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MATRICES Y DETERMINANTES 1.- Dadas las matrices:  1 -1 0   2 -1 1   2 -1        2 1 1   A =  3 0 - 1  B =  0 3 - 1  C =   D =  0 1         3 1 1 1 3 2 1 2 0 1 1       Hallar: a) A-1; b) B-1; c) A.B; d) B.A; e) 3A+2B; f) C.A; g) C.B; h) C.D; i) A2; j) B2; k) 3A + A ; l) B2-A.B 2

Soluciones:  - 3/2 1 - 1/2   1/3 1/3 - 1/3   2 -4 2      -1 -1 =  5/2 1 1/2  =  1/6 1/6 1/3  A.B =  7 -5 3 A B      1  - 9/2 2 - 3/2   1/2 - 1/2  4 4 -2  0 1 -1  B.A =  8 - 3 - 1   5 1 -2

  7 -5 2    3A + 2B =  9 6 - 5     1 13 - 6

 5 -1 1   3 -2 C.B =   C.D =  5 2 2  7 -1

  4  C.A=   7 

1  0 -3 

-5

 -2 -1 1   3 -3 3      2  2  A =  2 - 6 2  B =  1 7 - 3       2 7 3  8 -7 1   

1  1 -4  1 1 1     3A + A2 =  11 - 6 - 1  B2 - A.B =  - 6 12 - 6      3 - 1   -6  11 2 - 5  2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA  1 0 1   A =  2 1 1    1 1 0 Solución:

    

2 1 2   B =  1 0 1    0 2 1

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3 1 3   2 1 1 - 1 - 1 - 1 5 6 7         A+ B =  3 1 2  A2 =  5 2 3  A - B =  1 1 0  B 2 =  2 3 3          1 3 1 3 1 2 1 1 1 2 2 3        

 2 3 3   A.B =  5 4 6    3 1 3  

3.- Halla AX = B donde:  1 1 A =    0 1

 1 1 0 B =    - 1 0 1

 2 1 - 1 Sol :    - 1 0 1

1 4.- Demostrar que A satisface la relación de recurrencia An = 2n-1 A. A =  1 5.- Halla el determinante de A y su inversa: 1/4 0  1 -1 0 1       2 1 -1 2   - 19/32 1/4 A=  A = - 32 A- 1 =    0 1 2 1  7/32 - 1/4     3 1 0 -1   5/32 1/4

1  1 1/4   1/8 1/32   3/8 3/32   1/8 - 7/32  0

6.- Aplicando la función de la matriz inversa. Calcula la inversa de la matriz A. Comprueba el resultado.  0 0 2  3 1 - 2     A=  - 1 2 0  Sol : A-1 =  3/2 1 - 1       - 1 1 3  1/2 0 0  7.- Dadas las matrices siguientes. Calcula la potencia enésima.      1 0 0 1 0 0     A=  1 1 0  Sol : An =  n 1 0      2  0 1 1  n - n n 1   2       1 0 0 1 0 0     B= 1 1 0  Sol : B n =  n 1 0      2  1 1 1  n + n + 1 n 1   2 

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 1 n n2 - n    2     Sol : C n =  0 1 n 0 0 1      1 0 0   Sol : Dn =  0 1 0    n 0 1  2 n -1 0 2 n -1    Sol : E n =  0 1 0    2 n -1 0 2 n -1   

 1 1 0   C= 0 1 1     0 0 1 1 0 0   D=  0 1 0     1 0 1  1 0 1   E= 0 1 0     1 0 1 0 0 1   F = 0 1 0     1 0 0

n par F n = I Sol :  n impar F n = F

8.- Calcula los siguientes determinantes de orden 3: 1 1 -2 2 0 1 1 0 -1 2 1

-1

1 3

1

1 1 -1

1 2

2

2

1

3

1 = 0 b) 2

Sol: -9; 7; -4

1 -3

9.- Hallar la solución de la ecuación: 1 1 1 1 2 4 a) 1 x

1

1 1 -1

x 8 = 0 c) 2

3 6 x 1 1 x2 Sol: a) x=-1; x=1; b) x=4; x=12; c) x=2

3

1

3 =0

x

2

10.- Resolver aplicando las propiedades de los determinantes: a b c a b c a b c a) a

