SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES

GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES

ENERO DE 2012

PROFESOR: Lucio Sánchez Chávez

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CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC JESUS REYES HEROLES GUIA DE MATEMÁTICAS IV: FUNCIONES NOMBRE __________________________________________________GRUPO_______ Lucio Sánchez Chávez. Enero 2012 Bloque I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones.

Conceptos básicos sobre funciones: Un ejemplo muy simple de lo que es una función son las diferentes fórmulas que conoces por tus estudios anteriores de matemáticas, física, química etc. Una de ellas es la fórmula del área de un círculo. En la fórmula A   r 2 , hay dos cantidades que varían, el radio cuyo valor puede ser cualquier número real y el área cuyo valor dependerá del valor que tenga el radio. Por ejemplo si el radio mide 10 cm., el área del círculo será 314.16 cm2. Y no podrá tener otro valor. Es decir para ese valor del radio 10 cm. existe un único valor para el área que es 314.16 cm2. Este valor del área es único para el radio de 10cm. Y así sucede para cualquier otro valor que se de para el radio. En el ejemplo al radio, variable que puede tomar cualquier valor se le denomina variable independiente y al área cuyo valor depende del valor del radio se le llama variable dependiente. Si se considera ahora la ecuación ( x  2) 2  ( y  2) 2  1 de la circunferencia (curva que es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro) y se ve la gráfica de abajo se observa que, para x= -2.5, “y” siempre tendrá 2 valores, igualmente sucede para x=-1.5 y así para cualquier valor de x menor que -1 y mayor que -3. Observa que se ha trazado dos rectas verticales que cortan cada una en 2 puntos a la circunferencia. Es decir cada x tiene dos valores de y, por lo cual esta ecuación no corresponde a una función, es simplemente una “relación”. Trazar rectas verticales a la gráfica ayuda a identificar si corresponde a una función o a una relación, esto constituye la regla de la vertical.

Diferentes formas de representación de una función: No sólo las fórmulas o expresiones algebraicas representan una función también se puede ver relación entre variables, en tablas, en gráficas, en diagramas, conjunto de pares ordenados, en

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enunciados de los muchos problemas que se han resuelto a lo largo de la secundaria e incluso la primaria. Esas son las diferentes formas de representar una función. Dominio y rango: En el ejemplo se vio, que la variable independiente como el radio puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales. A ese conjunto numérico se le llama dominio de la función y al conjunto de valores que por consecuencia toma la variable dependiente, en el ejemplo el área, se llama rango de la función. Notación: La notación que se usa para funciones reales de variables reales es: y  f (x) y se lee “ y es igual a f de x “x “es la variable independiente, “y” la variable dependiente. Para referirse a una función se puede usar y o también f (x) . La forma como se relaciona x e y es la regla de correspondencia. Por ejemplo en y=2x, la regla es que a cada y le corresponde el doble de x EJERCICIOS ) 1) ¿Qué es una función? 2) ¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función? 3) ¿Cuáles son las diferentes formas de representar una función? Da un ejemplo para una función cualquiera. 4) ¿Qué es el dominio de una función? 5) ¿Qué es el rango de una función? 6) En la función A   r 2 , indica la variable independiente y el dominio; la variable dependiente y el rango. 7) Da otros ejemplos de funciones recuerda las fórmulas usadas en otras asignaturas. Identifica la variable independiente y la variable dependiente. 8) Que notación se usa para una función que relaciona las variables x ; y 9) En el siguiente cuadro, determina cual de las gráficas corresponden a funciones y cuales son relaciones. (Usa la prueba de la recta vertical)

y= -x2 +3x-1

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Clasificación de funciones Hay diferentes criterios para clasificar funciones, aquí sólo se considera las funciones algebraicas y las no algebraicas. En las primeras se incluyen las polinomiales, racionales y las que no son ni polinomiales ni racionales. En las no algebraicas o trascendentes se tiene a las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas Funciones Polinomiales:

