Introducción a la Física Universitaria

2 2.1

Cinemática de la partícula

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA INTRODUCCIÓN Una de las ramas más antiguas de la Física es la Mecánica, a la cual concierne el estudio del movimiento y las causas que lo producen. En un campo más restringido, la Cinemática es una rama de la Mecánica que se centra en la descripción del movimiento sin prestar atención a las causas que lo producen.

Entendemos por movimiento de un cuerpo al cambio de posición en el espacio que este realiza en el tiempo. Por ejemplo, cuando una manzana cae de un árbol, podemos registrar su movimiento anotando en una tabla los diferentes tiempos y posiciones en las que se encuentra en su trayecto hacia el suelo. Notemos también que el estado de movimiento de un cuerpo es relativo y depende del observador que realiza las mediciones. Por ejemplo, los edificios de una ciudad están en reposo para una persona fija en tierra, pero no lo están para una persona que observa desde la ventana de un avión en vuelo. Dado que un cuerpo cualquiera puede tener movimientos muy complicados debido a su extensión, es conveniente iniciar el estudio del movimiento introduciendo el concepto abstracto de partícula, que es la representación de un cuerpo por medio de un punto geométrico. Por ejemplo, si nuestro objetivo es analizar el movimiento de un automóvil, podemos escoger un punto sobre este y dibujarle una pequeña marca. Luego la descripción del movimiento del automóvil se reduce a la descripción del movimiento de esta pequeña marca.

2.2 SISTEMA DE REFERENCIA Un sistema de referencia (SR) es un conjunto de convenciones que usa un observador para realizar sus mediciones. El primer elemento es el punto de referencia, que es el punto en el que se encuentra ubicado el observador. Luego tenemos los ejes de coordenadas, que tienen como origen el punto de referencia, y que en general consisten de tres ejes mutuamente perpendiculares. Finalmente tenemos el origen temporal, que es el instante a partir del cual se mide el tiempo. Este se suele escoger de modo que coincida con el inicio del movimiento del cuerpo en estudio.

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Por ejemplo, si queremos estudiar el movimiento de una pelota en un tiro de penal, podemos usar el siguiente SR: escogemos como punto de referencia el punto de tiro de penal, luego un sistema de ejes perpendiculares como se muestra en la figura, y medimos el tiempo desde el preciso instante en que el jugador patea la pelota. Desde luego, este no es el único SR posible, por ejemplo podríamos escoger como punto de referencia el lugar donde se encuentra inicialmente parado el portero o quizás el lugar donde se encuentra parado el árbitro, o podríamos tomar un par de ejes rotados, con respecto al que se muestra, etc. y

x 2.3 P OSICIÓN , D ESPLAZAMIENTO Y D ISTANCIA Empezamos nuestro estudio del movimiento considerando el caso de una partícula que esta restringida a moverse en línea recta. En este caso, para especificar la posición de la partícula es necesario considerar sólo un eje de coordenadas. A cada punto de este eje, se le asigna un número cuyo módulo indica la distancia a la que se encuentra del punto de referencia (PR) y cuyo signo indica de qué lado se encuentra con respecto a él. Se suele escoger el signo positivo para los puntos que están a la derecha del PR y negativo para los que están a la izquierda del PR. A este número, asociado a cada punto del eje, se le denomina coordenada del punto. Por ejemplo, supongamos que un auto, moviéndose sobre una carretera recta, hace tres paradas, primero en “A”, a 3km antes de llegar a un grifo, luego en “B”, a 2km antes de llegar al grifo y finalmente en “C”, a 1km después de pasar el grifo. Tomando como PR el grifo, y como eje de coordenadas el mostrado en la figura, las coordenadas de los puntos de parada son: x A = 3km, x B = 2km, xC = −1km

C -1

GRIFO

0

1

2

B

A

2

3

X(km)

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Para estudiar el movimiento de una partícula necesitamos describir su cambio de posición en el tiempo. Para esto, introducimos el concepto de desplazamiento. Cuando una partícula se mueve de un punto P1 de coordenadas x1 a otro P2 de coordenadas x2, definimos el desplazamiento de la partícula como la diferencia de coordenadas entre estos dos puntos, esto es: Δx = x 2 − x1 . El símbolo Δ es la letra griega delta, y se lee como “cambio de”. Así Δx representa el cambio de posición. No se debe interpretar este notación como el producto de Δ y x. Gráficamente, se puede representar el desplazamiento de la partícula por un vector que va del punto P1 al punto P2. Nótese que el desplazamiento puede ser positivo o negativo. Tomando un eje, cuyo lado positivo este a la derecha, se tiene que, un desplazamiento positivo corresponde a un vector que apunta a la derecha, y un desplazamiento negativo corresponde a un vector que apunta hacia la izquierda. Este hecho se ilustra en los siguientes gráficos:

