUI,O

2.

NOCIONES

FUNDAMENTAI,ES

DE I,A TEORÍA

DE CONJUNTOS

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10

Primeras ideas de la teoria de conjuntos ....................... Notaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pares ordenados ........................................... Producto cartesiano de dos conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones y funciones en el plano .......................... Definición general de relación.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición general de Ílmción ................................ Funciones « uno a uno » e inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones compuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sucesiones....................................................... 2-11 Elnúmero de elementos en un conjunto........................... 2-12 Álgebra de conjuntos .........................................

CAPÍTUI,O

,r"

.,

..,..,

3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10

3.

EI,EMENTOS

DE I,A TEORÍA

DE

CONJUNTOS

DE PUNTOS

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ Intervalos y conjuntos abiertos en El""" Estructura de los conjuntos abiertos en El" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntos de acumulación y teorema de Bolzano-Weierstrass en El' . . . . . .................................... Conjunto cerrado en El""'"dimensiones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalizaciones a varias El teorema de recubrimiento de Reine-Borel. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El infinito en el campo de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El infinito en el plano complejo ...............................

3 3 4 4 4 5 6 7 9 10 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 25 25 25 26 26 27 28 29 30 31 32 32 34 41 41 41 43 44 45 46 53 56 58 58

JNDICE

530 CAPÍTULO

Los

4.

CONCEPTOS

DE LÍMITE

ANALlTICO

Definición de límite .......................... . 4-1 Algunos teoremas fundamentales sobre límites. . . . . . . . . . 4-2 ,.,........ 4-3 ~a condición de Cauchy.. , . . . . . . . . ., . . . . . . ., ., . . . . . . . . . . . . ,..... .... .... ...... . . . . . . . . . . . . ........... Algebra de límites, 4-4 , , Continuidad. . . . . , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . ., ., ., . . . . . 4-5 ..... . . . . . . ... Ejemplos de funciones continuas ......... 4-6 Funciones continuas en conjuntos abiertos o cerrados ,... . . . . . . . . 4-7 Funciones continuas en conjuntos compactos........................ 4-8 ,.,. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . ,. . . . . . . Aplicaciones topológicas... 4-9 , de las funciones reales continuas, . . . . . . . ., ., . . . . . . . . 4-10 Propiedades . . . . . . . .. Continuidad uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11 , , de funciones reales. . . . . . . . . . . . . . . . ., ., . ., ., . . . . . ., . . 4-12 Discontinuidades . ..... .. monótonas ............................ 4-13 Funciones , , ", . . . . . 4-14 Condiciones necesarias y suficientes para la continuidad

:: ::::::::::

CAPÍTULO

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

5.

DE UNA VARIABLE

REAL

:::::: ::::::: ::::::::::::::::::::::::: ,..,....,,,...,...................,,.......

~:~

~;~fJ~~ió%~

5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11

Álgebra de derivadas. . ,,.,,........... , , , , La regla de la cadena... ..... .... ....... . .... ,., ,. Derivadas laterales y derivadas infinitas" , , . . . . . . . . , , . . ,. . . . . . . . . . . . Funciones con derivada no nula. , ,. ,. . . . . . . ........................,....... Funciones con derivada, ,nula,.. ,...,.....,......,.........,........,.... . . Teorema de Rolle... ,......... El Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial" , ,, Teorema del valor intermedio para las derivadas . . ., ., . . . . ., . . , , ...... .. Fórmula de Taylor con resto . . . . . '. . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-12 6-13 CAPÍTULO

7-1 7-2 7-3 7-4 7-3 7-6 7-7 7-8

6.

'd~;i~~'ci~,','.'.::

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

~~tr~~;:~~~~l'di;e~~i~~~i.'.