Función Lineal y  ax  b a, b son números reales. Su gráfica es una recta creciente (a 0

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Gráfica de la función f ( x)  2 x exponencial y su inversa la función logarítmica. f ( x)  log 2 x Las funciones inversas son simétricas a la recta y=x  Trigonométricas. f ( x)  senx , y  sen(x)

f ( x)  tan(x  3) etc. y  tan(x)

EJERCICIOS 10) Da 3 ejemplos de ecuaciones que correspondan a los diferentes tipos de funciones que se indican. Recuerda que la regla de correspondencia puede estar factorizada. 1) Función lineal 8) Función Exponencial 2) Función Cuadrática. 9) Función logaritmo 3) Función cúbica 10) Función idéntica 4) Función polinomial de quinto grado 11) Función constante 5) Función racional: 12) Función valor absoluto 6) Función trigonométrica 13) Función por intervalos. 7) Polinomial de grado 7 14) Función con radicales 11) De las siguientes fórmulas identifica el tipo de función a la que corresponde cada una. Indica si alguna no es función. Usa el espacio de la derecha. 8) f(x) = 5x + 4 1) f ( x)  ( x  3)( x  7) y  3x(4 x  8)( x  1)

2)

f ( x)  3x 2  4 x  12

9)

3)

y  5(1  .05) x

10) y  x 4 11) x=12 7

12) x2+ y2 =16

y  x3

4)

13) f ( x)  3x 2  5

5x  1 5) f(x)= x2 6)

y  sen(x)

7) x) = Ln 2x

12) ¿Cómo se llama la gráfica de una función lineal? ¿Y cómo la gráfica de una función cuadrática? 13) ¿Qué diferencia hay entre una función lineal y una exponencial? 14) ¿Cómo se define las funciones racionales? ¿Qué son las asíntotas y como se clasifican? Dominio de una función: polinomial, Racional y Raíz cuadrada. Tomando en cuenta que el dominio de una función es el conjunto de números reales que puede tomar la variable independiente; para las funciones polinomiales el dominio es el conjunto de todos los números reales; para las funciones racionales el dominio es el conjunto de números reales menos los valores de x que anulan el denominador. Y en el caso de las funciones con radicales par, son los números reales que hacen positivo la cantidad sub- radical. Por lo general el dominio y rango se expresan como intervalos de números reales. Estos intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semi cerrado o semi abierto. Ejemplos. El intervalo abierto 2, 5 es un conjunto de todos los números reales  que están entre 2 y 5 sin considerar 2 y 5, o también los x en  que cumplen 2  x  5 Intervalo cerrado [-1, 8] son todos los números  que están entre -1 y 8 incluyendo el -1 y el 8 ó también los x en  que cumplen  1  x  8 Intervalos semi-abiertos por la derecha  4,6 los x en  que cumplen  4  x  6 Intervalo semi cerrado por la derecha (5, 10] los x en  que cumplen 5  x  10 Los números reales se representan como el intervalo abierto  ,  Los números reales positivos 0,   Los números reales negativos  ,0 EJERCICIO #15: Calcula el dominio y rango de las siguientes funciones



1) y=3x +2 3) 5)

x 8 y

5x  1 x5



2) Y=x2+3 f ( x)  2 x  9

4)

f ( x) 

6)

2x  1 x2  9

Evaluación de funciones Evaluar una función, significa encontrar el valor de la función para determinado valor de x Ejemplo: Para f ( x)  2 x 3  8x encontrar f (3), o evaluar f (3) o encontrar el valor de y cuando x=3 o también la imagen de x=3, significa reemplazar en la ecuación la variable x por 3 f(3) = 2(3)3-8(3) = 2(27)-24 = 54-24 = 30 8

EJERCICIO #16: Evalúa las siguientes funciones: 1) Si f ( x)  5x  12 encuentra f (0) 2) 3) Si f ( x)  2 x 2  5x  6 Encuentra f(4)

f ( x)  3x 2  2 x  7 Evalúa f (0)

4) Si g(x) = 3 x  64 halla g(0)