Finalmente, un último concepto relacionado con el cambio de posición es el de distancia. La distancia recorrida por una partícula es simplemente la longitud total del camino seguido por esta. Si el móvil se mueve sobre una línea recta, se puede calcular la distancia recorrida, sumando el valor absoluto de los desplazamientos correspondientes a los tramos en que la partícula no cambia el sentido de su movimiento. Por ejemplo, supongamos que caminamos del punto A, con coordenada –2m, al punto B, con coordenada 3m, y que luego regresamos al punto A. En este caso la distancia recorrida será:

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d = x B − x A + x A − x B = 3m − (−2m) + (−2m) − 3m = 10m

Desde luego, el desplazamiento total al realizar este camino es cero debido a que la coordenada del punto inicial y final es la misma. Notemos que la distancia, a diferencia del desplazamiento, es una cantidad mayor o igual que cero, donde cero significa que la partícula no se ha movido. 2.4 V ELOCIDAD M EDIA Definimos ahora el importante concepto de velocidad media. Supongamos que una partícula se mueve sobre una línea recta, y que en un instante t 1 se encuentra en el punto x 1 , y que en un instante posterior t 2 , se encuentra en el punto x 2 , ambos medidos respecto a algún SR, luego se define la velocidad media de la partícula en este intervalo, como el cociente del desplazamiento entre estos dos puntos y el intervalo de tiempo usado. Matemáticamente: vm =

Δx x 2 − x1 = Δt t 2 − t1

Esta definición es acorde con nuestra concepción intuitiva de velocidad, por ejemplo para un mismo desplazamiento, cuanto mayor es el tiempo usado, más pequeña es la velocidad, y cuanto menor es el tiempo usado, mayor es la velocidad. Desde luego, esta definición sólo nos da una idea del verdadero movimiento seguido por la partícula en este intervalo de tiempo. Considerando el intervalo de tiempo como positivo, es decir sin considerar cuentas regresivas, observamos que la velocidad media tiene el mismo signo que el desplazamiento. Luego, para un eje positivo hacia la derecha, si el desplazamiento es hacia la derecha, la velocidad media será positiva, y si el desplazamiento es hacia la izquierda, la velocidad media será negativa. Gráficamente la velocidad media la representamos por un vector cuyo sentido lo indica su signo, a la derecha si este es positivo y a la izquierda si es negativo. Por ejemplo, sea un móvil que inicialmente se encuentra en la posición 5m, y que luego de 10s está en la posición –8m. Haciendo un gráfico del movimiento, representamos la velocidad media como se muestra en la figura:

vm =

Δx (−8m) − (5m) = = −1.3m / s Δt 10s

vm = –1.3m/s

-8

-5

0

5

10

X(m)

Desde luego, todo esto se invierte si usamos un eje positivo hacia la izquierda. Desde un punto de vista más general, la velocidad se define como una cantidad vectorial y para su descripción se usan los métodos del análisis vectorial. Sin embargo, vemos que 4

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cuando el movimiento se da en una dimensión, la velocidad queda determinada si damos un número con signo. El valor absoluto de este número representa el módulo de la velocidad, y el signo su sentido. Al módulo de la velocidad se le denomina rapidez, y es desde luego una cantidad positiva. En el ejemplo anterior, la rapidez media de la partícula es simplemente 1.3m/s. 2.5 M OVIMIENTO R ECTILÍNEO CON V ELOCIDAD C ONSTANTE Un móvil describe un movimiento rectilíneo con velocidad constante, cuando este se mueve en línea recta, y su velocidad media es la misma para cualquier intervalo de tiempo que se considere. En este caso, es conveniente definir la velocidad para todo instante del movimiento, mediante la ecuación:

v = v m = cte Nótese que mientras la velocidad media se define en un intervalo de tiempo, la velocidad se define en todo instante. En el ejemplo anterior, si el movimiento fuese de este tipo, la velocidad sería siempre –1.3m/s, para todo tiempo entre 0s y 10s. Una característica importante de este movimiento es que la partícula recorre distancia iguales en tiempos iguales. Por ejemplo, supongamos que un automóvil se desplaza por una carretera recta y plana, y se registra la siguiente información: Tiempo transcurrido 1 hora 2 horas 3 horas