"

"

DE v ARIAS VARIABLES

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :, :, :, : : :

,,,..,........ ... Diferenciales de funciones de una variable real.. ,,... , . . . . . . . . . , . . Diferenciales de las funciones de varias variables.. , , ,..,. , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... El vedor gradiente.. ,.... . Diferenciales de las funciones compuestas y regla de la cadena, , , Regla invariante de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . El Teorema del Valor Medio para funciones de varias variables. . ... Una condición suficiente para la existencia de la diferencial.." , ., .. ,, , , Derivadas parciales de orden superior , . . . . . . . . . . . . . . ., . . . Fórmula de Taylor para funciones de varias variables . . . . , . . ., . . . Diferenciación de funciones de una variable compleja ,.. . . . . . . , , ,, .,......,,. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann,." ..... ........ 7.

API,ICACIONES

DE I,A DIFERENCIACIÓN

, , Introducción. ..,. , . . , , . . . . . . . . . . . . , , . . . . ]acobianos . , , . . . , . . . . . . Funciones con ]acobiano no nulo..",. , Teorema de la función inversa. . . . . . Teorema de la función implícita , , , Problemas de extremos... . . . . . . . . . Condiciones suficientes para un extremo Problemas de extremos condicionados..,

PARCIAL

, . . . . . . . ,. . , . . . .. . . ,. , . , . . . . . . . . . . . . . . . . .. , , . . . . . . . . . . . . . .. . . . , . . . . . . . . ,. . . . . . . . . . . . . , , , . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . . . . , . . . . . . . . ,. , . , , . . . . . . . . . . ,.,,., . . . . . . . . . . . . . . . . local, , , , , . ,, . . . . . . . . . . , , . . . . . . . .

, . . . . . , , . . . . . . , . . . . . . . . , . . ,

CAPÍTULO

62

Y CONTINUIDAD

. . ,

62 65 66 68 68 70 70 72 73 73 75 77 79 80

8.

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 8-11 8-12 8-13

Introducción..; Propied?>des Funciones de Variación Funciones , ,, Curvas. . . . Equivalencia Caminos" Curvas rectifi Propiedades de. j Conexión.,.., Componentes Regiones..,. ,,'

8-14

Teorema de la

87 87 87 89 89 90 91 92 93 94 95 96

....

103 103 104 105 107 110 111 114 116 117 119 122 123 125

9-13 9-14 9-15 9-16 9-17 9-18 9-19 9-20 9-21 9-22 9-23

135 135 136 138 141 143 145 146 148

9-1 9-2 9-3 9-4 9-1> 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-11 9-12

9-24 9-25

,;, ,.

9-26 9c27 9-28 9-29 9-30

Introducción."

,

Notaciones.,." . Definición de la. Propiedades lin Integración por Cambio de varia Reducción a una Funciones escal Integradores cr Condición deRi Integradores de Condiciones sufici Stieltjes. . . . ,'. . Condiciones n Stieltjes.. , . ,'. Teoremas del Val La integral como Cambio de varia Segundo Teorema Integrales de Ri Diferenciación bajoj Inversión del orden,: Oscilación de una fI Contenido ]ordan di Una condición neces ción del contenie Medida exterior de

Una condición neces

ción de la medie Integrales compleja! Integrales de cont01 El número de giros Orientación de las 4 Otros teoremas rela

IN DICE CAPÍTUI,O

8.

FUNCIONES

DE VARIACIÓN y

CAPÍTUI,O

9-13

CONJUNTOS

ACOTADA,

531 CURVAS

RECTIFICABI,ES

CONExoS

157

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las funciones monótonas . . .. . . . . . . . . . . . . . Funciones de variación acotada . . . . . . . . . . . . ." . . . . . ." . . . . . . . . . Variación total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones continuas de variación acotada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencia de funciones vectoriales continuas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caminos dirigidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas rectificables ........................................... Propiedades de la longitud de un arco ......................... Conexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Componentes de un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de la curva de Jordan y resultados con él relacionados... ..

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 8-ll 8-12 8-13 8-14

9-1 9-2 9-3 9-4 9-b 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-ll 9-12

ANALITICO

9.