Operaciones con funciones Teniendo en cuenta las definiciones de las operaciones con funciones; Realiza las operaciones que se indican. Observa los ejemplos. Definición: Función Suma: ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) Función Diferencia: ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) Función Producto: ( fg )( x)  f ( x) g ( x) f f ( x) Función cociente  ( x)  donde g(x) es diferente de cero. g ( x) g Composición de funciones f  g y se lee f compuesta con g se define f ( g ( x)) como evaluar f en g , o sea ( f  g )( x)  f ( g ( x)) . Significa que la función f (x) se reemplaza x por g (x) Ejemplos: 1) Si f ( x)  5x 2  3x  8 y g ( x)  x 2  5x encuentra a) ( f  g )( x)  Aplicando la definición ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) = (5x 2  3x  8)  ( x 2  5x)  6 x 2  2 x  8 b) ( f  g )( x)  Aplicando la definición ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) = (5x 2  3x  8)  ( x 2  5x) = 5x 2  3x  8  x 2  5x  4 x 2  8x  8 Observa que los términos de la función sustraendo en este caso g(x) cambian de signo c) ( fg )( x)  Aplicando la definición ( fg )( x)  f ( x) g ( x) = (5x 2  3x  8)( x 2  5x)  5x 4  25x 3  3x 3  15x 2  8x 2  40 x = 5x 4  22 x 3  7 x 2  40 x . Observa que después de multiplicar se reducen términos semejantes. 2) Si f ( x)  x 2  16 , g ( x)  x 2  6 x  8 Encuentra

f d)  (x) g f f ( x) x 2  16 ( x  4)( x  4) x  4  2   Aplicando la definición  ( x)  . Observa que si es g ( x) x  6 x  8 ( x  2)( x  4) x  2 g posible se factoriza numerador y denominador y se simplifica. 3. Ejemplo de composición de funciones. Si f ( x)  4 x  1 ; g ( x)  x 2  2 , Halla ( f  g )( x) Por definición ( f  g )( x)  f ( g ( x)) Como g ( x)  x 2  2 f ( g ( x))  f ( x 2  2)

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Como f ( x)  4 x  1 Se reemplaza x 2  2 en lugar de x f ( x 2  2)  4( x 2  2)  1  4 x 2  8  1  4 x 2  7 por lo tanto ( f  g )( x) = 4 x 2  7 EJERCICIO 17: OPERACIONES CON FUNCIONES: 1) Si f ( x)  3x  7 y g ( x)  x encuentra ( f  g )( x)  ( f  g )( x)  ( g  f )( x)  ( fg )( x)  2) Si f ( x)  5x 3  3x 2  2 x  4 y g ( x)  x 3  2 x 2  6 x  10 Encuentra: ( f  g )( x)  ( f  g )( x)  ( g  f )( x)  ( gf )( x) 

f g 3) Si f ( x)  x 2  36 y g ( x)  x 2  4 x  12 Encuentra  (x) ,  (x) g f 4) Si f ( x)  5x  6 y g ( x)  4 x  3 . h( x)  3x . Realiza cada composición de funciones que se indica. a) d) ( f  g )( x) ( g  f )( x) b) e) ( f  h)( x)  f (h( x)) = ( f  g )( x) c) f) (h  g )( x) ( g  h)( x)

Ordenada en el origen y las raíces o ceros de una función Las funciones tienen diferentes características o elementos importantes para su estudio, algunos de ellos se pueden observar en su grafica. En la grafica de abajo la curva representa una función cúbica y se ve que esta corta a los ejes coordenados. Al eje x en los valores x=1, x=4 y en x= -6 y al eje y en y= 24 aproximadamente. Los primeros se denominan ceros o raíces de la función y el segundo, ordenada en el origen. Para encontrar las raíces se resuelve la ecuación que resulta de hacer y=0, es decir las raíces son los valores de x cuando y=0; y para la ordenada en el origen se evalúa el valor de y cuando x=0. EJERCICIO #18; Indica las coordenadas de los puntos donde la grafica corta a los ejes y contesta: 1) ¿Qué es la ordenada en el origen?