Espacio recorrido 60 km 120 km 180 km

Para visualizar mejor estos resultados, representamos la información en el siguiente gráfico, simulando que se han tomado una foto cada hora del auto:

Notamos que el auto avanza 60km en cada hora, por tanto podemos asumir que este es un movimiento a velocidad constante, y que esta velocidad es igual a 60km/h en cualquier instante. Esta velocidad la calculamos, por ejemplo, a partir de la velocidad media en el primer tramo. Nuestro siguiente problema consiste en hallar una ecuación, para este tipo de movimiento, que nos permita determinar la posición de una partícula en cualquier instante de tiempo. Está ecuación se denomina ley de movimiento de la partícula. Supongamos que la velocidad del móvil es v, y que este se encuentra inicialmente en la posición x0, punto en el cual tomamos nuestro origen temporal T = 0 . Supongamos también, que en un tiempo posterior T = t , la partícula se encuentra en la posición final con coordenada xf. Gráficamente: 5

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v

T=0

O

x0

T=t

xf

X

La velocidad media en este tramo es: vm =

x f − x0 t −0

Despejando la posición final, y usando el hecho de que la velocidad es constante e igual a la velocidad media, obtenemos la ley de movimiento:

x f = x 0 + vt Una manera práctica de entender este movimiento, es a través de gráficas en las que se muestra la velocidad y la posición como funciones del tiempo (gráficos v – t y x – t ). Dado que la velocidad es constante para todo instante, la curva correspondiente es una recta horizontal que pasa por el valor de la velocidad v . Por otro lado, la ecuación anterior nos da una relación lineal entre la posición y el tiempo, por lo cual la curva de posición es una recta con pendiente igual a la velocidad v , y ordenada en el origen x 0 . V

X xf

v

Δ x = x f − x 0 = vt

x0

t T t T Además, en el gráfico v–t, vemos que el área bajo la curva de velocidad es simplemente el producto de la velocidad por el intervalo de tiempo vt, y de la ley de movimiento vemos que esto a su vez es igual al desplazamiento. Es decir, concluimos que el área bajo la curva de velocidad resulta ser igual al desplazamiento de la partícula. Nótese que si la velocidad es negativa, es decir cae por debajo del eje T, el área la tomamos con signo negativo, para que siga representando el desplazamiento.

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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dos móviles, separados 100m inicialmente, se mueven en la misma dirección y sentido con velocidades de 10m/s y 5m/s. ¿Cuánto tiempo después estarán separados 80m?

SOLUCIÓN

10m/s

O

5m/s

xA

80m

xB

X (m)

Observemos que según la elección de nuestro punto de referencia, la posición inicial del auto A es 0m, mientras que la posición inicial del auto B es de 100m. Suponiendo que el tiempo transcurrido hasta el instante mostrado es t, usando las leyes de movimiento tenemos: x A = 0 + 10t x B = 100 + 5t

Para hallar el tiempo, usamos la condición pedida que es la que se muestra en el gráfico. Desde luego, si nos interesa la distancia entre ellos debemos tomar el valor absoluto de la diferencia de sus desplazamientos: x B − x A = 100 − 5t = 80 Esta ecuación con valor absoluto tiene dos posibles soluciones:

t = 4s ∨ t = 36s Las dos posibles soluciones son válidas. En el primer caso el auto A se encuentra 80m antes del auto B. En el segundo caso el auto A ya pasó al auto B, y se encuentra 80m delante de él. 2. Un automóvil viaja en línea recta a velocidad constante y debe llegar a su destino a las 7:00 pm. Si viajara a 40km/h llegaría una hora después, y si viajara a 60km/h llegaría una hora antes. ¿Qué velocidad debe llevar para llegar a su destino a la hora fijada? SOLUCIÓN Tomamos como punto de referencia y origen temporal el lugar y tiempo de partida del auto. En los tres casos que se mencionan en el enunciado, el auto tiene que realizar el mismo desplazamiento, pero en tres tiempos diferentes. Supongamos que para llegar a su destino a la hora fijada el tiempo que demora es t (medido en horas). Luego, según el enunciado si viajara a 40km/h llegaría a tiempo t+1, y si viajara a 60km/h llegaría a tiempo t–1.