TEORÍA

DE I,A INTEGRACIÓN

DE RIEMANN-STIEI,TJES

Introducción. ...... .... ..... .... ... ....... ...... Notaciones. ........ ... .... ..... .. .. ...... ...... . Definición de la integral de Riemann-Stieltjes Propiedades lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....... ....... ...... .......

157 157 158 160 163 164 165 168 169 171 172 176 177 178

185

.......... .......... .......... .......... .... ..... .... ....... ....... ....... . . . . . . . .

.

Integración por partes. Cambio de variable en una integral de Riemann-Stieltjes.. .......... Reducción a una integral de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones escalonadas como integradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integradores crecientes con monotonía. Integrales superior e inferior.. Condición de Riemann. ........................................... Integradores de variación acotada................................. Condiciones suficientes para la existencia de las integrales de RiemannStieltjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de RiemannStieltjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoremas del Valor Medio para las integrales de Riemann-Stieltjes. .. La integral como función del intervalo... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio de variable en una integral de Riemann ................ Segundo Teorema del Valor Medio para integrales de Riemann. . . . . . . Integrales de Riemann-Stieltjes dependientes de un parámetro . Diferenciación bajo el signo integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inversión del orden de derivación .......................... Oscilación de una función ....................................

9-14 9-15 9-16 9-17 9-18 9-19 9-20 9-21 9-22 Contenido Jordan de conjuntos acotados en El" . . . .expresada . .. . . . . . ...en fun.... 9-23 Una condición necesaria y suficiente de integrabilidad ción del contenido ....................................... 9-24 Medida exterior de Lebesgue de subconjuntos de ............... 9-25 Una condición necesaria y suficiente de integrabilidadEl' expresada en función de la medida ......................................... ....................... 9-26 Integrales complejas de Riemann-Stieltjes... 9c27 Integrales de contorno ........................................ 9-28 El número de giros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-29 Orientación de las curvas rectificables de Jordan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-30 Otros teoremas relativos a la medida exterior de Lebesgue. . . . . . . . . .

185 186 186 187 189 190 191 192 196 199 200 204 205 205 207 208 209 210 212 213 215 217 219 220 222 223 224 229 232 234

-

ll"¡DICE

532 CAPÍTULO

INTEGRALES

10.

MÚLTIPLES

ANALlTICO E INTEGRALES

10-1 10-2 10-3

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La medida (o contenido) de conjuntos elementales en En.' . . . . . . . . . Integración de Riemann de funciones acotadas definidas e.n intervalos

10-4 10-5

ContenidoEn""""""""""""""""""""""""""'" de J ordan de conjuntos Condiciones necesarias y suficientes

10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-ll 10-12 10-13 10-14

Cálculo de una integral múltiple por integración reiterada. ......... Integración múltiple sobre conjuntos más generales... ........ ...... Teorema del Valor Medio en las integrales múltiples. .............. Cambio de variable en una integral múltiple ............... Integrales de línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales de línea con respecto a la longitud de arco ........ La integral de línea de un gradiente... ....... ...... ........ . .... Teorema de Green para rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ". . . . . . Teorema de Green para regiones limitadas por curvas rectificables de

10-16

Independencia

de

múltiples.

ll-l ll-2 ll-3 11-4 ll-5 ll-6 ll-7 ll-8 11-9 ll-10 ll-l1 ll-12 ll-13 ll-14 ll-15 ll-16 11-17 11-18 ll-19 11-20 11-21 11-22 11-23 11-24 CAPÍTULO

12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8

11.

en En' . . . . . . . . . . . . . . . .

para la existencia

de las integrales

...................................I .................

J ordan

CAPÍTULO

acotados

.....................................................

del camino

ANÁLISIS

..................................