2) ¿Qué son los ceros o raíces de una función?

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EJERCICIO19: RAÍCES Y ORDENADA EN EL ORIGEN :Calcula las raíces y la ordenada en el origen de las siguientes funciones. 3) y  2 x  8

4) y  x 2  4

5) y  x 2  7 x  10

6)

f ( x)  ( x  8)( x  2)( x  5)

Bloque II Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas. En este bloque se distinguen y describen diferentes tipos de funciones matemáticas, así como operaciones y trasformaciones algebraicas y/o geométricas.

Función Inversa: Inversa de una función Ejemplo. Encuentra la inversa de la función y  x 2  2 En la fórmula se reemplaza x por y, o sea se tiene x  y 2  2 , se despeja y; se tiene y 2  x  2 la fórmula corresponde a una parábola horizontal que en este caso no es una función.; Para graficar se Para graficar la da algunos inversa se Gráfica de la función y  x 2  2 y su inversa valores a x y se puede y2  x  2 encuentra los intercambiar valores de y los valores de x por y, y se x grafica esos 2 puntos. y  x 2 ….. x……y . . 7 -3 . . -3 7 2 -2 -2 2 -1 -1 -1

-1

-2

0

0

-2

-1

1

1

-1

2

2

2

2

7

3

3

7

Traza la recta y=x que es el eje de simetría de ambas funciones

EJERCICIO # 20: Encuentra la inversa de las siguientes funciones e indica si es una función. Haz su gráfica 1) y=x-8 5) y  x  1 2) =x+7 6) f ( x)   x 2  3 2 3) f ( x)  x 7) y  x 2  4 4) y  5x  2 FUNCIONES ESPECIALES: 1) Función constante: f ( x)  k real cualquiera.

k es un número

2) Función idéntica: f ( x)  x

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3) Función valor absoluto. y 

x

4) Funciones escalonadas

 x si x  0  y  x si x  0

5) Funciones Por intervalos : Observa la gráfica de la función

 x 2 si 0  x  4   y  16 si 4  x  8  2 x si 8  x  13  x 0 1 2 3 4 4.1 5 6 7 8 9 10 11 12 13

y 0 1 4 9 16 16 16 16 16 16 18 20 22 24 26

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Transformación de gráficas de funciones: función f(x) “a” un numero positivo Traslaciones Verticales de la grafica de f(x)  a unidades arriba f(x) +a  a unidades abajo f(x) –a Traslaciones Horizontales.  a unidades a la derecha f(x-a)  a unidades a la izquierda f(x+a) Reflexión con respecto al eje X  y= -f(x) EJERCICIO #21: TRANSFORMACIÓN DE GRÁFICAS. En los siguientes planos cartesianos se muestra la gráfica de una función. Bosqueja en cada plano la gráfica de la función, cuya ecuación se indica, toma en cuenta el cambio de la función original.

yx

y  x3

y  x2

y  x2 1

yx

y  x2

y  x2

y  x2  2

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y  x3

y   x …............................... y   x  3

y  x3 1

Bloque III: Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

Gráfica de una función Lineal Ejemplo: Grafica f ( x)  3x  6 (Recuerda es lo mismo y  3x  6 ) Se hace una tabla de valores para x e y incluyendo la ordenada en el origen y la raíz de la función x y=3x-6 0 -6 2 0 La recta pasa por los puntos (0,-6) y (2,0) -6 es la ordenada en el origen y 2 es la raíz de la función, esos valores nos dan pautas para construir el plano cartesiano adecuado. Si esos valores no son enteros o ambos son iguales a cero, se pueden buscar otros puntos que faciliten la gráfica pues cualquier otro par (x, y) que satisfaga la y  3x  6 ecuación estará en la gráfica. Por ejemplo, para x= 1 y =-3 es decir el punto (1, -3) esta en la recta como se puede verificar en la gráfica de la derecha. EJERCICIO #22: Construye un plano cartesiano adecuado y grafica las funciones 1) y  x 2) y  3x 3) y  5 x 4) y   x Gráfica de una función cuadrática y  ax 2  bx  c donde a, b , son  . EJEMPLO: Graficar la función f ( x)  x 2  4 x  21  0 1)

Identificar los coeficientes a (de x 2 ) b (de x) y c el término independiente.