x c = 0 b) 2a

x 2c = 0 c) 2a

x 2c = 0

2 a b x x -b -c a ab x Sol: x = b; x = c; b) x = b/2; x = ac; c) x = -a; x = 2b; d) x=a; x=-c

a

b

d) - a - b x

b

c x =0 c

11.- Según el valor del determinante A calcular razonadamente el valor del determinante B: a b c 2a 2c 2b A= x

y

z

α β γ

B = 2α 2γ

2β

2x

2y

2z

12.- Demostrar que el determinante vale 0

Sol: B = 8A

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1 a

b +c

1 b

a +c = 0

1 c a+ b 13.- Calcular: 1 -1 2 0 1 -1

1

0 -1

2

-1

2 0

1

2

1

3 -1

-1

1 0

2

1 1

0

2

1

1

0

-1

2

0 -2

1

1

2

2 -2

1

0

1

2

0

1 -1 2 - 2

-1

Sol: 21; -5; -14

14.- Sin desarrollar demostrar la identidad: 1 a 2 a3 bc a a2 1 b 2 b3 = ca b

b2

1 c2

c2

c3

ab

c

15.- Resolver las ecuaciones: a) A.X = B; b) A + X = B; c) A-1.X = B; d) 2A-X = 3B, siendo  2 1 -1   1 -1 0      A=  0 1 1  B =  0 1 1      1 2 1  1 0 -2    0 4 2    -1 - 2 1    Sol : a) X =  1/2 4 5/2  ; b) X =  0 0 0    1/2 3 3/2  0 2 3    1 -3 0   1 5 -2      c) X =  1 3 2  ; d) X =  0 - 1 - 1      1 5 2 1 6 7    

    

16.- Hallar A-1 y B-1 de las matrices del ejercicio anterior: 1 -1 -1    1/2 - 1/2 1/2    Sol : A- 1 =  - 1/2 3/2 1  B-1 =  - 1/2 - 1/2 1/2     1/2 - 1/2 - 1   1/2 3/2 - 1/2 17.- Calcular por determinantes A-1.  1 -1 0  3/5 1/5 2/5      A=  2 1 2  Sol : A-1 =  - 2/5 1/5 2/5       0 1 - 1  - 2/5 1/5 - 3/5  18.- Calcular el rango de M según los valores de t:

    

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 1 -1 2 1   1 2 -1 2      a) M =  2 1 - 1 0  b) M =  2 4 - 2 t      t t  3 0  3 6 -3 6  Sol: a) t=1 r(M)=2; t…1 r(M)=3; b) t=4 r(M)=1; t…4 r(M)=2 19.- Calcular a para que M tenga inversa: 0 1 5 3 1 0  0 1 -1        M =  4 a 1  ; b)  1 0 - 1  ; c)  2 - 1 3        2 1 3  1 a 2 a 2 1

Sol: a) a…1; b) a…1; c) a…3

 1 0 -1  2 1 0  1 -1 0        20.- Dadas las matrices: A =  1 2 1  B =  0 -1 1  C =  2 1 3         0 1 -2   1 1 1  0 1 -1  resolver las ecuaciones: a) AX+B=C; b) AX+BX=C; c) AX+2X=B; d) AXB=C  - 1/6 - 4/3 1   7/13 - 7/13 6/13      Sol : a) X =  2/3 4/3 0  ; b) X =  1/13 12/13 - 1/13      2/3 1   5/6  9/13 4/13 17/13 

 - 1/2 - 1 - 3/4   5/6 4/3 - 1/2      c) X =  1 1 1  ; d) X =  - 1/3 - 1/3 1     7/2 4 9/4 1/6 1/3 1/2     21.- Calcula a2

ab ab

ab

a

ab

b2

b2

ab ab a 2

2

b2

b

2

ab

a2

ab

Sol: (a+b)4 . (a-b)4

22.- Demostrar que: 1 sen a

cos a

1 sen b

cos b = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - c)