SERIES

y PRODUCTOS

242 242 243 246 249 251 257 260 261 266 270 270 273 275 282

INFINITOS

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sucesiones convergentes y divergentes ........................ Límite superior y límite inferior de una sucesión real. . . . . . . . . . . . . . Sucesiones monótonas de números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción y supresión de paréntesis... ......................... Series alternadas... ............................................. Convergencia absoluta y condicional.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292 292 294 295 296 297 301 302 302 303 306 306 307 309 311 312 315 316 317 319 320 323 325 327

,

,"'"

13-1 13-2 13-3 13-4 ~13-5 13-6 13-7 13-8 13-9 13-10 13-ll 13-12 13-13 13-14 13-15 13-16 13-17 13-18 ] 3-19 13-20 13-21 13-22

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-8 14-9

,.""

15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8

INTEGRALE

Introducción.... Integrales infinit Criterios de con' Series e integral< Integrales impro Convergencia un Propiedades de : Integrales impro Integración de s

CAPÍTULO 15. . /-

SUCESIONEI

Introducción.... Ejemplos de suc, Definici?m de cp1 Una aplicación Convergencia un: La condición de Convergencia un Curva que lleu.a Aplicación a las Convergencia un Convergencia un Condiciones sufi< Convergencia ac( Convergencia en Series de potenc Multiplicación dI El teorema de s Series reales de Teorema de Ber: La serie bínómi< Teorema de Ab€ Teorema de Tau

CAPÍTULO 14.

337 337 337 337 339 339 340 342 342

Parte real y par Criterios de con~ Criterios del coci Criterios de Dirit Reordenación de Sucesiones doble Series dobles.... Multiplicaciónd~ Sumabilidad de Productos infinit '

CAPÍTULO 13.

292

VECTORIAI,

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independencia lineal y bases en En... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación geométrica de vectores en E3" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación geométrica del producto interior en E3' . . . . . . . . . . . . El producto exterior de vectores en E3' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto escalar triple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivadas de las funciones vectoriales ....................... Geometría diferencial elemental de curvas alabeadas .......... Vector tangente de una curva.................................... Valores normales, curvatura, torsión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos vectoriales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El campo gradiente en En. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El rotacional de un campo vectorial en E3" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La divergencia de un campo vectorial en En' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El operador laplaciana .................................... Superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J).epresentación explícita de una superficie paramétrica. . . . . . . . . . . . . Area de una superficie paramétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de superficies paramétricas.. ............................... Integrales de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientación de superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Gauss (teorema de la divergencia) ............... Transformaciones de coordenadas................................. 12.

12-9 12-10 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 12-16 12-17 12-18

242

DE LÍNEA

SERIES DE

Introducción. ... Sistemas de fun< Serie de, Fourier Aproximación n Series trigonomé Lema de Riema Funciones absob Integrales de Di

ANALiTICO

iNDICE 12-9 12-10 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 12-16 12-17 12-18 CAPÍTULO

Parte real y parte imaginaria de una serie compleja. . . . . . . . . . . . . . . Criterios de convergencia para series de términos positivos ..... Criterios del cociente y de la raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criterios de Dirichlet y Abe!.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reordenación de series .................................... Sucesiones dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series dobles . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplicación de series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sumabilidad de Cesaro .................................... Productos infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.

SUCESIONES

DE FUNCIONES

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-8 14-9 CAPÍTULO

~tI

~ I

I I

15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8

14.

INTEGRALES

IMPROPIAS

DE RIEMANN-STIELTJES

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales infinitas de Riemann-Stieltjes ....................... Criterios de convergencia de integrales infinitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series e integrales infinitas ................................... Integrales impropias de segunda especie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergencia uniforme de integrales impropias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las funciones definidas mediante integrales impropias.

Integrales impropias reiteradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración de series cuando se consideran integrales impropias. . . . . 15.