En y  x 2  4 x  21

a  1;

b4

c  21

y

Si a  0 la parábola se abre hacia arriba. Si a  0 la parábola se abre hacia abajo. En este caso a  1 , la parabola se abre hacia arriba. 2) Determinar las coordenadas (x, y) del vértice de la parabola con las fórmulas 14

x

b 2a

b y  f   2a 

Reemplazando los valores de b y a en las fórmula se obtiene x 

4  2 2(1)

y  f (2) donde f (2)  (2) 2  4(2)  21  25 El vértice es (2,25) que en este caso es un punto mínimo de la función 3) Encontrar algunos Puntos Simétricos., es decir puntos equidistantes del eje de simetría de la b parábola que en este caso es x  2 . En general el eje se simetría es x  2a 4) Completa los valores de y para los valores de x que se indican. -7 -6 -5 -4 -3  2 -1 0 1 2 3 4 x -8

 25

y

5) Grafica los puntos y unelos con una curva suave, resulta la parábola que se muestra. 7) Calcula algebraicamente la ordenada en el origen, osea evalua y  f (0) 8) Calcula algebraicamente las raíces de la funcion. Se resuelve por cualquier método la ecuación x 2  4 x  21  0 Se puede usar la fórmula general para la ecuación ax 2  bx  c  0

 b  b 2  4ac ; 2a O también el método de factorización x 2  4 x  21  ( x  7)( x  3)  0 . Donde se resuelve cada factor igual a cero. x  7  0  x  7 x

Cálculo algebraico de la ordenada en el x3  0  x  3 origen y de las raices 6) En la grafica identifica la ordenada en el Se tiene las 2 raices diferentes x1  7 origen y las raices con puntos gruesos. x2  3 EJERCICIO #23: Grafica las siguientes funciones cuadráticas. 1) y  x 2  x  6 2) y  x 2  4 x  7 3) y  x 2  4 x  4 4)

f ( x)  x 2  x  5

5)

f ( x)  2 x 2  x  6

6)

f ( x)  3x 2  7 x  20

Bloque IV Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Características de la gráfica de una función polinomial: Características a estudiar.  Dominio y rango  Raíces y ordenada en el origen  Máximo y mínimo relativos. 15

Un máximo puede considerarse el punto donde la función cambia de ser creciente a decreciente, Un mínimo puede considerarse el punto donde la función cambia de ser decreciente a creciente,  Función positiva: Intervalos de x donde la función es positiva.  Función negativa: Intervalos de x donde la función es negativa. Una función es positiva si su grafica esta sobre el eje x y negativa si esta debajo del eje x.  Función creciente: Intervalos de x donde la función es creciente.  Función decreciente: Intervalos de x donde la función es decreciente. Una función es creciente si los valores de x aumenta los valores de y también aumentan Una función es decreciente si los valores de x aumenta los valores de y disminuyen EJEMPLO: Analiza las características de la función f ( x)  ( x  6)( x  1)( x  4) cuya gráfica se muestra abajo. Haz los cálculos algebraicos necesarios. 4) Intervalo de x donde la función es positiva. f ( x)  ( x  6)( x  1)( x  4)  6,1 y 4,  Se conoce que tiene un máximo en x=-3.3 y un mínimo en x=2.63 5) Intervalo de x donde la función es negativa.  ,6 y 1, 4

 

6) Valor máximo de la función es f (-3.3). f (3.3)  (3.3  6)(3.3  1)(3.3  4)  (2.7)(4.3)(7.3)  84.753 7) Valor mínimo de la función. es f (2.63). f (2.63)  (2.63  6)(2.63  1)(2.63  4)  (8.63)(1.63)(1.37)  19.27 1) Tipo de función:Cúbica 2) Ordenada en el origen.