1 23.- Calcular

sen c cos c

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1 −1

3

-1

2

−1

1

3 −2

−1

1

1

= 50

1 − 2 −1 1 1 -1

2 −1

1 −1 − 1 −1 0

1

0

0 0 −1 −1 0 0 1 −2 1 −3 3 −1 2 −1 1 −1 −1 −2 −1 0 −1 0 1 −1 3 5

1 −1 2 0 1 1 2 1 3 −1 −2 −3 −2

−1

1 1 −2 2 2 1 −3 2 −1 3 2 2 0

1 3 0 1

−3 1 −1 −2 1 1 = 27 −2 −3 3 −1 − 1 2 −1 1 − 2 2 0 −1 1 0 0 0 3 1 2 − 1 − 2 = 24 3 −3 1 1 −2 0 − 2 2 −1 1

0 −1 3 −1 1 −1 −1 0 2 − 2 0 −1 2 −1 = 8 = −31 1 −2 2 0 −3 3 0 1 −4 2 −2 1 0 −1 2 − 2 1 1 −1 2 − 2 3 = −27 = 28 −2 −3 0 −1 1 1 −1 0 2 − 2 2 −1 1 1 2 −1 − 3 3 1 −1 = 39 = 26 1 0 2 −2 3 1 −1 1 2 −1 -2 5 - 21 - 6 = 38 = - 90 -8 1 -8 2 3 5 2 −2 5 2

0 1 0 = −1 1 0 0 0 1 1 3

3 0 −1 0

2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 − 2 2 − 1 = 12 −1 −1 2 −2 2 0

= 11 2 7 0 0 1

1 2 2 1

=4

1

− 1 1 −1 2 − 2 3 −3 2 = 27 − 2 − 2 1 −1 0 − 1 −1 3

2 1 7 = 0 1 4 −5

2 1 = −24 1 1

−1 5 2 −2 −4 1 1 2 −1 0 0 1

3 4

− 1 7 = 81 − 4 −1

2 1 = −14 0 1

−1 5 2 2 0 − 4 −1 1 = −4 0 0 −1 0 0 0 0 1

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24.- Dada la matriz A averigua para qué valores del parámetro m existe A-1. Calcula A-1 para m = 2.  1 0 - 1   A=  0 m 3   4 1 - m

 -7 - 1 2    -1 =  12 2 3  A    - 8 - 1 2

Sol: m … 3 y m … 1

los 2 x - 2 inversa. A =  1 x  Sol: -2; 2/3

1 A =  1

25.- Hallar los valores de x para cuales la matriz A no tiene

   

26.- Resuelve AXB + C = D  1 1 0   0 1 2 3  2 3 4  B =  0 1 1  C =   D =     1 0 1 - 3   0 0 - 1  - 1 - 1 1

 2 0 1 Sol : X =    1 - 1 2

2 -1 0 -5   27.- Calcular el rango de la matriz A. A =  1 0 1 - 1    3  3 2 7 Sol: r(A) = 2 28.- Dada la matriz B calcular los valores de y para que su rango sea 2.  2 y 1 3   B =  1 0 1 - 1 Sol: y = -1   3 - 2 1 7   - 1 1 2 -1 29.- Calcular el determinante:

3 2 0

1

6

1 2

0

2 1 3 5 a) Haciendo ceros. b) Desarrollándolo por los elementos de una línea. Sol: -12 30.- Comprobar sin desarrollar que son nulos los determinantes: 1 1 0 3 1 2 1 1 1 1 4 1 1 5 3 1 -1 x y z 3 0 1 2 2 4 2 y+ z x+ z x+ y -1 0 2 4 31.- Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AAB+B2

1 3 13 3 1

31

4 0 40

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 1 1 1   1 0 1   3      A=  1 3 0  ; B =  1 1 2  Sol : P =  6       1 0 2   0 1 3   2 32.- Resuelve la ecuación matricial X-3A = AAB; siendo: 1   1 0   1 1   4 A =   B =   X =    1 3   2 0   8 10  33.- Calcula el rango de las matrices siguientes:  1 1   1 - 5 -3   0 2 1 3       2 0 C =  - 5 5 - 1  A=  2 1 1 1  B =       3 1  4 0 4   4 4 3 5    4 3 Sol: r(C) = 2; r(A) = 2; r(B) = 4