x f = vt = 40(t + 1) = 60(t − 1) Usando la última igualdad podemos resolver para t. Observemos que la unidad que estamos usando para el tiempo es la hora. 7

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t = 5h

Finalmente, usando este valor de t en la segunda igualdad, podemos determinar la velocidad que se pide. Nuevamente, no debemos olvidar las unidades correspondientes. v = 48km / h

3. Un automóvil se desplaza por una carretera plana y recta. Los cambios de velocidad se registran en un diagrama v – t, tal como se muestra en la figura:

a) Describir el movimiento del auto. b) Determinar la distancia total recorrida por el automóvil. SOLUCIÓN a. La gráfica muestra que el movimiento duró un tiempo total de 4h. En el instante inicial t = 0h, el automóvil se desplazaba a una velocidad de 30km/h y mantuvo esta velocidad durante 1h. En el instante t = 1h, el conductor presionó el pedal del acelerador y su velocidad aumentó súbitamente a 90km/h. En realidad, un cambio instantáneo de la velocidad no es posible, pero si este cambio es muy rápido, esta situación ideal se aproxima a lo que realmente sucede. Posteriormente, el gráfico nos indica que el auto mantuvo su velocidad a 90km/h durante 2h, es decir, hasta t = 3h. En este instante, el conductor presionó el pedal de los frenos y la velocidad disminuyó súbitamente hasta el valor de 60km/h, manteniéndose constante durante 1h. Finalmente, en el instante t = 4h el conductor frena en seco y el auto queda detenido. b. Es obvio que el movimiento del automóvil no es a velocidad constante, pues el valor de su velocidad sufre variaciones durante su trayecto. Por lo tanto, la ley de movimiento xf = x0 + vt, no se puede utilizar directamente. Por otro lado, es claro que el movimiento puede ser dividido en tres tramos, en cada uno de los cuales la velocidad es constante. Es decir podemos usar la ley de movimiento para hallar cada uno de los desplazamientos en estos tres tramos, y luego sumarlos en valor absoluto para determinar la distancia total. Luego, para los intervalos de tiempo [0h, 1h], [1h, 3h] y [3h, 4h], en los cuales las velocidades son de 30km/h, 90km/h y 60km/h, calculamos los correspondientes desplazamientos: km × 1h = 30km h km Δx 2 = 90 × 2h = 180km h km Δx3 = 60 × 1h = 60km h Δx1 = 30

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Cada uno de estos desplazamientos corresponden a cierta área positiva del diagrama v – t, tal como se muestra en la figura. La distancia total la calculamos como: d = Δx1 + Δx 2 + Δx3 = 270km

Nótese que si sólo sumamos los desplazamientos tendríamos el desplazamiento total. En este caso particular el desplazamiento coincide con la distancia. Además, en la figura, ambos corresponden al área total desde t = 0h hasta t = 4h. 4. Un auto viaja de una ciudad A hacia otra ciudad B, a velocidad constante de 30km/h, y demora un tiempo total de 3h. Inmediatamente, el auto emprende el regreso hacia la ciudad A, también a velocidad constante, tardándose nuevamente 3h en el recorrido. Se pide: a) Trazar el diagrama v – t correspondiente. b) Calcular el desplazamiento total en las seis horas de recorrido. c) Calcular la distancia total en las seis horas de recorrido SOLUCIÓN a. Consideramos un eje de coordenadas con origen en A y sentido positivo de A hacia B. Al regreso la velocidad del auto será –30km/h. El módulo es el mismo que el de ida, pues recorre la misma distancia en el mismo tiempo. El signo es negativo, pues el auto se mueve de B hacia A.

3

6

b. Usando el gráfico el desplazamiento lo calculamos sumando las áreas (con signo):

Δx = A1 + A2 = (90km) + (−90km) = 0km c. Para calcular la distancia sumamos las áreas en valor absoluto: Δx = A1 + A2 = 90km + − 90km = 180km

5. Un automóvil parte de una ciudad A, con una rapidez de 70km/h, y sigue un camino recto que lo lleva a una ciudad B que se encuentra a 400km de A. Dos horas después de la salida de este auto, sale un segundo automóvil de B, con una rapidez de 100km/h, y dirigiéndose hacia A. Si los dos automóviles se cruzan en una parada C, entre las ciudades, se pide determinar: a) El tiempo que transcurre desde que salió el auto de A hasta el momento en que coinciden en C. b) La distancia a la que se encuentra la ciudad C respecto a la ciudad A. SOLUCIÓN a. Tomamos como origen de coordenadas la ciudad A, y como origen temporal el instante en que el primer auto parte de A. Luego, en el instante en que ambos coinciden, tenemos el siguiente gráfico: 9