SERIES

DE FOURlER

E INTEGRALES

343 344 347 348 350 354 355 359 361 363 372

13-1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-2 Ejemplos de sucesiones de funciones reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-3 Definición de cpnvergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una aplicación a las sucesiones dobles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-4 13-5 Convergencia unif9rme y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-6 La condición de Cauchy para la convergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . 13-7 Convergencia uniforme de series... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-8 Curva que lleRa un espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a las series de series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-9 13-10 Convergencia uniforme e integración de Riemann-Stieltjes ..... 13-11 Convergencia uniforme y derivación ......................... 13-12 Condiciones suficientes para la convergencia uniforme de una serie. . 13-13 Convergencia acotada. Teorema de Arzela.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-14 Convergencia en media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-15 Series de potencias.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-16 Multiplicación de series de potencias... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-17 El teorema de sustitución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-18 Series reales de potencias.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J 3-19 Teorema de Bemstein .................................. 13-20 La serie binómica ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-21 . Teorema de Abe! ..... .... ...... ...... ........ ........ ....... 13-22 Teorema de Tauber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPÍTULO

533

DE FOURIER

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de funciones ortogonales .......................... Serie de. Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal. . . . Aproximación media cuadrática ............................ Series trigonométricas de Fourier.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lema de Riemann-Lebesgue.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones absolutamente integrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales de Dirichlet ....................................

372 373 374 376 376 377 377 378 380 381 383 385 386 388 390 394 395 397 399 401 402 404 409 409 409 411 414 415 417 420 426 430 438 438 438 442 442 445 447 448 450

ÍNDICE

534 15-9. 15-10 15-11 15-12 15-13 15-14 15-15 15-16 15-17 15-1S 15-19 15-20 15-21 CAPÍTULO

ANALÍTICO

Representación de las sumas parciales de una serie de Fourier por medio 453 de integrales. ...... .. ...... .... ..... ....... ................ .. 454 Teorema de localización de Riemann.. ........ .................... 455 Condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier. . ;.. 456 Sumabilidad Cesaro de las series de Fourier 458 Consecuencias del teorema de Fejér .......................... 459 Otras formas de series de Fourier. ............................... 460 Teorema de la integral de Fourier.. .............................. Forma expotrencial del teorema de la integral de Fourier. . . . . . . . . . . .. 463 Tránsformadas integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 467 Convolutiohes ............................................. 470 Teoremá :de convolución para transformadas de Fourier. . . . . .. 471 Transformada de Laplace.. ...................................... 476 Fórmula de inversión para transformadas de T,aplace. . . . . . . . . . . . . . . 16.

TEOREMA

DE CAUCHY

y CÁLCUI.O

DE RESIDUOS

485 486 487 488 489 490 491 492 494 495 495 498 500 501

~. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

519

íNDICE

ALFABÉTICO

. . . . . . . . . ...

...................................

;

485

Funciones analiticas. ........................................... 16-1 Teorema de la integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2 Deformación del contorno ................................... 16-3 Fórmula de la integral de Cauchy... ............................. 16-4 Valor medio de una función analitica de un círculo ............ 16-5 Fórmula integral de Cauchy para la derivada de una función analitica 16c6 Existencia de .lqs derivadas superiores de una función analítica. .... 16-7 en series de potencias para funciones analiticas . 16-8 . Desarrollos Ceros de las fum;:iones analiticas ............................. 16-9 Teorema de identidad para funciones analiticas .......... 16-10 Desarrollo de Laurent para funciones analiticas en un anillo .... 16-11 Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-12 Residuo de lma función en un punto singular aislado. . . . . . . . . . . . . . 16-13 Teorema del residuo (Cauchy).................................... 16-14 Diferencia entre el número de ceros y el número de polos en el interior de 16-15 un contorno cerrado .................................... 16-16 Cálculo de integrales reales mediante los residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-17 Aplicación del teorema del residuo a la fónnula de inversión para transformadas de Laplace. ........................................ 16-18 Funciones analiticas uno a uno .... . . . .,..., .:. ... 16-19 Aplicaciones conformes '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . íNDICE DE SÍMBOLOS ESPECIAI,ES. r : . . . . .

..

502 503 505 507 509

523

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