3 10   6 16   6 18 

1 0 2   1 1 2   1 3 2   -2 1 1 

34.- Calcula An, siendo: 1 0 0     2n -1 0 2 n -1   2    +n 1 n  0 1  Sol : a)  n b) 0    2    2n -1 0 2 n -1     n 0 1   

1 0 0   1 0 1     a) A =  1 1 1  b) A =  0 1 0      1 0 1  1 0 1

35.- Sabiendo que

a

b

x

y z = 3 Halla: a)

1 0 x -1 c)

y

z -1

1 0

1

a- 2

c

1

1 1 0

2c

b- c a

x z

y ; b)

2z

y-z

a c

b

2

-1

x ; 1

b c-2

Sol: a) 3; b) -6; c) 3 36.- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n. ¿Es cierto, en general, la igualdad siguiente?: A2+2AB+B2 = (A+B)2. Sol: No 37.- Halla la matriz enésima de la matriz A:       1 0 0 1 0 0       A=  - 1 1 0  Sol : An =  - n 1 0      2   0 -1 1   n - n - n 1   2  38.- Encuentra los valores de x, y, z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial:

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 1   1 1 2      y   x  2  +  2 1   =  2       z     0   0 1 2 Sol: x = -1; y = 1; z = 2 39.- Encuentra la matriz X tal que: a) AX+B=C; b) AXB=C; c) AX+BX=C; d) AX+X=B; e) 2X+XA=C, siendo: 1 0 0  1 0 0 3 0 0       A = 1 2 0  ; B = 0 1 0  ; C =  2 5 2        1 2 4   1 1 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0  2 0 0  3  3/2  1/2           Sol : a)  0 2 1  b)  - 3/2 3/2 1 c)  1/6 5/3 2/3  d)  - 1/6 1/3 0  e)  7/36           - 3/4 - 1 0   - 3/4 - 5/4 1/4   - 7/10 - 4/5 1/5   1/6 1/15 1/5   - 1/6 40.- Sea AAB = AAC, ¿se puede asegurar que B = C?; y si AAB=0; ¿se puede asegurar que A=0 ó B=0?. Sol: No; No 41.- Hallar k para que la matriz A no tenga inversa. Calcular la inversa para k = 0. 1 k 1  - 1 1 1     A =  1 - 1 k  Sol : k = 1; A-1 =  - 1 0 1      2 - 1 - 1 1 1 1 42.- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:  0 2  1 0 - 1  7 2 5 A =   B =   C =    - 2 1  0 1 - 1 - 3 0 - 4 

3 1 3 Sol : X =   3 1 3

47.- Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B conmutan, si AB = BA. Obtener las matrices A que conmuta con la B.  x y  1 1  B =   Sol : A =   0 1 0 x 48.- Calcular los determinantes: a) Haciendo ceros; b) Desarrollando por los elementos de una línea: 3 2 1 -1 1 1 1 1 1

2 -1 1

2

1

3

2 -1

1 -2

2

1

2 2

-1

1 -1 2

0

1

2

1

1

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Sol: 5; -48 49.- Dada la matriz A. Calcula los valores de m para que tenga inversa. Di para qué valores de m A es una matriz singular. Rango de A. Sol: a) m…-2 y m…-1/2; b) ; c) m = 2 ó m = -1/2 > r(A) = 2; m…-2 y m…-1/2 > r(A) = 3 50.- Encontrar la AX+B=C 1 2 0   A=  1 0 3    1 1 2  5 1  Sol : a)  9 5   10 6

matriz X que verifique que: X-B2 = AB;   B=   -2   6  8 

1 0 -1   8 3 1    2 1 1  C = 6 8 8    1 1 2   7 7 8  1 1 - 2   b)  3 1 2     1 2 3