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–100km/h 70km/h

xC

xA

xB

X (km)

400km Transcurrido un tiempo t, designamos las posiciones del auto que salió de A y del auto que salió de B por x1 y x2, respectivamente. Luego, usando la ley de movimiento tenemos: x1 = 0 + 70t x 2 = 400 − 100(t − 2) Nótese el factor t-2 para el móvil 2 debido a que parte con dos horas de retraso respecto al origen temporal. Ahora bien, para determinar el instante en que se cruzan usamos el hecho de que en ese instante ambas coordenadas son iguales a xC, luego: xC = 0 + 70t = 400 − 100(t − 2) ⇒ t = 3.5h b. Para determinar la distancia a la que se encuentra C respecto a la ciudad A, notemos que para el tiempo hallado anteriormente, los dos móviles se encuentran en C, luego tenemos: xC = (70km / h) × (3.5h) = 245.0km Es interesante ilustrar este problema en un gráfico x-t. ¡Intenta explicar su significado! X(km) xB x1(t) xC

x2(t) xA 2 3.5

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T(h)

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos trenes parten de una misma estación, uno a 60km/h y otro a 80km/h. ¿Cuánto se habrán separado al cabo de 0.5h? a) Si ambos marchan en el mismo sentido. b) Si ambos marchan en sentido contrario. 2. Dos niños empiezan a correr en sentidos opuestos partiendo de dos puntos separados por 156m. Uno de ellos corre con una rapidez de 5m/s, mientras que el otro se mueve con una rapidez de 7m/s. Cuando ambos niños se encuentran, ¿qué distancia habrá recorrido el corredor más lento? 3. Dos móviles parten uno al encuentro del otro con rapidez de 10m/s y 20m/s respectivamente. La distancia que los separa es de 300m. El móvil que tiene menor velocidad encuentra al otro e inmediatamente regresa a su punto de partida con la misma velocidad. Hallar la distancia recorrida por el móvil de menor velocidad. 4. Dos ciclistas A y B, inicialmente separados 800m, parten al encuentro simultáneamente, con velocidades constantes distintas. Si el ciclista B viaja con el triple de la rapidez de A, ¿cuánto recorre A hasta encontrarse con B.? 5. Dos autos A y B están separados 200m. El móvil B inicia su movimiento en línea recta con una velocidad de 15m/s, alejándose de A. Luego de 20s, parte el móvil A al alcance de B con una velocidad constante de 30m/s. Hallar el tiempo que demora el móvil A para estar 50m detrás del móvil B. 6. Dos autos parten al encuentro simultáneamente, encontrándose después de 5h. Si la distancia inicial que los separa es 150km y la relación de distancias recorridas hasta el momento del encuentro es: d1 / d2 = 2, se pide calcular la rapidez del que va más rápido. 7. En un determinado momento un tren de longitud L y rapidez de 70km/h, tiene su parte delantera a una distancia de 138km de la entrada de un túnel de 1.5km. Determinar la longitud del tren L, si la parte posterior del tren se tardó 2h en alcanzar la salida del túnel. 8. En una carretera cuya velocidad máxima tolerada es de 70km/h, se ha instalado transversalmente una cámara de cine que toma 32 imágenes por segundo, con el fin de determinar la rapidez de los vehículos que pasan por su frente. Si un automóvil, cuya longitud es 2.5m, ocupa en su movimiento al pasar frente a la cámara 5 imágenes, se pide determinar si el conductor está infringiendo la ley. 9. Desde un mismo punto, simultáneamente y con la misma dirección y sentido, parten tres móviles A, B y C. En cierto instante la distancia que separa a los móviles A y B es la mitad de la distancia que separa a B y C. Si se sabe que vA = 4m/s, vB = 6m/s y que vC > vB, se pide determinar la velocidad del móvil C. 10. Dos móviles A y B parten de un mismo punto con velocidades constantes de 15m/s y 8m/s, respectivamente, hacia el móvil C situado a una distancia de 500m. Si C parte en el mismo instante al encuentro de los dos anteriores con rapidez constante de 36km/h, cuando A y C se encuentren, ¿qué distancia estarán separados ambos de B? 11. Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto, pero uno hacia el Norte y el otro hacia el Este, con velocidades de 4m/s y 3m/s, respectivamente. Se pide determinar el tiempo que transcurre hasta que ambos se encuentran separados 30m. 11