8) Intervalo de x donde la función es creciente. f (0)  (0  6)(0  1)(0  4)  (6)(1)(4)  24  ,3.3 , 2.63,  3) Raíces o ceros de la función 9) Intervalo de x donde la función es Resolver ( x  6)( x  1)( x  4)  0 . Igualar decreciente.  3.3, 2.63 cada factor a cero y resolver. x  6  0  x  6 x 1  0  x  1 x40 x  4





EJERCICIO ·24: En las siguientes gráficas analiza las características de cada una de las funciones. Considera todos los puntos analizados en el ejemplo. 1)

f ( x)  (3  x)( x  5)( x  10) Si el mínimo lo alcanza en x=-1.6 y el máximo en x =7

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2)

f ( x)  ( x  4)( x  3)( x  7)( x  1)

3)

f ( x)  ( x  4)( x  3)( x  7)( x  1)

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Bloque V Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas.

Gráfica de una función cúbica y  ax 3  bx 2  cx  d , donde a, b, c son  .  En primer lugar se analiza el signo del coeficiente principal o sea de x 3 Si el coeficiente de x 3 es positivo las gráficas suben hacia la derecha y si es negativo bajan,. Con ese dato se conoce la forma, que son como las de abajo . f ( x)   x 2  8 x  6

  

En segundo lugar se encuentran las raíces o cortes con el eje x. La ordenada en el origen es otro punto de referencia. Los puntos máximos o mínimos se pueden aproximar con los valores de x dados.

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Para las raíces se verá 2 casos, En casos sencillos factorizando el polinomio por factor común o si se conoce un factor del polinomio encontrar los otros factores por la división sintética Ejemplo #1 Grafica la función f ( x)  x 3  6 x 2 El coeficiente principal es a=1 o sea positivo la gráfica sube hacia la derecha Para encontrar las raíces se factoriza la función, en este caso por factor común. f ( x)  x 3  6 x 2  x 2 ( x  6) y se resuelve x 2 ( x  6)  0 Donde se obtiene x 2  0  x  0 y x  6  0  x  6 Como toda función cúbica tiene 1 o 3 raíces, en este ejemplo hay una raíz doble que es cero y la otra es 6. Cuando hay una raíz doble la grafica es tangente al eje x. Para bosquejar la gráfica, como a>0 la gráfica sube hasta x=0 como es raíz doble regresa, o sea hay un máximo en x=0, la grafica baja y como debe cruzar el eje en x=6, en algún valor entre 0 y 6 alcanza un mínimo y sube como se puede ver en la grafica. Para un trazo mejor se puede tabular y encontrar puntos por donde pasa la grafica. Los dos valores para las raíces dividen al eje x en tres regiones, se puede encontrar puntos para x0 (( La tecla ln o LN de la calculadora) 4) Propiedades de los logaritmos. Si u y v son reales positivos, a diferente de 1 2) log a a  1 3) log a 1  0 1) a loga x  x 4) log a u  log a v si y solo si u=v si y solo si u=v 5) Logaritmo de un producto 6) Logaritmo de un cociente log a (uv)  log a u  log a v u log a    log a u  log a v v 7) Logaritmo de una potencia 8) log a a x  x log a u n  n log a u para todo número real n 9) Cambio de base de un logaritmo. 1 10) log a u  log b u log u a log a u  log b a

BIBLIOGRAFÍA. 1) Joaquín Ruiz Bastos: MATEMÁTICAS, Precálculo, Funciones y aplicaciones. Publicaciones Cultural, primera edición ,2006 2) Arturo Méndez Hinojosa Matemáticas 4, Bachillerato Santillana, primera edición, 2007. 3) René Jiménez, Funciones, Pearson Educación, México, 2006. 4) Francisco J. Ortiz Campos, Matemáticas IV, Publicaciones Cultural.2006.

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