51.- Calcula el rango de las siguientes matrices:  1 2 3 4 5  -1 - 2 1 - 2 0      2 3 4 5 6  - 3 2 1 4 1 A=   B=  3 4 5 6 7    1 1 2 - 2 0      4 5 6 7 8  1 -1 2 3 1 Sol: r(A) = 2; r(B) = 4 52.- Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AAB+B2 1 0 1  1 0 1  6 2 8       A=  1 1 1  B=  1 2 2 Sol : P =  11 9 17        0 1 2 2 1 3 14 9 21       53.- Calcula el rango de las siguientes matrices:  1 0 1 1 2    1 2 1 1   2 0 3 1 1 A=  0 1 2 1  B=    4 2 4 1 0  1 4 5 3   0 3 2 4 6  Sol: r(A) = 2; r(B) = 4 54.- Resuelve la siguiente ecuación: 1 -2 2 x -4 4 =0 3

Sol: x = 2; x = -6

x 6

55.- Calcula sin desarrollarlos el valor de los siguientes determinantes:

 3 m 2   A=  4 - 5 2    m -1 m

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2

3

4

5

3

5

7

9

4

6

x

y-z

; 1

y

x-z ;

11 10

2

1 3

1 3

2 0 1

7 11 18 19   A=   

1 2

1

z x- y

57.- Halla A+B; 2A+3B; siendo: 4 3 2  3 2 1    7 6 3 B =  4 3 2    2 9 8   6 7 4

5

1 2

1

;

2

1

3

3 4

5

1 2

4 7

5 11

3 5 6

5 6

9 11

5 3  7  17 12 7      Sol : A + B =  11 9 5  2A + 3B =  26 21 12       8 16 12   22 39 28 

58.- Hallar las inversas de las matrices: 1 4  1 3 4 0 1 1  -2      A=  - 2 1 0  ; B =  3 1 1  ; C =  0 - 4 2       7 7 12  1 4 3  3 0 2  - 1/3 1/3 0   - 4/35    Sol : no existe A- 1 ; B- 1 =  - 8/3 - 1/3 1 C -1 =  3/35     11/3 1/3 - 1  6/35

     - 1/35 9/35   - 8/35 2/35   3/70 4/35 

59.- Hallar el rango de las siguientes matrices según valores de x:  3 1 -1 4     1 x -1 2   1 2 1     x 4 10 1   x   ;  2 -1 x 5  ;  x 4  1 7 17 3   1 10 - 6 1   - 1 - x 1 - x        2 2 4 3 Sol: x=0 rango 3 Sol: x=3 rango 2 Sol: x=2 rango 1 x…0 rango 4 x…3 rango 3 x…2 rango 3 60.- Resolver las ecuaciones: 2 0 1 2x + 1 - x =1 1 x 2 =1 x 1 4 x 0 Sol: 0 y -2; -1/7 61.- Calcular el valor de los determinantes: 2 5 -3 -2 3 - 2 -5 4 -2 1

-3

8

-5

3 -2

2

-1 - 6 4 3 Sol = -142; -54; 43

;

-5

2

8 -5

-2

4

7

-3

2 - 3 -5

8

;

4 6

3 2

5 7

1 3

1 2

1 1

4

1 2 5

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62.- Sin desarrollar los determinantes, utilizando sus propiedades, comprobar: 1 1 1 1 yz 1/x x a b c d = (d - a) (d - b) (d - c) (c - a) (b - a) zx 1/y y = 0 2 2 2 2 a b c d xy 1/z z a3 b3 c3 d 3 63.- ¿Existe algún valor de x que haga inversibles las matrices:  1 -2 0  3 1 2     a)  1 - 2 0  b)  x - 1 - 2  ?      3 -6 x  4 1 x Sol: a) ninguna; b) x … -3 y 2 64.- Resuelve las ecuaciones matriciales siguientes: a) AXB-C=I; b) CX+AX=B siendo:  3 1 2  3 0 1 0 0 2       A =  2 0 0  B =  1 0 1  C =  1 1 1        1 1 - 1  1 - 1 1  1 - 1 2  0 3/2 - 1  1/6 - 1/2 1/2      Sol : a)  - 5/6 1/3 7/3  b)  - 1/6 3/2 - 1/2      0 0   1/6 - 7/6 1/3   2/3