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12. Dos móviles parten de un mismo punto con velocidades de 15m/s y 25m/s, pero formando un ángulo de 53°. ¿Qué distancia los separa luego de transcurridos 10s? 13. El gráfico mostrado representa la posición de un auto como función del tiempo. a) ¿Cuál es la posición del auto al inicio del movimiento? b) ¿Cuál es su posición en el instante t = 1h? c) ¿Qué velocidad alcanzó al término de la primera hora de viaje? d) ¿En qué posición y por cuánto tiempo estuvo detenido? e) ¿Cuál es su posición a las 4 h de viaje? f) ¿Cuál es su velocidad en el viaje de regreso?

14. En el gráfico mostrado, hallar la posición inicial del móvil, sabiendo que el módulo de su velocidad entre t = 0s y t = 5s es igual al módulo de su velocidad entre t = 5s y t = 12s, y que además la velocidad del móvil para t = 8s es –1m/s.

15. Si la velocidad del móvil la primera vez que pasa por el origen es de –4m/s y cuando pasa por segunda vez es de 4m/s, se pide: a) La distancia total recorrida. b) El tiempo en que vuelve a la posición inicial.

16. A partir del gráfico determinar en qué tiempo el móvil ha recorrido 30 m. (OAB es un triángulo isósceles.)

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17. Si se cumple que ⎮A1⎮ + ⎮A2⎮ = 5, ¿cuál es el desplazamiento entre t = 1s y t = 6s?

18. El siguiente gráfico muestra el movimiento de un móvil que se desplaza con una velocidad de módulo constante. Hallar la velocidad a los 15s.

19. Se tienen dos móviles A y B cuyos gráficos x – t y v – t, respectivamente, se muestran en la figura. Si a t = 0s, B se encuentra en la posición x = –10m, ¿cuál es la distancia que los separa en t = 5s?

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20. Observa el gráfico posición-tiempo de dos atletas que se mueven con rapidez constante. a) Escribe la ley de movimiento para cada atleta b) Calcula el tiempo de encuentro de ambos atletas c) Calcula la posición donde se encuentran ambos atletas x(m)

1

2

12,5

15

100

10 t(s)

21. A partir del gráfico posición-tiempo responda las siguientes preguntas a) ¿Cuál es el valor de la rapidez del móvil en cada tramo de su movimiento? b) ¿Cuál es el valor de su desplazamiento total? c) ¿Cuál es la distancia total recorrida? d) Construya el gráfico velocidad-tiempo x(m) 40 20 30 10

40

20

t(s)

-40 22. A partir del gráfico posición-tiempo de dos partículas que se mueven con movimiento rectilíneo uniforme determinar el instante y la posición en el cual se cruzan. x(m) A 3 2

0

4 B

14

t(s)

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23. El gráfico posición-tiempo representa el movimiento rectilíneo de una partícula, determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) En el instante t =3s su velocidad es 3m/s b) En los primeros 4 segundos su desplazamiento es Δx = 12m c) En el instante t =5s su velocidad es –6m/s d) La velocidad media en el intervalo comprendido entre los instantes de tiempo t =0s y t =6s es 4m/s e) La velocidad de la partícula siempre es positiva. x(m) 12

0

4

6

15

t(s)

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Respuestas de los problemas propuestos

1. a)

10km

b)

70km

2. 65m 3. 200m 4. 200m 5. 50s 6. 20km/h 7. 5x10 − 1 km 8. No. Su rapidez es 57,6km/h 9. 10m/s 10. 140m 11. 6s 12. 200m 13. a) 10m b) 30m c) 20m/s d) 30m , 1 hora e) En el origen del sistema de referencia f) –15m/s 14. 2m 15. a) 24m b) 7s 16. 10s 17. –2,5m 18. –1m 19. 2m

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20. a) x1 = 8t , x 2 = 10 + 6t b) 5s c) 40m 21. a) 0 , 2m/s , -4m/s b) –60m c) 100m d)

v(m/s) 2 0

20 10

40 t(s)

-4 22. t =1,6s y x =1,2m 23. a) Falsa. Es –3m/s b) Falsa. Es Δx = −12m c) Falsa. Es 6m/s d) Falsa. Es 0 e) Falsa.

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